Pembahasan Deret Geometri UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Suatu tali dibagi menjadi tujuh bagian dengan panjang yang membentuk suatu barisan geometri. Jika yang paling pendek adalah 3 cm dan yang paling panjang 192 cm, maka panjang tali semula sama dengan ....
A). $ 379 \, $ B). $ 381 \, $ C). $ 383 \, $ D). $ 385 \, $ E). $ 387 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Geometri
*). Rumus suku ke-$n$ : $ U_n = a.r^{n-1} $
*). Rumus jumlah $ n $ suku pertama ($S_n$) :
$ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1 } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal diketahui :
-). Tali dibagi menjadi 7 bagian, artinya ada 7 suku.
-). Tali terpendek : $ a = U_1 = 3 $
-). Bagian terpanjang : $ U_7 = 192 $.
*). Menentukan nilai $ r $ (rasio) :
$ \begin{align} U_7 & = 192 \\ ar^6 & = 192 \\ 3r^6 & = 192 \\ r^6 & = 64 \\ r & = 2 \end{align} $
*). Panjang tali semula, artinya jumlah dari ketujuh suku yang terbentuk atau jumlah dari 7 suku pertama $(S_7)$ :
$ \begin{align} S_n & = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1 } \\ S_7 & = \frac{3.(2^7 - 1)}{2 - 1 } \\ & = \frac{3.(128 - 1)}{1 } \\ & = 3.(127) = 381 \end{align} $
Jadi, panjang tali semua adalah 381 cm $ . \, \heartsuit $