Nomor 11
Jika $ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & a \end{matrix} \right] \, $
matriks yang dapat dibalik, maka hasil kali semua nilai $ a \, $ yang mungkin sehingga $ det(A) = 16 det \left( (2A)^{-1} \right) \, $
adalah .....
$\spadesuit \, $ sifat-sifat determinan
$ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} \, $ dan $ |k.A_{m \times m} | = k^m.|A| $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai determinan A
$ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & a \end{matrix} \right] $
$ det(A) = |A| = 1.a - 1.2 = a-2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} det(A) & = 16 det \left( (2A)^{-1} \right) \\ |A| & = 16 | (2A)^{-1} | \\ |A| & = 16 . \frac{1}{|2A|} \\ |A| & = \frac{16}{2^2|A|} \\ |A| & = \frac{16}{4|A|} \\ |A| & = \frac{4}{|A|} \\ |A|^2 & = 4 \\ (a-2)^2 & = 4 \\ a^2 - 4a + 4 & = 4 \\ a^2 - 4a & = 0 \\ a(a-4) & = 0 \\ a_1=0 \vee a_2 & = 4 \end{align}$
hasil kali nilai $ a \, $ adalah $ a_1.a_2 = 0.4 =0 $
atau gunakan operasi akar-akar :
$ a^2 - 4a = 0 \rightarrow a_1.a_2 = \frac{c}{a} = \frac{0}{1} = 0 $
Jadi, hasil kali semua nilai $ a \, $ adalah 0. $ \heartsuit $
$ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} \, $ dan $ |k.A_{m \times m} | = k^m.|A| $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai determinan A
$ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & a \end{matrix} \right] $
$ det(A) = |A| = 1.a - 1.2 = a-2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} det(A) & = 16 det \left( (2A)^{-1} \right) \\ |A| & = 16 | (2A)^{-1} | \\ |A| & = 16 . \frac{1}{|2A|} \\ |A| & = \frac{16}{2^2|A|} \\ |A| & = \frac{16}{4|A|} \\ |A| & = \frac{4}{|A|} \\ |A|^2 & = 4 \\ (a-2)^2 & = 4 \\ a^2 - 4a + 4 & = 4 \\ a^2 - 4a & = 0 \\ a(a-4) & = 0 \\ a_1=0 \vee a_2 & = 4 \end{align}$
hasil kali nilai $ a \, $ adalah $ a_1.a_2 = 0.4 =0 $
atau gunakan operasi akar-akar :
$ a^2 - 4a = 0 \rightarrow a_1.a_2 = \frac{c}{a} = \frac{0}{1} = 0 $
Jadi, hasil kali semua nilai $ a \, $ adalah 0. $ \heartsuit $
Nomor 12
Jika semua akar persamaan $ x^2 - 6x + q = 0 \, $ merupakan bilangan bulat positif, maka jumlah semua nilai $ q \, $
yang mungkin adalah .....
$\clubsuit \, $ Persamaan kuadrat : $ x^2 - 6x + q = 0 $
$ a = 1, \, b = -6 , \, $ dan $ c = q $
$\clubsuit \, $ Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-6)}{1} = 6 \, $ ....pers(i)
$ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} = \frac{q}{1} = q \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ q \, $ dari pers(i) dan pers(ii) dengan $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ bilangan bulat positif.
$ x_1 + x_2 = 6 \, $ dan $ x_1.x_2 = q $
*). $ x_1 = 1, \, x_2 = 5 \rightarrow q = x_1.x_2 = 1.5 = 5 $
*). $ x_1 = 2, \, x_2 = 4 \rightarrow q = x_1.x_2 = 2.4 = 8 $
*). $ x_1 = 3, \, x_2 = 3 \rightarrow q = x_1.x_2 = 3.3 = 9 $
Sehingga jumlah semua nilai $ q \, $ yang mungkin :
Jumlah = 5 + 8 + 9 = 22.
Jadi, jumlah semua nilai $ q \, $ adalah 22. $ \heartsuit $
$ a = 1, \, b = -6 , \, $ dan $ c = q $
$\clubsuit \, $ Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-6)}{1} = 6 \, $ ....pers(i)
$ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} = \frac{q}{1} = q \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ q \, $ dari pers(i) dan pers(ii) dengan $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ bilangan bulat positif.
$ x_1 + x_2 = 6 \, $ dan $ x_1.x_2 = q $
*). $ x_1 = 1, \, x_2 = 5 \rightarrow q = x_1.x_2 = 1.5 = 5 $
*). $ x_1 = 2, \, x_2 = 4 \rightarrow q = x_1.x_2 = 2.4 = 8 $
*). $ x_1 = 3, \, x_2 = 3 \rightarrow q = x_1.x_2 = 3.3 = 9 $
Sehingga jumlah semua nilai $ q \, $ yang mungkin :
Jumlah = 5 + 8 + 9 = 22.
Jadi, jumlah semua nilai $ q \, $ adalah 22. $ \heartsuit $
Nomor 13
Jika grafik parabola $ y = x^2 - 3x + a \, $ digeser ke kiri searah sumbu-x sejauh 2 satuan sehingga melalui titik (0,0), maka nilai $ a \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Teknik Menggeser
Jika grafik $ y = f(x) \, $ digeser ke kiri searah sumbu-x sejauh $ b , \, $ maka grafik barunya adalah $ y = f(x+b) $
$\spadesuit \, $ Grafik $ y = f(x) = x^2 - 3x + a \, $ digeser ke kiri searah sumbu-x sejauh 2, grafik barunya : $ y = f(x+2) $
$\begin{align} \text{grafik awal : } y & = x^2 - 3x + a \\ \text{grafik baru : } y & = f(x+2) \\ y & = (x+2)^2 -3(x+2) + a \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi titik (0,0) ke fungsi barunya
$\begin{align} (x,y) = (0,0) \rightarrow y & = (x+2)^2 -3(x+2) + a \\ 0 & = (0+2)^2 -3(0+2) + a \\ 0 & = 4 - 6 + a \\ 0 & = -2 + a \\ a & = 2 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 2 . \heartsuit $
Jika grafik $ y = f(x) \, $ digeser ke kiri searah sumbu-x sejauh $ b , \, $ maka grafik barunya adalah $ y = f(x+b) $
$\spadesuit \, $ Grafik $ y = f(x) = x^2 - 3x + a \, $ digeser ke kiri searah sumbu-x sejauh 2, grafik barunya : $ y = f(x+2) $
$\begin{align} \text{grafik awal : } y & = x^2 - 3x + a \\ \text{grafik baru : } y & = f(x+2) \\ y & = (x+2)^2 -3(x+2) + a \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi titik (0,0) ke fungsi barunya
$\begin{align} (x,y) = (0,0) \rightarrow y & = (x+2)^2 -3(x+2) + a \\ 0 & = (0+2)^2 -3(0+2) + a \\ 0 & = 4 - 6 + a \\ 0 & = -2 + a \\ a & = 2 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 2 . \heartsuit $
Cara II : Menggunakan transformasi geometri
$\spadesuit \, $ Konsep transformasi, khususnya translasi(pergeseran)
*). Grafik digeser ke kiri searah sumbu-x sejauh b, artinya matriks translasinya $ T = \left( \begin{matrix} -b \\ 0 \end{matrix} \right) $
*). pada soal ini, nilai $ b = 2 , \, $ sehingga $ T = \left( \begin{matrix} -2 \\ 0 \end{matrix} \right) $
$\spadesuit \, $ Menentukan bayangannya
$ \begin{align} \text{byangannya } & = \text{ Matriks } + \text{ awalnya} \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 + x \\ y \end{matrix} \right) \\ x & = x^\prime + 2 \\ y & = y^\prime \end{align}$
*). awalnya : $ y = x^2 - 3x + a $
*). bayangannya : $ y^\prime = (x^\prime + 2)^2 - 3(x^\prime + 2) + a $
artinya setelah digeser terbentuk grafik yang baru yaitu : $ y = (x + 2)^2 - 3(x + 2) + a $
$\spadesuit \, $ Substitusi titik (0,0) ke fungsi barunya
$\begin{align} (x,y) = (0,0) \rightarrow y & = (x+2)^2 -3(x+2) + a \\ 0 & = (0+2)^2 -3(0+2) + a \\ 0 & = 4 - 6 + a \\ 0 & = -2 + a \\ a & = 2 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 2 . \heartsuit $
$\spadesuit \, $ Konsep transformasi, khususnya translasi(pergeseran)
*). Grafik digeser ke kiri searah sumbu-x sejauh b, artinya matriks translasinya $ T = \left( \begin{matrix} -b \\ 0 \end{matrix} \right) $
*). pada soal ini, nilai $ b = 2 , \, $ sehingga $ T = \left( \begin{matrix} -2 \\ 0 \end{matrix} \right) $
$\spadesuit \, $ Menentukan bayangannya
$ \begin{align} \text{byangannya } & = \text{ Matriks } + \text{ awalnya} \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 \\ 0 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 + x \\ y \end{matrix} \right) \\ x & = x^\prime + 2 \\ y & = y^\prime \end{align}$
*). awalnya : $ y = x^2 - 3x + a $
*). bayangannya : $ y^\prime = (x^\prime + 2)^2 - 3(x^\prime + 2) + a $
artinya setelah digeser terbentuk grafik yang baru yaitu : $ y = (x + 2)^2 - 3(x + 2) + a $
$\spadesuit \, $ Substitusi titik (0,0) ke fungsi barunya
$\begin{align} (x,y) = (0,0) \rightarrow y & = (x+2)^2 -3(x+2) + a \\ 0 & = (0+2)^2 -3(0+2) + a \\ 0 & = 4 - 6 + a \\ 0 & = -2 + a \\ a & = 2 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 2 . \heartsuit $
Nomor 14
Naufal mengikuti lima kali tes Bahasa Inggris dengan nilai empat tes pertamanya berturut-turut adalah 4, 8, 7, dan 7.
Jika modus dan rata-rata lima nilai tes adalah sama, maka nilai tes terakhir Naufal adalah ....
$\clubsuit \,$ Misalkan nilai tes yang terakhirnya adalah $ x $
Daftar nilainya : 4, 7, 7, 8, $ x $
rata-rata = $ \frac{4+7+7+8+x}{5}=\frac{26+x}{5} $
$\clubsuit \, $ Dari data 4, 7, 7, 8, $ x \, $ , nilai modusnya adalah 7.
Modus adalah nilai yang sering muncul.
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} \text{rata-rata } & = \text{ modus} \\ \frac{26+x}{5} & = 7 \\ 26 + x & = 35 \\ x & = 35 - 26 = 9 \end{align} $
Jadi, nilai tes terakhirnya adalah 9. $ \heartsuit $
Catatan : Sebenarnya nilai modusnya selain 7, ada kemungkinan yang lainnya yaitu 4 atau 8, hanya saja untuk nilai modus 4 atau 8 tidak ada yang memenuhi.
Daftar nilainya : 4, 7, 7, 8, $ x $
rata-rata = $ \frac{4+7+7+8+x}{5}=\frac{26+x}{5} $
$\clubsuit \, $ Dari data 4, 7, 7, 8, $ x \, $ , nilai modusnya adalah 7.
Modus adalah nilai yang sering muncul.
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} \text{rata-rata } & = \text{ modus} \\ \frac{26+x}{5} & = 7 \\ 26 + x & = 35 \\ x & = 35 - 26 = 9 \end{align} $
Jadi, nilai tes terakhirnya adalah 9. $ \heartsuit $
Catatan : Sebenarnya nilai modusnya selain 7, ada kemungkinan yang lainnya yaitu 4 atau 8, hanya saja untuk nilai modus 4 atau 8 tidak ada yang memenuhi.
Nomor 15
Empat buku berjudul Matematika, satu buku berjudul Ekonomi, dan satu buku berjudul Bahasa akan disusun di lemari buku dalam satu baris.
Misalkan A adalah kejadian susunan buku sehingga tidak ada tiga atau lebih buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan.
Jika buku dengan judul yang sama tidak dibedakan, maka peluang kejadian A adalah .....
$\spadesuit \, $ Pada kasus ini menggunakan Permutasi Berulang.
Misalkan kata "BAHAGIA" akan disusun ulang, maka banyaknya kata baru (tidak harus bermakna) yang diperoleh adalah $\frac{\text{total huruf}}{\text{huruf yang sama}} = \frac{7!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \, $ kata, di sini huruf yang sama hanya huruf A sebanyak 3.
Contoh lain, kata "MATEMATIKA" disusun ulang, kata baru sebanyak $ \frac{10!}{2!\times 3! \times 2!} \, $ kata (total huruf = 10, yang sama : M = 2, A = 3, T = 2).
$\spadesuit \, $ Misal : M = Matematika, E = Ekonomi, B = Bahasa
Ada 4M 1E 1B , artinya $ n(S) = \frac{6!}{4!} = 6.5 = 30 $
$ n(S) \, $ adalah ruang sampel (semua susunan yang mungkin)
$\spadesuit \, $ Kejadian A menyatakan kejadian susunan buku sehingga tidak ada tiga atau lebih buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan. Agar kejadian ini terjadi, salah satu caranya adalah kita blok menjadi lima bagian buku dengan dua kemungkinan.
*). Kemungkinan I :
KI = $ 2!.\frac{3!}{2!} = 3! = 3.2.1 = 6 $
*). Kemungkinan II :
KII = $ 2!.\frac{3!}{2!} = 3! = 3.2.1 = 6 \, $
Hanya saja susunan MMEBMM dan MMBEMM sudah muncul pada kemungikan I, sehinga harus dikurangkan 2 : KII = 6 - 2 = 4 cara.
*). Kemungkinan III , 2M ada ditengah yaitu : MEMMBM dan MBMMEM
diperoleh KIII = 2
Sehingga semua kemungkinan kejadian A :
$ n(A) = KI + KII + KIII = 6 + 4 + 2 = 12 $
$\spadesuit \, $ Menentukan peluangnya
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} $
Jadi, peluang kejadian A adalah $ \frac{2}{5}. \heartsuit $
Keterangan kemungkinan yang ada :
Kemungkinan I :
*). Kita bagi menjadi 5 kelompok yaitu 2M, E, B, M, dan M dengan 2M posisinya pasti tetap di depan.
*). Tiga kelompok terakhir (B, M, M) kita acak posisinya dengan banyak susunan $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ cara.
*). E dan B bisa saling ditukar, sehingga susunannya ada 2! = 2 cara.
Sehingga semua susunan kemungkinan I ada $ \frac{3!}{2!} \times 2! = 3 \times 2 = 6 \, $ cara yaitu MMEBMM, MMEMBM, MMEMMB, MMBEMM, MMBMEM, dan MMBMME
Hal yang sama juga untuk kemungkinan II, hanya saja 2M posisinya tetap dibelakang
Misalkan kata "BAHAGIA" akan disusun ulang, maka banyaknya kata baru (tidak harus bermakna) yang diperoleh adalah $\frac{\text{total huruf}}{\text{huruf yang sama}} = \frac{7!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \, $ kata, di sini huruf yang sama hanya huruf A sebanyak 3.
Contoh lain, kata "MATEMATIKA" disusun ulang, kata baru sebanyak $ \frac{10!}{2!\times 3! \times 2!} \, $ kata (total huruf = 10, yang sama : M = 2, A = 3, T = 2).
$\spadesuit \, $ Misal : M = Matematika, E = Ekonomi, B = Bahasa
Ada 4M 1E 1B , artinya $ n(S) = \frac{6!}{4!} = 6.5 = 30 $
$ n(S) \, $ adalah ruang sampel (semua susunan yang mungkin)
$\spadesuit \, $ Kejadian A menyatakan kejadian susunan buku sehingga tidak ada tiga atau lebih buku dengan judul yang sama tersusun secara berurutan. Agar kejadian ini terjadi, salah satu caranya adalah kita blok menjadi lima bagian buku dengan dua kemungkinan.
*). Kemungkinan I :
KI = $ 2!.\frac{3!}{2!} = 3! = 3.2.1 = 6 $
*). Kemungkinan II :
KII = $ 2!.\frac{3!}{2!} = 3! = 3.2.1 = 6 \, $
Hanya saja susunan MMEBMM dan MMBEMM sudah muncul pada kemungikan I, sehinga harus dikurangkan 2 : KII = 6 - 2 = 4 cara.
*). Kemungkinan III , 2M ada ditengah yaitu : MEMMBM dan MBMMEM
diperoleh KIII = 2
Sehingga semua kemungkinan kejadian A :
$ n(A) = KI + KII + KIII = 6 + 4 + 2 = 12 $
$\spadesuit \, $ Menentukan peluangnya
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} $
Jadi, peluang kejadian A adalah $ \frac{2}{5}. \heartsuit $
Keterangan kemungkinan yang ada :
Kemungkinan I :
*). Kita bagi menjadi 5 kelompok yaitu 2M, E, B, M, dan M dengan 2M posisinya pasti tetap di depan.
*). Tiga kelompok terakhir (B, M, M) kita acak posisinya dengan banyak susunan $ \frac{3!}{2!} = 3 \, $ cara.
*). E dan B bisa saling ditukar, sehingga susunannya ada 2! = 2 cara.
Sehingga semua susunan kemungkinan I ada $ \frac{3!}{2!} \times 2! = 3 \times 2 = 6 \, $ cara yaitu MMEBMM, MMEMBM, MMEMMB, MMBEMM, MMBMEM, dan MMBMME
Hal yang sama juga untuk kemungkinan II, hanya saja 2M posisinya tetap dibelakang
Tidak ada komentar:
Posting Komentar
Catatan: Hanya anggota dari blog ini yang dapat mengirim komentar.