Pembahasan Integral UM UGM 2006 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Luas daerah yang diarsir di bawah adalah ....

A). $ \frac{\pi}{6} + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} 2\cos x dx \, $ B). $ \frac{\pi}{3} + \int \limits_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{2} 2\cos x dx \, $ C). $ \frac{\pi}{3} + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} 2\cos x dx \, $
D). $ \frac{\pi}{2} + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} 2\cos x dx \, $ E). $ \frac{\pi}{2} + \int \limits_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{2} 2\cos x dx \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas daerah di bawah kurva $ y = f(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ adalah :
$ \int \limits_a^b \, f(x) \, dx $
*). Luas persegi panjang $ = p \times l $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). ilustrasi gambar :
*). Titik potong $ y = 1 $ dan $ y = 2 \cos x $, substitusi $ y = 1 $ :
$ \begin{align} y & = 2 \cos x \\ 1 & = 2 \cos x \\ \cos x & = \frac{1}{2} \\ x & = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \end{align} $
*). Menentukan Luas Daerah yang diarsir :
$ \begin{align} \text{Luas Arsiran } & = \text{ Luas A } + \text{ Luas B} \\ & = p \times l + \int \limits_{\frac{\pi}{3}}^\frac{\pi}{2} \, 2\cos x \, dx \\ & = \frac{\pi}{3} \times 1 + \int \limits_{\frac{\pi}{3}}^\frac{\pi}{2} \, 2\cos x \, dx \\ & = \frac{\pi}{3} + \int \limits_{\frac{\pi}{3}}^\frac{\pi}{2} \, 2\cos x \, dx \end{align} $
Jadi, Luasnya adalah $ \frac{\pi}{3} + \int \limits_{\frac{\pi}{3}}^\frac{\pi}{2} \, 2\cos x \, dx . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Transformasi UM UGM 2006 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Matriks transformasi yang mewakili pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan rotasi $ 90^\circ $ berlawanan arah jarum jam dengan pusat O adalah ....
A). $ \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \, $
C). $ \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \, $ D). $ \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \, $
E). $ \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Matriks Rotasi :
$ \left( \begin{matrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{matrix} \right) $
*). Matriks Gabungan : $ MT = T_2.T_1 $

$\clubsuit $ Pembahasan 
*). Transformasi pertama : Pencerminan sumbu X
$ T_1 = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) $
*). Transformasi kedua : Rotasi $ 90^\circ $ berlawanan jarum jam (sudut positif)
$ T_2 = \left( \begin{matrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right)$
*). Matriks gabungannya :
$ \begin{align} MT & = T_2.T_1 \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, matriks transformasinya adalah $ \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Vektor UM UGM 2006 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika proyeksi vektor $ \vec{u} = 3\vec{i} + 4\vec{j} $ ke vektor $ \vec{v}=-4\vec{i}+8\vec{j} $ adalah vektor $ \vec{w} $, maka $ |\vec{w}| $ adalah ....
A). $ \sqrt{5} \, $ B). $ 5 \, $ C). $ \sqrt{3} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan diketahui vektor-vektor :
$ \vec{a} = (a_1 , a_2, a_3 \, $ dan $ \vec{b} = (b_1, b_2, b_3 ) $
*). Panjang proyeksi $ \vec{a} $ pada $ \vec{b} $ adalah
$ \, \, \, \, = \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| $.
Dengan :
$ \frac{\vec{a}.\vec{b}} = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3 $.
$ |\vec{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal diketahui :
$ \vec{u} = 3\vec{i} + 4\vec{j} = (3 , 4) $
$ \vec{v}=-4\vec{i}+8\vec{j} = (-4,8) $
Sehingga :
$ \begin{align} \vec{u}.\vec{v} & = 3. (-4) + 4.8 \\ & = -12 + 32 = 20 \\ |\vec{v}| & = \sqrt{(-4)^2+8^2} \\ & = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \end{align} $
*). Menentukan panjang proyeksi $ \vec{u} $ pada $ \vec{v} = |\vec{w}| $ :
$ \begin{align} \text{Panjang } & = \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \\ |\vec{w}| & = \left| \frac{20}{4\sqrt{5}} \right| \\ & = \frac{5}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \\ & = \frac{5\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5} \end{align} $
Jadi, panjang proyeksinya adalah $ \sqrt{5} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Trigonometri Rangkap UM UGM 2006 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \frac{\cos \alpha }{1 - \sin \alpha } = a $ , untuk $ \alpha \neq \frac{\pi}{2}+2k\pi $ , maka $ \tan \frac{\alpha}{2} = .... $
A). $ \frac{a}{a+1} \, $ B). $ \frac{1}{a+1} \, $
C). $ \frac{a-1}{a+1} \, $ D). $ \frac{a+1}{a-1} \, $
E). $ \frac{a}{a-1} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Sudut Rangkap :
$ \begin{align} \cos \alpha & = \cos ^2 \frac{\alpha}{2} - \sin ^2 \frac{\alpha}{2} \\ & = (\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2})(\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}) \end{align} $
$ \sin \alpha = 2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} $
*). Rumus identitas trigonometri :
$ \sin ^2 \frac{\alpha}{2} + \cos ^2 \frac{\alpha}{2} = 1 $
*). Rumus perbandingan sederhana :
$ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} $
*). Bentuk pemfaktoran : $ a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Soal :
$ \begin{align} \frac{\cos \alpha }{1 - \sin \alpha } & = a \\ \frac{(\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2})(\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}) }{1 - 2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} } & = a \\ \frac{(\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2})(\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}) }{ \sin ^2 \frac{\alpha}{2} + \cos ^2 \frac{\alpha}{2} - 2\sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} } & = a \\ \frac{(\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2})(\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}) }{ ( \cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2})^2 } & = a \\ \frac{(\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2})(\cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}) }{ ( \cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2})( \cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2}) } & = a \\ \frac{\cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} }{ \cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} } & = a \\ \cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} & = a( \cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} ) \\ \cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} & = a \cos \frac{\alpha}{2} - a \sin \frac{\alpha}{2} \\ a \sin \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} & = a \cos \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2} \\ (a + 1) \sin \frac{\alpha}{2} & = (a - 1 ) \cos \frac{\alpha}{2} \\ \frac{ \sin \frac{\alpha}{2} }{\cos \frac{\alpha}{2}} & = \frac{(a - 1 )}{(a+1)} \\ \tan \frac{\alpha}{2} & = \frac{a - 1 }{a+1} \end{align} $
Jadi, nilai $ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{a - 1 }{a+1} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Trigonometri UM UGM 2006 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
A, B, dan C adalah sudut-sudut $\Delta ABC $. Jika $ A - B = 30^\circ $ dan $ \sin C = \frac{5}{6} $ , maka $ \sin A . \cos B = .... $
A). $ \frac{3}{4} \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ \frac{1}{6} \, $ D). $ -\frac{2}{3} \, $ E). $ \frac{1}{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Trigonometri :
$ \sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
$ \sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
$ \sin ( 180^\circ - x) = \sin x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Jumlah sudut pada segitiga :
$ \begin{align} A + B + C & = 180^\circ \\ A + B & = 180^\circ - C \\ \sin (A + B) & = \sin ( 180^\circ - C ) \\ \sin A \cos B + \cos A \sin B & = \sin C \\ \sin A \cos B + \cos A \sin B & = \frac{5}{6} \, \, \, \, \, \, \, \text{(i)} \end{align} $
*). Persamaan Kedua :
$ \begin{align} A - B & = 30^\circ \\ \sin ( A - B ) & = \sin 30^\circ \\ \sin A \cos B - \cos A \sin B & = \frac{1}{2} = \frac{3}{6} \, \, \, \, \, \, \, \text{(ii)} \end{align} $
*). Jumlahkan pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} \sin A \cos B + \cos A \sin B = \frac{5}{6} & \\ \sin A \cos B - \cos A \sin B = \frac{3}{6} & + \\ \hline 2\sin A \cos B = \frac{8}{6} & \\ \sin A \cos B = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} & \end{array} $
Jadi, nilai $ \sin A \cos B = \frac{2}{3} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Turunan UM UGM 2006 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Grafik fungsi $ f(x) = \frac{x^2}{x-1} $ naik untuk nilai-nilai : ....
A). $ 0 < x < 1 \, $ atau $ x > 2 $
B). $ x < 0 \, $ atau $ 1 < x < 2 $
C). $ x < 0 \, $ atau $ x > 2 $
D). $ 0 < x < 2 \, $
E). $ x < 1 \, $ atau $ x > 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ naik pada interval $ x $ yang memenuhi $ f^\prime (x) > 0 $.
*). Turunan fungsi pecahan :
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime}{V^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan dan syarat fungsi naiknya :
$ \begin{align} f(x) & = \frac{x^2}{x-1} = \frac{U}{V} \\ U & = x^2 \rightarrow U^\prime = 2x \\ V & = x - 1 \rightarrow V^\prime = 1 \\ f^\prime (x) & = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime}{V^2} \\ & = \frac{2x ( x - 1) - x^2 . 1}{(x-1)^2} \\ & = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2} \\ f^\prime (x) & > 0 \, \, \, \, \text{(syaratnya)} \\ \frac{x(x-2)}{(x-1)^2} & > 0 \\ & \text{(akar-akarnya)} \\ x(x-2) & = 0 \rightarrow x = 0 \vee x = 2 \\ (x - 1)^2 & = 0 \rightarrow x = 1 \end{align} $
Garis bilangannya :
 
Solusinya : $ \{ x < 0 \} \, $ atau $ \{ x > 2 \} $
Jadi, interval naiknya adalah $ \{ x < 0 \} \, $ atau $ \{ x > 2 \} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Cara 2 Pembahasan Limit UM UGM 2006 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = \frac{1-x}{2 - \sqrt{x^2+3}} $ , maka $ \displaystyle \lim_{x \to 1} \, f(x) = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penerapan turunan pada limit (L'Hopita)
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \, $ memiliki solusi $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
*). Turunan bentuk akar :
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x) }{2\sqrt{f(x)}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Soalnya :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \, f(x) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \, \frac{1-x}{2 - \sqrt{x^2+3}} \, \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \, \frac{-1}{ - \frac{2x}{2 \sqrt{x^2+3}}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \, \frac{ \sqrt{x^2+3}}{ x} \\ & = \frac{ \sqrt{1^2+3}}{ 1 } = \frac{\sqrt{4}}{1} = 2 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Limit UM UGM 2006 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = \frac{1-x}{2 - \sqrt{x^2+3}} $ , maka $ \displaystyle \lim_{x \to 1} \, f(x) = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan limit bentuk tak tentu ($\frac{0}{0}$), dapat dengan merasionalkan.
*). Bentuk perkalian :
$ (a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b}) = a^2 - b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Soalnya :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 1} \, f(x) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \, \frac{1-x}{2 - \sqrt{x^2+3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \, \frac{1-x}{2 - \sqrt{x^2+3}} \times \frac{2 + \sqrt{x^2+3}}{2 + \sqrt{x^2+3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \, \frac{(1-x)(2 + \sqrt{x^2+3})}{4 - (x^2+3)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \, \frac{(1-x)(2 + \sqrt{x^2+3})}{1 - x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \, \frac{(1-x)(2 + \sqrt{x^2+3})}{(1-x)(1+x)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 1} \, \frac{ (2 + \sqrt{x^2+3})}{(1+x)} \\ & = \frac{ (2 + \sqrt{1^2+3})}{(1+1)} = \frac{ (2 + 2)}{2} = 2 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)