Cara 2 Pembahasan Limit UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{x^2+5} -3}{x^2-2x} \, $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{1}{3} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{3}{4} \, $ E). $ \infty $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penerapan turunan pada limti (Dalil L'Hopital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \, $ memiliki solusi $ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
*). Turunan bentuk akar :
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Turunan bentuk akar :
$ y = \sqrt{x^2+5} \rightarrow y^\prime = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+5}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+5}} $
*). Menyelesaikan soal dengan turunan :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{x^2+5} -3}{x^2-2x} = \frac{0}{0} \, \, \, \, \, \text{(L'Hopital)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+5}}}{2x - 2} \\ & = \frac{\frac{2}{\sqrt{2^2+5}}}{2.2 - 2} \\ & = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3} \\ \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{3} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Limit UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{x^2+5} -3}{x^2-2x} \, $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{1}{3} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{3}{4} \, $ E). $ \infty $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan limit bentuk tak tentu ( hasilnya $ \frac{0}{0} $ ) dapat dengan merasionalkan.
*). Merasionalkan bentuk $ \sqrt{a} - b $ dengan cara mengalikan :
$ ( \sqrt{a} - b ) (\sqrt{a} + b ) = a - b^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{x^2+5} -3}{x^2-2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{x^2+5} -3}{x^2-2x} \times \frac{\sqrt{x^2+5} +3}{\sqrt{x^2+5} +3} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x^2+5) -9}{(x^2-2x)(\sqrt{x^2+5} +3)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x^2- 4) }{(x^2-2x)(\sqrt{x^2+5} +3)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x- 2)(x + 2) }{x(x -2 )(\sqrt{x^2+5} +3)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ (x + 2) }{x (\sqrt{x^2+5} +3)} \\ & = \frac{ (2 + 2) }{2. (\sqrt{2^2+5} +3)} \\ & = \frac{ (4 }{2. (3+3)} \\ & = \frac{ 4 }{12} = \frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{3} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Trigonometri UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ \Delta ABC $ siku-siku di B, $ \cos \alpha = \frac{4}{5} $ dan $ \tan \beta = 1 $. Jika $ AD = a $ , maka AC = ....
A). $ 4a \, $ B). $ 4\frac{1}{3}a \, $ C). $ 4\frac{2}{3}a \, $ D). $ 5a \, $ E). $ 5\frac{1}{3}a $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku :
$ \sin y = \frac{depan}{miring}, \, \cos y = \frac{samping}{miring} \, $ dan $ \tan y = \frac{depan}{samping} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan panjang $ BD = x $
*). Pada segitiga BCD :
$\begin{align} \tan \beta & = 1 \rightarrow \frac{BC}{BD} = 1 \rightarrow BC = BD = x \end{align} $
*). Pada segitiga ABC, $ AC = AD + BD = a + x $ :
Karena $ \cos \alpha = \frac{4}{5} = \frac{samping}{miring} $ sehingga depannya adalah 3 (dengan phytagoras), sehingga nilai $ \tan \alpha = \frac{depan}{samping} = \frac{3}{4} $.
*). Hubungan $ a $ dan $ x $ pada segitiga ABC :
$\begin{align} \tan \alpha & = \frac{BC}{AB} \\ \frac{3}{4} & = \frac{x}{a + x} \\ 4x & = 3a + 3x \\ x & = 3a \end{align} $
Artinya $ AB = a + x = a + 3a = 4a $
*). Panjang AC pada segitiga ABC :
$\begin{align} \cos \alpha & = \frac{AB}{AC} \\ \frac{4}{5} & = \frac{4a}{AC} \\ 4AC & = 20a \\ AC & = 5a \end{align} $
Jadi, panjang $ AC = 5a . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Program Linear UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai maksimum dari $ z = 4x + 9y $ dengan syarat $ x + 2y \leq 12 $ , $ 2x + y \leq 12 $ , $ x \geq 0 $ , $ y \geq 0 $ adalah ....
A). $ 24 \, $ B). $ 42 \, $ C). $ 48 \, $ D). $ 52 \, $ E). $ 54 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menentukan nilai optimum pada program linear, bisa menggunakan metode uji titik pojok yang langkah-langkahnya :
1). Buat daerah himpunan penyelesaiannya (DHP),
2). Tentukan titik pojok DHP nya,
3). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya, lalu pilih sesuai permintaan soal ( jika minimum maka pilih yang terkecil dan jika maksimum maka pilih yang terbesar).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan Daerah himpunan penyelesaian (DHP) :
Garis I : $ x + 2y \leq 12 \rightarrow (0,6) , \, (12,0) $
Garis II : $ 2x + y \leq 12 \rightarrow (0,12), \, (6,0) $
Garis III : $ x \geq 0 \rightarrow \, $ Sumbu Y
Garis IV : $ y \geq 0 \rightarrow \, $ Sumbu X
 
*). Menentukan titik pojok A, B, dan C :
-). Titik $ A(6,0) , \, C(0,6) $
-). Titik B, Eliminasi pers I dan pers II :
$ \begin{array}{c|c|cc} x + 2y = 12 & \times 2 & 2x + 4y = 24 & \\ 2x + y = 12 & \times 1 & 2x + y = 12 & - \\ \hline & & 3y = 12 & \\ & & y = 4 & \end{array} $
Pers(I): $ x + 2y = 12 \rightarrow x + 2.4 = 12 \rightarrow x = 4 $
Sehingga titik $ B \left( 4,4 \right) $.
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi $ z = 4x + 9y $ :
$ \begin{align} A \rightarrow z & = 4. 6 + 9.0 = 24 \\ B \rightarrow z & = 4.4 + 9.4 = 52 \\ C \rightarrow z & = 4.0 + 9.6 = 54 \end{align} $.
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ 54 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan $ x_1 $ dan $ x_2 $ merupakan akar dari persamaan $ x^2 - px + (p+2) = 0 $ . Nilai $ x_1^2 + x_2^2 $ minimum bila nilai $ p $ sama dengan ....
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan Kuadrat (PK) $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1.x_2 $
*). FUngsi $ y = f(x) $ minimum pada saat $ f^\prime (x) = 0 $ .
(Turunan pertama fungsinya sama dengan nol)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ x^2 - px + (p+2) = 0 \rightarrow a =1 , b = -p , c = p+2 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-p)}{1} = p $
$ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} = \frac{p + 1}{1} = p + 1 $
Sehingga nilai :
$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = (x_1+x_2)^2 - 2x_1.x_2 \\ & = (p)^2 - 2(p+1) \\ f(p) & = p^2 - 2p - 2 \\ f^\prime (p) & = 2p - 2 \end{align} $
*). Bentuk $ x_1^2 + x_2^2 = f(p) $ minimum pada saat :
$\begin{align} f^\prime (p ) & = 0 \\ 2p - 2 & = 0 \\ p & = 1 \end{align} $
Jadi, $ x_1^2 + x_2^2 $ minimum pada saat $ p = 1 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)