Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2015 Nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Diberikan matriks $ P = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right) \, $ dan $ \, Q = \left( \begin{matrix} 2r & 1 \\ r & p+1 \end{matrix} \right) \, $ dengan $ r \neq 0 \, $ dan $ p \neq 0 $ . Matriks $PQ \, $ tidak mempunyai invers apabila nilai $ p = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep Matriks
*). Determinan matriks A disimbolkan |A|
$ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = a.d - b.c $
*). Sifat determinan : $ |AB| = |A|.|B| $
*). Matriks tidak mempunyai invers, syaratnya : determiannya = 0 .
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$ P = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{matrix} \right) \rightarrow |P| = 2.3 - 4.(-1) = 6 + 4 = 10 $
$ Q = \left( \begin{matrix} 2r & 1 \\ r & p+1 \end{matrix} \right) \rightarrow |Q| = 2r.(p+1) - r.1 = r(2p+1) $
Matriks PQ tidak punya invers, maka $ |PQ| = 0 $.
$\begin{align} PQ & = 0 \\ |PQ| & = 0 \\ |P|.|Q| & = 0 \\ 10. r(2p+1) & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 10)} \\ r(2p+1) & = 0 \\ r = 0 \vee (2p+1) & = 0 \\ r = 0 \vee p & = -\frac{1}{2} \end{align}$
Karena $ r \neq 0 \, $ , maka yang memenuhi adalah $ p = -\frac{1}{2} $.
Jadi, nilai $ p = -\frac{1}{2}. \, \heartsuit $
Nomor 12
Jika $ \sin \theta = \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \, $ dan $ \sin \theta = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \, $ , dengan $ a,b \neq 0 , \, $ maka $ a^2 + b^2 = .... $
$\clubsuit \, $ Identitas trigonometri : $ \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1 $
$\clubsuit \, $ Kuadratkan semua persamaan :
Persamaan pertama :
$\begin{align} \sin \theta & = \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \\ (\sin \theta )^2 & = \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)^2 = \left( \frac{b - a}{ab} \right)^2 \\ \sin ^2 \theta & = \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{a^2b^2} \end{align}$
Persamaan kedua :
$\begin{align} \cos \theta & = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \\ (\cos \theta )^2 & = \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right)^2 = \left( \frac{b + a}{ab} \right)^2 \\ \cos ^2 \theta & = \frac{a^2 + b^2 + 2ab}{a^2b^2} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Jumlahkan kedua persamaan dan gunakan identitas trigonometri
$\begin{align} \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta & = \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{a^2b^2} + \frac{a^2 + b^2 + 2ab}{a^2b^2} \\ 1 & = \frac{2a^2 + 2b^2 }{a^2b^2} \\ 2(a^2 + b^2 ) & = a^2 b^2 \\ a^2 + b^2 & = \frac{a^2 b^2}{2} \end{align}$
Jadi, kita peroleh $ a^2 + b^2 = \frac{a^2 b^2}{2} . \, \heartsuit $
Nomor 13
Dari 10 siswa terbaik, salah satunya Ayu, akan dipilih 3 siswa untuk mewakili sekolah. Peluang Ayu terpilih mewakili sekolah adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep peluang kejadian A [P(A)] :
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
Keterangan :
$ n(A) = \, $ kejadian yang diharapkan,
$ n(S) = \, $ semua kejadian yang mungkin (ruang sampel).
$\spadesuit \, $ Menentukan $ n(A) \, $ dan $ n(S) $ ,
*). Ada 10 orang, akan dipilih 3 orang sebagai tim, artinya tidak memperhatikan urutan (ABC = BCA) sehingga menggukanan kombinasi.
$ n(S) = C_3^{10} = \frac{10!}{(10-3)!.3!} = \frac{10.9.8.7!}{7!.3.2.1} = 120 $
*). Harapannya : Ayu harus terpilih, artinya kita tinggal memilih dua orang saja dari 9 orang yang ada.
$ n(A) = C_2^{9} = \frac{9!}{(9-2)!.2!} = \frac{9.8.7!}{7!.2.1} = 36 $
$\spadesuit \, $ Menentukan peluangnya :
$\begin{align} P(A) & = \frac{n(A)}{n(S) } = \frac{36}{120} = \frac{3}{10} \end{align} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{3}{10}. \, \heartsuit $
Nomor 14
Lima siswa pria dan tiga wanita akan duduk berdampingan dalam satu baris. Jika disyaratkan kedua ujung ditempati pria dan tidak boleh ada 2 wanita duduk berdampingan, maka banyak cara duduk 8 siswa tersebut adalah ....
$\clubsuit \, $ Susunan yang mungkin :
*). Kemungkinan pertama,
um_ugm_matdas_2015_4a.png
Cara I $ = (5.4).3!.3! = 720 $
*). Kemungkinan kedua,
um_ugm_matdas_2015_4b.png
Cara II $ = (5.4).3!.3! = 720 $
$\clubsuit \, $ Total susunan yang mungkin :
Total = cara I $ + $ cara II = $ 720 + 720 = 1440 $.
Jadi, banyak cara duduk 8 siswa adalah 1.440 cara. $ \, \heartsuit $

Keterangan gambar :
*). Pada kasus duduk, "URUTAN" duduk diperhatikan artinya AB $ \neq $ BA.
um_ugm_matdas_2015_4a.png
*). Dari gambar ini, kita tempatkan dua orang pria untuk mengisi ujung-ujung. Ujung sebelah kiri ada 5 pilihan pria dan ujung sebelah kanan ada 4 pilihan pria karena satu pria sudah duduk di ujung kiri, sehingga penempatan ujung-ujung ada $ 5. 4 \, $ cara .
*). Sisanya ada 3 pria (3P) dan 3 wanita (3W) untuk mengisi 6 tempat kosong ditengah dengan selang-seling yaitu PWPWPW, sehingga penempatannya kita pisah yaitu 3P sendiri dengan 3! cara dan 3W sendiri dengan 3! cara.
Total cara gambar I = $ 5.4.3!.3! $.

Untuk gambar kedua, penempatan 3P dan 3W ditengah dengan cara WPWPWP, dan penghitungannya sama dengan gambar I.
Nomor 15
Jika $ f(x) = \sqrt{x+1}, \, x \geq -1 \, $ dan $ g(x) = \frac{x+1}{x}, \, x \neq 0, \, $ maka $ (g \circ f)^{-1}(2) = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar
*). Invers fungsi komposisi : $ (g \circ f)^{-1} (x) = (f^{-1} \circ g^{-1} )(x) $
*). Invers fungsi : $ f(x) = \frac{ax + b}{cx + d } \rightarrow f^{-1} = \frac{dx - b}{-cx + a } $
$\spadesuit \, $ Menentukan invers masing-masing fungsi :
*). invers fungsi $ g(x) $ :
$ \begin{align} g(x) & = \frac{x+1}{x} = \frac{x+1}{x + 0 } \rightarrow g^{-1} (x) = \frac{-1}{-x + 1 } \end{align} $
*). invers fungsi $ f(x) $ :
$ \begin{align} f(x) = \sqrt{x+1} \rightarrow y & = \sqrt{x+1} \\ x + 1 & = y^2 \\ x & = y^2 -1 \\ f^{-1} (x) & = x^2 - 1 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
$ \begin{align} (g \circ f)^{-1}(x) & = (f^{-1} \circ g^{-1} )(x) \\ & = f^{-1} (g^{-1}(x)) \\ & = f^{-1} \left( \frac{-1}{-x + 1 } \right) \\ (g \circ f)^{-1}(x) & = \left( \frac{-1}{-x + 1 } \right)^2 - 1 \\ (g \circ f)^{-1}(2) & = \left( \frac{-1}{-2 + 1 } \right)^2 - 1 \\ & = \left( \frac{-1}{-1 } \right)^2 - 1 \\ & = 1 - 1 \\ & = 0 \end{align} $
Jadi, nilai $ (g \circ f)^{-1}(2) = 0 . \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20