Tampilkan postingan dengan label matdas ipa undip 2016. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label matdas ipa undip 2016. Tampilkan semua postingan

Pembahasan Volume Integral UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Volume benda putar jika luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = \sqrt{x-1} $ dan $ y = x^2 - 2x + 1 $ diputar terhadap garis $ x = 2 $ sama dengan ... satuan volume.
A). $ \frac{3}{10}\pi \, $ B). $ \frac{1}{3}\pi \, $ C). $ \frac{2}{5}\pi \, $ D). $ \frac{11}{30}\pi \, $ E). $ \frac{3}{5}\pi $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Volume Integral
*). Suatu daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = f(x) $ dan $ y = g(x) $ berpotongan di $ y = a $ dan $ y = b $ diputar mengililingi garis $ x = h $, volume benda putar yang terbentuk adalah
$ \, \, \pi \int \limits_a^b [(f(y)-h)^2 - (g(y)-h)^2] \, dy $
(kurva terjauh $ - $ kurva terdekat sumbu putar)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

*). Mengubah bentuk fungsi menjadi $ f(y) $ dan $ g(y) $ :
-). Kurva paling jauh $ y = \sqrt{x - 1} $ sebagai $ y = f(x) $
$ y =\sqrt{x-1} \rightarrow x-1 = y^2 \rightarrow x = y^2 + 1 \rightarrow f(y) = y^2 + 1 $
-). Kurva paling dekat $ y = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 $ sebagai $ y = g(x) $
$ y =(x-1)^2 \rightarrow x-1 = \sqrt{y} \rightarrow x = \sqrt{y} + 1 \rightarrow g(y) = \sqrt{y} + 1 $
*). Menentukan titik potong kedua kurva :
$ \begin{align} f(y) & = g(y) \\ y^2 + 1 & = \sqrt{y} + 1 \\ y^2 & = \sqrt{y} \, \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ y^4 & = y \\ y^4 - y & = 0 \\ y(y^3 - 1) & = 0 \\ y = 0 \vee y^3 & = 1 \\ y = 0 \vee y & = 1 \end{align} $
*). Menentukan volume diputar terhadap garis $ x = 2 $ :
$ \begin{align} & \pi \int \limits_a^b [(f(y)-h)^2 - (g(y)-h)^2] \, dy \\ & = \pi \int \limits_0^1 [((y^2+1)-2)^2 - ((\sqrt{y}+1) - 2)^2] \, dy \\ & = \pi \int \limits_0^1 [(y^2 - 1)^2 - (\sqrt{y}- 1 )^2] \, dy \\ & = \pi \int \limits_0^1 [(y^4 - 2y^2 + 1) - (y - 2\sqrt{y} + 1 ) ] \, dy \\ & = \pi \int \limits_0^1 [y^4 - 2y^2 - y + 2\sqrt{y} ] \, dy \\ & = \pi [\frac{1}{5}y^5 - \frac{2}{3}y^3 - \frac{1}{2}y^2 + \frac{4}{3} y^\frac{3}{2} ]_0^1 \\ & = \pi [\frac{1}{5}.1^5 - \frac{2}{3}.1^3 - \frac{1}{2}.1^2 + \frac{4}{3} .1^\frac{3}{2} ] - [0] \\ & = \pi [\frac{1}{5} - \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{4}{3} ] \\ & = \pi [\frac{1}{5} + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} ] \\ & = \pi [\frac{6}{30} + \frac{20}{30} - \frac{15}{30} ] = \frac{11}{30} \pi \end{align} $
Jadi, volumenya adalah $ \frac{11}{30} \pi . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Ujian matematika diberikan kepada tiga kelas berjumlah 100 murid. Nilai rata-rata kelas pertama, kedua, dan ketiga masing-masing adalah 7, $7\frac{1}{2}$, dan 8. Jika banyaknya siswa kelas kedua 10 lebih banyak dari kelas pertama, dan banyaknya siswa kelas ketiga adalah 30 orang, maka nilai rata-rata nilai matematika seluruh siswa adalah ....
A). $ 7\frac{1}{2} \, $ B). $ 7\frac{1}{3} \, $ C). $ 7\frac{1}{4} \, $ D). $ 7\frac{2}{3} \, $ E). $ 7\frac{1}{5} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Statistika :
*). Rumus rata-rata gabungan :
$ \, \, \, \, \, \, \overline{X}_{gb} = \frac{n_1.\overline{X}_1+n_2.\overline{X}_2+n_3.\overline{X}_3}{n_1 + n_2 + n_3} $
Keterangan :
$ \overline{X}_{gb} = \, $ rata-rata gabungan,
$ \overline{X}_1 = \, $ rata-rata kelas pertama,
$ \overline{X}_2 = \, $ rata-rata kelas kedua,
$ n_1 = \, $ jumlah siswa kelas pertama,
$ n_2 = \, $ jumlah siswa kelas kedua.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada Soal diketahui :
$ \overline{X}_1 = 7, \overline{X}_2=7\frac{1}{2}=\frac{15}{2}, \overline{X}_3 = 8 $
$ n_1 + n_2 + n_3 = 100 \, $ ...(i)
$ n_2 = n_1 + 10 \, $ ...(ii) dan $ n_3 = 30 $.
-). Pers(i) dan $ n_3 = 30 $
$ n_1 + n_2 + n_3 = 100 \rightarrow n_1 + n_2 + 30 = 100 \rightarrow n_1 + n_2 = 70 $
-). Pers(ii) dan $ n_1+n_2 = 70 $
$ n_1+n_2 = 70 \rightarrow n_1 + (n_1+10) = 70 \rightarrow n_1 = 30 $
sehingga $ n_2 = n_1 + 10 = 30 + 10 40 $.
*). Menentukan rata-rata seluruh kelas (gabungan) :
$ \begin{align} \overline{X}_{gb} & = \frac{n_1.\overline{X}_1+n_2.\overline{X}_2+n_3.\overline{X}_3}{n_1 + n_2 + n_3} \\ & = \frac{30.7+40.\frac{15}{2}+ 30.8}{100} \\ & = \frac{210+300+ 240}{100} \\ & = \frac{750}{100} = 7,5 = 7\frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, rata-rata keseluruhannya adalah $ 7\frac{1}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Luasan Integral UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Luas daerah yang dibatasi oleh parabola $ y = \sqrt{x} + 1 $ dan garis-garis singgungnya melalui titik $\left( 0, \frac{3}{2} \right) $ adalah ... satuan luas.
A). $ \frac{2}{3}\sqrt{2} \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ \frac{2}{3}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{12} \, $ E). $ \frac{1}{3}\sqrt{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral
*). Rumus Dasar Integral :
$ \int kx^n \, dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1} + c $ dan $ \int k \, dx = kx + c $
*). Menentukan luas daerah menggunakan integral
Misalkan ada daerah yang dibatasi oleh dua kurva fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ seperti gambar berikut ini :
Maka luas daerah tersebut dapat dihitung dengan rumus :
Luas $ = \int \limits_a^b [ f(x) - g(x)] dx $
(kurva atas kurang kurva bawah)
*). syarat garis menyinggung parabola : $ D = 0$
dengan $ D = b^2 - 4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan garis singgungnya $ y = mx + c $ melaui $(0,\frac{3}{2})$ :
Substitusi titik ke garis singgungnya :
$ y = mx + c \rightarrow \frac{3}{2} = m.0 + c \rightarrow c = \frac{3}{2} $
Sehingga persamaan garis singgungnya $ y = mx + \frac{3}{2} \rightarrow x = \frac{y - \frac{3}{2}}{m} $.
*). Mengubah fungsi parabolanya :
$ y = \sqrt{x} + 1 \rightarrow \sqrt{x} = y-1 \rightarrow x = (y-1)^2 $
*). Menentukan nilai $ m $ dengan syarat bersinggungan :
Substitusi garis ke parabola :
$ \begin{align} x & = (y-1)^2 \\ \frac{y - \frac{3}{2}}{m} & = (y-1)^2 \\ \frac{y - \frac{3}{2}}{m} & = y^2 - 2y + 1 \\ y - \frac{3}{2} & = my^2 - 2my + m \\ 2y - 3 & = 2my^2 - 4my + 2m \\ 2my^2 - (4m+2)y + 2m + 3 & = 0 \\ a = 2m , b & = -(4m+2) , c = 2m + 3 \\ \text{syarat : } D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ [-(4m+2)]^2 - 4.2m.(2m+3) & = 0 \\ 16m^2 + 16m + 4 - 16m^2 - 24m & = 0 \\ -8m + 4 & = 0 \\ m & = \frac{1}{2} \end{align} $
*). Menentukan persamaan garis singgungnya (PGS) :
$ \begin{align} y & = mx + \frac{3}{2} \rightarrow y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \end{align} $
*). Ilustrasi gambar daerahnya :
 

*). Menentukan titik potong garis dari parabola :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} & = \sqrt{x} + 1 \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ x + 3 & = 2\sqrt{x} + 2 \\ x + 1 & = 2\sqrt{x} \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (x + 1)^2 & = (2\sqrt{x})^2 \\ x^2 + 2x + 1 & = 4x \\ x^2 - 2x + 1 & = 0 \\ (x-1)^2 & = 0 \\ x & = 1 \end{align} $
*). Menentukan luas daerah arsirannya :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \int \limits_0^1 (\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} ) - (\sqrt{x} + 1 ) \, dx \\ & = \int \limits_0^1 \, \frac{1}{2}x - \sqrt{x} + \frac{1}{2} \, dx \\ & = \left[ \frac{1}{4}x^2 - \frac{2}{3}x^\frac{3}{2} + \frac{1}{2}x \right]_0^1 \\ & = \left[ \frac{1}{4}.1^2 - \frac{2}{3}.1^\frac{3}{2} + \frac{1}{2}.1 \right] - [0] \\ & = \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \\ & = \frac{3}{12} - \frac{8}{12} + \frac{6}{12} \\ & = \frac{1}{12} \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ \frac{1}{12} . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui 6 siswa dan 3 siswi duduk berdiskusi mengelilingi meja bundar, maka peluang jika tidak ada siswi berdampingan adalah ....
A). $ \frac{1}{4} \, $ B). $ \frac{1}{5} \, $ C). $ \frac{5}{14} \, $ D). $ \frac{2}{5} \, $ E). $ \frac{3}{8} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Peluang
*). Rumus peluang kejadian A :
$ \, \, \, \, \, \, \, \, P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
Keterangan :
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A,
$ n(A) = \, $ banyaknya kejadian yang diharapkan,
$ n(S) = \, $ semua kemungkinan (Ruang sampel).
*). Permutasi Siklis :
Jika ada $ n $ orang duduk melingkar, maka total cara duduk adalah $ (n-1)!$.
*). Permutasi unsur berbeda :
Misalkan ada $ r $ orang mau duduk pada $ n $ kursi
total cara duduk $ = P_r^n = \frac{n!}{(n-r)!} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ n(S) $ :
Ada 6 siswa dan 3 siswi ( total ada 9 orang) duduk melingkar, sehingga total cara duduk yaitu
$ n(S) = (9-1)! = 8! $.
*). Misalkan A menyatakan kejadian tidak ada siswi berdampingan.
*). Menentukan $ n(A) $ :
Perhatikan ilustrasi gambar berikut ini.
 

-). Agar dijamin siswi tidak berdampingan, maka posisi duduk siswi harus ada pada tempat yang kosong (kotak warna orange) dimana setiap kotak kosong hanya diisi oleh satu siswi.
-). Pertama, kita hitung banyak cara duduk siswa yaitu $ (6-1)! = 5! $.
-). Kedua, permutasi siklis sudah kita terapkan pada siswa, maka posisi duduk siswi tidak perlu siklis lagi karena secara otomatis posisi duduk siswi tinggal mengikuti saja. Banyak cara duduk siswi yaitu :
$ P_3^6 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6.5.4 $
-). Total cara duduk siswi tidak berdampingan : $ 5! \times 6.5.4 $
*). Menentukan peluang kejadian A :
$ \begin{align} P(A) & = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{5! \times 6.5.4}{8!} = \frac{6.5.4}{8.7.6} = \frac{5}{14} \end{align} $
Jadi, peluangnnya adalah $ \frac{5}{14} . \, \heartsuit $

Pembahasan Integral UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$ \int x^5 \left( 2 - x^3 \right) ^\frac{1}{2} \, dx = .... $
A). $ \frac{2}{45}(3x^3+4)(-x^3+2)^\frac{3}{2} + c \, $
B). $ \frac{-2}{5}(3x^3+4)(-x^3+2)^\frac{3}{2} + c \, $
C). $ \frac{2}{5}(3x^3+4)(-x^3+2)^\frac{3}{2} + c \, $
D). $ \frac{-2}{25}(3x^3+4)(-x^3+2)^\frac{3}{2} + c \, $
E). $ \frac{-2}{45}(3x^3+4)(-x^3+2)^\frac{3}{2} + c \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Integral :
*). Rumus umus integral :
$ \int au^n du = \frac{a}{n+1}u^{n+1} + c $
*). Salah satu metode penyelesaian integral adalah metode substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ u = 2 - x^3 \rightarrow x^3 = 2 - u $ :
$ \frac{du}{dx} = -3x^2 \rightarrow dx = \frac{du}{-3x^2 }$
*). Menyelesaikan soalnya dengan substitusi bentu yang ada :
$ \begin{align} & \int x^5 \left( 2 - x^3 \right) ^\frac{1}{2} \, dx \\ & = \int x^5 u^\frac{1}{2} \, \frac{du}{-3x^2 } \\ & = -\frac{1}{3}\int x^3 u^\frac{1}{2} \, du \\ & = -\frac{1}{3}\int (2 - u) u^\frac{1}{2} \, du \\ & = -\frac{1}{3}\int 2u^\frac{1}{2} - u^\frac{3}{2} \, du \\ & = -\frac{1}{3} \, \left( \frac{2}{\frac{1}{2}+1}u^{\frac{1}{2}+1} - \frac{1}{\frac{3}{2}+1}u^{\frac{3}{2}+1} \right) + c \\ & = -\frac{1}{3} \, \left( \frac{2}{\frac{3}{2} }u^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{\frac{5}{2}}u^{\frac{5}{2}} \right) + c \\ & = -\frac{1}{3} \, \left( \frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}} \right) + c \\ & = -\frac{1}{3} \, \left( \frac{4}{3} - \frac{2}{5}u \right)u^{\frac{3}{2}} + c \\ & = -\frac{1}{3} \, \left( \frac{20}{15} - \frac{6}{15}u \right)u^{\frac{3}{2}} + c \\ & = -\frac{1}{3} \, \left( \frac{20}{15} - \frac{6}{15}(2-x^3) \right)(2-x^3)^{\frac{3}{2}} + c \\ & = -\frac{1}{3} \, \left( \frac{20}{15} - \frac{12}{15} + \frac{6}{15}x^3 \right)(2-x^3)^{\frac{3}{2}} + c \\ & = -\frac{1}{3} \, \left( \frac{8}{15} + \frac{6}{15}x^3 \right)(2-x^3)^{\frac{3}{2}} + c \\ & = -\frac{1}{3} . \frac{2}{15} \left( 4 + 3x^3 \right)(2-x^3)^{\frac{3}{2}} + c \\ & = -\frac{2}{45} \left( 3x^3 + 4 \right)(-x^3 + 2)^{\frac{3}{2}} + c \end{align} $
Jadi, hasilnya $ -\frac{2}{45} \left( 3x^3 + 4 \right)(-x^3 + 2)^{\frac{3}{2}} + c . \, \heartsuit $

Pembahasan Garis Singgung UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan garis singgung parabola $ y = \sqrt{x} + 1 $ melaui titik $(-8,0) $ adalah ....
A). $ 4y - x - 2 = 0 \, $
B). $ 4y + x - 2 = 0 \, $
C). $ 4y + 3x - 2 = 0 \, $
D). $ 4y - x + 2 = 0 \, $
E). $ 4y - 3x - 2 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Garis menyinggung parabola :
*). Syarat garis menyinggung parabola adalah $ D = 0 $
dengan $ D = b^2 - 4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan garis singgungnya $ y = mx + c $ melaui $(-8,0)$ :
Substitusi titik ke garis singgungnya :
$ y = mx + c \rightarrow 0 = m.(-8) + c \rightarrow c = 8m $
Sehingga persamaan garis singgungnya $ y = mx + 8m \rightarrow x = \frac{y - 8m}{m} $.
*). Mengubah fungsi parabolanya :
$ y = \sqrt{x} + 1 \rightarrow \sqrt{x} = y-1 \rightarrow x = (y-1)^2 $
*). Menentukan nilai $ m $ dengan syarat bersinggungan :
Substitusi garis ke parabola :
$ \begin{align} x & = (y-1)^2 \\ \frac{y - 8m}{m} & = (y-1)^2 \\ \frac{y - 8m}{m} & = y^2 - 2y + 1 \\ y - 8m & = my^2 - 2my + m \\ 0 & = my^2 - 2my - y + m + 8m \\ my^2 - (2m+1)y + 9m & = 0 \\ a = m , b & = -(2m+1) , c = 9m \\ \text{syarat : } D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ [-(2m+1)]^2 - 4.m.9m & = 0 \\ 4m^2 + 4m + 1 - 36m^2 & = 0 \\ 32m^2 - 4m - 1 & = 0 \\ (8m+1)(4m-1) & = 0 \\ m = -\frac{1}{8} \vee m & = \frac{1}{4} \end{align} $
Karena bentuk $ y = \sqrt{x} + 1 $ selalu naik, maka $ m =\frac{1}{4} $ yang memenuhi.
*). Menentukan persamaan garis singgungnya (PGS) :
$ \begin{align} y & = mx + 8m \\ y & = \frac{1}{4}x + 8.\frac{1}{4} \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 4y & = x + 8 \\ 4y - x - 8 & = 0 \end{align} $
Jadi, PGSnya adalah $ 4y - x - 8 = 0 . \, \heartsuit $
(tidak ada jawaban pada option)

Pembahasan Limit UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 16 } \frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{2 + \sqrt[4]{x}} - 2} = .... $
A). $ \frac{2}{5} \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 10 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 16 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar limit :
*). untuk hasil limit bentuk tak tentu ($\frac{0}{0}$), maka bisa menggunakan cara merasionalkan.
*). Bentuk perkalian :
i). $ (\sqrt{a} - b)(\sqrt{a}+b) = a - b^2 $
ii). $ (\sqrt[4]{a} - b)(\sqrt[4]{a}+b) = \sqrt{a} - b^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal dengan merasionalkan :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 16 } \frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{2 + \sqrt[4]{x}} - 2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 16 } \frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{2 + \sqrt[4]{x}} - 2} \times \frac{\sqrt{2 + \sqrt[4]{x}} + 2}{\sqrt{2 + \sqrt[4]{x}} + 2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 16 } \frac{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{2 + \sqrt[4]{x}} + 2)}{(2 + \sqrt[4]{x}) - 4} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 16 } \frac{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{2 + \sqrt[4]{x}} + 2)}{\sqrt[4]{x} - 2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 16 } \frac{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{2 + \sqrt[4]{x}} + 2)}{\sqrt[4]{x} - 2} \times \frac{\sqrt[4]{x} + 2}{\sqrt[4]{x} + 2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 16 } \frac{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{2 + \sqrt[4]{x}} + 2)(\sqrt[4]{x} + 2)}{\sqrt{x} - 4} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 16 } \, (\sqrt{2 + \sqrt[4]{x}} + 2)(\sqrt[4]{x} + 2) \\ & = (\sqrt{2 + \sqrt[4]{16}} + 2)(\sqrt[4]{16} + 2) \\ & = (\sqrt{2 + 2} + 2)(2 + 2) \\ & = (2 + 2)(2 + 2) = 16 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 16 . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \alpha + \beta = \frac{\pi}{3} , \, \alpha , \beta \, $ sudut-sudut lancip dan $ \tan \alpha = \frac{1}{6}\tan \beta $ , maka $ \sin \alpha + \sin \beta = .... $
A). $ \frac{1}{7}\sqrt{7} + \frac{1}{5}\sqrt{5} \, $
B). $ \frac{1}{10} + \frac{1}{5}\sqrt{5} \, $
C). $ \frac{1}{4} + \frac{1}{5}\sqrt{5} \, $
D). $ \frac{1}{14}\sqrt{5} + \frac{1}{5}\sqrt{3} \, $
E). $ \frac{1}{14}\sqrt{7} + \frac{1}{5}\sqrt{5} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri :
*). Rumus jumlah sudut :
$ \tan (\alpha + \beta ) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta }{1 - \tan \alpha \tan \beta} $
*). Rumus perbandingan trigonometri :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} \, $ dan $ \tan x = \frac{depan}{samping} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ \tan \beta $ :
diketahui $ \alpha + \beta = \frac{\pi}{3} = 60^\circ \, $ dan $ \tan \alpha = \frac{1}{6} \tan \beta $
$ \begin{align} \alpha + \beta & = \frac{\pi}{3} \\ \tan (\alpha + \beta ) & = \tan ( \frac{\pi}{3} ) \\ \frac{\tan \alpha + \tan \beta }{1 - \tan \alpha \tan \beta} & = \sqrt{3} \, \, \, \, \, \, \, (\text{Subst } \tan \alpha = \frac{1}{6}\tan \beta ) \\ \frac{\frac{1}{6} \tan \beta + \tan \beta }{1 - \frac{1}{6} \tan \beta \tan \beta} & = \sqrt{3} \\ \frac{\frac{7}{6} \tan \beta }{1 - \frac{1}{6} \tan ^2 \beta } & = \sqrt{3} \\ \frac{7}{6} \tan \beta & = \sqrt{3} (1 - \frac{1}{6} \tan ^2 \beta ) \, \, \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 7\tan \beta & = \sqrt{3} (6 - \tan ^2 \beta ) \, \, \, \, \, \, \text{(kali } \sqrt{3} ) \\ 7\sqrt{3}\tan \beta & = 3 (6 - \tan ^2 \beta ) \\ 7\sqrt{3}\tan \beta & = 18 - 3 \tan ^2 \beta \\ 0 & = 3\tan ^2 \beta + 7\sqrt{3}\tan \beta -18 \\ 0 & = (3\tan \beta - 2\sqrt{3})(\tan \beta + 3\sqrt{3}) \\ \tan \beta & = \frac{2\sqrt{3}}{3} \vee \tan \beta = - 3\sqrt{3} \end{align} $
Karena $ \beta \, $ lancip, maka $ \tan \beta = \frac{2\sqrt{3}}{3} $ yang memenuhi.
Sehingga nilai $ \tan \alpha = \frac{1}{6} . \tan \beta = \frac{1}{6}. \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{9} $.
*). Menentukan nilai $ \sin \alpha $ dan $ \sin \beta $ :
 

*). Menentukan nilai $ \sin \alpha + \sin \beta $ :
$ \begin{align} \sin \alpha + \sin \beta & = \frac{1}{14}\sqrt{7} + \frac{4}{14}\sqrt{7} = \frac{5}{14}\sqrt{7} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \alpha + \sin \beta = \frac{5}{14}\sqrt{7} . \, \heartsuit $
(tidak ada jawaban pada option)

Pembahasan Dimensi Tiga UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $ a $, P dan Q masing-masing titik tengah HG dan EH. Sedangkan R titik tengah PQ. Jika BT adalah proyeksi BR pada bidang ABCD, maka jarak T dengan bidang QBP adalah ....
A). $ \frac{4a}{17}\sqrt{17} \, $ B). $ \frac{3a}{17}\sqrt{17} \, $ C). $ \frac{2a}{17}\sqrt{17} \, $ D). $ \frac{3a}{13}\sqrt{13}\, $ E). $ \frac{a}{7}\sqrt{7} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Dimensi Tiga :
*). Hasil proyeksi garis ke bidang adalah berupa garis. Silahkan baca materinya lebih mendalam pada artikel "Cara Proyeksi Titik, Garis, dan Bidang".
*). Menghitung jarak bisa menggunakan konsep luas segitiga
Luas $ = \frac{1}{2} \text{ alas } \times \text{ tinggi} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

Hasil proyeksi BR pada bidang alas adalah BT.
Jarak T ke bidang BPQ adalah panjang TM.
Segitiga BTR siku-siku di T.
Panjang $ TR = a $
Panjang $ BD = a\sqrt{2} \, $ (diagonal bidang)
$ BT = \frac{3}{4}BD = \frac{3}{4}a\sqrt{2} $
$ BR = \sqrt{BT^2 + TR ^2 } = \sqrt{(\frac{3}{4}a\sqrt{2})^2 + a^2} $
$ BR = \sqrt{\frac{18}{16}a^2 + a^2} = \sqrt{\frac{34}{16}a^2} = \frac{1}{4}a\sqrt{34} $
*). Menentukan panjang TM dengan luas segitiga BTR:
$ \begin{align} \text{Luas BTR, alas BR } & = \text{ Luas BTR, alas BT} \\ \frac{1}{2}. BR . TM & = \frac{1}{2} . BT . TR \\ BR . TM & = BT . TR \\ \frac{1}{4}a\sqrt{34} . TM & = \frac{3}{4}a\sqrt{2} . a \\ \sqrt{34} . TM & = 3a\sqrt{2} \\ \sqrt{2}\sqrt{17} . TM & = 3a\sqrt{2} \\ \sqrt{17} . TM & = 3a \\ TM & = \frac{3a}{\sqrt{17}} = \frac{3a}{17}\sqrt{17} \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ \frac{3a}{17}\sqrt{17} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Persamaan Matriks UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketaui matriks $ A = \left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] $ dan $ B = \left[ \begin{matrix} 4 & - 2 \\ -6 & 3 \end{matrix} \right]$. Matriks $ X $ yang memenuhi $ XA + B = X $ adalah ....
A). $ \left[ \begin{matrix} -4 & 2 \\ 6 & -3 \end{matrix} \right] \, $ B). $ \left[ \begin{matrix} -4 & -2 \\ 6 & -3 \end{matrix} \right] \, $ C). $ \left[ \begin{matrix} -2 & 4 \\ 3 & -6 \end{matrix} \right] \, $
D). $ \left[ \begin{matrix} 2 & 4 \\ -3 & -6 \end{matrix} \right] \, $ E). $ \left[ \begin{matrix} 2 & -4 \\ -3 & 6 \end{matrix} \right] \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Matriks :
*). Pada kesamaan dua buah matriks, maka unsur-unsur yang seletak nilainya sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Kita misalkan matriks $ X = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] $ :
*). Menentukan matriks $ X $ :
$ \begin{align} XA + B & = X \\ \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} 4 & - 2 \\ -6 & 3 \end{matrix} \right]& = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} 5a + 3b & 3a + 2b \\ 5c + 3d & 3c + 2d \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} 4 & - 2 \\ -6 & 3 \end{matrix} \right]& = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} 5a + 3b + 4 & 3a + 2b -2 \\ 5c + 3d -6 & 3c + 2d + 3 \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \end{align} $
Kita peroleh sistem persamaan :
pers(i) : $ 5a + 3b + 4 = a \rightarrow 4a + 3b = -4 $
pers(ii) : $ 3a + 2b -2 = b \rightarrow 3a + b = 2 $
pers(iii) : $ 5c + 3d -6 = c \rightarrow 4c + 3d = 6 $
pers(iv) : $ 3c + 2d + 3 = d \rightarrow 3c + d = -3 $
-). Selesaikan persamaan (i) dan (ii), kita peroleh $ a = 2 , b = -4 $
-). Selesaikan pers (iii) dan (iv), kita peroleh $ c = -3 , d = 6 $
Sehingga matriks $ X $ adalah :
$ X = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 2 & -4 \\ -3 & 6 \end{matrix} \right] $.
(silahkan untuk menyelesaikan sistem persamaan di atas sendiri ya ^_^ )
Jadi, hasil $ X = \left[ \begin{matrix} 2 & -4 \\ -3 & 6 \end{matrix} \right] . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Matriks UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketaui matriks $ A = \left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] $ dan $ B = \left[ \begin{matrix} 4 & - 2 \\ -6 & 3 \end{matrix} \right]$. Matriks $ X $ yang memenuhi $ XA + B = X $ adalah ....
A). $ \left[ \begin{matrix} -4 & 2 \\ 6 & -3 \end{matrix} \right] \, $ B). $ \left[ \begin{matrix} -4 & -2 \\ 6 & -3 \end{matrix} \right] \, $ C). $ \left[ \begin{matrix} -2 & 4 \\ 3 & -6 \end{matrix} \right] \, $
D). $ \left[ \begin{matrix} 2 & 4 \\ -3 & -6 \end{matrix} \right] \, $ E). $ \left[ \begin{matrix} 2 & -4 \\ -3 & 6 \end{matrix} \right] \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Matriks :
*). Sifat-sifat pada Matriks :
i). $ XA-X = X(A-I) $
ii). $ XD = B \rightarrow X = B.D^{-1} $.
dimana $ D^{1} $ adalah invers matriks D dan $ I $ adalah matriks identitas.
*). Invers matriks :
$ D = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \rightarrow D^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan matriks $ X $ :
$ \begin{align} XA + B & = X \\ XA - X & = -B \\ X(A - I) & = -B \\ X \left( \left[ \begin{matrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right] - \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right] \right) & = -\left[ \begin{matrix} 4 & - 2 \\ -6 & 3 \end{matrix} \right] \\ X \left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} -4 & 2 \\ 6 & -3 \end{matrix} \right] \\ X & = \left[ \begin{matrix} -4 & 2 \\ 6 & -3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 3 & 1 \end{matrix} \right]^{-1} \\ & = \left[ \begin{matrix} -4 & 2 \\ 6 & -3 \end{matrix} \right] \frac{1}{4.1 - 3.3} \left[ \begin{matrix} 1 & -3 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} -4 & 2 \\ 6 & -3 \end{matrix} \right] \frac{1}{-5} \left[ \begin{matrix} 1 & -3 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right] \\ & = \frac{1}{-5} \left[ \begin{matrix} -4 & 2 \\ 6 & -3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & -3 \\ -3 & 4 \end{matrix} \right] \\ & = \frac{1}{-5} \left[ \begin{matrix} -10 & 20 \\ 15 & -30 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} 2 & -4 \\ -3 & 6 \end{matrix} \right] \end{align} $
Jadi, hasil $ X = \left[ \begin{matrix} 2 & -4 \\ -3 & 6 \end{matrix} \right] . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Perkalian Matriks UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ P = Q^3 $ dengan $ Q = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right] $ , maka $ P\left[ \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right] = .... $
A). $ \left[ \begin{matrix} 1 \\ -3 \end{matrix} \right]\, $ B). $ \left[ \begin{matrix} -1 \\ -3 \end{matrix} \right] $ C). $ \left[ \begin{matrix} 3 \\ -1 \end{matrix} \right] $
D). $ \left[ \begin{matrix} -3 \\ -1 \end{matrix} \right] $ E). $ \left[ \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right] $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Perkalian Matriks :
*). Perkalian matriks caranya :
Perkalian = baris $ \times $ kolom
*). Matriks transformasi berupa rotasi adalah
$ T = \left[ \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right] $
*). Bentuk rotasi $ T^n $ adalah :
$ T^n = \left[ \begin{matrix} \cos n \times \theta & -\sin n \times \theta \\ \sin n \times \theta & \cos n \times \theta \end{matrix} \right] $
$ T^n \, $ artinya rotasi sebanyak $ n $ kali.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ Q = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right] $ artinya rotasi dengan sudut $ \theta = 60^\circ $.
*). Menentukan $ Q^3 $ :
$ \begin{align} Q^3 & = \left[ \begin{matrix} \cos 3 \times \theta & -\sin 3 \times \theta \\ \sin 3 \times \theta & \cos 3 \times \theta \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} \cos 3 \times 60^\circ & -\sin 3 \times 60^\circ \\ \sin 3 \times 60^\circ & \cos 3 \times 60^\circ \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right] \end{align} $
*). Menentukan hasil akhir :
$ \begin{align} P\left[ \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right] & = Q^3 . \left[ \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} 1 \\ -3 \end{matrix} \right] \end{align} $
Jadi, hasil $ P\left[ \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 \\ -3 \end{matrix} \right] . \, \heartsuit $

Pembahasan Perkalian Matriks UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ P = Q^3 $ dengan $ Q = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right] $ , maka $ P\left[ \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right] = .... $
A). $ \left[ \begin{matrix} 1 \\ -3 \end{matrix} \right]\, $ B). $ \left[ \begin{matrix} -1 \\ -3 \end{matrix} \right] $ C). $ \left[ \begin{matrix} 3 \\ -1 \end{matrix} \right] $
D). $ \left[ \begin{matrix} -3 \\ -1 \end{matrix} \right] $ E). $ \left[ \begin{matrix} -3 \\ 1 \end{matrix} \right] $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Perkalian Matriks :
*). Perkalian matriks caranya :
Perkalian = baris $ \times $ kolom

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ Q^3 $ :
$ \begin{align} Q^2 & = Q.Q = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right] . \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{4} - \frac{3}{4} & -\frac{1}{4}\sqrt{3} -\frac{1}{4}\sqrt{3} \\ \frac{1}{4}\sqrt{3} +\frac{1}{4}\sqrt{3} & -\frac{3}{4} + \frac{1}{4} \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} - \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & - \frac{1}{2} \end{matrix} \right] \\ Q^3 & = Q^2.Q = \left[ \begin{matrix} - \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & - \frac{1}{2} \end{matrix} \right] . \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\sqrt{3} \\ \frac{1}{2}\sqrt{3} & \frac{1}{2} \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} -\frac{1}{4} - \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\sqrt{3} - \frac{1}{4}\sqrt{3} \\ \frac{1}{4}\sqrt{3} - \frac{1}{4}\sqrt{3} & -\frac{3}{4} - \frac{1}{4} \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix} \right] \end{align} $
*). Menentukan hasil akhir :
$ \begin{align} P\left[ \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right] & = Q^3 . \left[ \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} 1 \\ -3 \end{matrix} \right] \end{align} $
Jadi, hasil $ P\left[ \begin{matrix} -1 \\ 3 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 \\ -3 \end{matrix} \right] . \, \heartsuit $

Pembahasan Program Linear UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Nilai maksimum $ z = 10x + 20y $ dengan pembatas $ x - y \geq 0 $ , $ 6x+4y \leq 24 $ , dan $ 4x + 4y \geq 16 $ adalah ....
A). $ 40 \, $ B). $ 60 \, $ C). $ 72 \, $ D). $ 80 \, $ E). $ 96 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Program Linear :
*). Langkah-langkah menentukan nilai maksimum atau minimum :
1). Menentukan daerah himpunan penyelesaian (DHP),
2). Menentukan titik pojok DHP nya,
3). Substitusikan semua titik pojok ke fungsi tujuan, lalu pilih nilai terkecil sebagai nilai minimum.


$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan Daerah himpunan penyelesaian (DHP) :
Garis I : $ x - y \geq 0 \rightarrow y = x \rightarrow (0,0) , \, (1,1) $
Garis II : $ 6x+4y \leq 24 \rightarrow (0,6), \, (4,0) $
Garis III : $ 4x + 4y \geq 16 \rightarrow (0,4) , \, (4,0) $
 

*). Menentukan titik pojok A, B dan C :
-). Titik $ A(4,0) $
-). Titik B, substitusi pers(I) ke pers II :
$ 6x +4 y = 24 \rightarrow 6x + 4x = 24 \rightarrow x = 2,4 $
dan juga $ y = x = 2,4 $.
Sehingga titik $ B (2,4 ; 2,4 ) $.
-). Titik C, substitusi pers(I) ke pers III :
$ 4x + 4y = 16 \rightarrow 4x + 4x = 16 \rightarrow x = 2 $
dan juga $ y = x = 2 $.
Sehingga titik $ C (2,2 ) $.
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi $ z = 10x + 20y $ :
$ \begin{align} A \rightarrow z & = 10. 4 + 20 . 0 = 40 \\ B \rightarrow z & = 10 \times 2,4 + 20 \times 2,4 = 72 \\ C \rightarrow z & = 10 . 2 + 20 . 2 = 60 \end{align} $.
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ 72 . \, \heartsuit $

Pembahasan Program Linear Gradien UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Agar fungsi $ f(x,y) = 3x + by $ dengan kendala $ x+y \leq 7 $ , $ x + 2y \leq 10 $ , $ x \geq 0 $ , dan $ y \geq 0 $ mencapai maksimum hanya di titik (4,3), maka nilai $ b $ haruslah ....
A). $ 1 < b < 5 \, $
B). $ 3 < b < 7 \, $
C). $ 3 < b < 9 $
D). $ -9 < b < -3 $
E). $ -5 < b < -3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Program linear metode Gradien :
*). Jika nilai optimum (maksimum atau minimum) suatu fungsi objektif (tujuan) terletak hanya di titik perpotongan kedua kendala, maka gradien fungsi objektif ada diantara gradien kedua kendalanya. Bisa ditulis :
$ \, \, \, \, \, m_1 < m_{obj} < m_2 $.
Keterangan :
$ m_1 = \, $ gradien kendala 1,
$ m_2 = \, $ gradien kendala 2,
$ m_{obj} = \, $ gradien fungsi objektif.
*). Graadien dari bentuk $ ax + by $ adalah $ m = - \frac{a}{b} $.
*). Untuk lebih jelasnya tentang teori metode gradien ini, silahkan teman-teman baca pada artikel "program linear : Nilai optimum dengan metode gradien".
*). Sifat pertidaksamaan :
i). Kali negatif, tanda ketaksamaan dibalik.
ii). Jika $ a, b, c, d $ adalah positif, maka
$ a > \frac{b}{c} > d \, $ bisa diubah $ \frac{1}{a} < \frac{c}{b} < \frac{1}{d} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Cek letak titik (4,3) ke kedua kendala :
$ x + y = 4 + 3 = 7 \, $ (Benar) dan $ x + 2y = 4 + 2.3 = 10 \, $ (Benar)
Artinya titik (4,3) ada pada perpotongan kedua garis.
*). Menentukan gradien masing-masing :
kendalanya :
$ x + y = 7 \rightarrow m_1 = -\frac{1}{1} = -1 $
$ x + 2y = 10 \rightarrow m_2 = -\frac{1}{2} $
Fungsi objektifnya :
$ f(x,y) = 3x + by \rightarrow m_{obj} = - \frac{3}{b} $.
*). Menentukan rentang nilai $ b $ :
$ \begin{align} m_1 < & m_{obj} < m_2 \\ -1 < & -\frac{3}{b} < -\frac{1}{2} \, \, \, \, \, \text{(kali -2, tanda dibalik)} \\ 2 > & \frac{6}{b} > 1 \, \, \, \, \, \text{(ubah tengah, tanda dibalik)} \\ \frac{1}{2} < & \frac{b}{6} < 1 \, \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 3 < & b < 6 \end{align} $
Jadi, kita peroleh $ 3 < b < 6 . \, \heartsuit $
(tidak ada jawaban pada option).

Pembahasan Sistem Persamaan UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \alpha , \beta , $ dan $ \gamma $ adalah penyelesaian sistem persmaan linier :
$ \left\{ \begin{array}{c} x + 6y + z = 44 \\ 2y + 3z = 24 \\ x + 5y = 33 \end{array} \right. $
maka $ \alpha + \beta + \gamma = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 7 \, $
D). $ 8 \, $ E). $ 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, bisa menggunakan metode eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaan (ii) dan (iii) :
Persamaan (ii) :
$ 2y + 3z = 24 \rightarrow z = \frac{24 - 2y}{3} $
Persamaan (iii) :
$ x + 5y = 33 \rightarrow x = 33 - 5y $.
*). Substitusi pers(ii) dan (iii) ke (i) :
$ \begin{align} x + 6y + z & = 44 \\ (33-5y) + 6y + \frac{24 - 2y}{3} & = 44 \\ 33 + y + \frac{24 - 2y}{3} & = 44 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 99 + 3y + 24 - 2y & = 132 \\ 123 + y & = 132 \\ y & = 9 \end{align} $
Pers(ii): $ x = 33 - 5y = 33 - 5.9 = -12 $
pers(iii): $ z = \frac{24 - 2y}{3} = \frac{24 - 2.9}{3} = \frac{6}{3} = 2 $.
Artinya nilai $ \alpha = -12, \beta = 9 $ dan $ \gamma = 2 $.
*). Menentukan nilai $ \alpha + \beta + \gamma $ :
$ \begin{align} \alpha + \beta + \gamma & = -12 + 9 + 2 = -1 \end{align} $
Jadi, nilai $ \alpha + \beta + \gamma = -1. \, \heartsuit $
(tidak ada jawaban pada option).

Pembahasan Lingkaran Trigonometri UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui lingkaran $ x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0 $ memotong sumbu-$y$ di titik A dan B. Jika P adalah titik pusat lingkaran tersebut, maka nilai $ \cos \angle APB = .... $
A). $ -\frac{14}{25} \, $ B). $ -\frac{7}{25} \, $ C). $ \frac{7}{25} \, $ D). $ \frac{12}{25} \, $ E). $ \frac{14}{25} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Kedudukan Dua lingkaran :
*). Diketahui persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Titik pusat : $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2} , -\frac{B}{2} \right) $
Jari-jari : $ r = \sqrt{a^2 + b^2 - C } $
*). Aturan kosinus pada segitiga APB :
$ AB^2 = PA^2 + PB^2 - 2.PA.PB . \cos \angle APB \, $ atau
$ \cos \angle APB = \frac{PA^2 + PB ^2 - AB^2}{2.PA.PB} $
*). Suatu kurva memotong sumbu-y, maka substitusi $ x = 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran :
$ x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0 \rightarrow A = -6, B = 8 , C = 0 $
Pusat : $ (a,b) = ( -\frac{-6}{2} , -\frac{8}{2} ) = (3 , -4 ) $
Jari-jari : $ r = \sqrt{3^2 + (-4)^2 - 0 } = \sqrt{25} = 5 $
*). Menentukan titik potong sumbu Y dengan substitusi $ x = 0 $ :
$ \begin{align} x^2 + y^2 - 6x + 8y & = 0 \\ 0^2 + y^2 - 6.0 + 8y & = 0 \\ y^2 + 8y & = 0 \\ y(y+8) & = 0 \\ y = 0 \vee y & = -8 \end{align} $
Sehingga titik potong sumbu Y adalah $ A(0,0) $ dan $ B(0,-8)$.
*). Ilustrasi gambarnya :
 

panjang $ AB = 8 $,
Panjang $ PA = PB = r = 5 $.
*). Menentukan nilai $ \cos \angle APB $ :
$ \begin{align} \cos \angle APB & = \frac{PA^2 + PB ^2 - AB^2}{2.PA.PB} \\ & = \frac{5^2 + 5 ^2 - 8^2}{2.5.5} \\ & = \frac{25 + 25 - 64}{50} \\ & = \frac{-14}{50} = -\frac{7}{25} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos \angle APB = - \frac{7}{25} . \, \heartsuit $

Pembahasan Kedudukan Lingkaran UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan dua buah lingkaran :
$ L_1 \equiv x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0 $ dan $ L_2 \equiv x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0 $
Kedudukan lingkaran $ L_1 $ dan lingkaran $ L_2 $ yang paling tepat adalah ....
A). Tidak berpotongan
B). Berpotongan di dua titik
C). Bersinggungan luar
D). Bersinggungan dalam
E). $ L_1 $ berada di dalam $ L_2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Kedudukan Dua lingkaran :
*). Diketahui persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Titik pusat : $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2} , -\frac{B}{2} \right) $
Jari-jari : $ r = \sqrt{a^2 + b^2 - C } $
*). Jarak antara dua titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $ :
$ d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 } $
*). Kedudukan dua lingkaran :
Misalkan jari-jari $L_1 $ adalah $ r_1 $ dan lingkaran $ L_2 $ adalah $ r_2 $, jarak kedua titik pusat adalah $ d $, kedudukan dua lingkaran yaitu :
1). $ 0 < d < |r_1 - r_2| \, $ : lingkaran kecil ada di dalam lingkaran besar
2). $ d = |r_1 - r_2| \, $ : bersinggungan dalam
3). $ |r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2 \, $ : berpotongan dua titik
4). $ d = r_1 + r_2 \, $ : bersinggungan luar
5). $ d > r_1 + r_2 \, $ : tidak berpotongan

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran :
-). $ L_1 \equiv x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0 $
Pusat : $ (a,b) = ( -\frac{-2}{2} , -\frac{-2}{2} ) = (1 , 1 ) $
Jari-jari : $ r_1 = \sqrt{1^2 + 1^2 - 1 } = \sqrt{1} = 1 $
-). $ L_2 \equiv x^2 + y^2 - 2x + 4y + 1 = 0 $
Pusat : $ (a,b) = ( -\frac{-2}{2} , -\frac{4}{2} ) = (1 , -2) $
Jari-jari : $ r_2 = \sqrt{1^2 + (-2)^2 - 1 } = \sqrt{4} = 2 $
Sehingga nilai $ r_1 + r_2 = 1 + 2 = 3 $ dan $ |r_1 - r_2 | = 1 $
*). Menentukan jarak kedua titik pusat :
$ \begin{align} d & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 } \\ & = \sqrt{(1 - 1)^2 + (-2 - 1)^2 } \\ & = \sqrt{ 0 + (-3)^2 } = \sqrt{ 9 } = 3 \end{align} $
*). Menentukan kedudukan kedua lingkaran berdasarkan syaratnya :
Kita peroleh $ d = 3 $ dan $ r_1 + r_2 = 3 $, artinya $ d = r_1 + r_2 $
Sehingga kedua lingkaran bersinggungan luar.
Jadi, kedua lingkaran bersinggungan luar $. \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ x^2 < |2x-15| $ adalah ....
A). $ -5 < x < -3 \, $
B). $ -5 < x < 0 \, $
C). $ -5 < x < 3 \, $
D). $ -3 < x < 3 \, $
E). $ 0 < x < 3 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow x^2 & < |2x-15| \\ 0^2 & < |2.0-15| \\ 0 & < | -15| \\ 0 & < 15 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=0$ BENAR, opsi yang salah A, B, dan E.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x= -3 \Rightarrow x^2 & < |2x-15| \\ (-3)^2 & < |2.(-3)-15| \\ 9 & < | -6 -15| \\ 9 & < 21 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=-3$ BENAR, opsi yang salah D.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi C (yang tersisia).
Jadi, solusinya adalah $ -5 < x < 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan UM UNDIP 2016 Matematika Dasar Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ x^2 < |2x-15| $ adalah ....
A). $ -5 < x < -3 \, $
B). $ -5 < x < 0 \, $
C). $ -5 < x < 3 \, $
D). $ -3 < x < 3 \, $
E). $ 0 < x < 3 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan :
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Menentukan pembuat nol (akar-akar),
2). Buat garis bilangan dan tentukan tanda (+ atau $ - $),
3). Arsir daerah yang diingikan,
Jika tandanya $ > 0 $ , maka arsir yang positif,
Jika tandanya $ < 0 $ , maka arsir yang negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Definisi bentuk mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{ untuk } f(x) \geq 0 \\ - f(x) & , \text{ untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $
*). Bentuk $ ax^2 + bx + c $ disebut definit positif jika memenuhi $ a > 0 $ dan $ D < 0 $ , dengan $ D = b^2 - 4ac $. Definit positif artinya nilainya selalu positif untuk semua $ x $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menghilangkan bentuk mutlak berdasarkan definisinya :
$ |2x-15| = \left\{ \begin{array}{cc} 2x - 15 & , \text{ untuk } x \geq \frac{15}{2} \\ - (2x - 15) & , \text{ untuk } x < \frac{15}{2} \end{array} \right. $
Artinya bentuk $ |2x - 15| $ bergantung dari batas $ x $ yaitu $ x \geq \frac{15}{2} $ atau $ x < \frac{15}{2} $.
Cara memperoleh $ x \geq \frac{15}{2} $ yaitu $ 2x - 15 \geq 0 $,
Cara memperoleh $ x < \frac{15}{2} $ yaitu $ 2x - 15 < 0 $,
*). Menyelesaikan pertidaksamaan berdasarkan batas $ x $ nya :
-). Untuk $ x \geq \frac{15}{2} $, bentuk $ |2x - 15| = 2x - 15 $
$ \begin{align} \text{soal : } x^2 & < |2x-15| \\ x^2 & < 2x-15 \\ x^2 -2x + 15 & < 0 \end{align} $
Perhatikan bentuk $ x^2 - 2x + 15 $ adalah definit positif karena $ a = 1 > 0 $ dan $ D = (-2)^2 - 4.1.15 = -54 < 0 $. Sedangkan soalnya meminta $ < 0 $ (negatif), sehingga tidak ada nilai $ x $ yang memenuhi kasus pertama ini.
-). Untuk $ x < \frac{15}{2} $, bentuk $ |2x - 15| = -(2x - 15) $
$ \begin{align} \text{soal : } x^2 & < |2x-15| \\ x^2 & < -(2x-15) \\ x^2 + 2x - 15 & < 0 \\ (x +5)(x - 3) & < 0 \\ x = -5 \vee x & = 3 \end{align} $
garis bilangannya :
 

Sehingga solusinya $ -5 < x < 3 $.
Jadi, solusinya adalah $ -5 < x < 3. \, \heartsuit $