Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 634 tahun 2012 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Vektor $\vec{x} $ dicerminkan terhadap garis $y=0 $ . Kemudian hasilnya diputar terhadap titik asal O sebesar $\theta $ > 0 searah jarum jam, menghasilkan vektor $\vec{y} $ . Jika $\vec{y} = A\vec{x} $ , maka matriks $A = ...$
$\clubsuit \, $ Menentukan matriks transformasinya :
* Pertama, dicerminkan terhadap garis $y=0 $ (sumbu X )
T$_1=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
** Kedua, dirotasi dengan pusat (0,0) sebesar $\theta $ searah jarum jam ($\theta $ negatif )
T$_2=\left( \begin{matrix} \cos (-\theta ) & -\sin (-\theta ) \\ \sin (-\theta ) & \cos (-\theta ) \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) $
Ingat : $\cos (-x) = \cos x $ dan $\sin (-x) = -\sin x $
$\clubsuit \, $ Matriks gabungannya (MT) :
MT = T$_2$ . T$_1$ = $ \left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
$\vec{y} = A\vec{x} $ artinya A adalah matriks gabungannya, sehingga A = MT
Jadi, nilai $A = \left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \heartsuit $
Nomor 12
Himpunan $A $ memenuhi hubungan $\{1\} \subset A \subset \{1,2,3,4,5,6\} $ . Jika 6 adalah anggota $A $ , maka banyak himpunan $A $ yang mungkin adalah ...
$\spadesuit \, $ Karena 1 adalah himpunan bagian dari A ($\{1\} \subset A$ ), maka A harus memuat angka 1
Dari soal, A juga sudah memuat angka 6, artinya A sudah memuat 2 anggota yaitu 1 dan 6. Sehingga angka yang bisa dipilih tinggal angka-angka 2,3,4, dan 5.
$\spadesuit \, $ Banyakknya himpunan A berdasarkan banyak anggotanya :
* 2 anggota ada 1 himpunan
* 3 anggota ada $C_1^4 = 4 $ himpunan, maksudnya A telah memuat 1 dan 6 sehingga satu anggota lagi dipilih dari angka-angka 2,3,4,5 yaitu menggunakan kombinasi 1 dari 4.
* 4 anggota ada $C_2^4 = 6 $ himpunan
* 5 anggota ada $C_3^4 = 4 $ himpunan
* 6 anggota ada $C_4^4 = 1 $ himpunan
total himpunan = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 himpunan.
Jadi, banyak himpunan A yang mungkin ada 16 himpunan. $ \heartsuit $
Nomor 13
Diketahui suku banyak $p(x) = x^2+bx+c $ . Jika $b $ dan $c $ dipilih secara acak dari selang [0,2], maka peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah ...
$\spadesuit \, $ Karena $b$ dan $c$ dipilih pada selang [0,2] artinya nilai $0 \leq b \leq 2$ dan $0 \leq c \leq 2 $ , yang mana ada tak hingga banyaknya angka, maka nilai $n(A) $ dan $n(S) $ diwakili oleh luasan.
snmptn_mat_ipa_k634_8_2012.png
$n(S) = \text{Luas Persegi} = 2\times 2 = 4 $
$\spadesuit \, $ Agar $p(x) = x^2+bx+c \, \, $ tidak punya akar, maka nilai $ D < 0 $
$\begin{align} D < 0 \rightarrow b^2 - 4ac & < 0 \\ b^2 - 4.1.c & < 0 \\ b^2 - 4c & < 0 \end{align}$
Artinya nilai $b$ dan $c$ pada selang [0,2] harus memenuhi $ b^2 - 4c < 0 $
$\spadesuit \, $ gambar $ b^2 - 4c = 0 \rightarrow c = \frac{b^2}{4} $
snmptn_mat_ipa_k634_9_2012.png
$\spadesuit \, $ Cek titik (b,c) = (0,1) ke $ b^2 - 4c < 0 $
$\begin{align} b^2 - 4c & < 0 \\ 0^2-4\times 1 & < 0 \\ -4 & < 0 \, \, \, \text{(benar)} \end{align}$
Artinya daerah yang memenuhi $ b^2 - 4c < 0 \, \, $ ada di dalam parabola seperti pada gambar di atas dan ada dalam selang [0,2] .
$\spadesuit \, $ Daerah yang diarsir (M dan N ) merupakan nilai $b$ dan $c$ agar $P(x)$ tidak punya akar.
Luas M = 2 . 1 = 2
Luas N = $\frac{2}{3}. \text{Luas persegi panjang} = \frac{2}{3} . 2 . 1 = \frac{4}{3} $
sehingga : $n(A) = $ Luas M + Luas N = 2 + $ \frac{4}{3} = \frac{10}{3}$
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{\frac{10}{3}}{4}= \frac{5}{6} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{5}{6} . \heartsuit $
Nomor 14
Nilai $\sqrt{3} \sin x - \cos x < 0 $ , jika ...
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal :
$\begin{align*} \sqrt{3} \sin x - \cos x & < 0 \\ \sqrt{3} \sin x < \cos x \\ \frac{\sin x }{\cos x } & < \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \tan x & < \frac{1}{3} \sqrt{3} \\ \tan x & = \tan \frac{\pi}{6} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : $\tan x = \tan \theta \rightarrow x = \theta + k.\pi$
$\begin{align*} x & = \frac{\pi}{6} + k\pi \\ k=0 \rightarrow x & = \frac{\pi}{6} + 0.\pi = \frac{\pi}{6} \\ k=1 \rightarrow x & = \frac{\pi}{6} + 1.\pi = \frac{7\pi}{6} \\ k=2 \rightarrow x & = \frac{\pi}{6} + 2.\pi = \frac{13\pi}{6} \end{align*}$
snmptn_mat_ipa_k634_10_2012.png
Bentuk ketaksamaannya $< $ , sehingga yang diarsir yang bertanda negatif.
Dari opsi, yang memenuhi selang bertanda negatif di atas adalah $\frac{7\pi}{6} < x < \frac{11\pi}{7} \, $ .
Jadi, solusinya adalah HP = $ \frac{7\pi}{6} < x < \frac{11\pi}{7} . \heartsuit $

Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align*} \text{Pilih} \, x=\pi \Rightarrow \sqrt{3} \sin x - \cos x & < 0 \\ \sqrt{3} \sin \pi - \cos \pi & < 0 \\ \sqrt{3} . 0 - (-1) & < 0 \\ 1 & < 0 \, \, \text{(salah)} \end{align*}$
yang ada $x=\pi$ salah, opsi yang salah adalah B, C, D, dan E.
Jadi, opsi yang benar adalah A yaitu HP = $ \frac{7\pi}{6} < x < \frac{11\pi}{7} . \heartsuit $
Nomor 15
Diketahui $|\vec{u}|=1 $ dan $|\vec{v}|=2 $ . Jika $\vec{u} $ dan $\vec{v} $ membentuk sudut 30$^o $ , maka ($\vec{u}+\vec{v} ) . \vec{v} = ...$
$\clubsuit \, $ Rumus dasar : $\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}|\times |\vec{v}| \cos \theta \, \, \, $ dan $\, \, \, \vec{v} . \vec{v} = |\vec{v}|^2 $
$\begin{align*} (\vec{u}+\vec{v} ) . \vec{v} & = \vec{u} . \vec{v} + \vec{v} . \vec{v} \\ & = |\vec{u}|\times |\vec{v}| \cos \theta + |\vec{v}|^2 \\ & = 1 \times 2 \times \cos 30^o + (2)^2 \\ & = 2 \times \frac{1}{2} \sqrt{3} + 4 \\ & = \sqrt{3} + 4 \end{align*}$
Jadi, nilai $ (\vec{u}+\vec{v} ) . \vec{v} = \sqrt{3} + 4 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 634 tahun 2012 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Diketahui kubus ABCD.EFGH . Jika $\alpha $ adalah sudut antara bidang ACF dan alas ABCD, maka $\tan \alpha = ...$
$\spadesuit \, $ Gambar : misalkan panjangnya 2
snmptn_mat_ipa_k634_3_2012.png snmptn_mat_ipa_k634_4_2012.png
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $\tan \alpha $
$\angle$ (ACF,ABCD) = $\angle$ (FP,PB)
$\tan \alpha = \frac{FB}{BP} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} $
Jadi, nilai $\tan \alpha = \sqrt{2} . \heartsuit $
Nomor 7
Lingkaran $(x-4)^2 + (y-2)^2 = 64 $ menyinggung garis $x=-4 $ di titik ...
$\clubsuit \, $ Substitusi $x=-4 $ ke persamaan
$\begin{align} (x-4)^2 + (y-2)^2 & = 64 \\ (-4-4)^2 + (y-2)^2 & = 64 \\ (-8)^2 + (y-2)^2 & = 64 \\ 64 + (y-2)^2 & = 64 \\ (y-2)^2 & = 0 \\ y-2 & = 0 \\ y & = 2 \end{align}$
Jadi, bersinggungan di titik (-4,2) . $ \heartsuit$
Nomor 8
Jika suku banyak $2x^3-x^2+6x-1 $ dibagi $2x-1 $ , maka sisanya adalah ...
$\spadesuit \, $ Menentukan sisa dengan cara Horner
$2x^3-x^2+6x-1 : 2x-1 $
$\begin{array}{c|ccccc} \frac{1}{2} & 2 & -1 & 6 & -1 & \\ & & 1 & 0 & 3 & + \\ \hline & 2 & 0 & 6 & 2 & \end{array} $
Jadi, sisanya adalah 2 . $ \heartsuit$

Cara II
$\spadesuit \, $ Bagi biasa
snmptn_mat_ipa_k634_5_2012.png
Jadi, sisanya adalah 2 . $ \heartsuit$

Cara III
$\spadesuit \, $ Teorema sisa
$\frac{f(x)}{ax-b} \rightarrow \text{Sisa} \, = f\left( \frac{b}{a} \right) $
$f(x) = 2x^3-x^2+6x-1 : 2x-1 $
$\begin{align*} \text{Sisa} \, & = f\left( \frac{1}{2} \right) \\ & = 2.\left( \frac{1}{2} \right)^3-\left( \frac{1}{2} \right)^2+6.\left( \frac{1}{2} \right)-1 \\ & = \frac{1}{4}-\frac{1}{4}+3-1 \\ & = 2 \end{align*}$
Jadi, sisanya adalah 2 . $ \heartsuit$
Nomor 9
Grafik fungsi $f(x)=ax^3+bx^2-cx+20 $ turun, jika ...
$\clubsuit \, $ Syarat fungsi turun : $f^\prime (x) < 0 $
$f(x)=ax^3+bx^2-cx+20 \rightarrow f^\prime (x) = 3ax^2+2bx-c $
$f^\prime (x) < 0 \rightarrow 3ax^2+2bx-c < 0 $
ini definit negatif, syarat : $a < 0 , \, D < 0 $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan syarat definit negatif
$(*) \, a < 0 \rightarrow 3a < 0 \rightarrow a < 0 $
$\begin{align*} (**) \, D < 0 \rightarrow b^2-4ac & < 0 \\ (2b)^2-4.(3a).(-c) & < 0 \\ 4b^2 + 12ac & < 0 \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ b^2 + 3ac & < 0 \end{align*}$
Jadi, $f(x) $ turun jika $ a < 0 $ dan $ b^2 + 3ac < 0 . \heartsuit $
Nomor 10
Diketahui segitiga dengan titik sudut (-4,0), (4,0), dan ($4\cos \theta , \, 4\sin \theta$ ) untuk $0 \leq \theta \leq 2\pi $ . Banyak nilai $\theta $ yang mungkin agar luas segitiga tersebut 13 adalah ....
$\spadesuit \, $ Titik ($x,y$) = ($4\cos \theta , \, 4\sin \theta$ ) terletak pada suatu lingkaran
$\begin{align*} x^2+y^2 & = (4\cos \theta)^2+(4\sin \theta)^2 \\ & = 16 \cos ^2 \theta + 16 \sin ^2 \theta \\ & = 16 (\cos ^2 \theta + 16 \sin ^2 \theta) \\ & = 16 \times 1 \\ x^2+y^2 & = 16 \end{align*}$
Pusat lingkaran (0,0) dan jari-jari $r=4$
snmptn_mat_ipa_k634_6_2012.png
$\spadesuit \, $ Menghitung tinggi segitiga
L$\Delta ABC = \frac{1}{2} $ .AB. $t \rightarrow 13 = \frac{1}{2}.8.t \rightarrow t=3\frac{1}{4}$
Ada 4 kemungkinan yang tingginya $t= 3\frac{1}{4}$ yang ada di kuadran I, II, III, IV
snmptn_mat_ipa_k634_7_2012.png
Jadi, banyak nilai $\theta $ ada 4. $\heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 634 tahun 2012


Nomor 1
$\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1-\cos ^2 x}{x^2 \tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right)} = ... $
$\clubsuit \, $ Rumus dasar
$\sin ^2x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow 1-\cos ^2x = \sin ^2x$
$\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b} $
$\clubsuit \, $ Menentukan limitnya
$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1-\cos ^2 x}{x^2 \tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right)} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ^2x}{x^2 \tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin x}{x} . \frac{\sin x}{x} . \frac{1}{ \tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right) } \\ & = \frac{1}{1} . \frac{1}{1} . \frac{1}{ \tan \left( 0 +\frac{\pi }{3} \right) } = \frac{1}{ \tan 60^o } \\ & = \frac{1}{ \sqrt{3} } = \frac{1}{3}\sqrt{3} \end{align*}$
Jadi, nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1-\cos ^2 x}{x^2 \tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right)} = \frac{1}{3}\sqrt{3} .\heartsuit $
Nomor 2
Di dalam kotak terdapat 1 bola biru, 6 bola merah, dan 2 bola putih. Jika diambil 7 bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil dua kali banyak bola putih yang terambil adalah ...
$\spadesuit \, $ Ada bola : 1B6M2P . Akan diambil 7 bola
$ n(S) = C_7^9 = 36 $
$\spadesuit \, $ Harapannya : M = 2 $\times$ P (merah dua kali putih), dibagi dua kasus
Kasus 1 :
putih 1, maka merah 2 dan biru harus 4 (umlahnya harus 7 bola), ini tidak mungkin karena bola biru hanya ada 1.
Kasus 2 :
putih 2, merah 4 dan biru 1 (memenuhi)
$n(A) = $ 2P4M1B = $ C_2^2.C_4^6.C_1^1 = 15 $
Sehingga peluangnya : $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12} $
Jadi, peluangnya adalah $\frac{5}{12} . \, \heartsuit $
Nomor 3
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^2 $ , $ y=1 $ , dan $ x=2 $ adalah ...
$\clubsuit \, $ Gambarnya
snmptn_mat_ipa_k634_1_2012.png
$\clubsuit \, $ Menentukan luas arsiran
$L_\text{arsiran} = \int \limits_1^2 (y_1 - y_2) dx = \int \limits_1^2 (x^2 - 1) dx $
Jadi, luasnya adalah $\int \limits_1^2 (x^2 - 1) dx . \heartsuit $
Nomor 4
$\frac{(\cos x + \sin x )^2}{(\cos x - \sin x )^2} = ...$
$\spadesuit \, $ Rumus dasar :
$\sin ^2x + \cos ^2 x = 1 $
$\sin 2x = 2\sin x \cos x $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal
$\begin{align} \frac{(\cos x + \sin x )^2}{(\cos x - \sin x )^2} & = \frac{\sin ^2x + \cos ^2 x + 2\sin x \cos x }{\sin ^2x + \cos ^2 x - 2\sin x \cos x} \\ & = \frac{1 + 2\sin x \cos x }{1 - 2\sin x \cos x} \\ & = \frac{1 + \sin 2x }{1 - \sin 2x } \end{align}$
Jadi, $\frac{(\cos x + \sin x )^2}{(\cos x - \sin x )^2} = \frac{1 + \sin 2x }{1 - \sin 2x } . \heartsuit $
Nomor 5
Lingkaran $(x-3)^2+(y-4)^2=25 $ memotong sumbu X di titik $A$ dan $B$ . Jika $P$ adalah titik pusat lingkaran tersebut, maka $\cos \angle APB = ... $
$\clubsuit \, $ Unsur-unsur lingkaran :
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 $ , pusat ($a,b$) dan jari-jari $r$
$(x-3)^2+(y-4)^2=25 $ , pusat ($3,4$) dan jari-jari $r=\sqrt{25} = 5$
$\clubsuit \, $ gambarnya
snmptn_mat_ipa_k634_2_2012.png
$\clubsuit \, $ Aturan cosinus pada $\Delta ABC $
$\begin{align} AB^2 & = AP^2+ BP^2 - 2.AP.BP \cos APB \\ \cos APB & = \frac{AP^2 + BP^2 - AB^2}{2.AP.BP} \\ & = \frac{5^2 + 5^2 - 6^2}{2.5.5} = \frac{25 + 25 - 36}{50} = \frac{14}{50} = \frac{7}{25} \end{align}$
Jadi, nilai $\cos APB = \frac{7}{25} . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15