Tampilkan postingan dengan label matdas sbmptn 2016 kode 349. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label matdas sbmptn 2016 kode 349. Tampilkan semua postingan

Pembahasan Sistem Persamaan SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 349

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ ax + y = 4, \, x + by = 7 , \, $ dan $ ab = 2 $, maka $ x - y = .... $
A). $ 7a - 4b + 3 \, $
B). $ 7a - 4b - 3 \, $
C). $ 7a + 4b + 3 \, $
D). $ -7a + 4b + 3 \, $
E). $ -7a + 4b - 3 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan kita gunakan metode eliminasi atau substitusi atau metode gabungan.

$\clubsuit $ Pembahasan 
*). Diketahui empat persamaan :
$ ax + y = 4 \, $ ...pers(i)
$ x + by = 7 \, $ ...pers(ii)
$ ab = 2 \, $ ...pers(iii)
*). Menyelesaikan pers(i) dan pers(ii) dengan $ ab = 2 $ :
-). Menentukan $ x $
$ \begin{array}{c|c|c|cc} ax + y = 4 & \times b & abx + by = 4b & 2x + by = 4b & \\ x + by = 7 & \times 1 & x + by = 7 & x + by = 7 & - \\ \hline & & & x = 4b - 7 & \end{array} $
-). Menentukan $ y $
$ \begin{array}{c|c|c|cc} ax + y = 4 & \times 1 & ax + y = 4 & ax + y = 4 & \\ x + by = 7 & \times a & ax + aby = 7 & ax + 2y = 7a & - \\ \hline & & & -y = 4 - 7a & \\ & & & y = 7a - 4 & \end{array} $
*). Menentukan hasil $ x - y $ :
$ \begin{align} x - y & = (4b - 7) - (7a - 4) \\ & = 4b - 7 - 7a + 4 \\ & = -7a + 4b - 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ x - y = -7a + 4b - 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 349

Soal yang Akan Dibahas
Dalam suatu kelas terdapat 23 siswa. Rata-rata nilai ujian Matematika mereka adalah 7. Terdapat hanya 2 orang yang memperoleh nilai yang sama yang merupakan nilai tertinggi dan hanya 1 orang yang memperoleh nilai terendah. Rata-rata nilai mereka berkurang o,1 jika semua nilai tertinggi dan nilai terendah dikeluarkan. Jika semua nilai tersebut berupa bilangan cacah satu angka, maka jangkauan data nilai yang mungkin adalah ....
A). $ 6 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus rata-rata :
Rata-rata $ = \frac{\text{Jumlah semua nilai}}{\text{banyaknya nilai}} $
*). Jangkauan = Nilai terbesar $ - $ nilai terkecil

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan nilai terendahnya adalah $ x $ dan tertingginya adalah $ y $, misalkan jumlah nilai 20 siswa selain satu orang dengan nilai terendah dan dua orang dengan nilai tertinggi (nilai tertingginya sama) adalah $ A_{20} $. Rata-rata 23 siswa adalah 7, maka :
$ \begin{align} \text{rata-rata } & = 7 \\ \frac{x + A_{20} + y + y}{23} & = 7 \\ x + A_{20} + 2y & = 23. 7 \\ x + A_{20} + 2y & = 161 \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Jika nilai terendah dan tertinggi tidak diikutkan, berarti tersisa 20 siswa saja dengan jumlah kita misalkan $ A_{20} $ seperti sebelumnya, rata-ratanya berkurang 0,1, sehingga rata-rata 20 siswa tersebut :
$ \begin{align} \text{rata-rata } & = 7 - 0,1 \\ \frac{ A_{20}}{20} & = 6,9 \\ A_{20} & = 20 \times 6,9 \\ A_{20} & = 138 \end{align} $
*). Dari pers(i) dan nilai $ A_{20} = 138 $ :
$ \begin{align} x + A_{20} + 2y & = 161 \\ x + 138 + 2y & = 161 \\ x + 2y & = 161 - 138 \\ x + 2y & = 23 \end{align} $
*). semua nilai adalah bilangan cacah satu angka, artinya nilai terbesarnya adalah 9.
*). Karena rata-rata 23 siswa adalah 7, maka nilai tertinggi yang mungkin (nilai $y$) adalah 8 dan 9, dan nilai terendah yang mungkin harus kurang dari 7. Menentukan nilai terkecil ($x$) yang mungkin :
$ \begin{align} y = 8 \rightarrow x + 2y & = 23 \\ x + 2.8 & = 23 \\ x & = 7 \, \, \, \text{(tidak memenuhi)} \\ y = 9 \rightarrow x + 2y & = 23 \\ x + 2.9 & = 23 \\ x & = 5 \, \, \, \text{(memenuhi)} \end{align} $
yang memenuhi adalah $ x = 5 $ dan $ y = 9 $
Sehingga nilai jangkauannya $ = 9 - 5 = 4 $.
Jadi, nilai jangkauannya adalah $ 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Bidang Datar SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 349

Soal yang Akan Dibahas

Jika ABC adalah segitiga samasisi dengan panjang sisi 8 cm dan semua daerah segitiga yang diarsir adalah kongruen seperti pada gambar, maka luas daerah yang diarsir adalah .... cm$^2$
A). $ 12\sqrt{3} \, $ B). $ 10\sqrt{3} \, $ C). $ 6\sqrt{3} \, $ D). $ 10 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas segitiga ABC jika diketahui sudut A yaitu :
Luas $ = \frac{1}{2} . AB. AC . \sin \angle A $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan luas segitiga samasisi ABC :
$ \begin{align} \text{Luas ABC } & = \frac{1}{2}.AB.AC. \sin \angle A \\ & = \frac{1}{2}. 8. 8. \sin 60^\circ \\ & = \frac{1}{2}. 8. 8. \frac{1}{2}\sqrt{3} \\ & = 16\sqrt{3} \end{align} $
*). Perhatikan segitiga-segitiga kecil dan semuanya kongruen. Segitiga ABC dibagi menjadi 16 segitiga kecil sama besar, sehingga luas segitiga kecil yaitu :
Luas segitiga kecil $ = \frac{Luas \, ABC}{16} = \frac{16\sqrt{3}}{16} = \sqrt{3} $
*). Menentukan luas segitiga kecil-kecil yang diarsir sebanyak 6 buah :
Luas segitiga arsir $ = 6 \times \sqrt{3} = 6\sqrt{3} $.
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $ 6\sqrt{3} \, $ cm$^2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Aritmetika SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 349

Soal yang Akan Dibahas
Suku ke-5 suatu barisan aritmetika adalah 10. Jika 40 ditambah jumlah 4 suku pertama sama dengan jumlah suku ke-6 hingga suku ke-9, maka suku ke-2 adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Aritmetika
*). Rumus suku ke-$n $ : $ U_n = a + (n-1)b $
*). Rumus jumlah $ n $ suku pertama : $ S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan dalam $ a $ dan $ b $ :
-). Persamaan pertama :
$ \begin{align} U_5 & = 10 \\ a + 4b & = 10 \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
-). Persamaan kedua : 40 ditambah jumlah 4 suku pertama sama dengan jumlah suku ke-6 hingga suku ke-9
$ \begin{align} 40 + S_4 & = U_6 + U_7 + U_8 + U_9 \\ 40 + \frac{4}{2}(2a + 3b) & = (a + 5b) + (a+6b) + (a + 7b) + (a + 8b) \\ 40 + 4a + 6b & = 4a + 26b \\ 40 & = 20b \\ b & = 2 \end{align} $
Pers(i) : $ a + 4b = 10 \rightarrow a + 4.2 = 10 \rightarrow a = 2 $.
*). Menentukan suku kedua :
$ U_2 = a + b = 2 + 2 = 4 $.
Jadi, nilai $ U_2 = 4 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Matriks SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 349

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} 2a & 2 \\ -4 & a \end{matrix} \right) $ dan $ B = \left( \begin{matrix} 2b & b \\ -4 & b \end{matrix} \right) $ mempunyai invers , maka semua bilangan real $ b $ yang memenuhi $ det(ABA^{-1}B^{-1} ) > 0 $ adalah .....
A). $ b < 0 \, $ B). $ b > 0 \, $ C). $ b > -2 \, $
D). $ -2 < b < 0 \, $ E). $ b < -2 \, $ atau $ b > 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat matriks P mempunyai invers yaitu $ det(P) \neq 0 $
*). Determinan matriks $ \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $ yaitu $ det(A) = ad - bc $.
*). Sifat determinan :
1). $ det(A.B) = det(A) . det(B) $
2). $ det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal diketahui $ det(ABA^{-1}B^{-1} ) > 0 $, dimana pada pembahasan sebelumnya terdapat lebih dari satu jawaban yang benar. Namun, biasanya pada SBMPTN jawaban yang benar hanya satu, artinya bisa saja terjadi salah pengetikan soal. Agar bisa mengarah ke bentuk jawaban yang ada, berikut beberapa kemungkinan soalnya yaitu :
$ det(ABA^{-1} ) > 0 \, $ atau $ det(A A^{-1}B^{-1} ) > 0 $ yang memberikan hasil yang sama. Jadi, pada pembahasan kedua ini, kita coba ganti soalnya agar terdapat satu jawaban yang benar.
*). Menentukan determinan masing-masing :
$ \begin{align} A & = \left( \begin{matrix} 2a & 2 \\ -4 & a \end{matrix} \right) \rightarrow det(A) = 2a^2 + 8 \\ B & = \left( \begin{matrix} 2b & b \\ -4 & b \end{matrix} \right) \rightarrow det(B ) = 2b^2 + 4b \end{align} $
*). Syarat mempunyai invers : determinan $ \neq 0 $ :
-). Matriks A :
$ det(A) \neq 0 \rightarrow 2a^2 + 8 \neq 0 $
Terpenuhi untuk semua nilai $ a $
-). Matriks B :
$ det(B) \neq 0 \rightarrow 2b^2 + 4b \neq 0 \rightarrow 2b(b+2) \neq 0 $
terpenuhi untuk $ b \neq 0 $ atau $ b \neq -2 $.
*). Sementara dari $ det(ABA^{-1} ) > 0 $ :
$ \begin{align} det(ABA^{-1} ) & > 0 \\ det(A).det(B).det(A^{-1}) & > 0 \\ det(A).det(B).\frac{1}{det(A)} & > 0 \\ det(B) & > 0 \\ 2b^2 + 4b & > 0 \\ 2b(b+2) & > 0 \\ b = 0 \vee b & = -2 \end{align} $
Garis bilangannya :
 

Solusinya : $ b < -2 \, $ atau $ b > 0 $.
Artinya nilai $ b $ yang memenuhi $ det(ABA^{-1} ) > 0 $ dan matriks B mempunyai invers yaitu $ b < -2 \, $ atau $ b > 0 $
Jadi, nilai $ b $ yang memenuhi $ b < -2 \, $ atau $ b > 0 . \, \heartsuit $


Pembahasan Matriks SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 349

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} 2a & 2 \\ -4 & a \end{matrix} \right) $ dan $ B = \left( \begin{matrix} 2b & b \\ -4 & b \end{matrix} \right) $ mempunyai invers , maka semua bilangan real $ b $ yang memenuhi $ det(ABA^{-1}B^{-1} ) > 0 $ adalah .....
A). $ b < 0 \, $ B). $ b > 0 \, $ C). $ b > -2 \, $
D). $ -2 < b < 0 \, $ E). $ b < -2 \, $ atau $ b > 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat matriks P mempunyai invers yaitu $ det(P) \neq 0 $
*). Determinan matriks $ \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $ yaitu $ det(A) = ad - bc $.
*). Sifat determinan :
1). $ det(A.B) = det(A) . det(B) $
2). $ det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan determinan masing-masing :
$ \begin{align} A & = \left( \begin{matrix} 2a & 2 \\ -4 & a \end{matrix} \right) \rightarrow det(A) = 2a^2 + 8 \\ B & = \left( \begin{matrix} 2b & b \\ -4 & b \end{matrix} \right) \rightarrow det(B ) = 2b^2 + 4b \end{align} $
*). Syarat mempunyai invers : determinan $ \neq 0 $ :
-). Matriks A :
$ det(A) \neq 0 \rightarrow 2a^2 + 8 \neq 0 $
Terpenuhi untuk semua nilai $ a $
-). Matriks B :
$ det(B) \neq 0 \rightarrow 2b^2 + 4b \neq 0 \rightarrow 2b(b+2) \neq 0 $
terpenuhi untuk $ b \neq 0 $ atau $ b \neq -2 $.
*). Sementara dari $ det(ABA^{-1}B^{-1} ) > 0 $ :
$ \begin{align} det(ABA^{-1}B^{-1} ) & > 0 \\ det(A).det(B).det(A^{-1}).det(B^{-1}) & > 0 \\ det(A).det(B).\frac{1}{det(A)}.\frac{1}{det(B) } & > 0 \\ 1 & > 0 \, \, \, \, \, \text{(BENAR)} \end{align} $
Artinya nilai $ b $ yang memenuhi $ det(ABA^{-1}B^{-1} ) > 0 $ dan matriks B mempunyai invers yaitu $ b \neq 0 $ atau $ b \neq -2 $, atau dapat kita tulis himpunannya :
Penulisan pertama : HP = $ \{ b \neq 0 \text{ atau } b \neq -2 , b \in R \} $
Penulisan kedua : HP = $ \{ b < -2 \text{ atau } -2 < b < 0 \text{ atau } b > 0 , b \in R \} $
Jadi, jawabannya bisa option B, atau D atau E $ . \, \heartsuit $


Cara 2 Pembahasan Fungsi Invers SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 349

Soal yang Akan Dibahas
Jika fungsi $ f $ dan $ g $ mempunyai invers dan memenuhi $ f(2x) = g(x-3) $, maka $ f^{-1}(x) = .... $
A). $ g^{-1}\left( \frac{x}{2} - \frac{2}{3} \right) \, $ B). $ g^{-1}\left( \frac{x}{2} \right) - \frac{2}{3} \, $
C). $ g^{-1}(2x + 6) \, $ D). $ 2g^{-1}(x) - 6 \, $
E). $ 2g^{-1}(x) + 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Fungsi Invers
*). Definisi Fungsi Invers
$ f(A) = B \leftrightarrow A = f^{-1}(B) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
*). Pada soal diketahui : $ f(2x) = g(x-3) $
Misalkan $ f(2x) = g(x-3) = p $
Sehingga :
$ f(2x) = p \rightarrow 2x = f^{-1} (p) \, $ atau $ f^{-1} (p) = 2x \, $ ....(i)
$ g(x-3) = p \rightarrow x - 3 = g^{-1}(p) \rightarrow x = g^{-1}(p) + 3 \, $ ....(ii)
*). Substitusi (ii) ke (i) :
$ \begin{align} f^{-1} (p) & = 2x \\ f^{-1} (p) & = 2 ( g^{-1}(p) + 3 ) \\ & = 2 g^{-1}(p) + 6 \end{align} $
Bentuk $ f^{-1}(p) = 2g^{-1}(p) + 6 \, $ sama saja dengan $ f^{-1}(x) = 2g^{-1}(x) + 6 $.
Jadi, kita peroleh $ f^{-1}(x) = 2g^{-1}(x) + 6 . \, \heartsuit $


Pembahasan Fungsi Invers SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 349

Soal yang Akan Dibahas
Jika fungsi $ f $ dan $ g $ mempunyai invers dan memenuhi $ f(2x) = g(x-3) $, maka $ f^{-1}(x) = .... $
A). $ g^{-1}\left( \frac{x}{2} - \frac{2}{3} \right) \, $ B). $ g^{-1}\left( \frac{x}{2} \right) - \frac{2}{3} \, $
C). $ g^{-1}(2x + 6) \, $ D). $ 2g^{-1}(x) - 6 \, $
E). $ 2g^{-1}(x) + 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Fungsi Invers
*). Definisi Fungsi Invers
$ f(A) = B \leftrightarrow A = f^{-1}(B) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
Pada soal diketahui : $ f(2x) = g(x-3) $
Kita Misalkan $ A = 2x \, $ dan $ B = g(x-3) $
Sehingga :
$ \begin{align} f(2x) & = g(x-3) \\ f(A) & = B \, \, \, \, \, \, \, \text{(definisi invers)} \\ A & = f^{-1}(B) \, \, \, \, \, \, \, \text{(ganti bentuk A dan B)} \\ 2x & = f^{-1}(g(x-3)) \, \, \, \, \, \, \, \text{atau} \\ f^{-1}(g(x-3)) & = 2x \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
*). Misalkan : $ p = g(x-3) $
Dengan definisi invers :
$ g(x-3) = p \rightarrow x - 3 = g^{-1}(p) \rightarrow x = g^{-1}(p) + 3 $
*). Sehingga pers(i) menjadi :
$ \begin{align} f^{-1}(g(x-3)) & = 2x \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \\ f^{-1}(p) & = 2(g^{-1}(p) + 3) \\ f^{-1}(p) & = 2g^{-1}(p) + 6 \end{align} $
Bentuk $ f^{-1}(p) = 2g^{-1}(p) + 6 \, $ sama saja dengan $ f^{-1}(x) = 2g^{-1}(x) + 6 $.
Jadi, kita peroleh $ f^{-1}(x) = 2g^{-1}(x) + 6 . \, \heartsuit $


Pembahasan Komposisi Fungsi SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 349

Soal yang Akan Dibahas
Jika tabel berikut menyatakan hasil fungsi $ f $ dan $ g $,
$ \begin{array}{c|cccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline f(x) & 1 & 3 & 1 & -1 \\ \hline g(x) & 2 & 0 & 1 & 2 \end{array} $
maka $ (f \circ g \circ f)(1) + (g \circ f \circ g)(2) = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat pengerjaan komposisi fungsi yaitu fungsi paling kanan masuk ke fungsi sebelah kirinya, berlaku seterusnya.
$ (f \circ g \circ h)(x) = ( f \circ g)(h(x)) = f (g(h(x))) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Maksud dari tabel yang diberikan di atas yaitu :
$ f(0) = 1 , f(1) = 3, f(2) = 1 , f(3) = -1 $ dan
$ g(0) = 2 , g(1) = 0, g(2) = 1 , g(3) = 2 $
*). Menyelesaikan soal berdasarkan tabel yang diberikan di atas :
$\begin{align} & (f \circ g \circ f)(1) + (g \circ f \circ g)(2) \\ & = (f \circ g )(f(1)) + (g \circ f )(g(2) ) \\ & = (f \circ g )(3) + (g \circ f )(1) \\ & = f( g (3) ) + g(f(1)) \\ & = f(2) + g(3) \\ & = 1 + 2 \\ & = 3 \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ 3 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Kuadrat SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 349

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ 1 + \sqrt{2} $ adalah salah satu akar $ x^2 + ax + b = 0 $ dengan $ b $ bilangan real negatif dan $ a $ suatu bilangan bulat. Nilai terkecil $ a $ adalah ....
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Sifat pertidaksamaan :
Jika dibagi dengan bilangan negatif, maka tanda ketaksamaan dibalik.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ x_1 = 1 + \sqrt{2} $ adalah salah satu akar dari persamaan $ x^2 + ax + b = 0$
-). Operasi penjumlahan akar :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-a}{1} \\ 1 + \sqrt{2} + x_2 & = -a \\ x_2 & = -a - 1 - \sqrt{2} \end{align} $
-). Operasi perkalian akar :
$\begin{align} x_1 . x_2 & = \frac{b}{1} \\ (1 + \sqrt{2})(-a - 1 - \sqrt{2} ) & = b \end{align} $
*). $b $ adalah bilangan real negatif, artinya $ b < 0 $. Dari pers(i) :
$\begin{align} b & < 0 \\ (1 + \sqrt{2})(-a - 1 - \sqrt{2} ) & < 0 \, \, \, \, \, \text{...[bagi } (1 + \sqrt{2}) ] \\ -a - 1 - \sqrt{2} & < 0 \\ -a & < 1 + \sqrt{2} \, \, \, \, \, \text{....(kali -1)} \\ a & > -(1 + \sqrt{2}) \\ a & > -(1 + 1,4) \\ a & > -2,4 \end{align} $
Nilai $ a $ bulat yang memenuhi $ a > -4,4 $ adalah $ a = \{ -2, -1, 0, ...\} $
Artinya nilai $ a $ terkecil adalah $ a = -2 $.
Jadi, nilai $ a $ terkecil adalah $ a = -2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat SBMPTN 2016 Matematika Dasar kode 349

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ 1 + \sqrt{2} $ adalah salah satu akar $ x^2 + ax + b = 0 $ dengan $ b $ bilangan real negatif dan $ a $ suatu bilangan bulat. Nilai terkecil $ a $ adalah ....
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika $ p $ adalah akar dari persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ , maka $ x = p $ bisa kita substitusikan ke persamaan kuadratnya, sehingga menjadi : $ ap^2 + bp + c = 0 $
*). Sifat pertidaksamaan :
Jika dibagi dengan bilangan negatif, maka tanda ketaksamaan dibalik.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Karena $ 1 + \sqrt{2} $ adalah salah satu akar dari persamaan $ x^2 + ax + b = 0$, maka $ 1 + \sqrt{2} $ bisa kita substitusi ke persamaannya :
$\begin{align} x^2 + ax + b & = 0 \\ (1 + \sqrt{2} )^2 + a(1 + \sqrt{2} ) + b & = 0 \\ (1 + \sqrt{2} )^2 + a(1 + \sqrt{2} ) & = -b \\ -(1 + \sqrt{2} )^2 - a(1 + \sqrt{2} ) & = b \, \, \, \, \, \text{...(i)} \end{align} $
*). $b $ adalah bilangan real negatif, artinya $ b < 0 $. Dari pers(i) :
$\begin{align} b & < 0 \\ -(1 + \sqrt{2} )^2 - a(1 + \sqrt{2} ) & < 0 \\ - a(1 + \sqrt{2} ) & < (1 + \sqrt{2} )^2 \, \, \, \, \, \text{...[bagi } -(1 + \sqrt{2} ) ] \\ a & > \frac{(1 + \sqrt{2} )^2}{-(1 + \sqrt{2} )} \\ a & > -(1 + \sqrt{2} ) \\ a & > -(1 + 1,4) \\ a & > -2,4 \end{align} $
Nilai $ a $ bulat yang memenuhi $ a > -2,4 $ adalah $ a = \{ -2, -1, 0, ...\} $
Artinya nilai $ a $ terkecil adalah $ a = -2 $.
Jadi, nilai $ a $ terkecil adalah $ a = -2 . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2016 Matematika Dasar Kode 349


Nomor 1
Diketahui $ 1 + \sqrt{2} $ adalah salah satu akar $ x^2 + ax + b = 0 $ dengan $ b $ bilangan real negatif dan $ a $ suatu bilangan bulat. Nilai terkecil $ a $ adalah ....
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $
Nomor 2
Jika $ A^{2x} = 2 $, maka $ \frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x} } = .... $
A). $\frac{31}{18} \, $ B). $\frac{31}{9} \, $ C). $ \frac{32}{18} \, $ D). $ \frac{33}{9} \, $ E). $ \frac{33}{18} $
Nomor 3
Suatu garis yang melalui titik $(0,0)$ membagi persegipanjang dengan titik-titik sudut (1,2), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah ....
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ \frac{12}{5} \, $ E). $ 3 $
Nomor 4
Semua nilai $ x $ yang memenuhi $ \frac{3}{x} - \frac{3}{x+3} \geq 0 \, $ adalah ....
A). $ x < 0 \, $ B). $ -3 \leq x \leq 0 \, $ C). $ -3 < x < 0 \, $
D). $ x < -3 \, $ atau $ x > 0 \, $ E). $ x \leq -3 \, $ atau $ x \geq 0 \, $
Nomor 5
Jika grafik fungsi $ y = x^2 - (9+a)x + 9a \, $ diperoleh dari grafik fungsi $ y = x^2 - 2x - 3 \, $ melalui pencerminan terhadap garis $ x = 4 $ , maka $ a = .... $
A). $ 7 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ -5 \, $ E). $ -7 \, $
Nomor 6
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasal dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil diatur bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ....
A). $ 144 \, $ B). $ 108 \, $ C). $ 72 \, $ D). $ 36 \, $ E). $ 35 $
Nomor 7
Jika tabel berikut menyatakan hasil fungsi $ f $ dan $ g $,
$ \begin{array}{c|cccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline f(x) & 1 & 3 & 1 & -1 \\ \hline g(x) & 2 & 0 & 1 & 2 \end{array} $
maka $ (f \circ g \circ f)(1) + (g \circ f \circ g)(2) = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 5 $
Nomor 8
Jika fungsi $ f $ dan $ g $ mempunyai invers dan memenuhi $ f(2x) = g(x-3) $, maka $ f^{-1}(x) = .... $
A). $ g^{-1}\left( \frac{x}{2} - \frac{2}{3} \right) \, $ B). $ g^{-1}\left( \frac{x}{2} \right) - \frac{2}{3} \, $
C). $ g^{-1}(2x + 6) \, $ D). $ 2g^{-1}(x) - 6 \, $
E). $ 2g^{-1}(x) + 6 $
Nomor 9
Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} 2a & 2 \\ -4 & a \end{matrix} \right) $ dan $ B = \left( \begin{matrix} 2b & b \\ -4 & b \end{matrix} \right) $ mempunyai invers , maka semua bilangan real $ b $ yang memenuhi $ det(ABA^{-1}B^{-1}) > 0 $ adalah .....
A). $ b < 0 \, $ B). $ b > 0 \, $ C). $ b > -2 \, $
D). $ 7-2 < b < 0 \, $ E). $ b < -2 \, $ atau $ b > 0 $
Nomor 10
Suku ke-5 suatu barisan aritmetika adalah 10. Jika 40 ditambah jumlah 4 suku pertama sama dengan jumlah suku ke-6 hingga suku ke-9, maka suku ke-2 adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 11

Jika ABC adalah segitiga samasisi dengan panjang sisi 8 cm dan semua daerah segitiga yang diarsir adalah kongruen seperti pada gambar, maka luas daerah yang diarsir adalah .... cm$^2$
A). $ 12\sqrt{3} \, $ B). $ 10\sqrt{3} \, $ C). $ 6\sqrt{3} \, $ D). $ 10 \, $ E). $ 6 $
Nomor 12
Dalam suatu kelas terdapat 23 siswa. Rata-rata nilai ujian Matematika mereka adalah 7. Terdapat hanya 2 orang yang memperoleh nilai yang sama yang merupakan nilai tertinggi dan hanya 1 orang yang memperoleh nilai terendah. Rata-rata nilai mereka berkurang o,1 jika semua nilai tertinggi dan nilai terendah dikeluarkan. Jika semua nilai tersebut berupa bilangan cacah satu angka, maka jangkauan data nilai yang mungkin adalah ....
A). $ 6 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 2 $
Nomor 13
Diketahui $ f(x) = x^2 + ax + b $. Jika $ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 2 $, maka $ a - b = .... $
A). $ 7 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ -3 \, $ E). $ -7 $
Nomor 14
Jika $ ax + y = 4, \, x + by = 7 , \, $ dan $ ab = 2 $, maka $ x - y = .... $
A). $ 7a - 4b + 3 \, $
B). $ 7a - 4b - 3 \, $
C). $ 7a + 4b + 3 \, $
D). $ -7a + 4b + 3 \, $
E). $ -7a + 4b - 3 \, $
Nomor 15
Semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ \frac{(|x|-2)x}{|x|+2} > 0 \, $ adalah ....
A). $ x < -2 \, $ atau $ 0 < x < 2 $
B). $ x < -2 \, $ atau $ x > 2 $
C). $-2 < x < 2 \, $
D). $ -2 < x < 0 \, $ atau $ x > 2 $
E). $ x > 2 $