Soal yang Akan Dibahas
$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{(\sqrt{x + b} - \sqrt{a+b})^2}{(x^2-a^2) \sin (x-a)} = .... $
A). $ \frac{1}{16a(a+b)} \, $ B). $ \frac{1}{8a(a+b)} \, $ C). $ \frac{1}{4a(a+b)} \, $ D). $ \frac{1}{2a(a+b)} \, $ E). $ \frac{1}{a(a+b)} $
A). $ \frac{1}{16a(a+b)} \, $ B). $ \frac{1}{8a(a+b)} \, $ C). $ \frac{1}{4a(a+b)} \, $ D). $ \frac{1}{2a(a+b)} \, $ E). $ \frac{1}{a(a+b)} $
$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Trigonometri
*). Sifat Limit Trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{ x \to k } \frac{af(x)}{\sin b f(x)} = \frac{a}{b} \, $ , dengan syarat $ f(k) = 0 $
*). Sifat-sifat Eksponen : $ a^m . b^m = (ab)^m $
*). Pemfaktoran : $ A^2 - B^2 = (A+B)(A-B) $
*). Sifat Limit Trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{ x \to k } \frac{af(x)}{\sin b f(x)} = \frac{a}{b} \, $ , dengan syarat $ f(k) = 0 $
*). Sifat-sifat Eksponen : $ a^m . b^m = (ab)^m $
*). Pemfaktoran : $ A^2 - B^2 = (A+B)(A-B) $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{(\sqrt{x + b} - \sqrt{a+b})^2}{(x^2-a^2) \sin (x-a)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{(\sqrt{x + b} - \sqrt{a+b})^2}{(x^2-a^2) \sin (x-a)} . \frac{(\sqrt{x + b} + \sqrt{a+b})^2}{(\sqrt{x + b} + \sqrt{a+b})^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{[(\sqrt{x + b} - \sqrt{a+b})(\sqrt{x + b} + \sqrt{a+b})]^2}{(x^2-a^2) \sin (x-a) . (\sqrt{x + b} + \sqrt{a+b})^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{[(x + b) - (a+b)]^2}{(x-a)(x+a) \sin (x-a) . (\sqrt{x + b} + \sqrt{a+b})^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{[x - a]^2}{(x-a)(x+a) \sin (x-a) . (\sqrt{x + b} + \sqrt{a+b})^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{(x - a)(x-a)}{(x-a)(x+a) \sin (x-a) . (\sqrt{x + b} + \sqrt{a+b})^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{ (x-a)}{ (x+a) \sin (x-a) . (\sqrt{x + b} + \sqrt{a+b})^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{ (x-a)}{ \sin (x-a) } . \frac{1}{ (x+a) (\sqrt{x + b} + \sqrt{a+b})^2} \\ & = 1 . \frac{1}{ (a+a) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a+b})^2} \\ & = \frac{1}{ 2a. (2\sqrt{a+b})^2} \\ & = \frac{1}{ 2a. 4.(a+b)} \\ & = \frac{1}{ 8a(a+b)} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{ 8a(a+b)} . \, \heartsuit $
*). Menyelesaikan Limitnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{(\sqrt{x + b} - \sqrt{a+b})^2}{(x^2-a^2) \sin (x-a)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{(\sqrt{x + b} - \sqrt{a+b})^2}{(x^2-a^2) \sin (x-a)} . \frac{(\sqrt{x + b} + \sqrt{a+b})^2}{(\sqrt{x + b} + \sqrt{a+b})^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{[(\sqrt{x + b} - \sqrt{a+b})(\sqrt{x + b} + \sqrt{a+b})]^2}{(x^2-a^2) \sin (x-a) . (\sqrt{x + b} + \sqrt{a+b})^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{[(x + b) - (a+b)]^2}{(x-a)(x+a) \sin (x-a) . (\sqrt{x + b} + \sqrt{a+b})^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{[x - a]^2}{(x-a)(x+a) \sin (x-a) . (\sqrt{x + b} + \sqrt{a+b})^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{(x - a)(x-a)}{(x-a)(x+a) \sin (x-a) . (\sqrt{x + b} + \sqrt{a+b})^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{ (x-a)}{ (x+a) \sin (x-a) . (\sqrt{x + b} + \sqrt{a+b})^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{ (x-a)}{ \sin (x-a) } . \frac{1}{ (x+a) (\sqrt{x + b} + \sqrt{a+b})^2} \\ & = 1 . \frac{1}{ (a+a) (\sqrt{a + b} + \sqrt{a+b})^2} \\ & = \frac{1}{ 2a. (2\sqrt{a+b})^2} \\ & = \frac{1}{ 2a. 4.(a+b)} \\ & = \frac{1}{ 8a(a+b)} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{ 8a(a+b)} . \, \heartsuit $
