Pembahasan Dimensi Tiga UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $ a $, P dan Q masing-masing titik tengah HG dan EH. Sedangkan R titik tengah PQ. Jika BT adalah proyeksi BR pada bidang ABCD, maka jarak T dengan bidang QBP adalah ....
A). $ \frac{4a}{17}\sqrt{17} \, $ B). $ \frac{3a}{17}\sqrt{17} \, $ C). $ \frac{2a}{17}\sqrt{17} \, $ D). $ \frac{3a}{13}\sqrt{13}\, $ E). $ \frac{a}{7}\sqrt{7} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Dimensi Tiga :
*). Hasil proyeksi garis ke bidang adalah berupa garis. Silahkan baca materinya lebih mendalam pada artikel "Cara Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang".
*). Menghitung jarak bisa menggunakan konsep luas segitiga
Luas $ = \frac{1}{2} \text{ alas } \times \text{ tinggi} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

Hasil proyeksi BR pada bidang alas adalah BT.
Jarak T ke bidang BPQ adalah panjang TM.
Segitiga BTR siku-siku di T.
Panjang $ TR = a $
Panjang $ BD = a\sqrt{2} \, $ (diagonal bidang)
$ BT = \frac{3}{4}BD = \frac{3}{4}a\sqrt{2} $
$ BR = \sqrt{BT^2 + TR ^2 } = \sqrt{(\frac{3}{4}a\sqrt{2})^2 + a^2} $
$ BR = \sqrt{\frac{18}{16}a^2 + a^2} = \sqrt{\frac{34}{16}a^2} = \frac{1}{4}a\sqrt{34} $
*). Menentukan panjang TM dengan luas segitiga BTR:
$ \begin{align} \text{Luas BTR, alas BR } & = \text{ Luas BTR, alas BT} \\ \frac{1}{2}. BR . TM & = \frac{1}{2} . BT . TR \\ BR . TM & = BT . TR \\ \frac{1}{4}a\sqrt{34} . TM & = \frac{3}{4}a\sqrt{2} . a \\ \sqrt{34} . TM & = 3a\sqrt{2} \\ \sqrt{2}\sqrt{17} . TM & = 3a\sqrt{2} \\ \sqrt{17} . TM & = 3a \\ TM & = \frac{3a}{\sqrt{17}} = \frac{3a}{17}\sqrt{17} \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ \frac{3a}{17}\sqrt{17} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Persamaan Matriks UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketaui matriks $ A = \left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] $ dan $ B = \left[ \begin{matrix} 4 & - 2 \\ -6 & 3 \end{matrix} \right]$. Matriks $ X $ yang memenuhi $ XA + B = X $ adalah ....
A). $ \left[ \begin{matrix} -4 & 2 \\ 6 & -3 \end{matrix} \right] \, $ B). $ \left[ \begin{matrix} -4 & -2 \\ 6 & -3 \end{matrix} \right] \, $ C). $ \left[ \begin{matrix} -2 & 4 \\ 3 & -6 \end{matrix} \right] \, $
D). $ \left[ \begin{matrix} 2 & 4 \\ -3 & -6 \end{matrix} \right] \, $ E). $ \left[ \begin{matrix} 2 & -4 \\ -3 & 6 \end{matrix} \right] \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Matriks :
*). Pada kesamaan dua buah matriks, maka unsur-unsur yang seletak nilainya sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Kita misalkan matriks $ X = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] $ :
*). Menentukan matriks $ X $ :
$ \begin{align} XA + B & = X \\ \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} 4 & - 2 \\ -6 & 3 \end{matrix} \right]& = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} 5a + 3b & 3a + 2b \\ 5c + 3d & 3c + 2d \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} 4 & - 2 \\ -6 & 3 \end{matrix} \right]& = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} 5a + 3b + 4 & 3a + 2b -2 \\ 5c + 3d -6 & 3c + 2d + 3 \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \end{align} $
Kita peroleh sistem persamaan :
pers(i) : $ 5a + 3b + 4 = a \rightarrow 4a + 3b = -4 $
pers(ii) : $ 3a + 2b -2 = b \rightarrow 3a + b = 2 $
pers(iii) : $ 5c + 3d -6 = c \rightarrow 4c + 3d = 6 $
pers(iv) : $ 3c + 2d + 3 = d \rightarrow 3c + d = -3 $
-). Selesaikan persamaan (i) dan (ii), kita peroleh $ a = 2 , b = -4 $
-). Selesaikan pers (iii) dan (iv), kita peroleh $ c = -3 , d = 6 $
Sehingga matriks $ X $ adalah :
$ X = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 2 & -4 \\ -3 & 6 \end{matrix} \right] $.
(silahkan untuk menyelesaikan sistem persamaan di atas sendiri ya ^_^ )
Jadi, hasil $ X = \left[ \begin{matrix} 2 & -4 \\ -3 & 6 \end{matrix} \right] . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Matriks UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketaui matriks $ A = \left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] $ dan $ B = \left[ \begin{matrix} 4 & - 2 \\ -6 & 3 \end{matrix} \right]$. Matriks $ X $ yang memenuhi $ XA + B = X $ adalah ....
A). $ \left[ \begin{matrix} -4 & 2 \\ 6 & -3 \end{matrix} \right] \, $ B). $ \left[ \begin{matrix} -4 & -2 \\ 6 & -3 \end{matrix} \right] \, $ C). $ \left[ \begin{matrix} -2 & 4 \\ 3 & -6 \end{matrix} \right] \, $
D). $ \left[ \begin{matrix} 2 & 4 \\ -3 & -6 \end{matrix} \right] \, $ E). $ \left[ \begin{matrix} 2 & -4 \\ -3 & 6 \end{matrix} \right] \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Matriks :
*). Sifat-sifat pada Matriks :
i). $ XA-X = X(A-I) $
ii). $ XD = B \rightarrow X = B.D^{-1} $.
dimana $ D^{1} $ adalah invers matriks D dan $ I $ adalah matriks identitas.
*). Invers matriks :
$ D = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \rightarrow D^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan matriks $ X $ :
$ \begin{align} XA + B & = X \\ XA - X & = -B \\ X(A - I) & = -B \\ X \left( \left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] - \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \right) & = -\left[ \begin{matrix} 4 & - 2 \\ -6 & 3 \end{matrix} \right] \\ X \left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} -4 & 2 \\ 6 & -3 \end{matrix} \right] \\ X & = \left[ \begin{matrix} -4 & 2 \\ 6 & -3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right]^{-1} \\ & = \left[ \begin{matrix} -4 & 2 \\ 6 & -3 \end{matrix} \right] \frac{1}{4.1 - 3.3} \left[ \begin{matrix} 1 & -3 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} -4 & 2 \\ 6 & -3 \end{matrix} \right] \frac{1}{-5} \left[ \begin{matrix} 1 & -3 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right] \\ & = \frac{1}{-5} \left[ \begin{matrix} -4 & 2 \\ 6 & -3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & -3 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right] \\ & = \frac{1}{-5} \left[ \begin{matrix} -10 & 20 \\ 15 & -30 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} 2 & -4 \\ -3 & 6 \end{matrix} \right] \end{align} $
Jadi, hasil $ X = \left[ \begin{matrix} 2 & -4 \\ -3 & 6 \end{matrix} \right] . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Perkalian Matriks UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ P = Q^3 $ dengan $ Q = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right] $ , maka $ P\left[ \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right] = .... $
A). $ \left[ \begin{matrix} 1 \\ -3 \end{matrix} \right]\, $ B). $ \left[ \begin{matrix} -1 \\ -3 \end{matrix} \right] $ C). $ \left[ \begin{matrix} 3 \\ -1 \end{matrix} \right] $
D). $ \left[ \begin{matrix} -3 \\ -1 \end{matrix} \right] $ E). $ \left[ \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right] $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Perkalian Matriks :
*). Perkalian matriks caranya :
Perkalian = baris $ \times $ kolom
*). Matriks transformasi berupa rotasi adalah
$ T = \left[ \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right] $
*). Bentuk rotasi $ T^n $ adalah :
$ T^n = \left[ \begin{matrix} \cos n \times \theta & -\sin n \times \theta \\ \sin n \times \theta & \cos n \times \theta \end{matrix} \right] $
$ T^n \, $ artinya rotasi sebanyak $ n $ kali.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ Q = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right] $ artinya rotasi dengan sudut $ \theta = 60^\circ $.
*). Menentukan $ Q^3 $ :
$ \begin{align} Q^3 & = \left[ \begin{matrix} \cos 3 \times \theta & -\sin 3 \times \theta \\ \sin 3 \times \theta & \cos 3 \times \theta \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} \cos 3 \times 60^\circ & -\sin 3 \times 60^\circ \\ \sin 3 \times 60^\circ & \cos 3 \times 60^\circ \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right] \end{align} $
*). Menentukan hasil akhir :
$ \begin{align} P\left[ \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right] & = Q^3 . \left[ \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} 1 \\ -3 \end{matrix} \right] \end{align} $
Jadi, hasil $ P\left[ \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 \\ -3 \end{matrix} \right] . \, \heartsuit $

Pembahasan Perkalian Matriks UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ P = Q^3 $ dengan $ Q = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right] $ , maka $ P\left[ \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right] = .... $
A). $ \left[ \begin{matrix} 1 \\ -3 \end{matrix} \right]\, $ B). $ \left[ \begin{matrix} -1 \\ -3 \end{matrix} \right] $ C). $ \left[ \begin{matrix} 3 \\ -1 \end{matrix} \right] $
D). $ \left[ \begin{matrix} -3 \\ -1 \end{matrix} \right] $ E). $ \left[ \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right] $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Perkalian Matriks :
*). Perkalian matriks caranya :
Perkalian = baris $ \times $ kolom

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ Q^3 $ :
$ \begin{align} Q^2 & = Q.Q = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right] . \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{4} - \frac{3}{4} & -\frac{1}{4}\sqrt{3} -\frac{1}{4}\sqrt{3} \\ \frac{1}{4}\sqrt{3} +\frac{1}{4}\sqrt{3} & -\frac{3}{4} + \frac{1}{4} \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} - \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & - \frac{1}{2} \end{matrix} \right] \\ Q^3 & = Q^2.Q = \left[ \begin{matrix} - \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & - \frac{1}{2} \end{matrix} \right] . \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} -\frac{1}{4} - \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\sqrt{3} - \frac{1}{4}\sqrt{3} \\ \frac{1}{4}\sqrt{3} - \frac{1}{4}\sqrt{3} & -\frac{3}{4} - \frac{1}{4} \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix} \right] \end{align} $
*). Menentukan hasil akhir :
$ \begin{align} P\left[ \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right] & = Q^3 . \left[ \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} 1 \\ -3 \end{matrix} \right] \end{align} $
Jadi, hasil $ P\left[ \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 \\ -3 \end{matrix} \right] . \, \heartsuit $

Pembahasan Program Linear UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Nilai maksimum $ z = 10x + 20y $ dengan pembatas $ x - y \geq 0 $ , $ 6x+4y \leq 24 $ , dan $ 4x + 4y \geq 16 $ adalah ....
A). $ 40 \, $ B). $ 60 \, $ C). $ 72 \, $ D). $ 80 \, $ E). $ 96 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Program Linear :
*). Langkah-langkah menentukan nilai maksimum atau minimum :
1). Menentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP),
2). Menentukan titik pojok DHP nya,
3). Substitusikan semua titik pojok ke fungsi tujuan, lalu pilih nilai terkecil sebagai nilai minimum.


$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan Daerah himpunan penyelesaian (DHP) :
Garis I : $ x - y \geq 0 \rightarrow y = x \rightarrow (0,0) , \, (1,1) $
Garis II : $ 6x+4y \leq 24 \rightarrow (0,6), \, (4,0) $
Garis III : $ 4x + 4y \geq 16 \rightarrow (0,4) , \, (4,0) $
 

*). Menentukan titik pojok A, B dan C :
-). Titik $ A(4,0) $
-). Titik B, substitusi pers(I) ke pers II :
$ 6x +4 y = 24 \rightarrow 6x + 4x = 24 \rightarrow x = 2,4 $
dan juga $ y = x = 2,4 $.
Sehingga titik $ B (2,4 ; 2,4 ) $.
-). Titik C, substitusi pers(I) ke pers III :
$ 4x + 4y = 16 \rightarrow 4x + 4x = 16 \rightarrow x = 2 $
dan juga $ y = x = 2 $.
Sehingga titik $ C (2,2 ) $.
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi $ z = 10x + 20y $ :
$ \begin{align} A \rightarrow z & = 10. 4 + 20 . 0 = 40 \\ B \rightarrow z & = 10 \times 2,4 + 20 \times 2,4 = 72 \\ C \rightarrow z & = 10 . 2 + 20 . 2 = 60 \end{align} $.
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ 72 . \, \heartsuit $

Pembahasan Program Linear Gradien UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Agar fungsi $ f(x,y) = 3x + by $ dengan kendala $ x+y \leq 7 $ , $ x + 2y \leq 10 $ , $ x \geq 0 $ , dan $ y \geq 0 $ mencapai maksimum hanya di titik (4,3), maka nilai $ b $ haruslah ....
A). $ 1 < b < 5 \, $
B). $ 3 < b < 7 \, $
C). $ 3 < b < 9 $
D). $ -9 < b < -3 $
E). $ -5 < b < -3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Program linear metode Gradien :
*). Jika nilai optimum (maksimum atau minimum) suatu fungsi objektif (tujuan) terletak hanya di titik perpotongan kedua kendala, maka gradien fungsi objektif ada diantara gradien kedua kendalanya. Bisa ditulis :
$ \, \, \, \, \, m_1 < m_{obj} < m_2 $.
Keterangan :
$ m_1 = \, $ gradien kendala 1,
$ m_2 = \, $ gradien kendala 2,
$ m_{obj} = \, $ gradien fungsi objektif.
*). Graadien dari bentuk $ ax + by $ adalah $ m = - \frac{a}{b} $.
*). Untuk lebih jelasnya tentang teori metode gradien ini, silahkan teman-teman baca pada artikel "program linear : Nilai optimum dengan metode gradien".
*). Sifat pertidaksamaan :
i). Kali negatif, tanda ketaksamaan dibalik.
ii). Jika $ a, b, c, d $ adalah positif, maka
$ a > \frac{b}{c} > d \, $ bisa diubah $ \frac{1}{a} < \frac{c}{b} < \frac{1}{d} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Cek letak titik (4,3) ke kedua kendala :
$ x + y = 4 + 3 = 7 \, $ (Benar) dan $ x + 2y = 4 + 2.3 = 10 \, $ (Benar)
Artinya titik (4,3) ada pada perpotongan kedua garis.
*). Menentukan gradien masing-masing :
kendalanya :
$ x + y = 7 \rightarrow m_1 = -\frac{1}{1} = -1 $
$ x + 2y = 10 \rightarrow m_2 = -\frac{1}{2} $
Fungsi objektifnya :
$ f(x,y) = 3x + by \rightarrow m_{obj} = - \frac{3}{b} $.
*). Menentukan rentang nilai $ b $ :
$ \begin{align} m_1 < & m_{obj} < m_2 \\ -1 < & -\frac{3}{b} < -\frac{1}{2} \, \, \, \, \, \text{(kali -2, tanda dibalik)} \\ 2 > & \frac{6}{b} > 1 \, \, \, \, \, \text{(ubah tengah, tanda dibalik)} \\ \frac{1}{2} < & \frac{b}{6} < 1 \, \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 3 < & b < 6 \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ 3 < b < 6 . \, \heartsuit $
(tidak ada jawaban pada option).

Pembahasan Sistem Persamaan UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \alpha , \beta , $ dan $ \gamma $ adalah penyelesaian sistem persmaan linier :
$ \left\{ \begin{array}{c} x + 6y + z = 44 \\ 2y + 3z = 24 \\ x + 5y = 33 \end{array} \right. $
maka $ \alpha + \beta + \gamma = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 7 \, $
D). $ 8 \, $ E). $ 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, bisa menggunakan metode eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaan (ii) dan (iii) :
Persamaan (ii) :
$ 2y + 3z = 24 \rightarrow z = \frac{24 - 2y}{3} $
Persamaan (iii) :
$ x + 5y = 33 \rightarrow x = 33 - 5y $.
*). Substitusi pers(ii) dan (iii) ke (i) :
$ \begin{align} x + 6y + z & = 44 \\ (33-5y) + 6y + \frac{24 - 2y}{3} & = 44 \\ 33 + y + \frac{24 - 2y}{3} & = 44 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 99 + 3y + 24 - 2y & = 132 \\ 123 + y & = 132 \\ y & = 9 \end{align} $
Pers(ii): $ x = 33 - 5y = 33 - 5.9 = -12 $
pers(iii): $ z = \frac{24 - 2y}{3} = \frac{24 - 2.9}{3} = \frac{6}{3} = 2 $.
Artinya nilai $ \alpha = -12, \beta = 9 $ dan $ \gamma = 2 $.
*). Menentukan nilai $ \alpha + \beta + \gamma $ :
$ \begin{align} \alpha + \beta + \gamma & = -12 + 9 + 2 = -1 \end{align} $
Jadi, nilai $ \alpha + \beta + \gamma = -1. \, \heartsuit $
(tidak ada jawaban pada option).

Pembahasan Lingkaran Trigonometri UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui lingkaran $ x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0 $ memotong sumbu-$y$ di titik A dan B. Jika P adalah titik pusat lingkaran tersebut, maka nilai $ \cos \angle APB = .... $
A). $ -\frac{14}{25} \, $ B). $ -\frac{7}{25} \, $ C). $ \frac{7}{25} \, $ D). $ \frac{12}{25} \, $ E). $ \frac{14}{25} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Kedudukan Dua lingkaran :
*). Diketahui persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Titik pusat : $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2} , -\frac{B}{2} \right) $
Jari-jari : $ r = \sqrt{a^2 + b^2 - C } $
*). Aturan kosinus pada segitiga APB :
$ AB^2 = PA^2 + PB^2 - 2.PA.PB . \cos \angle APB \, $ atau
$ \cos \angle APB = \frac{PA^2 + PB ^2 - AB^2}{2.PA.PB} $
*). Suatu kurva memotong sumbu-y, maka substitusi $ x = 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran :
$ x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0 \rightarrow A = -6, B = 8 , C = 0 $
Pusat : $ (a,b) = ( -\frac{-6}{2} , -\frac{8}{2} ) = (3 , -4 ) $
Jari-jari : $ r = \sqrt{3^2 + (-4)^2 - 0 } = \sqrt{25} = 5 $
*). Menentukan titik potong sumbu Y dengan substitusi $ x = 0 $ :
$ \begin{align} x^2 + y^2 - 6x + 8y & = 0 \\ 0^2 + y^2 - 6.0 + 8y & = 0 \\ y^2 + 8y & = 0 \\ y(y+8) & = 0 \\ y = 0 \vee y & = -8 \end{align} $
Sehingga titik potong sumbu Y adalah $ A(0,0) $ dan $ B(0,-8)$.
*). Ilustrasi gambarnya :
 

panjang $ AB = 8 $,
Panjang $ PA = PB = r = 5 $.
*). Menentukan nilai $ \cos \angle APB $ :
$ \begin{align} \cos \angle APB & = \frac{PA^2 + PB ^2 - AB^2}{2.PA.PB} \\ & = \frac{5^2 + 5 ^2 - 8^2}{2.5.5} \\ & = \frac{25 + 25 - 64}{50} \\ & = \frac{-14}{50} = -\frac{7}{25} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \angle APB = - \frac{7}{25} . \, \heartsuit $