Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 517 tahun 2015 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Fungsi $ f(x) = \sqrt{\sin ^2 x + \frac{x}{2} + \pi}, \, -\pi < x < 2\pi \, $ turun pada interval ....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
*). fungsi $ f(x) \, $ turun, syaratnya : $ f^\prime (x) < 0 $
*). turunan : $ y = \sqrt{x} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x) }{2 \sqrt{x} } $
*). Persamaan trigonometri : $ \sin f(x) = \sin \theta $
Solusinya : $ f(x) = \theta + k2\pi \, $ dan $ f(x) = (180^\circ - \theta ) + k2\pi $
dengan $ k \, $ bilangan bulat dan $ \pi = 180^\circ $
$\clubsuit \, $ Menenentukan turunan fungsinya
$\begin{align} f(x) & = \sqrt{\sin ^2 x + \frac{x}{2} + \pi} \\ f^\prime (x) & = \frac{\text{turunan dari } \, (\sin ^2 x + \frac{x}{2} + \pi ) }{2\sqrt{\sin ^2 x + \frac{x}{2} + \pi}} \\ & = \frac{ 2 \sin x \cos x + \frac{1}{2} }{2\sqrt{\sin ^2 x + \frac{x}{2} + \pi}} \\ & = \frac{ \sin 2x + \frac{1}{2} }{2\sqrt{\sin ^2 x + \frac{x}{2} + \pi}} \end{align}$
Untuk interval $ -\pi < x < 2\pi , \, $ maka nilai $ \sin ^2 x + \frac{x}{2} + \pi \, $ selalu positif.
$\clubsuit \, $ Syarat fungsi turun
$\begin{align} f^\prime (x) & < 0 \\ \frac{ \sin 2x + \frac{1}{2} }{2\sqrt{\sin ^2 x + \frac{x}{2} + \pi}} & < 0 \end{align}$
Karena nilai $ \sin ^2 x + \frac{x}{2} + \pi \, $ selalu positif pada interval $ -\pi < x < 2\pi , \, $ maka agar $ \frac{ \sin 2x + \frac{1}{2} }{2\sqrt{\sin ^2 x + \frac{x}{2} + \pi}} < 0 \, $ haruslah $ \sin 2x + \frac{1}{2} < 0 \, $ (negatif).
$\clubsuit \, $ Menentukan akar-akar dari $ \sin 2x + \frac{1}{2} < 0 $
$\begin{align} \sin 2x + \frac{1}{2} & = 0 \\ \sin 2x & = - \frac{1}{2} \\ \sin 2x & = \sin 210^\circ \\ f(x) & = 2x , \, \theta = 210^\circ \end{align}$
*). Solusinya : $ f(x) = \theta + k2\pi $
$ 2x = 210^\circ + k2\pi \rightarrow x = 105^\circ + k \pi $
$ k = -1 \rightarrow x = 105^\circ + -1 . \pi = -75^\circ = \frac{-5\pi}{12} $
$ k = 0 \rightarrow x = 105^\circ + 0 . \pi = 105^\circ = \frac{7\pi}{12} $
$ k = 1 \rightarrow x = 105^\circ + 1 . \pi = 285^\circ = \frac{19\pi}{12} $
*). Solusinya : $ f(x) = (180^\circ - \theta ) + k2\pi $
$ 2x = ( 180^\circ - 210^\circ ) + k2\pi \rightarrow x = -15^\circ + k \pi $
$ k = 0 \rightarrow x = -15^\circ + 0. \pi = -15^\circ = \frac{-\pi}{12} $
$ k = 1 \rightarrow x = -15^\circ + 1. \pi = 165^\circ = \frac{11\pi}{12} $
$ k = 2 \rightarrow x = -15^\circ + 2. \pi = 345^\circ = \frac{23\pi}{12} $
*). Garis bilangannya :
Pertidaksamaannya : $ \sin 2x + \frac{1}{2} < 0 \, $
Yang diasrsir daerah negatif karena yang diminta kurang dari ($ < $ ).
sbmptn_mat_ipa_kode_517_6_2015
Berdasarkan pilihannya, maka solusinya adalah $ 105^\circ < x < 165^\circ \, $ atau dapat ditulis $ \frac{7\pi}{12} < x < \frac{11\pi}{12} $ .
Jadi, fungsi $ f(x) $ turun pada interval $ \frac{7\pi}{12} < x < \frac{11\pi}{12} . \, \heartsuit $
Nomor 12
Pada interval $ -2 \leq x \leq 2 , \, $ luas daerah di bawah kurva $ y = 4 - x^2 \, $ dan di atas garis $ y = k \, $ sama dengan luas daearah di atas kurva $ y = 4 - x^2 \, $ dan di bawah garis $ y = k. \, $ Nilai $ k = .... $
sbmptn_mat_ipa_kode_517_2_2015
$\spadesuit \, $ Gambarnya
sbmptn_mat_ipa_kode_517_2a_2015
Misalkan perpotongan $ y = k \, $ dan $ y = 4 - x^2 \, $ di $ x = -a \, $ dan $ x = a $ .
$\spadesuit \, $ Menentukan Luas daerah di atas (LI) garis $ y = k $ dan di bawah (LII)
$\begin{align} LI(A) & = \int \limits_{-a}^a \text{(grafik atas)} - \text{(grafik bawah)} dx \\ & = \int \limits_{-a}^a (4-x^2) - (k) dx \\ & = \int \limits_{-a}^a (4-k) - x^2 dx \\ & = [(4-k)x - \frac{1}{3}x^3] _{-a}^{a} \\ & = [(4-k)a - \frac{1}{3}a^3] - [(4-k)(-a) - \frac{1}{3}(-a)^3] \\ & = 2 [(4-k)a - \frac{1}{3}a^3] \\ LII(2B) & = 2 \int \limits_{a}^2 \text{(grafik atas)} - \text{(grafik bawah)} dx \\ & = 2 \int \limits_{a}^2 (k) - (4-x^2) dx \\ & = 2 \int \limits_{a}^2 (k-4) +x^2 dx \\ & = 2 [ (k-4)x + \frac{1}{3}x^3]_a^2 \\ & = 2 ([ (k-4).2 + \frac{1}{3}2^3]- [ (k-4).a + \frac{1}{3}a^3]) \\ & = 2 [ (k-4).2 + \frac{1}{3}2^3]+ 2[ (4-k).a - \frac{1}{3}a^3] \\ & = 2 [ (k-4).2 + \frac{8}{3}]+ 2[ (4-k).a - \frac{1}{3}a^3] \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan Nilai $ k $
$\begin{align} LI(A) & = LII(2B) \\ 2 [(4-k)a - \frac{1}{3}a^3] & = 2 [ (k-4).2 + \frac{8}{3}]+ 2[ (4-k).a - \frac{1}{3}a^3] \\ 0 & = 2 [ (k-4).2 + \frac{8}{3}] \\ [ (k-4).2 + \frac{8}{3}] & = 0 \\ 2k - 8 + + \frac{8}{3} & = 0 \\ 2k & = \frac{16}{3} \\ k & = \frac{8}{3} \end{align}$
Jadi, nilai $ k = \frac{8}{3} . \, \heartsuit $
Nomor 13
Banyak kurva $ Ax^2 + \left( \frac{By}{2} \right)^2 = 0 \, $ dengan $ A \, $ dan $ B \, $ dua bilangan berbeda yang dipilih dari $ \{-1,0,1,2,4\} \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Untuk menyelesaikan soalnya, kita harus langsung mencoba nilai A dan B yang berbeda yang dipilih dari {-1, 0, 1, 2, 4} , dan kita substitusi ke persamaan $ Ax^2 + \left( \frac{By}{2} \right)^2 = 0, \, $ seperti di bawah ini.
$\begin{align} Ax^2 + \left( \frac{By}{2} \right)^2 & = 0 \\ A = 0 \rightarrow \left( \frac{By}{2} \right)^2 & = 0 \rightarrow y^2 = 0 \, \, \, \, \text{(1 kurva)} \\ B = 0 \rightarrow Ax^2 & = 0 \rightarrow x^2 = 0 \, \, \, \, \text{(1 kurva)} \\ A = -1 \rightarrow -x^2 + \left( \frac{1}{2} y \right)^2 & = 0 \, \, \, \, \text{(1 kurva)} \\ -x^2 + \left( \frac{2}{2} y \right)^2 & = 0 \, \, \, \, \text{(1 kurva)} \\ -x^2 + \left( \frac{4}{2} y \right)^2 & = 0 \, \, \, \, \text{(1 kurva)} \\ A = 1 \rightarrow x^2 + \left( \frac{-1}{2} y \right)^2 & = 0 \, \, \, \, \text{(1 kurva)} \\ x^2 + \left( \frac{2}{2} y \right)^2 & = 0 \, \, \, \, \text{(1 kurva)} \\ x^2 + \left( \frac{4}{2} y \right)^2 & = 0 \, \, \, \, \text{(1 kurva)} \\ A = 2 \rightarrow 2x^2 + \left( \frac{-1}{2} y \right)^2 & = 0 \, \, \, \, \text{(1 kurva)} \\ 2x^2 + \left( \frac{4}{2} y \right)^2 & = 0 \, \, \, \, \text{(1 kurva)} \\ A = 4 \rightarrow 4x^2 + \left( \frac{-1}{2} y \right)^2 & = 0 \, \, \, \, \text{(1 kurva)} \end{align}$
Jadi, total ada 11 kurva yang berbeda.
Nomor 14
Tiga kelas masing-masing terdiri atas 30 siswa. Satu kelas diantaranya terdiri atas laki-laki saja. Satu siswa dipilih dari tiap-tiap kelas. Peluang terpilih ketiganya laki-laki adalah 7/36. Peluang terpilih dua laki-laki dan satu perempuan adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep peluang komplemen : $ P(A^c) = 1 - P(A) $
$\spadesuit \, $ Satu kelas terdiri dari laki-laki dan perempuan, artinya berlaku peluang komplemen yaitu peluang perempuan kebalikan dari peluang laki-laki atau sebaliknya, sehingga bisa ditulis $ P(P) = 1 - P(L) $ .
$\spadesuit \, $ Ada tiga kelas, misalnya kelas I ada $P_1 \, $ dan $ L_1 \, $ , kelas II ada $P_2 \, $ dan $ L_2 \, $ dan kelas III hanya ada $ L_3 \, $ saja. $ P_1 \, $ artinya perempuan pada kelas I yang terpilih, begitu juga simbol $ L_1, \, P_2, \, L_2, \, L_3 $ . Karena kelas III hanya ada laki-laki saja, maka peluangnya 1 atau ditulis $ P(L_3) = 1 $.
$\spadesuit \, $ Menentukan peluang masing-masing dengan setiap kelas dipilih satu siswa.
peluang terpilihnya laki-laki semua adalah $ \frac{7}{36} $
$\begin{align} P(L_1).P(L_2).P(L_3) & = \frac{7}{36} \\ P(L_1).P(L_2).1 & = \frac{7}{6 . 6} . \frac{5}{5} \\ P(L_1).P(L_2) & = \frac{7}{30} . \frac{5}{6} \end{align}$
artinya $ P(L_1) = \frac{7}{30} , \, $ dan $ P(L_2) = \frac{5}{6} $
$\spadesuit \, $ Menentukan peluang masing-masing dengan peluang komplemen
$ P(L_1) = \frac{7}{30} \rightarrow P(P_1) = 1 - P(L_1) = 1 - \frac{7}{30} = \frac{23}{30} $
$ P(L_2) = \frac{5}{6} \rightarrow P(P_2) = 1 - P(L_2) = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} $
$ P(L_3) = 1 $
$\spadesuit \, $ Peluang dua laki-laki (2L) dan satu perempuan (1P)
$\begin{align} & P(P_1).P(L_2).P(L_3) + P(P_2).P(L_1).P(L_3) \\ & = \frac{23}{30}. \frac{5}{6}. 1 + \frac{1}{6}. \frac{7}{30}. 1 \\ & = \frac{115}{180} + \frac{7}{180} \\ & = \frac{122}{180} = \frac{61}{90} \end{align}$
Jadi, peluang terpilihnya 2L dan 1P adalah $ \frac{61}{90}. \, \heartsuit $
Nomor 15
Diketahui deret geometri takhingga mempunyai jumlah sama dengan nilai maksimum fungsi $ f(x) = -\frac{2}{3}x^3 + 2x + \frac{2}{3} \, $ untuk $ -1 \leq x \leq 2. \, $ Selisih suku kedua dan suku pertama deret geometri tersebut adalah $ -2f^\prime (0). \, $ Rasio deret geometri tersebut adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
*). Barisan geometri : $ u_n = ar^{n-1} $
*). Jumlah tak hingga : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
*). Syarat stasioner (nilai maksimum/minimum) : $ f^\prime (x) = 0 $
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan fungsi $ f(x) $
$\begin{align} f(x) & = -\frac{2}{3}x^3 + 2x + \frac{2}{3} \\ f^\prime (x) & = -2x^2 + 2 \\ f^\prime (0) & = -2.0^2 + 2 = 2 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai maksimum fungsi $ f(x) $
$\begin{align} \text{syarat : } f^\prime (x) & = 0 \\ -2x^2 + 2 & = 0 \\ x^2 & = 1 \\ x & = \pm \sqrt{1} = \pm 1 \end{align}$
nilai $ x \, $ pada interval $ -1 \leq x \leq 2 $
*). Uji semua nilai $ x \, $ yang diperoleh dari syarat stasioner dan intervalnya ke fungsi $ f(x) = -\frac{2}{3}x^3 + 2x + \frac{2}{3} $
$\begin{align} x = -1 \rightarrow f(-1) & = -\frac{2}{3}(-1)^3 + 2.(-1) + \frac{2}{3} = -\frac{2}{3} \\ x = 1 \rightarrow f(1) & = -\frac{2}{3}(1)^3 + 2.(1) + \frac{2}{3} = 2 \\ x = 2 \rightarrow f(2) & = -\frac{2}{3}(2)^3 + 2.(2) + \frac{2}{3} = -\frac{2}{3} \end{align}$
Artinya, nilai maksimum fungsi $ f(x) \, $ adalah 2 pada saat $ x = 1 $
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan
*). Jumlah tak hingga = nilai maksimum
$\begin{align} s_\infty & = 2 \\ \frac{a}{1-r} & = 2 \\ a & = 2(1-r) \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
*). Selisih $ u_2 \, $ dan $ u_1 \, $ = $ -2 f^\prime (0) $
$\begin{align} u_2 - u_1 & = -2 f^\prime (0) \\ ar - a & = -2 . 2 \\ a(r-1) & = -4 \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} a(r-1) & = -4 \\ 2(1-r)(r-1) & = -4 \, \, \, \, \, \text{(bagi -2)} \\ (r-1)(r-1) & = 2 \\ r^2 - 2r + 1 & = 2 \\ r^2 - 2r - 1 & = 0 \\ a = 1, \, b = -2, \, c & = -1 \\ r & = \frac{-b\pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \, \, \, \, \, \text{(Rumus ABC)} \\ r & = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4.1.(-1)}}{2.1} \\ r & = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \\ r & = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \\ r & = 1 \pm \sqrt{2} \end{align}$
Jadi, nilai rasionya $ r = 1 - \sqrt{2}. \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 517 tahun 2015 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Suku banyak $ p(x) = (x-a)^7 + (x-b)^6 + (x-3) \, $ habis dibagi oleh $ x^2 - (a+b)x + ab. \, $ Jika $ a \neq b, \, a \neq 4, \, $ maka $ b = .... $
$\spadesuit \, $ Kosep teorema sisa
*). Pembagian
$ \frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} \text{sisa } = P(a) \\ \text{sisa } = P(b) \end{array} \right. $
artinya substitusi semua akar pembaginya maka diperoleh sisanya.
*). Habis dibagi, artinya sisanya nol.
$\spadesuit \, P(x) \, $ dibagi $ x^2 - (a+b)x + ab \, $
dengan $ p(x) = (x-a)^7 + (x-b)^6 + (x-3) $
*). Bentuk $ x^2 - (a+b)x + ab = (x-a)(x-b) $
$ \frac{P(x)}{x^2 - (a+b)x + ab} = \frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} \text{sisa } = P(a) \\ \text{sisa } = P(b) \end{array} \right. $
Karena habis dibagi, maka sisanya nol.
*). Persamaan pertama :
$\begin{align} \text{sisa } & = P(a) \\ 0 & = (a-a)^7 + (a-b)^6 + (a-3) \\ 0 & = 0^7 + (a-b)^6 + (a-3) \\ (a-b)^6 & = 3 - a \\ (b-a)^6 & = 3 - a \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
*). Persamaan Kedua :
$\begin{align} \text{sisa } & = P(b) \\ 0 & = (b-a)^7 + (b-b)^6 + (b-3) \\ 0 & = (b-a)^7 + 0^6 + (b-3) \\ 0 & = (b-a)^6.(b-a) + (b-3) \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} (b-a)^6.(b-a) + (b-3) & = 0 \\ (3 - a).(b-a) + (b-3) & = 0 \\ (3-a)b - 3a + a^2 + b - 3 & = 0 \\ (3-a+1)b + a^2 - 3a - 3 & = 0 \\ (4-a)b & = 3a + 3 -a^2 \\ b & = \frac{3a + 3 -a^2}{4-a} \end{align}$
Jadi, diperoleh $ b = \frac{3a + 3 -a^2}{4-a} . \, \heartsuit $
Nomor 7
Nilai $ c \, $ yang memenuhi $ (0,0081)^{(x^2+3x+c)} < (0,09)^{(x^2 - 2x + 8)} \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
*). Pertidaksamaan eksponen
$ a^{f(x)} < a^{g(x)} \rightarrow f(x) > g(x) \, $ untuk $ a < 1 $
*). Sifat eksponen : $ (a^m)^n = a^{m.n} $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan pertidaksamaan
$ \begin{align} (0,0081)^{(x^2+3x+c)} & < (0,09)^{(x^2 - 2x + 8)} \\ [(0,09)^2]^{(x^2+3x+c)} & < (0,09)^{(x^2 - 2x + 8)} \\ (0,09)^{(2x^2+6x+2c)} & < (0,09)^{(x^2 - 2x + 8)} \\ (\text{tanda ketaksamaan } & \text{ dibalik )} \\ 2x^2+6x+2c & > x^2 - 2x + 8 \\ x^2 + 8x + 2c - 8 & > 0 \end{align} $
Agar berlaku $ x^2 + 8x + 2c - 8 > 0 $ untuk semua $ x , \, $ maka $ x^2 + 8x + 2c - 8 \, $ harus definit positif. Syaratnya : $ a > 0 \, $ dan $ D < 0 $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan definit positif pada $ x^2 + 8x + 2c - 8 $
$ \begin{align} a & = 1 > 0 \, \, \, \, \text{(benar)}\\ D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ 8^2 - 4.1.(2c-8) & < 0 \\ 64 - 8c + 32 & < 0 \\ - 8c & < - 96 \, \, \, \, \text{(bagi -8, tanda dibalik)} \\ c & > 12 \end{align} $
Jadi, diperoleh nilai $ c > 12. \, \heartsuit$
Nomor 8
Jika $ x_1, \, x_2 \, $ adalah akar-akar $ 25^{2x} - 5^{2x+1} - 2.5^{2x+3} + a = 0 \, $ dimana $ x_1 + x_2 = 2. {}^5 \log 2 , \, $ maka $ a = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
*). Operasi akar-akar PK : $ ap^2 + bp + c = 0 $
$ x_1 . c_2 = \frac{c}{a} $
*). Sifat-sifat eksponen dan logaritma
$ a^{m+n} = a^m .a^n , \, (a^m)^n = a^{m.n}, \, a^{{}^a \log b} = b $
$\spadesuit \, $ Memodifikasi persamaan dengan substitusi $ p = 5^{2x} $
$\begin{align} 25^{2x} - 5^{2x+1} - 2.5^{2x+3} + a & = 0 \\ (5^2)^{2x} - 5^{2x} . 5^1 - 2.5^{2x}.5^3 + a & = 0 \\ (5^{2x})^2 - 5.5^{2x} - 250.5^{2x} + a & = 0 \\ (p)^2 - 5p - 250p + a & = 0 \\ (p)^2 - 255p + a & = 0 \end{align}$
$ p^2 - 255p + a = 0 \left\{ \begin{array}{c} p_1 = 5^{2x_1} \\ p_2 = 5^{2x_2} \end{array} \right. $
Operasi akar-akar PK : $ p^2 - 255p + a = 0 $
$\begin{align} p_1 . p_2 & = \frac{c}{a} \\ 5^{2x_1} . 5^{2x_2} & = \frac{a}{1} \\ 5^{2(x_1+x_2)} & = a \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi $ x_1 + x_2 = 2. {}^5 \log 2 \, $ ke pers(i)
$\begin{align} a & = 5^{2(x_1+x_2)} \\ a & = 5^{2(2. {}^5 \log 2)} \\ a & = 5^{4. {}^5 \log 2 } \\ a & = 5^{ {}^5 \log 2^4 } \\ a & = 5^{ {}^5 \log 16 } \\ a & = 16 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 16. \, \heartsuit$
Nomor 9
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x} \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
*). Penerapan turunan pada limit,
$ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \rightarrow \, $ solusinya : $ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
diturunkan sampai hasilnya tidak $ \frac{0}{0} $ .
*). Turunan fungsi
$ y = U. V \rightarrow y^\prime = U^\prime . V + U . V^\prime $
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $
$\clubsuit \, $ Turunan fungsi
$\begin{align} y & = \left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right) \\ U & = \left( \sqrt{5-x}-2 \right) \rightarrow U^\prime = \frac{-1}{2\sqrt{5-x}} \\ V & = \left( \sqrt{2-x}+1 \right) \rightarrow V^\prime = \frac{-1}{2\sqrt{2-x}} \\ y & = UV \\ y^\prime & = U^\prime . V + U . V^\prime \\ y^\prime & = \frac{-1}{2\sqrt{5-x}} . \left( \sqrt{2-x}+1 \right) + \left( \sqrt{5-x}-2 \right) . \frac{-1}{2\sqrt{2-x}} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan limitnya
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x} = \frac{0}{0} \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{ \frac{-1}{2\sqrt{5-x}} . \left( \sqrt{2-x}+1 \right) + \left( \sqrt{5-x}-2 \right) . \frac{-1}{2\sqrt{2-x}} }{-1} \\ & = \frac{ \frac{-1}{2\sqrt{5-1}} . \left( \sqrt{2-1}+1 \right) + \left( \sqrt{5-1}-2 \right) . \frac{-1}{2\sqrt{2-1}} }{-1} \\ & = \frac{ \frac{-1}{2.2} . \left( 2 \right) + \left( 2-2 \right) . \frac{-1}{2.1} }{-1} \\ & = \frac{ \frac{-1}{2} + \left( 0 \right) . \frac{-1}{2} }{-1} \\ & = \frac{ \frac{-1}{2} + 0 }{-1} \\ & = \frac{1}{2} \end{align}$
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{2} . \, \heartsuit $
Nomor 10
Jika $ u_1, u_2, u_3, ... \, $ adalah barisan geometri yang memenuhi $ u_3 - u_6 = x, \, $ dan $ u_2 - u_4 = y, \, $ maka $ x/y = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
*). Barisan geometri : $ u_n = a r^{n-1} $
*). Pemfaktoran : $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) $
sehingga $ 1 - r^3 = (1-r)(1+r+r^2) $
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan
$\begin{align} u_3 - u_6 & = x \\ ar^2 - ar^5 & = x \\ ar^2(1-r^3) & = x \\ ar^2(1-r)(1 + r + r^2) & = x \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ u_2 - u_4 & = y \\ ar - ar^3 & = y \\ ar(1-r^2) & = y \\ ar(1-r)(1+r) & = y \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan hasil $ \frac{x}{y} $
$\begin{align} \frac{x}{y} & = \frac{ar^2(1-r)(1 + r + r^2)}{ar(1-r)(1+r) } \, \, \, \, \text{...(sederhanakan)} \\ & = \frac{r(1 + r + r^2)}{1 + r} \\ & = \frac{ r^3 + r^2 + r}{1 + r} \end{align}$
Jadi, diperoleh $ \frac{x}{y} = \frac{ r^3 + r^2 + r}{1 + r} . \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 517 tahun 2015


Nomor 1
Misalkan titik A dan B pada lingkaran $ x^2 + y^2 - 6x - 2y + k = 0 \, $ sehingga garis singgung lingkaran di titik A dan B berpotongan di titik C(8,1). Jika luas segiempat yang melalui A, B, C, dan pusat lingkaran adalah 12, maka $ k = .... $
Cara I :
$\clubsuit \, $ Konsep dasar lingkaran :
*). Persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Pusatnya : $ (a,b)= \left( -\frac{A}{2}, - \frac{B}{2} \right) $
Jari-jarinya : $ r^2 = a^2 + b^2 - C $
$\clubsuit \, $ Persamaan garis singgung lingkaran di titik ($x_1,y_1$)
$ x_1.x + y_1.y + A \frac{(x_1+x)}{2} + B\frac{(y_1+y)}{2} + C = 0 $
$\clubsuit \, $ Jarak titik ($x_1,y_1$) dan ($x_2,y_2$) : Jarak $ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 } $
$\clubsuit \, $ Menentukan unsur-unsur lingkaran :
$ x^2 + y^2 - 6x - 2y + k = 0 \rightarrow A = -6, \, B = -2, \, C = k $
Pusat lingkaran : $ (a,b)= \left( -\frac{-6}{2}, - \frac{-2}{2} \right) = (3,1) $
Jari-jari : $ r^2 = a^2 + b^2 - C \rightarrow r^2 = 3^2 + 1^2 - k \rightarrow r^2 = 10 - k \, $ ....pers(i)
Gambar ilustrasinya :
sbmptn_mat_ipa_kode_517_3_2015
Panjang $ OC = 5 $
$\clubsuit \, $ Menentukan titik A($x_1,y_1$)
*). Segitiga AOC dan segitiga BOC kongruen sehingga luas segiempat AOBC adalah 2 kali segitiga AOC.
$ \begin{align} \text{Luas segiempat } AOBC & = 12 \\ 2 \times \text{Luas } AOC & = 12 \\ \text{Luas } AOC & = 6 \\ \frac{1}{2}.OC.AD & = 6 \\ \frac{1}{2}.5.AD & = 6 \\ AD & = \frac{12}{5} \end{align} $
Sehingga $ y_1 = AD + 1 = \frac{12}{5} + 1 = \frac{17}{5} $
*). Persamaan garis singgung pada titik A($x_1,y_1$) dan melalui titik (8,1). Substitusi titik (8,1)
$ \begin{align} x_1.x + y_1.y -6. \frac{(x_1+x)}{2} -2.\frac{(y_1+y)}{2} + k & = 0 \\ x_1.x + y_1.y -3 (x_1+x) -(y_1+y) + k & = 0 \, \, \, \, \, \text{(substitusi (8,1))} \\ x_1.8 + y_1.1 -3 (x_1+8) -(y_1+1) + k & = 0 \\ 8x_1 + y_1 -3 x_1-24 -y_1 - 1 + k & = 0 \\ 5x_1 - 25 + k & = 0 \\ x_1 & = \frac{25-k}{5} \end{align} $
Sehingga titik A adalah $ A(x_1,y_1) = A\left( \frac{25-k}{5}, \frac{17}{5} \right) $
$\clubsuit \, $ Jari-jari lingkaran adalah OA ($r = |OA|$)
$ \begin{align} |OA| & = \sqrt{(x_1-3)^2 + (y_1-1)^2} \\ |OA| & = \sqrt{(\frac{25-k}{5}-3)^2 + (\frac{17}{5}-1)^2} \\ |OA| & = \sqrt{(\frac{10-k}{5})^2 + (\frac{12}{5})^2} \\ |OA|^2 & = (\frac{10-k}{5})^2 + (\frac{12}{5})^2 \end{align} $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ k \, $ dari pers(i) :
$ \begin{align} |OA| & = r \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ |OA|^2 & = r^2 \\ (\frac{10-k}{5})^2 + (\frac{12}{5})^2 & = 10 - k \\ \frac{k^2 - 20k + 100}{25} + \frac{144}{25} & = 10 - k \, \, \, \, \, \text{(kali 25)} \\ k^2 - 20k + 100 + 144 & = 250 - 25k \\ k^2 + 5k - 6 & = 0 \\ (k-1)(k+6) & = 0 \\ k = 1 \vee k & = -6 \end{align} $
Jadi, nilai $ k = 1 . \heartsuit $

Cara II :
$\clubsuit \, $ Konsep dasar lingkaran :
*). Persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Pusatnya : $ (a,b)= \left( -\frac{A}{2}, - \frac{B}{2} \right) $
Jari-jarinya : $ r^2 = a^2 + b^2 - C $
$\clubsuit \, $ Menentukan unsur-unsur lingkaran :
$ x^2 + y^2 - 6x - 2y + k = 0 \rightarrow A = -6, \, B = -2, \, C = k $
Pusat lingkaran : $ (a,b)= \left( -\frac{-6}{2}, - \frac{-2}{2} \right) = (3,1) $
Jari-jari : $ r^2 = a^2 + b^2 - C \rightarrow r^2 = 3^2 + 1^2 - k \rightarrow k = 10 - r^2 \, $ ....pers(i)
Gambar ilustrasinya :
sbmptn_mat_ipa_kode_517_3_2015
Panjang $ OC = 5 $
$\clubsuit \, $ Teorema Pythagoras pada segitiga AOC
$ \begin{align} OC^2 & = AO^2 + AC^2 \\ 5^2 & = r^2 + AC^2 \\ AC^2 & = 25 - r^2 \\ AC & = \sqrt{25 - r^2} \end{align} $
$\clubsuit \, $ Segitiga AOC dan segitiga BOC kongruen sehingga luas segiempat AOBC adalah 2 kali segitiga AOC.
$ \begin{align} \text{Luas segiempat } AOBC & = 12 \\ 2 \times \text{Luas } AOC & = 12 \\ \text{Luas } AOC & = 6 \\ \frac{1}{2}.OA.AC & = 6 \\ r.\sqrt{25 - r^2} & = 12 \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ r^2.(25 - r^2) & = 144 \\ r^4 - 25r^2 + 144 & = 0 \\ (r^2 - 9)(r^2 -16) & = 0 \\ r^2 = 9 \vee r^2 & = 16 \end{align} $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ k \, $ dari nilai $ r^2 \, $ dan pers(i) :
$ \begin{align} r^2 = 9 \rightarrow k & = 10 - r^2 \\ k & = 10 - 9 = 1 \\ r^2 = 16 \rightarrow k & = 10 - r^2 \\ k & = 10 - 16 = -6 \end{align} $
Jadi, nilai $ k = 1 . \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ \sin \left( x + 15^\circ \right) = a \, $ dengan $ 0^\circ \leq x \leq 15^\circ , \, $ maka nilai $ \sin \left( 2x + 60^\circ \right) \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar trigonometri
$ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
$ \sin 2A = 2 \sin A \cos A $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai trigonometri
$ \sin (x+15^\circ ) = a \rightarrow \sin (x+15^\circ ) = \frac{a}{1} = \frac{de}{mi} $
gambar segitiga untuk sudut $ (x+15^\circ ) $ :
sbmptn_mat_ipa_kode_517_4_2015
sehingga nilai $ \cos (x+15^\circ ) = \frac{sa}{mi} = \frac{\sqrt{1-a^2}}{1} = \sqrt{1-a^2} $
*). Nilai $ \sin 2(x+15^\circ ) $
$\begin{align} \sin 2(x+15^\circ ) & = 2 \sin (x+15^\circ ) . \cos (x+15^\circ ) \\ \sin 2(x+15^\circ ) & = 2 a \sqrt{1-a^2} \end{align}$
gambar segitiga untuk sudut $ 2(x+15^\circ ) $ :
sbmptn_mat_ipa_kode_517_4a_2015
Cara menentukan nilai $ x $
$\begin{align} x^2 & = 1^2 - (2 a \sqrt{1-a^2})^2 \\ x & = \sqrt{1^2 - (2 a \sqrt{1-a^2})^2 } \\ x & = \sqrt{1 - (4 a^2(1-a^2)) } \\ & = \sqrt{1 - (4 a^2 - 4a^4) } \\ & = \sqrt{1 - 4 a^2 + 4a^4 } \\ & = \sqrt{(1-2a^2)^2 } \\ x & = 1-2a^2 \end{align}$
sehingga nilai $ \cos 2(x+15^\circ ) = \frac{samping}{miring} = \frac{1-2a^2}{1} = 1-2a^2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \sin \left( 2x + 60^\circ \right) \, $ dan gunakan $ \sin (A+B) $
$\begin{align} \sin \left( 2x + 60^\circ \right) & = \sin \left( 2x + 30^\circ + 30^\circ \right) \\ & = \sin \left( \underbrace{2(x + 15^\circ )}_{A} + \underbrace{30^\circ }_{B} \right) \\ & = \sin A \cos B + \cos A \sin B \\ & = \sin 2(x + 15^\circ ) \cos 30^\circ + \cos 2(x + 15^\circ ) \sin 30^\circ \\ & = 2 a \sqrt{1-a^2} . \frac{1}{2} \sqrt{3} + (1-2a^2) . \frac{1}{2} \\ & = a \sqrt{1-a^2} \sqrt{3} + \frac{1}{2} - a^2 \\ & = a \sqrt{3(1-a^2)} + \frac{1}{2} - a^2 \\ & = \frac{1}{2} - a^2 + a \sqrt{3(1-a^2)} \end{align}$
Jadi, nilai $ \sin \left( 2x + 60^\circ \right) = \frac{1}{2} - a^2 + a \sqrt{3(1-a^2)} . \, \heartsuit $
Nomor 3
Diketahui $\vec{a} = 2\vec{i} - 2\vec{j} - \vec{k} \, $ dan $ \vec{b} = \vec{i} - 4\vec{j}. \, $ Luas jajaran genjang yang dibentuk oleh $ \vec{a} + \vec{b} \, $ dan $ \vec{a} \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar vektor :
*). Misalkan ada vektor $ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \, $ dan $ \vec{b} = (b_1,b_2,b_3) $
i).Penjumlahan : $ \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3) $
ii).Perkalian dot : $ \vec{a} . \vec{b} = a_1. b_1 + a_2 . b_2 + a_3 . b_3 $
iii).Panjang vektor : $ |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 } $
iv). Sudut dua vektor : $ \cos \theta = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|.|\vec{b}|} $
$\clubsuit \, $ Konsep Luas pada segitiga ABC
Luas segitiga ABC = $ \frac{1}{2} . AB. AC. \sin A $
$\clubsuit \, $ Diketahui vektor-vektor berikut :
$ \vec{a} = 2\vec{i} - 2\vec{j} - \vec{k} \rightarrow \vec{a} = (2, - 2, - 1) $
$ \vec{b} = \vec{i} - 4\vec{j} \rightarrow \vec{b} = (1, -4, 0 ) $
$ \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (3, -6, -1) $
$ \vec{a} . \vec{c} = 2.3 + (-2).(-6) + (-1).(-1) = 6 +12 + 1 = 19 $
$ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-1)^2 } = \sqrt{9} = 3 $
$ |\vec{c}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + (-1)^2 } = \sqrt{46} $
$\clubsuit \, $ Menentukan besarnya sudut $ \vec{a} \, $ dan $ \vec{c} $
$ \cos \theta = \frac{\vec{a}.\vec{c}}{|\vec{a}|.|\vec{c}|} = \frac{19}{3.\sqrt{46}} \rightarrow \cos \theta = \frac{19}{3\sqrt{46}} $
gambar segitganya :
sbmptn_mat_ipa_kode_517_5_2015
Sehingga nilai $ \sin \theta = \frac{\sqrt{53}}{3\sqrt{46}} $
$\clubsuit \, $ Gambar jajargenjang yang dibentuk oleh $ \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} \, $ dan $ \vec{a} $
sbmptn_mat_ipa_kode_517_5a_2015
$\clubsuit \, $ Menentukan luas jajargenjang
$\begin{align} \text{ Luas jajargenjang } & = 2 L_{\Delta ABD} \\ & = 2 . \frac{1}{2} . AB . AD . \sin \theta \\ & = AB. AD . \sin \theta \\ & = 3. \sqrt{46} . \frac{\sqrt{53}}{3\sqrt{46}} \\ & = \sqrt{53} \end{align}$
Jadi, luas jajargenjang adalah $ \sqrt{53} . \, \heartsuit $
Nomor 4
Pencerminan garis $ y = -x + 2 \, $ terhadap garis $ y = 3 \, $ menghasilkan garis ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar pencerminan (refleksi)
Titik ($x,y$) dicerminkan terhadap garis $ y = m , \, $ bayangannya ($x^\prime , y^\prime$) :
$ (x^\prime , y^\prime) = ( x, 2m-y) $
artinya $ x^\prime = x, \, $ dan $ y^\prime = 2m - y $
$\spadesuit \, $ Karena yang ditransformasi (dicerminkan) adalah garis (suatu persamaan), maka cukup kita transformasi titik ($x,y$) saja (ini berlaku umum untuk semua jenis transformasi).
$\spadesuit \, $ Pencerminan terhadap garis $ y = 3 $
$\begin{align} (x^\prime , y^\prime) & = ( x, 2m-y) \\ (x^\prime , y^\prime) & = ( x, 2.3-y) \\ (x^\prime , y^\prime) & = ( x, 6-y) \end{align}$
diperoleh $ x^\prime = x, \, $ dan $ y^\prime = 6-y \rightarrow y = 6 - y^\prime $
$\spadesuit \, $ Menentukan bayangan dengan substitusi $ x = x^\prime \, $ dan $ y = 6 - y^\prime $
Persamaan awal : $ y = -x + 2 $
$\begin{align} \text{bayangan : } 6 - y^\prime & = -x^\prime + 2 \\ y^\prime & = x^\prime + 4 \end{align}$
Jadi, bayangannya adalah $ y = x + 4 . \, \heartsuit $
Nomor 5
Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4, titik P terletak pada segmen AF sehingga PF = 2AP. Titik Q adalah titik potong garis GP dan bidang ABCD. Jika $ \alpha \, $ adalah sudut yang terbentuk antara garis GQ dan garis DA, maka nilai $ \cos \alpha \, $ adalah ....
sbmptn_mat_ipa_kode_517_1_2015
$\clubsuit \, $ Menentukan unsur-unsur kubus dengan panjang rusuk kubus : $ s = 4 $
*). Panjang AF = diagonal sisi = $ s\sqrt{2} = 4\sqrt{2} $
*). PF = 2AP $ \rightarrow \frac{PF}{AP} = \frac{2}{1} $
sehingga $ AP = \frac{1}{3} AF = \frac{1}{3} . 4\sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{3} $
*).Panjang AQ dari segitiga berikut,
sbmptn_mat_ipa_kode_517_1a_2015
Segitiga APQ sebangun dengan segitiga GDQ :
$\begin{align} \frac{AQ}{DQ} & = \frac{AP}{DG} \\ \frac{x}{x + 4} & = \frac{\frac{1}{3}4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} \\ \frac{x}{x + 4} & = \frac{1}{3} \\ 3x & = x + 4 \\ x & = 2 \\ GQ & = \sqrt{DQ^2 + GD^2 } \\ GQ & = \sqrt{6^2 + (4\sqrt{2})^2 } \\ GQ & = \sqrt{36 + 32 } \\ GQ & = \sqrt{68 } = 2\sqrt{17} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ \cos \alpha \, $ dari segitiga GDQ
$\begin{align} \cos \alpha = \frac{samping}{miring} = \frac{6}{2\sqrt{17}} = \frac{3}{\sqrt{17}} \end{align}$
Jadi, nilai $ \cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{17}} . \, \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15