Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2013 Kode 262 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Diketahui polinomial $ f(x) \, $ habis dibagi $ x - 1. \, $ Jika $ f^\prime (x) \, $ dibagi $ x - 1 \, $ bersisa $ a^2 \, $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{f(x)}{x-1} = 2a-1 \, $ maka $ a = .... $
$\spadesuit \, $ Teorema sisa : $\frac{f(x)}{x-a} \Rightarrow \text{sisa} = f(a)$
artinya : substitusi $x=a\, $ ke $f(x)$ dengan hasil sama dengan sisanya
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai fungsi
$ f(x) : (x-1), \, $ habis dibagi, sisa = 0 , artinya $ f(1) = 0 $
$ f^\prime (x) : (x-1), \, $ sisa = $ a^2 $ , artinya $ f^\prime (1) = a^2 $
$\spadesuit \, $ Penerapan turunan pada limit (L'Hospital)
$ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} , \, $ solusinya $ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
diturunkan terus sampai hasil limitnya tidak $ \frac{0}{0} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dengan $ f(1) = 0 \, $ dan $ f^\prime (1) = a^2 $
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{f(x)}{x-1} & = \frac{f(1)}{1-1} = \frac{0}{0} \\ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{f(x)}{x-1} & = 2a-1 \, \, \, \, \text{(limitnya diturunkan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 1 } \frac{f^\prime (x)}{1} & = 2a-1 \\ \frac{f^\prime (1)}{1} & = 2a-1 \\ f^\prime (1) & = 2a-1 \\ a^2 & = 2a-1 \\ a^2 - 2a + 1 & = 0 \\ (a-1)^2 & = 0 \\ a & = 1 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 1 . \heartsuit $
Nomor 12
Jika sudut lancip $ x \, $ memenuhi
$ 1 = {}^2 \log 16 + {}^2 \log (\sin x) + {}^2 \log (\cos x) + {}^2 \log (\cos 2x) \, $
maka $ x = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
Persamaan logaritma : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \Leftrightarrow f(x) = g(x) $
Sifat logaritma : $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
Trigonometri : $ \sin px . \cos px = \frac{1}{2}. \sin 2px $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soal
$\begin{align} {}^2 \log 16 + {}^2 \log (\sin x) + {}^2 \log (\cos x) & + {}^2 \log (\cos 2x) = 1 \\ {}^2 \log (16.\sin x .\cos x .\cos 2x) & = {}^2 \log 2 \\ 16.\sin x .\cos x .\cos 2x) & = 2 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 8.(\sin x .\cos x) .\cos 2x) & = 1 \\ 8.(\frac{1}{2}.\sin 2 x ) .\cos 2x) & = 1 \\ 4(\sin 2 x .\cos 2x) & = 1 \\ 4(\frac{1}{2}.\sin 4 x ) & = 1 \\ 2\sin 4 x & = 1 \\ \sin 4 x & = \frac{1}{2} \\ \sin 4 x & = \sin 30^\circ \\ \sin 4 x & = \sin \frac{\pi}{6} \\ 4 x & = \frac{\pi}{6} \\ x & = \frac{\pi}{24} \end{align}$
Jadi, nilai $ x = \frac{\pi}{24} . \heartsuit $
Nomor 13
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos ^3 x}{x\tan x } = ..... $
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
*). Trigonometri :
$ \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x \, $ dan $ \cos x = 1 - 2 \sin ^2 \frac{1}{2} x $
Penjabaran bentuk :
$ 1 - \cos ^3 x = 1 - \cos x (\cos ^2 x) = 1 - \cos x (1-\sin ^2 x) $
$ = (1-\cos x) + \cos x \sin ^2 x $
*). Limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax }{bx} = \frac{a}{b} \, $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan limitnya
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos ^3 x}{x\tan x } & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(1-\cos x) + \cos x \sin ^2 x}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x\tan x } + \frac{\cos x \sin ^2 x}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-(1-2\sin ^2 \frac{1}{2} x )}{x\tan x } + \frac{\cos x \sin ^2 x}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2\sin ^2 \frac{1}{2} x }{x\tan x } + \frac{\cos x \sin ^2 x}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2\sin \frac{1}{2} x . \sin \frac{1}{2} x }{x\tan x } + \frac{\cos x . \sin x .\sin x}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2\sin \frac{1}{2} x }{x} . \frac{\sin \frac{1}{2} x }{\tan x } + \cos x . \frac{\sin x }{x} \frac{\sin x}{\tan x } \\ & = \frac{2. \frac{1}{2}}{1} . \frac{\frac{1}{2}}{1} + \cos 0 . \frac{1}{1} . \frac{1}{1} \\ & = \frac{1}{2} + 1 \\ & = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, nilai limitnya adalah $ \frac{3}{2}. \heartsuit $

Cara II :
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
*). Trigonometri pada limit : $ 1 - \cos ^3 px = \frac{3}{2}(px)^2 $
Sehingga : $ 1 - cos ^3 x = \frac{3}{2} (1x)^2 = \frac{3}{2}x^2 $
*). Limit trigonometri : $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ ax }{\tan bx} = \frac{a}{b} $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan limitnya
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos ^3 x}{x\tan x } & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2}x^2}{x\tan x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2}x}{\tan x } \\ & = \frac{\frac{3}{2}}{1} = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, nilai limitnya adalah $ \frac{3}{2}. \heartsuit $
Nomor 14
Jika kurva $ f(x) = ax^3 + bx^2 + 1 \, $ mempunyai titik ekstrem (1, -5), maka kurva tersebut naik pada ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar
*). Titik ekstrim (titik balik) :
Titik ekstrim (titik balik) suatu fungsi $ f(x) \, $ diperoleh dari turunan pertama sama dengan nol. Misalkan titik ekstrimnya $(m,n) \, $ artinya nilai $ x = m \, $ diperoleh pada saat $ f^\prime (x) = 0 \, $ atau $ f^\prime (m) = 0 $
*). Fungsi $ f(x) \, $ naik syaratnya : $ f^\prime (x) > 0 $
$\spadesuit \, $ Fungsi $ f(x) = ax^3 + bx^2 + 1 \, $ mempunyai titik ekstrim (1,-5) , artinya $ f^\prime (1) = 0 \, $ dan $ f(1) = -5 $
$ f(x) = ax^3 + bx^2 + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 3ax^2 + 2bx $
Substitusi bentuk $ f^\prime (1) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (1) & = 0 \rightarrow f^\prime (x) = 3ax^2 + 2bx \\ 3a.1^2 + 2b.1 & = 0 \\ 3a + 2b & = 0 \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi titik ekstrimnya ke fungsi
$\begin{align} f(1) & = -5 \rightarrow f(x) = ax^3 + bx^2 + 1 \\ a.1^3 + b.1^2 + 1 & = -5 \\ a+ b & = -6 \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} 3a + 2b = 0 & \times 1 & 3a + 2b = 0 & \\ a + b = -6 & \times 2 & 2a + 2b = -12 & - \\ \hline & & a = 12 & \end{array} $
pers(ii) : $ a + b = -6 \rightarrow 12 + b = -6 \rightarrow b = -18 $
Sehingga fungsinya :
$ f(x) = ax^3 + bx^2 + 1 \rightarrow f(x) = 12x^3 - 18x^2 + 1 $
Turunannya : $ f^\prime (x) = 36x^2 - 36x $
$\spadesuit \, $ Menentukan syarat fungsi $ f(x) \, $ naik
$\begin{align} f^\prime (x) & > 0 \\ 36x^2 - 36x & > 0 \\ 36x(x-1) & > 0 \\ x = 0 \vee x & = 1 \end{align}$
um_ugm_9_mat_ipa-2013.png
Jadi, $ f(x) \, $ naik pada interval $ \{ x < 0 \vee x > 1 \} . \heartsuit $
Nomor 15
Dari 15 anak yang terdiri atas laki-laki dan perempuan akan diambil 2 anak secara bersamaan. Jika banyak kemungkinan terambil laki-laki dan perempuan adalah 26, maka selisih jumlah laki-laki dan perempuan adalah ....
$\clubsuit \, $ Ada 15 anak laki-laki dan perempuan, akan diambil 2 anak bersamaan. Banyaknya kemungkinan terambil laki-laki dan perempuan adalah 26, sehingga :
$\begin{align} C_1^p . C_1^l & = 26 \\ p.l & = 26 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
Dimana banyaknya laki-laki ($l$) dan perempuan ($p$) adalah bilangan bulat. Banyaknya laki-laki dan perempuan yang memenuhi persamaan (i) dan jumlahnya 15 adalah $ p = 2 \, $ dan $ l = 13 \, $
Sehingga selisihnya : selisih = 13 - 2 = 11
Jadi, selisih jumlah laki-laki dan perempuan adalah 11. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2013 Kode 262 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Suku banyak $ P(x) \, $ dibagi $ x^2 - x- 2 \, $ mempunyai hasil bagi $ Q(x) \, $ dan sisa $ x + 2. \, $ Jika $ Q(x) \, $ dibagi $ x+2 \, $ mempunyai sisa 3, maka sisa $ P(x) \, $ dibagi $ x^2+3x+2 \, $ adalah ....
(A). $ -11x-10 $
(B). $ -10x - 11 $
(C). $ 11x - 10 $
(D). $ 10x+11 $
(E). $ 11x + 10 $
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar suku banyak (polinomial)
*). Teorema sisa : $\frac{f(x)}{x-a} \Rightarrow \text{sisa} = f(a)$
artinya : substitusi $x=a\, $ ke $f(x)$ dengan hasil sama dengan sisanya
*). $ P(x) \, $ dibagi $ K(x) \, $ hasilnya $ Q(x) \, $ dan sisanya $ S(x) $
Berlaku : $ P(x) = K(x). Q(x) + S(x) $
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan
$ Q(x) : (x+2), \, $ sisa = 3 , artinya $ Q(-2) = 3 \, $ ...pers(i)
*). $ P(x) \, $ dibagi $ x^2 - x - 2 \, $ sisanya $ x+2 \, $ dan hasil baginya $ Q(x) $
Berlaku : $ P(x) = (x^2 - x - 2).Q(x) + (x+2) \, \, $ atau
difaktorkan : $ P(x) = (x+1)(x-2).Q(x) + (x+2) \, $ ...pers(ii)
$\spadesuit \, $ Substitusi nilai $ x = -1 \, $ dan $ x = -2 $ ke pers(ii)
Persamaan (i) : $ P(x) = (x+1)(x-2).Q(x) + (x+2) $
$ \begin{align} x = -1 \rightarrow P(-1) & = (-1+1)(-1-2).Q(-1) + (-1+2) \\ P(-1) & = 0.Q(-1) + 1 \\ P(-1) & = 1 \\ x = -2 \rightarrow P(-2) & = (-2+1)(-2-2).Q(-2) + (-2+2) \\ P(-2) & = (-1).(-4).3 + 0 \\ P(-2) & = 12 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menentukan sisa pembagian
$ P(x) \, $ dibagi $ x^2+3x+2 = (x+1)(x+2) \, $ , misalkan sisanya $ ax+b \, $ dan hasilnya $ K(x) $
berlaku : $ P(x) = (x+1)(x+2).K(x) + (ax+b) \, $ ...pers(iii)
Substitusi nilai $ x = -1 \, $ dan $ x = -2 \, $ ke pers(iii) dan gunakan $ P(-1) = 1 \, $ dan $ P(-2) = 12 $
$\begin{align} x = -1 \rightarrow P(-1) & = (-1+1)(-1+2).K(-1) + (a(-1) + b ) \\ 1 & = -a + b \, \, \, \, \text{....pers(1) } \\ x = -2 \rightarrow P(-1) & = (-2+1)(-2+2).K(-2) + (a(-2) + b ) \\ 12 & = -2a + b \, \, \, \, \text{....pers(2) } \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(1) dan pers(2)
$ \begin{array}{cc} -a + b = 1 & \\ -2a + b = 12 & - \\ \hline a = -11 & \end{array} $
pers(1) : $ -a + b = 1 \rightarrow -(-11) + b = 1 \rightarrow b = -10 $
Sehingga sisa pembagiannya : $ ax + b = -11x - 10 $
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ -11x - 10 . \heartsuit $
Nomor 7
Jumlah $ n \, $ suku pertama suatu deret aritmetika dinotasikan dengan $ S_n . \, $ Jika suku pertama deret tersebut tak nol dan $ S_4, \, S_8 \, $ dan $ S_{16} \, $ membentuk barisan geometri, maka $ \frac{S_8}{S_4} = ..... $
$\clubsuit \, $ Barisan Aritmetika : $ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
$ S_4, \, S_8, \, S_{16} \, $ adalah barisan geometri
rasionya sama , diperoleh :
$\begin{align} \frac{S_8}{S_4} & = \frac{S_{16}}{S_8} \\ (S_8)^2 & = S_4. S_{16} \\ \left[ \frac{8}{2}(2a + (8-1)b) \right]^2 & = \left[ \frac{4}{2}(2a + (4-1)b) \right] . \left[ \frac{16}{2}(2a + (16-1)b) \right] \\ \left[ 4(2a + 7b) \right]^2 & = \left[ 2(2a + 3b) \right] . \left[ 8(2a + 15b) \right] \\ 16(4a^2 + 28ab + 49b) & = 16(4a^2 + 36ab + 45b^2) \\ 4b^2 -8ab & = 0 \\ 4b(b-2a) & = 0 \\ b = 0 \vee b & = 2a \end{align}$
Yang memenuhi adalah $ b = 2a $
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} \frac{S_8}{S_4} & = \frac{\frac{8}{2}(2a + (8-1)b)}{\frac{4}{2}(2a + (4-1)b)} \\ & = \frac{4(2a + 7b)}{2(2a + 3b)} \\ & = \frac{2(2a + 7.(2a))}{(2a + 3.(2a))} \\ & = \frac{2(16a)}{(8a)} \\ & = 4 \end{align}$
Jadi, nilai $ \frac{S_8}{S_4} = 4 . \heartsuit $
Nomor 8
Garis $ g \, $ merupakan garis singgung kurva $ y = 2x^2 - x - 1 \, $ dengan gradien $ m. \, $ Jika garis $ g \, $ membentuk sudut $ 45^\circ \, $ terhadap garis $ 2x-y+4=0, \, $ dan $ 0 < m < 2, \, $ maka persamaan $ g \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Gambar
um_ugm_8_mat_ipa-2013.png
Misalkan, garik k : $ 2x - y + 4 = 0 , \, $ gradiennya $ m_k = \frac{-x}{y} = \frac{-2}{-1} = 2 $
$\spadesuit \, $ Konsep Gradien melibatkan sudut :
Gradien garis g : $ m_g = \tan \theta $
Gradien garis k : $ m_k = \tan (45^\circ + \theta ) $
Rumus Trigonometri : $ \tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1-\tan A . \tan B} $
$\spadesuit \, $ Menentukan gradien garis g
$\begin{align} m_k & = \tan (45^\circ + \theta ) \\ 2 & = \frac{\tan 45^\circ + \tan \theta}{1-\tan 45^\circ . \tan \theta} \\ 2 & = \frac{1 + \tan \theta}{1-1 . \tan \theta} \\ 2 & = \frac{1 + \tan \theta}{1- \tan \theta} \\ 2 - 2\tan \theta & = 1 + \tan \theta \\ 3\tan \theta & = 1 \\ \tan \theta & = \frac{1}{3} \end{align}$
artinya gradien garis g : $ m_g = \tan \theta = \frac{1}{3} $
$\spadesuit \, $ Garis g menyinggung kurva $ y = 2x^2 - x - 1 $
gradien = turunan kurvanya , $ \, y^\prime = 4x - 1 $
$ m_g = y^\prime \rightarrow \frac{1}{3} = 4x-1 \rightarrow x = \frac{1}{3} $
Menentukan titik singgung dengan substitusi $ x = \frac{1}{3} \, $ ke kurva
$ x = \frac{1}{3} \rightarrow y = 2(\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} - 1 = -\frac{10}{9} $
Diperoleh titik singgungnya : $ (x_1,y_1)=(\frac{1}{3},-\frac{10}{9}) \, $ dengan $ m = \frac{1}{3} $
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan garis g
$\begin{align} y-y_1 & = m (x-x_1) \\ y-(-\frac{10}{9}) & = \frac{1}{3}(x-\frac{1}{3}) \\ y+\frac{10}{9} & = \frac{1}{3}x-\frac{1}{9} \, \, \, \, \text{(kali 9)} \\ 9y + 10 & = 3x - 1 \\ -3x + 9y + 11 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan garis g adalah $ -3x + 9y + 11 = 0 . \heartsuit $
Catatan : Sebenarnya nilai gardien garis g ada dua kemungkinan yaitu $ \frac{1}{3} \, $ atau $ -\frac{1}{3} \, $ , artinya garis g ada dua kemungkinan yaitu naik (gradien positif) atau turun (gradien negatif). Hanya saja syaratnya $ 0 < m < 2 \, $ yang artinya gradien $ \frac{1}{3} \, $ yang memenuhi.
Nomor 9
Nilai $ x \, $ yang memenuhi pertaksamaan $ \sqrt{(625)^{x-2}} > (\sqrt{(125)^x})(\sqrt[3]{(25)^{6x}}) \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Eksponen (perpangkatan)
*). Sifat : $ \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} \, $ ; $ (a^m)^n = a^{m.n} \, $ dan $ a^m.a^n = a^{m+n} $
*). Pertidaksamaan : $ a^{f(x)} > a^{g(x)} \Rightarrow f(x) > g(x) , \, $ dengan $ a > 1 $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan pertidaksamaan
$\begin{align} \sqrt{(625)^{x-2}} & > (\sqrt{(125)^x})(\sqrt[3]{(25)^{6x}}) \\ (5^4)^\frac{x-2}{2} & > ((5^3)^\frac{x}{2})((5^2)^\frac{6x}{3}) \\ (5)^{2(x-2)} & > (5)^\frac{3x}{2}.(5)^{4x} \\ 5^{2x-4} & > (5)^{\frac{3x}{2} + 4x } \\ 2x-4 & > \frac{3x}{2} + 4x \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 4x- 8 & > 3x + 8x \\ -7x & > 8 \, \, \, \, \text{(bagi -7, tanda dibalik)} \\ x & < - \frac{8}{7} \end{align}$
Jadi, solusinya adalah $ \{ x < -\frac{8}{7} \} . \heartsuit $
Nomor 10
Himpunan semua $ x \, $ yang memenuhi $ |x-2| - 1 \geq x \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar nilai mutlak
$|f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{ untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{ untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $
Sehingga bentuk $ |x-2| \, $ bisa dijabarkan menjadi :
$|x-2| = \left\{ \begin{array}{cc} x-2 & , \text{ untuk } x - 2 \geq 0 \leftrightarrow x \geq 2 \\ -(x-2) & , \text{ untuk } x-2 < 0 \leftrightarrow x < 2 \end{array} \right. $
Artinya bentuk $ |x-2| \, $ dijabarkan berdasarkan batas nilai $ x $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soal berdasarkan batas $ x $
*). untuk $ x \geq 2 , \, $ bentuk $ |x-2| = x-2 $
$\begin{align} |x-2| - 1 & \geq x \\ (x-2) - 1 & \geq x \\ -3 & \geq 0 \, \, \, \, \text{(salah)} \end{align}$
untuk kasus $ x \geq 2 , \, $ tidak ada nilai $ x \, $ yang memenuhi.
*). untuk $ x < 2 , \, $ bentuk $ |x-2| = -(x-2) $
$\begin{align} |x-2| - 1 & \geq x \\ -(x-2) - 1 & \geq x \\ -x+2 - 1 & \geq x \\ -2x & \geq -1 \, \, \, \, \text{(bagi -2, tanda dibalik)} \\ x & \leq \frac{1}{2} \end{align}$
Nilai $ x \leq \frac{1}{2} \, $ memenuhi syarat $ x < 2 , \, $ artinya memenuhi solusi.
Jadi, solusinya adalah $ \{ x \leq \frac{1}{2} \} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2013 Kode 262


Nomor 1
Panjang rusuk kubus PQRS.TUVW adalah 6 cm. Titik X pada TW, Y pada UV, dan Z pada QR. Jika |TX| : |XW| = 1 : 2, |UY| : |YV| = 2 : 1, dan PXYZ membentuk bidang datar, maka volume bangun TUYX.PQZ adalah ....
$\spadesuit \, $ Gambar
um_ugm_1_mat_ipa-2013.png
Pada (gambar 1), bidang PXYZ merupakan bidang datar, maksudnya bidang PXYZ merupakan perluasan dari bidang PXY (yang sudah pasti) sehingga memotong rusuk QR di Z. Dengan kata lain, bidang datar yang dimaksud adalah bidang irisan. Untuk menentukan letak titik Z, cukup dengan mencerminkan titik X pada garis PY, sehingga terbentuk garis lurus XZ.
Jika titik Z terletak tidak seperti gambar 1, maka bidang PXYZ yang terbentuk bukan bidang datar lagi melainkan bidang yang melengkung dari bidang PXY ke bidang PYZ yaitu melengkung tepat pada garis PY.
Dengan adanya bidang PXYZ, terbentuklah bangun ruang TUYX.PQZ seperti pada gambar 2.
$\spadesuit \, $ Menentukan volume bangun TUYX.PQZ
Untuk menentukan volume bangun TUYX.PQZ, kita bagi dua bangun tersebut dalam bentuk limas yaitu limas P.TUYX (gambar 3) dan limas P.QZYU (gambar 4) yang masing-masing mempunyai volume yang sama. Sehingga volume bangun TUYX.PQZ adalah dua kali volume salah satu limas.
Limas P.TUYX, alasnya TUYX berupa trapesium dan tinggi trapesiumnya TU, serta tinggi limasnya adalah TP.
$\begin{align} V_{TUYX.PQZ} & = 2 \times V_{\text{limas } P.TUYX} \\ & = 2 \times \frac{1}{3} \times \text{Luas Alas } \times \text{ tinggi} \\ & = 2 \times \frac{1}{3} \times \left[ \frac{1}{2}.(TX + YU).TU \right] \times TP \\ & = \frac{2}{3} \times \left[ \frac{1}{2}.(2+4).6 \right] \times 6 \\ & = 72 \end{align}$
jadi, volume bangun TUYX.PQZ adalah 72 cm$^3 . \heartsuit $

Cara II :
$\spadesuit \, $ Gambar
um_ugm_2_mat_ipa-2013.png
Pada (gambar 1), bidang PXYZ merupakan bidang datar, maksudnya bidang PXYZ merupakan perluasan dari bidang PXY (yang sudah pasti) sehingga memotong rusuk QR di Z. Dengan kata lain, bidang datar yang dimaksud adalah bidang irisan. Untuk menentukan letak titik Z, cukup dengan mencerminkan titik X pada garis PY, sehingga terbentuk garis lurus XZ.
Jika titik Z terletak tidak seperti gambar 1, maka bidang PXYZ yang terbentuk bukan bidang datar lagi melainkan bidang yang melengkung dari bidang PXY ke bidang PYZ yaitu melengkung tepat pada garis PY.
Dengan adanya bidang PXYZ, terbentuklah bangun ruang TUYX.PQZ seperti pada gambar 3.
$\spadesuit \, $ Menentukan volume bangun TUYX.PQZ
Volume bangun TUYX.PQZ (gambar 3) sama dengan volume bangun AYX.PBCZ (gambar 4). Jika kedua bangun tersebut digabung, maka akan terbentuk balok PBCQ.TAYU seperti gambar 2, yang artinya volume bangun TUYX.PQZ adalah separuh dari volume balok PBCQ.TAYU.
$\begin{align} V_{TUYX.PQZ} & = \frac{1}{2} \times V_{\text{balok } PBCQ.TAYU} \\ & = \frac{1}{2} \times p \times l \times t \\ & = \frac{1}{2} \times QC \times BC \times QU \\ & = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 \times 6 \\ & = 72 \end{align}$
jadi, volume bangun TUYX.PQZ adalah 72 cm$^3 . \heartsuit $
Nomor 2
Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan alas berbentuk persegi dan tinggi limas $ 2\sqrt{3} \, $ cm. Jika $ T^\prime \, $ proyeksi T pada bidang alas dan titik P adalah perpotongan garis berat segitiga TBC, maka panjang sisi alas limas agar $ T^\prime P \, $ tegak lurus segitiga TBC adalah .....
$\clubsuit \, $ Gambarnya
um_ugm_3_mat_ipa-2013.png
Karena P titik berat, maka panjang $ PE = \frac{1}{3} TE \, $ dan $ PT = \frac{2}{3} TE $
Misalkan panjang $ AB = 2x \, $ sehingga $ BE = EC = T^\prime E = x $
$\clubsuit \, $ Menentukan panjang TE pada segitiga $ TT^\prime E $
$\begin{align} TE & = \sqrt{(TT^\prime )^2 + (T^\prime E)^2 } \\ & = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + x^2 } \\ TE & = \sqrt{12+x^2} \end{align}$
Sehingga panjang :
$ PE = \frac{1}{3} TE = \frac{1}{3} \sqrt{12+x^2} $
$ PT = \frac{2}{3} TE = \frac{2}{3} \sqrt{12+x^2} $
$\clubsuit \, $ Menentukan panjang $ T^\prime P \, $ pada segitiga $ T^\prime PE $
$\begin{align} T^\prime P^2 & = T^\prime E^2 - PE^2 \\ T^\prime P^2 & = x^2 - \left( \frac{1}{3} \sqrt{12+x^2} \right)^2 \\ T^\prime P^2 & = x^2 - \frac{1}{9} (12+x^2) \\ T^\prime P^2 & = \frac{8}{9}x^2 - \frac{4}{3} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ x \, $ pada segitiga $ TT^\prime P $
$\begin{align} (TT^\prime )^2 & = T^\prime P^2 + PT^2 \\ (2\sqrt{3})^2 & = \left( \frac{8}{9}x^2 - \frac{4}{3} \right) + \left( \frac{2}{3} \sqrt{12+x^2} \right)^2 \\ 12 & = \frac{8}{9}x^2 - \frac{4}{3} + \frac{4}{9}(12+x^2) \\ 12 & = \frac{8}{9}x^2 - \frac{4}{3} + \frac{16}{3} + \frac{4}{9}x^2 \\ 12 & = \frac{12}{9}x^2 + \frac{12}{3} \\ 12 & = \frac{4}{3}x^2 + 4 \\ x^2 & = 8 . \frac{3}{4} = 6 \\ x & = \sqrt{6} \end{align}$
Sehingga panjang sisi alasnya :
$ AB = 2x = 2\sqrt{6} $
Jadi, panjang sisi alas limas adalah $ 2\sqrt{6}. \heartsuit $
Catatan : Tidak ada pada pilihan (tidak ada jawabannya).
Nomor 3
Titik pusat lingkaran yang menyinggung garis $ y = 2 \, $ di (3,2) dan menyinggung garis $ y = -x\sqrt{3} + 2 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Gambar
um_ugm_4_mat_ipa-2013.png
Ada dua lingkaran yang terbentuk yang menyinggung kedua garis.
Untuk menentukan titik pusat lingkaran, kita menggunakan konsep jarak titik pusat ke garis singgung lingkarannya sama dengan jari-jari lingkaran.
Persamaan garisnya : $ y = -x\sqrt{3} + 2 \, $ atau $ \sqrt{3} x + y - 2 = 0 $
$\spadesuit \, $ Konsep jarak titik ke garis
Jarak titik $(m,n)\, $ ke garis $ ax+by+c=0 \, $
Jarak = $ \left| \frac{a.m+b.n+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| $
$\spadesuit \, $ Titik pusat lingkaran I (LI) :
Jarak titik pusat $(3,a) \, $ ke garis $ \sqrt{3} x + y - 2 = 0 $
Jarak $ = \left| \frac{a.m+b.n+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| = \left| \frac{\sqrt{3} .3 + a - 2}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}} \right| = \frac{3\sqrt{3} + a - 2}{2} $
Jari-jari = $ r_1 = 2 - a $
*). Menentukan nilai $ a \, $ :
$ \begin{align} \text{ jari - jari } & = \text{ jarak } \\ \frac{3\sqrt{3} + a - 2}{2} & = 2 - a \\ 3\sqrt{3} + a - 2 & = 2(2-a) \\ 3a & = 6 - 3\sqrt{3} \\ a & = 2 - \sqrt{3} \end{align} $
Sehingga titik pusat lingkaran I : $ (3, a ) = (3, 2-\sqrt{3}) $
$\spadesuit \, $ Titik pusat lingkaran II (LII) :
Jarak titik pusat $(3,b) \, $ ke garis $ \sqrt{3} x + y - 2 = 0 $
Jarak $ = \left| \frac{a.m+b.n+c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right| = \left| \frac{\sqrt{3} .3 + b - 2}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}} \right| = \frac{3\sqrt{3} + b - 2}{2} $
Jari-jari = $ r_2 = b - 2 $
*). Menentukan nilai $ b \, $ :
$ \begin{align} \text{ jari - jari } & = \text{ jarak } \\ \frac{3\sqrt{3} + b - 2}{2} & = b - 2 \\ 3\sqrt{3} + b - 2 & = 2(b-2) \\ b & = 2 + 3\sqrt{3} \end{align} $
Sehingga titik pusat lingkaran II : $ (3, b ) = (3, 2+3\sqrt{3}) $
Pada pilihan yang ada adalah lingkaran II.
Jadi, salah satu pusat lingkarannya adalah $ (3, 2+3\sqrt{3}) . \heartsuit $
Nomor 4
Diberikan koordinat titik O(0,0), B($-3,\sqrt{7}$), dan A($a,0$), dengan $ a > 0. \, $ Jika pada segitiga AOB, $ \angle OAB = \alpha \, $ dan $ \angle OBA = \beta, \, $ maka $ \cos \frac{1}{2} (\alpha + \beta ) = .... $
$\spadesuit \, $ Gambar
um_ugm_5_mat_ipa-2013.png
Jarak dua titik $(a,b) \, $ dan $ (m,n) $
Jarak $ = \sqrt{(m-a)^2 + (n-b)^2} $
$\spadesuit \, $ Menentukan panjang masing-masing
$ AB = \sqrt{(a-(-3))^2 + (\sqrt{7} - 0 )^2 } $
$ AB^2 = (a+3)^2 + 7 $
$ OB = \sqrt{(-3-0)^2 + (\sqrt{7}-0)^2 } \rightarrow OB = \sqrt{16} = 4 $
$ OA^2 = a^2 \rightarrow OA = a $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \cos AOB $
$\begin{align} AB^2 & = OA^2 + OB^2 - 2.OA.OB. \cos AOB \\ \cos AOB & = \frac{OA^2 + OB^2 - AB^2}{2.OA.OB} \\ \cos \gamma & = \frac{OA^2 + OB^2 - AB^2}{2.OA.OB} \\ \cos \gamma & = \frac{a^2 + 16 - [(a+3)^2 + 7]}{2.a.4} \\ \cos \gamma & = \frac{a^2 + 16 - [a^2 + 6a + 16]}{2.a.4} \\ \cos \gamma & = \frac{-6a}{2.a.4} = \frac{-3}{4} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \sin \frac{1}{2} \gamma $
Konsep dasar : $ \cos px = 1 - 2 \sin ^2 \frac{1}{2}p x $
Sehingga : $ \cos x = 1 - 2 \sin ^2 \frac{1}{2} x $
$\begin{align} \cos \gamma & = 1 - 2 \sin ^2 \frac{1}{2} \gamma \\ \sin \frac{1}{2} \gamma & = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos \gamma } \\ \sin \frac{1}{2} \gamma & = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{2} . ( \frac{-3}{4} ) } \\ \sin \frac{1}{2} \gamma & = \sqrt{\frac{7}{8}} = \sqrt{ \frac{7}{8} . \frac{2}{2}} = \frac{1}{4} \sqrt{14} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \cos \frac{1}{2} ( \alpha + \beta ) \, $ pada segitiga AOB
$\begin{align} \alpha + \beta + \gamma & = 180^\circ \\ \alpha + \beta & = 180^\circ - \gamma \\ \frac{1}{2} (\alpha + \beta ) & = \frac{1}{2} (180^\circ - \gamma ) \\ \frac{1}{2} (\alpha + \beta ) & = 90^\circ - \frac{1}{2} \gamma \\ \cos \frac{1}{2} (\alpha + \beta ) & = \cos ( 90^\circ - \frac{1}{2} \gamma ) \\ & = \sin \frac{1}{2} \gamma \\ & = \frac{1}{4} \sqrt{14} \end{align}$
Jadi, nilai $ \cos \frac{1}{2} (\alpha + \beta ) = \frac{1}{4} \sqrt{14} . \heartsuit $

Cara II :
$\spadesuit \, $ Gambar
um_ugm_6_mat_ipa-2013.png
Pada segitiga BOC : $ \cos (\alpha + \beta ) = \frac{3}{4} $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : $ \cos px = 2 \cos ^2 \frac{1}{2}p x - 1 $
Sehingga : $ \cos x = 2 \cos ^2 \frac{1}{2} x - 1 $
$\spadesuit \, $ Menentukan sudut BOC
$\begin{align} \angle AOB & = 180^\circ - (\alpha + \beta ) \, \, \text{[dari } \Delta AOB] \\ \angle BOC + \angle AOB & = 180^\circ \, \, \, \, \text{(sudut berpelurus)} \\ \angle BOC + [ 180^\circ - (\alpha + \beta ) ] & = 180^\circ \\ \angle BOC & = (\alpha + \beta ) \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \cos \frac{1}{2} ( \alpha + \beta ) \, $
$\begin{align} \cos x & = 2 \cos ^2 \frac{1}{2} x - 1 \\ \cos ( \alpha + \beta ) & = 2 \cos ^2 \frac{1}{2} ( \alpha + \beta ) - 1 \\ \frac{3}{4} & = 2 \cos ^2 \frac{1}{2} ( \alpha + \beta ) - 1 \\ 2 \cos ^2 \frac{1}{2} ( \alpha + \beta ) & = \frac{7}{4} \\ \cos ^2 \frac{1}{2} ( \alpha + \beta ) & = \frac{7}{8} \\ \cos \frac{1}{2} ( \alpha + \beta ) & = \sqrt{ \frac{7}{8} } \\ \cos \frac{1}{2} ( \alpha + \beta ) & = \sqrt{ \frac{7}{8} . \frac{2}{2} } = \frac{1}{4} \sqrt{14} \end{align}$
Jadi, nilai $ \cos \frac{1}{2} (\alpha + \beta ) = \frac{1}{4} \sqrt{14} . \heartsuit $
Nomor 5
Diketahui vektor-vektor $ \vec{u} = (a,1,-a) \, $ dan $ \vec{v} = (1,a,a). \, $ Jika $ \vec{u}_1 \, $ vektor proyeksi $ \vec{u} \, $ pada $ \vec{v}, \, \vec{v}_1 \, $ vektor proyeksi $ \vec{v} \, $ pada $ \vec{u} , \, $ dan $ \theta \, $ sudut antara $ \vec{u} \, $ dan $ \vec{v} \, $ dengan $ \cos \theta = \frac{1}{3}, \, $ maka luas jajaran genjang yang dibentuk oleh $ \vec{u}_1 \, $ dan $ \vec{v}_1 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar
Vektor $ \vec{u} = (x_1,y_1,z_1) \, $ dan $ \vec{v} = (x_2.y_2,z_2) $
$ \vec{u} . \vec{v} = x_1.x_2 + y_1.y_2 + z_1.z_2 $
Panjang vektor :
$ | \vec{u} | = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 } \, $ dan $ | \vec{v} | = \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2 } \, $
$ \vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta $
Proyeksi vektor $ \vec{a} \, $ pada vektor $ \vec{b} \, $ hasilnya $ \vec{c} $
$ \vec{c} = \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2 } \right) \vec{b} $
$\clubsuit \, $ Diketahui $ \vec{u} = (a,1,-a) \, $ dan $ \vec{v} = (1,a,a) $
$ \vec{u}.\vec{v} = a.1 + 1.a + (-a).a = 2a - a^2 $
$|\vec{u}| = \sqrt{a^2+1^2+(-a)^2} = \sqrt{1 + 2a^2} $
$|\vec{v}| = \sqrt{1^2+a^2+a^2} = \sqrt{1 + 2a^2} $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dengan $ \cos \theta = \frac{1}{3} $
$\begin{align} \vec{u} . \vec{v} & = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta \\ 2a - a^2 & = \sqrt{1 + 2a^2} . \sqrt{1 + 2a^2} . \frac{1}{3} \\ 6a - 3a^2 & = 1 + 2a^2 \\ 5a^2 - 6a + 1 & = 0 \\ (5a - 1)(a - 1) & = 0 \\ a = \frac{1}{5} \vee a & = 1 \end{align}$
Untuk $ a = 1 , \, $ maka $ \vec{u} = (1,1,-1) \, $ dan $ \vec{v} = (1,1,1) $
$ | \vec{u} | = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2 } = \sqrt{3} $
$ | \vec{v} | = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2 } = \sqrt{3} $
$ \vec{u} . \vec{v} = 1.1 + 1.1 + (-1).1 = 1 $
$\clubsuit \, $ Menentukan vektor $ \vec{u_1} \, $ dan $ \vec{v_1} $
$ \vec{u_1} = \left( \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|^2} \right) \vec{v} = \frac{1}{(\sqrt{3})^2} \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{matrix} \right) $
$ \vec{v_1} = \left( \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{u}|^2} \right) \vec{v} = \frac{1}{(\sqrt{3})^2} \left( \begin{matrix} 1 & 1 & -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{matrix} \right) $
$\clubsuit \, $ Gambarnya
um_ugm_7_mat_ipa-2013.png
$ \theta \, $ adalah sudut antara $ \vec{u} \, $ dan $ \vec{v} \, $ , yang artinya $ \theta \, $ juga sudut antara $ \vec{u_1} \, $ dan $ \vec{v_1} $
Sehingga : $ \sin \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3} $
panjang $ AB = |\vec{v}_1 | = \sqrt{\frac{1}{3}} \, $ dan $ AC = | \vec{u}_1 | = \sqrt{\frac{1}{3}} $
$\clubsuit \, $ Menentukan luas jajargenjang
$ \begin{align} L_{\Delta ABC } & = \frac{1}{2} . AB . AC . \sin \theta = \frac{1}{2}. \sqrt{\frac{1}{3}} . \sqrt{\frac{1}{3}} . \frac{2\sqrt{2}}{3} \\ & = \frac{1}{9} \sqrt{2} \end{align} $
Sehingga luas jajargenjangnya :
Luas = $ 2 \times L_{\Delta ABC} = 2 \times \frac{1}{9}\sqrt{2} = \frac{2}{9}\sqrt{2} $
Jadi, luas jajargenjangnya adalah $ \frac{2}{9}\sqrt{2} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15