Cara 2 Pembahasan Deret UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah $ n $ suku pertama suatu deret aritmetika diberikan dengan rumus $ n^2 + 3n$. Beda deret tersebut adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika diketahui rumus $ S_n $ deret aritmetika
$ S_n = pn^2 + qn $ maka $ b = 2p $.
dengan $ b = \, $ beda.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). DIketahui $ S_n = n^2 + 3n \rightarrow p = 1 , q = 3 $
*). Menentukan nilai beda $(b)$ :
$\begin{align} b & = 2p = 2.1 = 2 \end{align} $
Jadi, bedanya adalah $ 2. \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Deret Aritmetika UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah $ n $ suku pertama suatu deret aritmetika diberikan dengan rumus $ n^2 + 3n$. Beda deret tersebut adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Beda ($b$) dalam barisan aritmetika :
$ b = U_2 - U_1 = U_3 - U_2 = ....= U_n - U_{n-1} $
*). Hubungan $ U_n $ dan $ S_n $ :
$ U_n = S_n - S_{n-1} \, $ untuk $ n \geq 2 $.
Dan $ U_1 = S_1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). DIketahui $ S_n = n^2 + 3n $ :
*). Menentukan $ U_1 $ dan $ U_2 $ :
$\begin{align} U_1 & = S_1 \\ & = 1^2 + 3.1 = 4 \\ U_2 & = S_2 - S_1 \\ & = (2^2 + 3.2) - (1^2 + 3.1 ) \\ & = 6 \end{align} $
*). Menentukan nilai beda $(b)$ :
$\begin{align} b & = U_2 - U_1 = 6 - 4 = 2 \end{align} $
Jadi, bedanya adalah $ 2. \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Barisan Aritmetika UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui dua orang pekerja dengan gaji permulaan Rp 1.600.000,-. Setiap tahun pekerja pertama mendapat kenaikan gaji sebesar Rp 10.000,- sedangkan pekerja kedua mendapat kenaikan gaji Rp 23.000,- setiap dua tahun. Setelah 10 tahun bekerja selisih gaji kedua pekerja tersebut adalah ....
A). Rp 15.000,-
B). Rp 20.000,-
C). Rp 50.000,-
D). Rp 130.000,-
E). Rp 150.000,-

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, \, U_n = a + (n-1)b $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama,
$ b = \, $ beda (penambah atau pengurang yang tetap)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Orang pertama :
Gaji awal : $ a = 1.600.000 $,
Penambah setiap tahun : $ b = 10.000 $
Besar gaji perbulan setelah 10 tahun kerja (mengalami 10 kali kenaikkan) :
$\begin{align} U_{n} & = a + (n-1) b \\ U_{11} & = 1600000 + (11-1) \times 10000 \\ & = 1600000 + 100000 \\ & = 1.700.000 \end{align} $
*). Orang Kedua :
Gaji awal : $ a = 1.600.000 $,
Penambah setiap dua tahun : $ b = 23.000 $
Besar gaji perbulan setelah 10 tahun kerja (mengalami 5 kali kenaikkan):
$\begin{align} U_{n} & = a + (n-1) b \\ U_{6} & = 1600000 + (6-1) \times 23000 \\ & = 1600000 + 115000 \\ & = 1.715.000 \end{align} $
Selisih gaji mereka $ = 1.715.000 - 1.700.000 = 15.000 $
Jadi, selisih gaji adalah $ 15.000,- \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Determinan UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Bila $ A = \left( \begin{matrix} \sin ^2 x & -\cos x \\ \sqrt{3}\sin x & 1 \end{matrix} \right) $, $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $ dan determinan $ A $ sama dengan $ 1 $, maka $ x $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{\pi}{6} \, $ C). $ \frac{\pi}{4} \, $ D). $ \frac{\pi}{3} \, $
E). $ \frac{\pi}{6} \, $ dan $ \frac{\pi}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus determinan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
Det(A) $ = |A| = ad - bc $
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \sin ^2 x = 1 - \cos ^2 x $
*). RUmus perbandingan trigonometri : $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Determinan matriks A = 1 :
$\begin{align} A = \left( \begin{matrix} \sin ^2 x & -\cos x \\ \sqrt{3}\sin x & 1 \end{matrix} \right) & \\ |A| & = 1 \\ \sin ^2 x . 1 - (-\cos x) . \sqrt{3}\sin x & = 1 \\ \sin ^2 x + \sqrt{3}\cos x \sin x & = 1 \\ 1 - \cos ^2 x + \sqrt{3}\cos x \sin x & = 1 \\ \sqrt{3}\cos x \sin x - \cos ^2 x & = 0 \\ \cos x ( \sqrt{3}\sin x - \cos x ) & = 0 \\ \cos x = 0 \vee \sqrt{3}\sin x - \cos x & = 0 \end{align} $
-). Untuk $ \cos x = 0 $, tidak ada $ x $ yang memenuhi pada interval $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $.
-). Untuk $ \sqrt{3}\sin x - \cos x = 0 $ :
$\begin{align} \sqrt{3}\sin x - \cos x & = 0 \\ \sqrt{3}\sin x & = \cos x \\ \frac{\sin x}{\cos x} & = \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \tan x & = \frac{1}{\sqrt{3}} \end{align} $
Pada interval $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $, nilai $ x $ yang memenuhi $ \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} $ adalah $ x = \frac{\pi}{6} $.
Jadi, nilai $ x = \frac{\pi}{6} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Statistika UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Dalam satu kelas terdapat 22 siswa. Nilai rata-rata matematikanya 5 dan jangkauan 4. Bila seseorang siswa yang paling rendah nilainya dan seorang siswa yang paling tinggi nilainya tidak disertakan, maka nilai rata-ratanya berubah menjadi $4,9$. Nilai siswa yang paling rendah adalah ....
A). $ 5 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus rata-rata :
Rata-rata $ = \frac{\text{jumlah semua nilai}}{\text{banyak nilai}} $
*). Rumus jangkauan :
Jangkauan $ = $ Nilai terbesar $ - $ nilai terkecil

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan nilai terendah $ = y $ dan tertinggi $ = x $ :
Misalkan jumlah nilai 20 siswa selain terendah dan tertinggi $ = A $.
*). Rata-rata 22 siswa = 5 :
$\begin{align} \text{Rata-rata } & = 5 \\ \frac{y + A + x}{22} & = 5 \\ y + A + x & = 110 \, \, \, \, \, \, \, \text{.....(i)} \end{align} $
*). Jangkauan = 4
$ x - y = 4 \, $ ......(ii)
*). Nilai $ y $ dan $ x $ tidak ikut, rata-rata 20 siswa = 4,9
$\begin{align} \text{Rata-rata } & = 4,9 \\ \frac{A}{20} & = 4,9 \\ A & = 98 \end{align} $
Pers(i): $ y + A + x = 110 \rightarrow y + 98 + x = 110 \rightarrow x + y = 12 $
*). Eliminasi pers(i) dan (ii) :
$\begin{array}{cc} x + y = 12 & \\ x - y = 4 & - \\ \hline 2y = 8 & \\ y = 4 \end{array} $
Jadi, nilai terendah adalah $ 4 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)