Pembahasan Limit Takhingga SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 167

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x\left(1 - \cos \frac{1}{\sqrt{x}} \right) = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{1}{3} \, $ D). $ \frac{1}{4} \, $ E). $ \frac{1}{5} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{\sin ay}{\sin by} = \frac{a}{b} $.
*). Rumus Trigonometri :
$ \cos A = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} A $
$ 1 - \cos A = 2\sin \frac{1}{2} A \sin \frac{1}{2} A $
Sehingga :
$ 1 - \cos y = 2\sin \frac{1}{2}y \sin \frac{1}{2}y $
*). Bentuk pecahan : $ a.b = \frac{b}{\frac{1}{a}} = \frac{b}{\frac{1}{\sqrt{a}} . \frac{1}{\sqrt{a}} } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ \frac{1}{\sqrt{x}} = y $, sehingga untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $0$.
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x\left(1 - \cos \frac{1}{\sqrt{x}} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\left(1 - \cos \frac{1}{\sqrt{x}} \right)}{\frac{1}{x}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\left(1 - \cos \frac{1}{\sqrt{x}} \right)}{\frac{1}{\sqrt{x}}.\frac{1}{\sqrt{x}}} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\left(1 - \cos y \right)}{y.y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{2\sin \frac{1}{2}y \sin \frac{1}{2}y}{y.y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, 2 . \frac{\sin \frac{1}{2}y}{y} .\frac{ \sin \frac{1}{2}y}{y} \\ & = 2. \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{2} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 167

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\cos \left(x- \frac{\pi}{2}\right) \cos x}{4x + 3x\cos 2x} = .... $
A). $ \frac{1}{5} \, $ B). $ \frac{1}{6} \, $ C). $ \frac{1}{7} \, $ D). $ \frac{1}{8} \, $ E). $ \frac{1}{9} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $
*). RUmus dasar Trigonometri :
$ \cos ( 90^\circ - x ) = \sin x \, $ atau $ \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right) = \sin x $
$ \cos (-x) = \cos x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan soal :
$\begin{align} \cos \left(x- \frac{\pi}{2}\right) & = \cos \left[ - \left( \frac{\pi}{2} - x \right) \right] \\ & = \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right) \\ & = \sin x \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\cos \left(x- \frac{\pi}{2}\right) \cos x}{4x + 3x\cos 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x}{4x + 3x\cos 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x}{x (4 + 3 \cos 2x ) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x } . \frac{ \cos x}{ 4 + 3 \cos 2x } \\ & = 1 . \frac{ \cos 0}{ 4 + 3 \cos 0 } = \frac{1}{7} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{7} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Suku Banyak SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 167

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ p(x) = (x-1)q(x)+1 $ dan $ q(3) = 5 $ , maka sisa pembagian $ p(x) $ oleh $ (x-1)(x-3) $ adalah ....
A). $ 2x - 1 \, $
B). $ 3x - 2 \, $
C). $ 5x - 4 \, $
D). $ -3x + 4 \, $
E). $ -5x + 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar pembagian suku banyak
$ \, \, \, \, \, f(x) = g(x).H(x) + S(x) $
Keterangan :
$ f(x) = \, $ fungsi yang mau dibagi,
$ g(x) = \, $ pembagi,
$ H(x) = \, $ hasil bagi,
$ S(x) = \, $ Sisa pembagian.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ q(3) = 5 $ dan
$ p(x) = (x-1)q(x) + 1 \, $ .....pers(i).
*). Substitusi $ x = 1 $ dan $ x = 3 $ ke pers(i) :
$\begin{align} x = 1 \rightarrow p(x) & = (x-1)q(x) + 1 \\ p(1) & = (1-1)q(1) + 1 \\ & = 0 + 1 \\ & = 1 \\ x = 3 \rightarrow p(x) & = (x-1)q(x) + 1 \\ p(3) & = (3-1)q(3) + 1 \\ & = 2. 5 + 1 \\ & = 1 1 \end{align} $
*). $ p(x) $ dibagi $ (x-1)(x-3) $ , misalkan sisanya $ ax + b $ :
$ p(x) = (x-1)(x-3)H(x) + (ax+b) \, $ ...pers(ii).
*). Substitusi akar-akar pembaginya (1 dan 3) ke pers(ii) :
$\begin{align} x = 1 \rightarrow p(x) & = (x-1)(x-3)H(x) + (ax+b) \\ p(1) & = (1-1)(1-3)H(1) + (a.1+b) \\ 1 & = 0 + (a+b) \\ 1 & = a + b \, \, \, \, \, \, \, \text{...(iii)} \\ x = 3 \rightarrow p(x) & = (x-1)(x-3)H(x) + (ax+b) \\ p(3) & = (3-1)(3-3)H(3) + (a.3+b) \\ 11 & = 0 + (3a+b) \\ 11 & = 3a + b \, \, \, \, \, \, \, \text{...(iv)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(iii) dan (iv) :
$ \begin{array}{c} 3a + b = 11 & \\ a + b = 1 & - \\ \hline 2a = 10 & \\ a = 5 & \end{array} $
Pers(iii) : $ a + b = 1 \rightarrow 5 + b = 1 \rightarrow b = -4 $.
Sehingga sisa pembagiannya : $ ax + b = 5x - 4 $.
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ 5x - 4 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Hiperbola SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 167

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan hiperbola dengan puncak $(-2,3)$ dan $(-2,9)$. Jika puncak berada di tengah-tengah antara pusat dan fokus, maka persamaan hiperbola itu adalah ....
A). $ -\frac{(x+2)^2}{9} + \frac{(y-6)^2}{16} = 1 \, $
B). $ \frac{(x-6)^2}{25} - \frac{(y+2)^2}{36} = 1 \, $
C). $ -\frac{(x+2)^2}{27} + \frac{(y-6)^2}{9} = 1 \, $
D). $ \frac{(x+2)^2}{27} - \frac{(y-6)^2}{16} = 1 \, $
E). $ -\frac{(x-2)^2}{16} + \frac{(y+6)^2}{9} = 1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar pada Hiperbola
*). Persamaan hiperbola dengan komponen $ y $ berubah pada titik puncak yaitu :
$ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
Keterangan :
1). $(p,q) = \, $ titik pusat yang terletak ditengah-tengah kedua titik puncak
2). $ a = \, $ jarak titik puncak ke titik pusat,
3). $ c = \, $ jarak titik fokus ke titik pusat,
4). $ b ^2 = c^2 - a^2 $
*). Jarak dua titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ :
Jarak $ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
*). Titik tengah antara dua titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ :
titik tengah $ = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan titik puat $(p,q) $ yaitu titik tengah kedua puncak $(-2,3) $ dan $(-2,9) $ :
$ (p,q) = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) = \left( \frac{-2 +(-2)}{2} , \frac{3 + 9}{2} \right) = (-2,6) $.
*). Menentukan nilai $ a $ yaitu jarak titik pusat $(-2,6) $ ke salah satu titik puncak $(-2,3) $ :
$ a = \sqrt{(-2-(-2))^2 + (6-3)^2} = \sqrt{9} = 3 $
*). Karena titik puncak ada ditengah-tengah antara titik pusat dan fokus, maka jarak titik pusat dan titik fokus adalah dua kali jarak titik pusat ke salah satu titik puncak.
$ c = 2a = 2. 3 = 6 $.
Nilai $ b^2 = c^2 - a^2 = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27 $.
*). Menyusun persamaan hiperbola :
$\begin{align} -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} & = 1 \\ -\frac{(x-(-2))^2}{27} + \frac{(y-6)^2}{3^2} & = 1 \\ -\frac{(x+2)^2}{27} + \frac{(y-6)^2}{9} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaannya $ -\frac{(x+2)^2}{27} + \frac{(y-6)^2}{9} = 1 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 167

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 2\sin x + 3\cot x - 3\csc x = 0 $ , dengan $ 0 < x < \frac{\pi}{2}$ , maka $ \sin x. \cos x = ..... $
A). $ \sqrt{3} \, $ B). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ C). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{4}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{5}\sqrt{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus-rumus dasar trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \sin ^2 x = 1 - \cos ^2 x $
$ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $ dan $ \csc x = \frac{1}{\sin x} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} 2\sin x + 3\cot x - 3\csc x & = 0 \\ 2\sin x + 3.\frac{\cos x}{\sin x} - 3 . \frac{1}{\sin x} & = 0 \, \, \, \, \, \text{(kalikan } \sin x) \\ 2\sin ^2 x + 3\cos x - 3 & = 0 \\ 2( 1 - \cos ^2 x) + 3\cos x - 3 & = 0 \\ 2 - 2\cos ^2 x + 3\cos x - 3 & = 0 \\ - 2\cos ^2 x + 3\cos x - 1 & = 0 \\ (- 2\cos x + 1)(\cos x - 1) & = 0 \\ \cos x = \frac{1}{2} \vee \cos x & = 1 \end{align} $
*). Karena $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $ , maka $ \cos x = \frac{1}{2} $ yang memenuhi.
$ \cos x = \frac{1}{2} \rightarrow x = 60 ^\circ $
Nilai $ \sin x = \sin 60^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3} $.
Sehingga $ \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sqrt{3} . \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\sqrt{3} $.
Jadi, nilai $ \sin x \cos x = \frac{1}{4}\sqrt{3} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Vektor SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 167

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui vektor $ \vec{a} = (4,6), \vec{b}=(3,4)$, dan $ \vec{c} =(p,0) $. Jika $ |\vec{c}-\vec{a}|=10 $ , maka kosinus sudut antara $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ adalah ....
A). $ 2/5 \, $ B). $ 1/2 \, $ C). $ 3/5 \, $ D). $2/3 \, $ E). $ 3/4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Diketahui $ \vec{a} = (a_1,a_2) $ dan $ \vec{b} = (b_1, b_2) $ .
*). Perkalian dot :
$ \vec{a}.\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 $
$ \vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \alpha \rightarrow \cos \alpha = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} $
*). Panjang vektor $ \vec{a} $, simbol $ |\vec{a}| $ :
$ |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Panjang vektor $ \vec{b} = (3,4) $ :
$ |\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 $
*). Menentukan nilai $ p $ :
$\begin{align} \vec{c}-\vec{a} & = (p-4, 0-6) = (p-4, -6) \\ |\vec{c}-\vec{a}| & = 10 \\ \sqrt{(p-4)^2 + (-6)^2 } & = 10 \\ \sqrt{(p-4)^2 + 36 } & = 10 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (p-4)^2 + 36 & = 100 \\ (p-4)^2 & = 64 \\ (p-4) & = \pm \sqrt{64} = \pm 8 \\ p-4 & = 8 \rightarrow p = 12 \\ p-4 & = -8 \rightarrow p = -4 \end{align} $
*). Menentukan nilai kosinus sudut antara $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ :
$\begin{align} p = 12 \rightarrow \vec{c} & = (12, 0 ) \\ |\vec{c}| & = \sqrt{12^2 + 0^2 } = 12 \\ \vec{b}.\vec{c} & = 3.12 + 4.0 = 36 \\ \cos \alpha & = \frac{\vec{b}.\vec{c}}{|\vec{b}||\vec{c}|} \\ & = \frac{36}{5.12} = \frac{3}{5} \\ p = -4 \rightarrow \vec{c} & = (-4, 0 ) \\ |\vec{c}| & = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 } = 4 \\ \vec{b}.\vec{c} & = 3.(-4) + 4.0 = -12 \\ \cos \alpha & = \frac{\vec{b}.\vec{c}}{|\vec{b}||\vec{c}|} \\ & = \frac{-12}{5.(-4)} = - \frac{3}{5} \end{align} $
Jadi, nilai kosinusnya adalah $ \frac{3}{5} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Pertidaksamaan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 167

Soal yang Akan Dibahas
Banyak bilangan prima yang memenuhi pertidaksamaan $|2x-16| < |x-2| < 11 $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Sifat-sifat pertidaksamaan mutlak :
i). $ |f(x)| < a \rightarrow -a < f(x) < a $
ii). $ |f(x)| < |g(x)| \rightarrow [f(x)-g(x)][f(x)+g(x)] < 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $|2x-16| < |x-2| < 11 $ kita bagi menjadi dua bagian :
1). Pertama : $ |x-2| < 11 $, gunakan sifat (i)
$\begin{align} -11 < & x - 2 < 11 \, \, \, \, \, \text{(tambahkan 2)} \\ -11 + 2 < & x - 2 + 2< 11 +2 \\ -9 < & x < 13 \end{align} $
HP1 $ = \{ -9 < x < 13 \} $
2). kedua : $ |2x-16| < |x-2| $, gunakan sifat (ii)
$\begin{align} [f(x)-g(x)][f(x)+g(x)] & < 0 \\ [(2x-16)-(x-2)][(2x-16)+(x-2)] & < 0 \\ (x - 14)(3x - 18) & < 0 \\ x = 14 \vee x & = 6 \end{align} $
garis bilangannya :
 
HP2 $ = \{ 6 < x < 14 \} $
*). Solusi keseluruhan yaitu :
HP = HP1 $ \cap $ HP2 = $ \{ 6 < x < 13 \} $
Bilangan prima yang memenuhi : $ 7 $ dan $ 11 $.
Jadi, ada dua bilangan prima yang memenuhi $ . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Sistem Persamaan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 167

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x $ dan $ y $ memenuhi sistem
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{y}{x} - \frac{1}{(y-2)^2} = \frac{1}{4} \\ \frac{3y}{x} - \frac{4}{(y-2)^2} = \frac{1}{2} \\ \end{array} \right. $
maka $ xy = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 16 \, $ E). $ 32 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan dapat dilakukan dengan metode eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
Misalkan : $ p = \frac{y}{x} $ dan $ q = \frac{1}{(y-2)^2} $
dengan $ x \neq 0 $ dan $ y \neq 2 $ (penyebut tidak boleh nol).
Sistem persamaan pada soal menjadi :
$ \left\{ \begin{array}{c} p - q = \frac{1}{4} \\ 3p-4q = \frac{1}{2} \\ \end{array} \right. $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{c|c|cc} p - q = \frac{1}{4} & \times 4 & 4p - 4q = 1 & \\ 3p-4q = \frac{1}{2} & \times 1 & 3p-4q = \frac{1}{2} & + \\ \hline & & p = \frac{1}{2} & \end{array} $
Pers(i) : $ p - q = \frac{1}{4} \rightarrow \frac{1}{2} - q = \frac{1}{4} \rightarrow q = \frac{1}{4} $
*). Dari nilai $ p = \frac{1}{2} $ dan $ q = \frac{1}{4} $,
$ p = \frac{1}{2} \rightarrow \frac{y}{x} = \frac{1}{2} \rightarrow x = 2y \, $ ....(iii)
$ q = \frac{1}{4} \rightarrow \frac{1}{(y-2)^2} = \frac{1}{4} \rightarrow (y-2)^2 = 4 \rightarrow y-2 = \pm 2 $
*). Menentukan nilai $ xy $ berdasarkan $ y-2 = \pm 2 $ :
$\begin{align} y-2 = 2 \rightarrow y & = 4 \\ x & = 2y = 2.4 = 8 \\ xy & = 8 . 4 = 32 \\ y-2 = -2 \rightarrow y & = 0 \\ x & = 2y = 2.0 = 0 \, \, \, \text{(tidak memenuhi)} \end{align} $
Jadi, nilai $ xy = 32 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)