Kode 245 Pembahasan Persamaan Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Banyaknya nilai $ x $ ketika $ 0 \leq x \leq 5\pi $ yang memenuhi persamaan
$ \cos ^3 x + \cos ^2 x - 4\cos ^2 \left( \frac{x}{2} \right) = 0 $
adalah .....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Rumus sudut rangkap :
$ \cos px = 2\cos ^2 \frac{1}{2} (px) \, - \, 1 $
atau bisa diubah menjadi
$ \cos ^2 \frac{1}{2} (px) = \frac{1}{2}(\cos px + 1) $
sehingga bentuk dari :
$ \cos ^2 \frac{1}{2} x = \frac{1}{2}(\cos x + 1) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal dengan substitusi $ \cos ^2 \frac{1}{2} x = \frac{1}{2}(\cos x + 1) $
$\begin{align} \cos ^3 x + \cos ^2 x - 4\cos ^2 \left( \frac{x}{2} \right) & = 0 \\ \cos ^3 x + \cos ^2 x - 4. \frac{1}{2}(\cos x + 1) & = 0 \\ \cos ^2 x (\cos x + 1) - 2(\cos x + 1) & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(dsitributif)} \\ (\cos x + 1)(\cos ^2 x - 2) & = 0 \\ (\cos x + 1) = 0 \vee (\cos ^2 x - 2) & = 0 \\ \cos x = -1 \vee \cos ^2 x & = 2 \end{align} $
*). Karena nilai $ \cos x \, $ paling besar (maksimum) adalah 1, maka nilai $ \cos ^2 x = 2 \, $ tidak memenuhi, sehingga yang memenuhi adalah $ \cos x = -1 $.
*). Dari $ \cos x = -1 $ , maka nilai $ x $ yang memenuhi adalah
$ \{ \pi , 3\pi , 5\pi \} $.
artinya ada tiga nilai $ x $ yang memenuhi persamaan dengan $ 0 \leq x \leq 5\pi $.
Jadi, ada 3 nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ . \, \heartsuit $



Kode 245 Pembahasan Aturan Cosinus SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahi $\Delta ABC$, titik D pada AB, dengan AB = 8, BC = 6, AC = 4 dan $ \angle BCD = \angle CBD$. Panjang CD = .....
A). $\frac{20}{7} \, $ B). $\frac{24}{7} \, $ C). $\frac{26}{7} \, $ D). $ \frac{30}{7} \, $ E). $ \frac{32}{7} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Aturan Cosinus
Pada segitiga ABC di atas, berlaku aturan cosinus :
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \rightarrow \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2 }{2bc} $
$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos A \rightarrow \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2 }{2ac} $
$ c^2 = b^2 + a^2 - 2ba \cos A \rightarrow \cos C = \frac{b^2 + a^2 - c^2 }{2ba} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar.
 

Karena $\angle BCD = \angle CBD$ , maka $\Delta$CBD sama kaki yaitu $ DB = DC = x $.
*). Menentukan nilai $ x $ :
Nilai cos B pada segitiga CBD sama dengan nilai cos B pada segitiga ABC karena besar sudutnya sama.
$\begin{align} \cos B \, (\Delta CBD) & = \cos B \, (\Delta ABC) \\ \frac{DB^2 + BC^2 - CD^2}{2 . DB. BC} & = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2.AB.BC} \\ \frac{x^2 + 6^2 - x^2}{2 . x.6} & = \frac{8^2 + 6^2 - 4^2}{2.8.6} \, \, \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ \frac{36}{12x} & = \frac{7}{8} \\ \frac{3}{x} & = \frac{7}{8} \\ 7x & = 24 \\ x & = \frac{24}{7} \end{align} $
Jadi, panjang $ CD = x = \frac{24}{7} . \, \heartsuit $



Kode 245 Pembahasan Lingkaran SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas

Diketahui persegi dengan panjang sisi 12, dan setengah lingkaran dengan diameter pada alas, seperti pada gambar. Garis CE menyinggung lingkaran di titik F. Panjang CE = ....
A). $ 9\sqrt{2} \, $ B). $ 13 \, $ C). $ 15 \, $ D). $ 9\sqrt{3} \, $ E). $ 16 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Berkaitan Lingkaran
garis AB dan CB menyinggung lingkaran dimana panjangnya sama yaitu AB = BC.

$\clubsuit $ Pembahasan
 

Dari gambar di atas dan sesuai dengan konsep di atas, kita peroleh :
garis AE dan EF menyinggung lingkaran, artinya AE = EF.
garis FC dan BC menyinggung lingkaran, artinya FC = BC.
*). Misalkan panjang $ AE = x $ , maka $ EF=AE=x $
sehingga $ DE = AD - AE = 12 - x $.
dan $ FC = BC = 12$.
*). Menentukan nilai $ x $ dari $\Delta$CDE dengan pythagoras :
$\begin{align} EC^2 & = ED^2 + DC^2 \\ (12+x)^2 & = (12-x)^2 + 12^2 \\ 144+ 24x + x^2 & = 144 - 24x + x^2 + 144 \\ 48x & = 144 \\ x & = 3 \end{align} $
sehingga panjang $ CE = CF + EF = 12 + 3 = 15 $
Jadi, panjang $ CE = 15 \, $ cm $ . \, \heartsuit $



Soal dan Pembahasan SBMPTN Kode 245 Matematika IPA tahun 2016


Nomor 1
Diketahui persegi dengan panjang sisi 12, dan setengah lingkaran dengan diameter pada alas, seperti pada gambar. Garis CE menyinggung lingkaran di titik F. Panjang CE = ....
A). $ 9\sqrt{2} \, $ B). $ 13 \, $ C). $ 15 \, $ D). $ 9\sqrt{3} \, $ E). $ 16 $
Nomor 2
Diketahi $\Delta ABC$, titik D pada AB, dengan AB = 8, BC = 6, AC = 4 dan $ \angle BCD = \angle CBD$. Panjang CD = .....
A). $\frac{20}{7} \, $ B). $\frac{24}{7} \, $ C). $\frac{26}{7} \, $ D). $ \frac{30}{7} \, $ E). $ \frac{32}{7} $
Nomor 3
Banyaknya nilai $ x $ ketika $ 0 \leq x \leq 5\pi $ yang memenuhi persamaan
$ \cos ^3 x + \cos ^2 x - 4\cos ^2 \left( \frac{x}{2} \right) = 0 $
adalah .....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 4
Jika vektor $ u = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ dicerminkan pada garis $ x = y $ kemudian dirotasikan sejauh 90$^\circ$ dengan pusat ($0,0$) menjadi vektor $ v$, maka $ u+v = ..... $
A). $\left( \begin{matrix} a \\ 0 \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} 2a \\ 0 \end{matrix} \right) \, $ C). $ \left( \begin{matrix} 2a \\ 2b \end{matrix} \right) \, $ D). $ \left( \begin{matrix} 0 \\ 2b \end{matrix} \right) \, $ E). $ \left( \begin{matrix} 0 \\ b \end{matrix} \right) \, $
Nomor 5
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan P merupakan titik tengah BF, dan Q merupakan titik tengah DC. Jika $\angle PHQ = \theta$, maka $ \cos \theta = .... $
A). $ \frac{2}{15}\sqrt{5} \, $ B). $ \frac{4}{15}\sqrt{5} \, $ C). $ \frac{2}{5}\sqrt{5} \, $ D). $ \frac{9}{130}\sqrt{65} \, $ E). $ \frac{4}{15}\sqrt{65} \, $
Nomor 6
Jika sisa pembagian $ f(x) $ oleh $ x^3 - 3x + 5 $ adalah $ 3x^2-2$, dan sisa pembagian $ (x+f(x))^2$ oleh $ x^3-3x+5$ adalah $ ax^2+bx+c$, maka $ a - b - c = .... $
A). $ 33 \, $ B). $ 43 \, $ C). $ 53 \, $ D). $ 63 \, $ E). $ 73 $
Nomor 7
Grafik $ y = 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x $ berada di bawah grafik $ y = 3^x + 1 \, $ jika .....
A). $ 0 < x < 1 \, $ B). $ x > 1 \, $ C). $ x < 0 \, $
D). $ x > 3 \, $ E). $ 1 < x < 3 $

Nomor 8
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} = .... $
A). $ \sec ^2 x \, $ B). $ 2\sec ^2 x \, $ C). $ 4\sec ^2 x \, $ D). $ \sec x \, $ E). $2\sec x $
Nomor 9
Jika dalam sebuah barisan geometri jumlah 10 suku pertamanya adalah 341 dan $u_{n+2}:u_{n-1}=8$, maka $ u_1 + u_4 = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $
Nomor 10
Nilai konstanta positif $ a $ yang mungkin sehingga $ \frac{451}{50} $ merupakan nilai minimum dari fungsi $ f(x) = (a^2+1)x^2 - 2ax + 10 $ untuk $ x \in \left[ 0, \frac{1}{2}\right] $ adalah ....
A). $ 7 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 2 $
Nomor 11
Diketahui fungsi $ f(x) = f(x+2) $ untuk setiap $ x $. Jika $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, maka $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = .... $
A). $ B \, $ B). $ 2B \, $ C). $ 3B \, $ D). $ 4B \, $ E). $ 5B $
Nomor 12
Misalkan D adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu-Y, daris $ y = 4$, dan kurva $ y = x^2$. Jika garis $ y = k $ membagi dua daerah D sama besar, maka $ k^3 = .... $
A). $ 8 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 11 \, $ D). $ 14 \, $ E). $ 16 $
Nomor 13
Banyaknya bilangan genap $ n = abc $ dengan 3 digit sehingga $ 3 < b < c $ adalah .....
A). $ 48 \, $ B). $ 54 \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 64 \, $
E). $ 72 $
Nomor 14
Garis singgung kurva $ y = 3 - x^2 $ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-Y di titik R. Nilai $ a $ yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ....
A). $ 2\sqrt{3} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{4}\sqrt{3} $
Nomor 15
Misalkan $ g $ adalah garis singgung lingkaran $ x^2+y^2=25 $ di titik A(3,4). Jika garis singgung tersebut ditransformasikan dengan matriks rotasi $ \left( \begin{matrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right)$, maka absis dari titik potong antara garis singgung lingkaran dengan garis hasil transformasi adalah ....
A). $ \frac{7}{2} \, $ B). $ \frac{18}{5} \, $ C). $ 4 \, $ D). $ \frac{24}{5} \, $ E). $ 5 $