Pembahasan Sistem Persamaan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 941

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C :
Titik-titik $ (x,y) $ yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linier kuadrat
$ \begin{align} 2x + y & = 3 \\ (3x-2y-1)(-x+y-6) & = 0 \end{align} $
adalah .......
(1). $ (1,-1) \, $ (2). $ (1,1) \, $ (3). $ (-1,-5) \, $ (4). $ (-1,5) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, salah satunya dengan substitusi atau eliminasi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pers(i) : $ 2x + y = 3 \rightarrow y = -2x + 3 $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} (3x-2y-1)(-x+y-6) & = 0 \\ (3x-2(-2x + 3)-1)(-x+(-2x + 3)-6) & = 0 \\ (3x + 4x - 6-1)(-x-2x + 3 -6) & = 0 \\ (7x - 7)(-3x -3) & = 0 \\ (7x - 7) = 0 \vee (-3x -3) & = 0 \\ x = 1 \vee x & = -1 \end{align} $
*). Substitusi $ x = 1 $ dan $ x = -1 $ ke pers (i) : $ y = -2x + 3 $
$\begin{align} x = 1 \rightarrow y & = -2.1 + 3 = 1 \\ x = -1 \rightarrow y & = -2.(-1) + 3 = 5 \end{align} $
Sehingga penyelesaiannya adalah $ (1,1) $ dan $ (-1,5) $, pernyataan yang benar adalah (2) dan (4), jawaban yang sesuai berdasarkan petunjuk C adalah C.
Jadi, pernyataan yang benar adalah (2) dan (4) $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Eksponen Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 941

Soal yang Akan Dibahas
Nilai maksimum fungsi $ f(x) = 2. 8^{-(1-x)^2} $ adalah .....
A). $ 0 \, $ B). $\frac{1}{2} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat eksponen :
$ a^m . a^n = a^{m+n} $ dan $ (a^m)^n = a^{m.n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah fungsinya :
$\begin{align} f(x) & = 2. 8^{-(1-x)^2} \\ & = 2^1. (2^3)^{-(1-x)^2} \\ & = 2^1. (2)^{-3(1-x)^2} \\ f(x) & = 2^{-3(1-x)^2 + 1} \end{align} $
Bentuk $ f(x) = 2^{-3(1-x)^2 + 1} $ akan maksimum jika pangkatnya maksimum.
-). Pangkatnya $ -3(1-x)^2 + 1 $ akan maksimum saat $ (1-x)^2 $ minimum yaitu saat $ x = 1 $.
*). Menentukan nilai maksimum fungsi eksponennya :
$\begin{align} f(x) & = 2^{-3(1-x)^2 + 1} \\ f_{maks} & = f(1) = 2^{-3(1-1)^2 + 1} \\ & = 2^{0 + 1} = 2 \end{align} $
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Simak UI 2009 Matematika Dasar kode 941

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan barisan bilangan berikut :
$ 4^{{}^2 \log x}, 4^{{}^2 \log 2x} , 4^{{}^2 \log 4x}, ..... $
Jika hasil kali 3 suku pertama dari barisan tersebut adalah 1, maka suku kelima dari barisan tersebut adalah ......
A). $ 256 \, $ B). $ 128 \, $ C). $ 64 \, $ D). $ 32 \, $ E). $ 16 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat logaritma :
(i). $ {}^{a} \log b = {}^{a^n} \log b^n $ dan $ (a)^{ {}^a \log b } = b $
(ii). $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Sifat eksponen dan persamaannya :
$ a^m . a^n = a^{m+n} $
$ a^m = a^n \rightarrow m = n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui barisannya :
$ 4^{{}^2 \log x}, 4^{{}^2 \log 2x} , 4^{{}^2 \log 4x}, ..... $
Rumus suku ke-$n $ yaitu $ U_n = 4^{{}^2 \log 2^{n-1}x} $
*). Menentukan nilai $x $ :
$\begin{align} U_1.U_2.U_3 & = 1 \\ 4^{{}^2 \log x} . 4^{{}^2 \log 2x} . 4^{{}^2 \log 4x} & = 4^0 \\ 4^{{}^2 \log x+{}^2 \log 2x+{}^2 \log 4x} & = 4^0 \\ 4^{{}^2 \log x.2x.4x} & = 4^0 \\ 4^{{}^2 \log 8x^3} & = 4^0 \\ {}^2 \log 8x^3 & = 0 \\ 8x^3 & = 2^0 \\ 8x^3 & = 1 \\ x^3 & = \frac{1}{8} \\ x & = \frac{1}{2} \end{align} $
*). Menentukan nilai suku ke-5 :
$\begin{align} U_n & = 4^{{}^2 \log 2^{n-1}x} \\ U_5 & = 4^{{}^2 \log 2^{5-1}. \frac{1}{2}} \\ & = 4^{{}^2 \log 16. \frac{1}{2}} \\ & = 4^{{}^2 \log 8} = 4^{3} = 64 \end{align} $
Jadi, nilai $ U_5 = 64 . \, \heartsuit $