Pembahasan Integral UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$ \int x^5 \left( 2 - x^3 \right) ^\frac{1}{2} \, dx = .... $
A). $ \frac{2}{45}(3x^3+4)(-x^3+2)^\frac{3}{2} + c \, $
B). $ \frac{-2}{5}(3x^3+4)(-x^3+2)^\frac{3}{2} + c \, $
C). $ \frac{2}{5}(3x^3+4)(-x^3+2)^\frac{3}{2} + c \, $
D). $ \frac{-2}{25}(3x^3+4)(-x^3+2)^\frac{3}{2} + c \, $
E). $ \frac{-2}{45}(3x^3+4)(-x^3+2)^\frac{3}{2} + c \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Integral :
*). Rumus umus integral :
$ \int au^n du = \frac{a}{n+1}u^{n+1} + c $
*). Salah satu metode penyelesaian integral adalah metode substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ u = 2 - x^3 \rightarrow x^3 = 2 - u $ :
$ \frac{du}{dx} = -3x^2 \rightarrow dx = \frac{du}{-3x^2 }$
*). Menyelesaikan soalnya dengan substitusi bentu yang ada :
$ \begin{align} & \int x^5 \left( 2 - x^3 \right) ^\frac{1}{2} \, dx \\ & = \int x^5 u^\frac{1}{2} \, \frac{du}{-3x^2 } \\ & = -\frac{1}{3}\int x^3 u^\frac{1}{2} \, du \\ & = -\frac{1}{3}\int (2 - u) u^\frac{1}{2} \, du \\ & = -\frac{1}{3}\int 2u^\frac{1}{2} - u^\frac{3}{2} \, du \\ & = -\frac{1}{3} \, \left( \frac{2}{\frac{1}{2}+1}u^{\frac{1}{2}+1} - \frac{1}{\frac{3}{2}+1}u^{\frac{3}{2}+1} \right) + c \\ & = -\frac{1}{3} \, \left( \frac{2}{\frac{3}{2} }u^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{\frac{5}{2}}u^{\frac{5}{2}} \right) + c \\ & = -\frac{1}{3} \, \left( \frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}} \right) + c \\ & = -\frac{1}{3} \, \left( \frac{4}{3} - \frac{2}{5}u \right)u^{\frac{3}{2}} + c \\ & = -\frac{1}{3} \, \left( \frac{20}{15} - \frac{6}{15}u \right)u^{\frac{3}{2}} + c \\ & = -\frac{1}{3} \, \left( \frac{20}{15} - \frac{6}{15}(2-x^3) \right)(2-x^3)^{\frac{3}{2}} + c \\ & = -\frac{1}{3} \, \left( \frac{20}{15} - \frac{12}{15} + \frac{6}{15}x^3 \right)(2-x^3)^{\frac{3}{2}} + c \\ & = -\frac{1}{3} \, \left( \frac{8}{15} + \frac{6}{15}x^3 \right)(2-x^3)^{\frac{3}{2}} + c \\ & = -\frac{1}{3} . \frac{2}{15} \left( 4 + 3x^3 \right)(2-x^3)^{\frac{3}{2}} + c \\ & = -\frac{2}{45} \left( 3x^3 + 4 \right)(-x^3 + 2)^{\frac{3}{2}} + c \end{align} $
Jadi, hasilnya $ -\frac{2}{45} \left( 3x^3 + 4 \right)(-x^3 + 2)^{\frac{3}{2}} + c . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Garis Singgung UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan garis singgung parabola $ y = \sqrt{x} + 1 $ melaui titik $(-8,0) $ adalah ....
A). $ 4y - x - 2 = 0 \, $
B). $ 4y + x - 2 = 0 \, $
C). $ 4y + 3x - 2 = 0 \, $
D). $ 4y - x + 2 = 0 \, $
E). $ 4y - 3x - 2 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Garis menyinggung parabola :
*). Syarat garis menyinggung parabola adalah $ D = 0 $
dengan $ D = b^2 - 4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan garis singgungnya $ y = mx + c $ melaui $(-8,0)$ :
Substitusi titik ke garis singgungnya :
$ y = mx + c \rightarrow 0 = m.(-8) + c \rightarrow c = 8m $
Sehingga persamaan garis singgungnya $ y = mx + 8m \rightarrow x = \frac{y - 8m}{m} $.
*). Mengubah fungsi parabolanya :
$ y = \sqrt{x} + 1 \rightarrow \sqrt{x} = y-1 \rightarrow x = (y-1)^2 $
*). Menentukan nilai $ m $ dengan syarat bersinggungan :
Substitusi garis ke parabola :
$ \begin{align} x & = (y-1)^2 \\ \frac{y - 8m}{m} & = (y-1)^2 \\ \frac{y - 8m}{m} & = y^2 - 2y + 1 \\ y - 8m & = my^2 - 2my + m \\ 0 & = my^2 - 2my - y + m + 8m \\ my^2 - (2m+1)y + 9m & = 0 \\ a = m , b & = -(2m+1) , c = 9m \\ \text{syarat : } D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ [-(2m+1)]^2 - 4.m.9m & = 0 \\ 4m^2 + 4m + 1 - 36m^2 & = 0 \\ 32m^2 - 4m - 1 & = 0 \\ (8m+1)(4m-1) & = 0 \\ m = -\frac{1}{8} \vee m & = \frac{1}{4} \end{align} $
Karena bentuk $ y = \sqrt{x} + 1 $ selalu naik, maka $ m =\frac{1}{4} $ yang memenuhi.
*). Menentukan persamaan garis singgungnya (PGS) :
$ \begin{align} y & = mx + 8m \\ y & = \frac{1}{4}x + 8.\frac{1}{4} \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 4y & = x + 8 \\ 4y - x - 8 & = 0 \end{align} $
Jadi, PGSnya adalah $ 4y - x - 8 = 0 . \, \heartsuit $
(tidak ada jawaban pada option)

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Limit UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 16 } \frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{2 + \sqrt[4]{x}} - 2} = .... $
A). $ \frac{2}{5} \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 10 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 16 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar limit :
*). untuk hasil limit bentuk tak tentu ($\frac{0}{0}$), maka bisa menggunakan cara merasionalkan.
*). Bentuk perkalian :
i). $ (\sqrt{a} - b)(\sqrt{a}+b) = a - b^2 $
ii). $ (\sqrt[4]{a} - b)(\sqrt[4]{a}+b) = \sqrt{a} - b^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal dengan merasionalkan :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 16 } \frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{2 + \sqrt[4]{x}} - 2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 16 } \frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{2 + \sqrt[4]{x}} - 2} \times \frac{\sqrt{2 + \sqrt[4]{x}} + 2}{\sqrt{2 + \sqrt[4]{x}} + 2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 16 } \frac{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{2 + \sqrt[4]{x}} + 2)}{(2 + \sqrt[4]{x}) - 4} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 16 } \frac{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{2 + \sqrt[4]{x}} + 2)}{\sqrt[4]{x} - 2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 16 } \frac{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{2 + \sqrt[4]{x}} + 2)}{\sqrt[4]{x} - 2} \times \frac{\sqrt[4]{x} + 2}{\sqrt[4]{x} + 2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 16 } \frac{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{2 + \sqrt[4]{x}} + 2)(\sqrt[4]{x} + 2)}{\sqrt{x} - 4} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 16 } \, (\sqrt{2 + \sqrt[4]{x}} + 2)(\sqrt[4]{x} + 2) \\ & = (\sqrt{2 + \sqrt[4]{16}} + 2)(\sqrt[4]{16} + 2) \\ & = (\sqrt{2 + 2} + 2)(2 + 2) \\ & = (2 + 2)(2 + 2) = 16 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 16 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Trigonometri UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \alpha + \beta = \frac{\pi}{3} , \, \alpha , \beta \, $ sudut-sudut lancip dan $ \tan \alpha = \frac{1}{6}\tan \beta $ , maka $ \sin \alpha + \sin \beta = .... $
A). $ \frac{1}{7}\sqrt{7} + \frac{1}{5}\sqrt{5} \, $
B). $ \frac{1}{10} + \frac{1}{5}\sqrt{5} \, $
C). $ \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\sqrt{5} \, $
D). $ \frac{1}{14}\sqrt{5} + \frac{1}{5}\sqrt{3} \, $
E). $ \frac{1}{14}\sqrt{7} + \frac{1}{5}\sqrt{5} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri :
*). Rumus jumlah sudut :
$ \tan (\alpha + \beta ) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta }{1 - \tan \alpha \tan \beta} $
*). Rumus perbandingan trigonometri :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} \, $ dan $ \tan x = \frac{depan}{samping} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ \tan \beta $ :
diketahui $ \alpha + \beta = \frac{\pi}{3} = 60^\circ \, $ dan $ \tan \alpha = \frac{1}{6} \tan \beta $
$ \begin{align} \alpha + \beta & = \frac{\pi}{3} \\ \tan (\alpha + \beta ) & = \tan ( \frac{\pi}{3} ) \\ \frac{\tan \alpha + \tan \beta }{1 - \tan \alpha \tan \beta} & = \sqrt{3} \, \, \, \, \, \, \, (\text{Subst } \tan \alpha = \frac{1}{6}\tan \beta ) \\ \frac{\frac{1}{6} \tan \beta + \tan \beta }{1 - \frac{1}{6} \tan \beta \tan \beta} & = \sqrt{3} \\ \frac{\frac{7}{6} \tan \beta }{1 - \frac{1}{6} \tan ^2 \beta } & = \sqrt{3} \\ \frac{7}{6} \tan \beta & = \sqrt{3} (1 - \frac{1}{6} \tan ^2 \beta ) \, \, \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 7\tan \beta & = \sqrt{3} (6 - \tan ^2 \beta ) \, \, \, \, \, \, \text{(kali } \sqrt{3} ) \\ 7\sqrt{3}\tan \beta & = 3 (6 - \tan ^2 \beta ) \\ 7\sqrt{3}\tan \beta & = 18 - 3 \tan ^2 \beta \\ 0 & = 3\tan ^2 \beta + 7\sqrt{3}\tan \beta -18 \\ 0 & = (3\tan \beta - 2\sqrt{3})(\tan \beta + 3\sqrt{3}) \\ \tan \beta & = \frac{2\sqrt{3}}{3} \vee \tan \beta = - 3\sqrt{3} \end{align} $
Karena $ \beta \, $ lancip, maka $ \tan \beta = \frac{2\sqrt{3}}{3} $ yang memenuhi.
Sehingga nilai $ \tan \alpha = \frac{1}{6} . \tan \beta = \frac{1}{6}. \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{9} $.
*). Menentukan nilai $ \sin \alpha $ dan $ \sin \beta $ :
 
*). Menentukan nilai $ \sin \alpha + \sin \beta $ :
$ \begin{align} \sin \alpha + \sin \beta & = \frac{1}{14}\sqrt{7} + \frac{4}{14}\sqrt{7} = \frac{5}{14}\sqrt{7} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \alpha + \sin \beta = \frac{5}{14}\sqrt{7} . \, \heartsuit $
(tidak ada jawaban pada option)

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)