Tampilkan postingan dengan label matdas um ugm 2004. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label matdas um ugm 2004. Tampilkan semua postingan

Cara 2 Pembahasan Deret UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah $ n $ suku pertama suatu deret aritmetika diberikan dengan rumus $ n^2 + 3n$. Beda deret tersebut adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika diketahui rumus $ S_n $ deret aritmetika
$ S_n = pn^2 + qn $ maka $ b = 2p $.
dengan $ b = \, $ beda.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). DIketahui $ S_n = n^2 + 3n \rightarrow p = 1 , q = 3 $
*). Menentukan nilai beda $(b)$ :
$\begin{align} b & = 2p = 2.1 = 2 \end{align} $
Jadi, bedanya adalah $ 2. \, \heartsuit $

Pembahasan Deret Aritmetika UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah $ n $ suku pertama suatu deret aritmetika diberikan dengan rumus $ n^2 + 3n$. Beda deret tersebut adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Beda ($b$) dalam barisan aritmetika :
$ b = U_2 - U_1 = U_3 - U_2 = ....= U_n - U_{n-1} $
*). Hubungan $ U_n $ dan $ S_n $ :
$ U_n = S_n - S_{n-1} \, $ untuk $ n \geq 2 $.
Dan $ U_1 = S_1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). DIketahui $ S_n = n^2 + 3n $ :
*). Menentukan $ U_1 $ dan $ U_2 $ :
$\begin{align} U_1 & = S_1 \\ & = 1^2 + 3.1 = 4 \\ U_2 & = S_2 - S_1 \\ & = (2^2 + 3.2) - (1^2 + 3.1 ) \\ & = 6 \end{align} $
*). Menentukan nilai beda $(b)$ :
$\begin{align} b & = U_2 - U_1 = 6 - 4 = 2 \end{align} $
Jadi, bedanya adalah $ 2. \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Aritmetika UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui dua orang pekerja dengan gaji permulaan Rp 1.600.000,-. Setiap tahun pekerja pertama mendapat kenaikan gaji sebesar Rp 10.000,- sedangkan pekerja kedua mendapat kenaikan gaji Rp 23.000,- setiap dua tahun. Setelah 10 tahun bekerja selisih gaji kedua pekerja tersebut adalah ....
A). Rp 15.000,-
B). Rp 20.000,-
C). Rp 50.000,-
D). Rp 130.000,-
E). Rp 150.000,-

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, \, U_n = a + (n-1)b $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama,
$ b = \, $ beda (penambah atau pengurang yang tetap)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Orang pertama :
Gaji awal : $ a = 1.600.000 $,
Penambah setiap tahun : $ b = 10.000 $
Besar gaji perbulan setelah 10 tahun kerja (mengalami 10 kali kenaikkan) :
$\begin{align} U_{n} & = a + (n-1) b \\ U_{11} & = 1600000 + (11-1) \times 10000 \\ & = 1600000 + 100000 \\ & = 1.700.000 \end{align} $
*). Orang Kedua :
Gaji awal : $ a = 1.600.000 $,
Penambah setiap dua tahun : $ b = 23.000 $
Besar gaji perbulan setelah 10 tahun kerja (mengalami 5 kali kenaikkan):
$\begin{align} U_{n} & = a + (n-1) b \\ U_{6} & = 1600000 + (6-1) \times 23000 \\ & = 1600000 + 115000 \\ & = 1.715.000 \end{align} $
Selisih gaji mereka $ = 1.715.000 - 1.700.000 = 15.000 $
Jadi, selisih gaji adalah $ 15.000,- \, \heartsuit $

Pembahasan Determinan UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Bila $ A = \left( \begin{matrix} \sin ^2 x & -\cos x \\ \sqrt{3}\sin x & 1 \end{matrix} \right) $, $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $ dan determinan $ A $ sama dengan $ 1 $, maka $ x $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{\pi}{6} \, $ C). $ \frac{\pi}{4} \, $ D). $ \frac{\pi}{3} \, $
E). $ \frac{\pi}{6} \, $ dan $ \frac{\pi}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus determinan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
Det(A) $ = |A| = ad - bc $
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \sin ^2 x = 1 - \cos ^2 x $
*). RUmus perbandingan trigonometri : $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Determinan matriks A = 1 :
$\begin{align} A = \left( \begin{matrix} \sin ^2 x & -\cos x \\ \sqrt{3}\sin x & 1 \end{matrix} \right) & \\ |A| & = 1 \\ \sin ^2 x . 1 - (-\cos x) . \sqrt{3}\sin x & = 1 \\ \sin ^2 x + \sqrt{3}\cos x \sin x & = 1 \\ 1 - \cos ^2 x + \sqrt{3}\cos x \sin x & = 1 \\ \sqrt{3}\cos x \sin x - \cos ^2 x & = 0 \\ \cos x ( \sqrt{3}\sin x - \cos x ) & = 0 \\ \cos x = 0 \vee \sqrt{3}\sin x - \cos x & = 0 \end{align} $
-). Untuk $ \cos x = 0 $, tidak ada $ x $ yang memenuhi pada interval $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $.
-). Untuk $ \sqrt{3}\sin x - \cos x = 0 $ :
$\begin{align} \sqrt{3}\sin x - \cos x & = 0 \\ \sqrt{3}\sin x & = \cos x \\ \frac{\sin x}{\cos x} & = \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \tan x & = \frac{1}{\sqrt{3}} \end{align} $
Pada interval $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $, nilai $ x $ yang memenuhi $ \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} $ adalah $ x = \frac{\pi}{6} $.
Jadi, nilai $ x = \frac{\pi}{6} . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Dalam satu kelas terdapat 22 siswa. Nilai rata-rata matematikanya 5 dan jangkauan 4. Bila seseorang siswa yang paling rendah nilainya dan seorang siswa yang paling tinggi nilainya tidak disertakan, maka nilai rata-ratanya berubah menjadi $4,9$. Nilai siswa yang paling rendah adalah ....
A). $ 5 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus rata-rata :
Rata-rata $ = \frac{\text{jumlah semua nilai}}{\text{banyak nilai}} $
*). Rumus jangkauan :
Jangkauan $ = $ Nilai terbesar $ - $ nilai terkecil

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan nilai terendah $ = y $ dan tertinggi $ = x $ :
Misalkan jumlah nilai 20 siswa selain terendah dan tertinggi $ = A $.
*). Rata-rata 22 siswa = 5 :
$\begin{align} \text{Rata-rata } & = 5 \\ \frac{y + A + x}{22} & = 5 \\ y + A + x & = 110 \, \, \, \, \, \, \, \text{.....(i)} \end{align} $
*). Jangkauan = 4
$ x - y = 4 \, $ ......(ii)
*). Nilai $ y $ dan $ x $ tidak ikut, rata-rata 20 siswa = 4,9
$\begin{align} \text{Rata-rata } & = 4,9 \\ \frac{A}{20} & = 4,9 \\ A & = 98 \end{align} $
Pers(i): $ y + A + x = 110 \rightarrow y + 98 + x = 110 \rightarrow x + y = 12 $
*). Eliminasi pers(i) dan (ii) :
$\begin{array}{cc} x + y = 12 & \\ x - y = 4 & - \\ \hline 2y = 8 & \\ y = 4 \end{array} $
Jadi, nilai terendah adalah $ 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Invers Matriks UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Hasil kali matriks $ A \left( \begin{matrix} 5 & -3 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -10 & 30 \\ 35 & -27 \end{matrix} \right)$. Matriks $ A $ adalah ....
A). $ \left( \begin{matrix} -1 & -1 \\ 4 & 7 \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} -2 & 4 \\ 7 & -1 \end{matrix} \right) \, $ C). $ \left( \begin{matrix} 4 & -2 \\ 7 & -1 \end{matrix} \right) \, $
D). $ \left( \begin{matrix} 7 & 2 \\ -1 & 4 \end{matrix} \right) \, $ E). $ \left( \begin{matrix} 7 & 2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Invers Matriks $ B = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
$ B^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
*). Sifat invers matriks :
$ AB = C \rightarrow A C.B^{-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan matriks A :
$\begin{align} A \left( \begin{matrix} 5 & -3 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -10 & 30 \\ 35 & -27 \end{matrix} \right) \\ A & = \left( \begin{matrix} -10 & 30 \\ 35 & -27 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 5 & -3 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right)^{-1} \\ & = \left( \begin{matrix} -10 & 30 \\ 35 & -27 \end{matrix} \right). \frac{1}{5.6 - (-3).0} \left( \begin{matrix} 6 & 3 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -10 & 30 \\ 35 & -27 \end{matrix} \right). \frac{1}{30 - 0} \left( \begin{matrix} 6 & 3 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -10 & 30 \\ 35 & -27 \end{matrix} \right). \frac{1}{30} \left( \begin{matrix} 6 & 3 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{30} \left( \begin{matrix} -10 & 30 \\ 35 & -27 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 6 & 3 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{30} \left( \begin{matrix} -60 & 120 \\ 210 & -30 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -2 & 4 \\ 7 & -1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, matirks $ A = \left( \begin{matrix} -2 & 4 \\ 7 & -1 \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ I $ matriks satuan dan matriks $ A = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{matrix} \right) $ sehingga $ A^2=pA+qI $ , maka $ p + q $ sama dengan ....
A). $ 15 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ -5 \, $ E). $ -10 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Matriks satuan : $ I = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
*). Operasi pada matriks :
-). Perkalian = baris $ \times $ kolom,
-). Kali skalar = kalikan semua dengan konstantanya,
-). Penjumlahn = jumlahkan unsur-unsur yang seletak,
-). kesamaan dua matriks = unsur-unsur seletak nilainya sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan matriksnya :
$\begin{align} A^2 & =pA+qI \\ \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{matrix} \right) & = p\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{matrix} \right)+q\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 0 & 5 \\ -20 & 5 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2p & p \\ -4p & 3p \end{matrix} \right)+ \left( \begin{matrix} q & 0 \\ 0 & q \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 0 & 5 \\ -20 & 5 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2p + q & p \\ -4p & 3p + q \end{matrix} \right) \end{align} $
Dari kesamaan matriks ini kita peroleh : $ p = 5 $
$ 2p + q = 0 \rightarrow 2.5 + q = 0 \rightarrow q = -10 $
Sehingga nilai $ p + q 5 + (-10 ) = -5 $
Jadi, nilai $ p + q = -5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Garis Singgung UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan garis singgung kurva $ y = x^2 $ di titik potong kurva tersebut dengan kurva $ y = \frac{1}{x} $ adalah ....
A). $ y + 2x + 1 = 0 \, $
B). $ y + 2x - 1 = 0 \, $
C). $ y - 2x + 1 = 0 \, $
D). $ y - 2x - 1 = 0 \, $
E). $ 2y - x + 1 = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1,y_1) $
$ \, \, \, \, y - y_1 = m(x- x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan titik potong kedua kurva :
$\begin{align} y_1 & = y^2 \\ x^2 & = \frac{1}{x} \\ x^3 & = 1 \\ x & = 1 \end{align} $
$ x = 1 \rightarrow y = x^2 = 1^2 = 1 $
Sehingga titik potongnya adalah $ (x_1,y_1) = (1 , 1 ) $
*). Menentukan turunan kurva $ y = x^2 $ dan gradien garis singgung :
$\begin{align} y & = x^2 \\ y^\prime & = 2x \\ m & = f^\prime (x_1) \\ & = f^\prime (1) \\ & = 2.1 = 2 \end{align} $
*). Menyusun persamaan garis singgung di titik $ (x_1,y_1) = (1 , 1 ) $ dan $ m = 2 $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x- x_1) \\ y - 1 & = 2(x- 1) \\ y - 1 & = 2x- 2 \\ y - 2x & + 1 = 0 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ y - 2x + 1 = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan fungsi UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Fungsi $ f(x) = \left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)(1+\cos x) $ mempunyai turunan ....
A). $ \cos x \, $ B). $ \sin x \, $ C). $ -\cos x \, $
D). $ -\sin x \, $ E). $ \sin 2x $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus dasar trigonometri : $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 $
atau $ 1 - \cos ^2 x = \sin ^2 x $
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan dan menurunkan fungsinya :
$\begin{align} f(x) & = \left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)(1+\cos x) \\ & = \left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\frac{\sin x}{\cos x}}\right)(1+\cos x) \\ & = \left(\frac{1}{\sin x}-\frac{\cos x}{\sin x}\right)(1+\cos x) \\ & = \left(\frac{1 - \cos x}{\sin x}\right)(1+\cos x) \\ & = \left(\frac{(1 - \cos x)(1+\cos x) }{\sin x}\right) \\ & = \left(\frac{1 - \cos ^2 x}{\sin x}\right) \\ & = \left(\frac{\sin ^2 x}{\sin x}\right) \\ f(x) & = \sin x \\ f^\prime (x) & = \cos x \end{align} $
Jadi, turunan fungsinya adalah $ \cos x. \, \heartsuit $

Pembahasan Ketaksamaan Eksponen UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi pertaksamaan $ 4^{x-2} > \sqrt{2^{3x+1}} $ adalah ....
A). $ x > 2 \, $
B). $ x > 4 \, $
C). $ 2 < x < 4 $
D). $ x > 9 $
E). $ 2 < x < 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat Eksponen :
1). $ (a^m)^n = a^{m.n} $
2). $ \sqrt{a^n} = a^\frac{n}{2} $
*). Pertidaksamaan Eksponen :
$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \, $ mempunyai penyelesaian :
jika $ a > 1 $ , maka $ f(x) > g(x) $
jika $ 0 < a < 1 $ , maka $ f(x) < g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Soalnya :
$\begin{align} 4^{x-2} & > \sqrt{2^{3x+1}} \\ (2^2)^{x-2} & > 2^\frac{3x+1}{2} \\ 2^{2x-4} & > 2^\frac{3x+1}{2} \\ 2x-4 & > \frac{3x+1}{2} \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 4x-8 & > 3x+1 \\ 4x-3x & > 1 + 8 \\ x & > 9 \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ x > 9. \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
$\frac{\log x \sqrt{x} - \log\sqrt{y}+\log \frac{x}{y^2}}{\log \frac{x}{y}} = .... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ -\frac{5}{2} \, $ D). $ \frac{5}{2} \, $ E). $ \frac{3}{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat Logaritma :
1). $ {}^a \log b - {}^a \log c + {}^a \log d = {}^a \log \frac{b.d}{c} $
2). $ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
*). SIfat Eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m + n} $ dan $ \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Soalnya :
$\begin{align} & \frac{\log x \sqrt{x} - \log\sqrt{y}+\log \frac{x}{y^2}}{\log \frac{x}{y}} \\ & = \frac{\log \frac{ x \sqrt{x} . \frac{x}{y^2}}{\sqrt{y}} }{\log \frac{x}{y}} = \frac{\log \frac{ x \sqrt{x} .x}{\sqrt{y} . y^2} }{\log \frac{x}{y}} \\ & = \frac{\log \frac{ x^2 .x^\frac{1}{2} }{y^\frac{1}{2} . y^2} }{\log \frac{x}{y}} = \frac{\log \frac{x^\frac{5}{2} }{y^\frac{5}{2} } }{\log \frac{x}{y}} \\ & = \frac{\log \left( \frac{x}{y} \right)^\frac{5}{2} }{\log \frac{x}{y}} = \frac{ \frac{5}{2} \, \times \, \log \frac{x}{y} }{\log \frac{x}{y}} = \frac{5}{2} \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ \frac{5}{2}. \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Sistem UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah $ x , y $ dan $ z $ yang memenuhi siste persamaan linear :
$ \begin{align} 2x + 3y + z & = 1 \\ x + 2y + 3z & = 5 \\ 3x + y + 2z & = 6 \end{align} $
adalah ....
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan soal sistem persamaan, kita bisa langsung mengoperasikan persamaan-persamaan yang diketahui sehingga kita peroleh sesuai dengan pertanyaannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Langsung kita jumlahkan ketiga persamaan :
$ \begin{array}{cc} 2x + 3y + z = 1 & \\ x + 2y + 3z = 5 & \\ 3x + y + 2z = 6 & + \\ \hline 6x + 6y + 6z = 12 & (: 2) \\ x + y + z = 2 & \end{array} $
Jadi, nilai $ x + y + z= 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah $ x , y $ dan $ z $ yang memenuhi siste persamaan linear :
$ \begin{align} 2x + 3y + z & = 1 \\ x + 2y + 3z & = 5 \\ 3x + y + 2z & = 6 \end{align} $
adalah ....
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan soal sistem persamaan, kita bisa menggunakan teknik eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). 3$\times$pers(i) - pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} 6x + 9y + 3z = 3 & \\ x + 2y + 3z = 5 & - \\ \hline 5x + 7y = -2 & ..(iv) \end{array} $
*). 2$\times$pers(i) - pers(iii) :
$ \begin{array}{cc} 4x + 6y + 2z = 2 & \\ 3x + y + 2z = 6 & - \\ \hline x + 5y = -4 & ..(v) \end{array} $
*). pers(iv) - 5$\times$pers(v) :
$ \begin{array}{cc} 5x + 7y = -2 & \\ 5x + 25y = -20 & - \\ \hline -18y = 18 & \\ y = -1 & \end{array} $
Pers(v): $ x + 5y = -4 \rightarrow x + 5(-1) = - 4 \rightarrow x = 1 $
Pers(i): $ 2x + 3y + z = 1 \rightarrow 2.1 + 3.(-1) + z = 1 \rightarrow z = 2 $
*). Menentukan jumlahnya :
$\begin{align} x + y + z & = 1 + (-1) + 2 = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ x + y + z= 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah akar-akar persamaan $ 6x^2 - 3x - 3 = 0 $, maka persamaan dengan akar-akar $ \frac{1}{x_1}+1 $ dan $ \frac{1}{x_2} + 1 $ dapat difaktorkan menjadi ....
A). $ (y-2)(y-3) = 0 \, $
B). $ (y-2)(y-1) = 0 \, $
C). $ (y+2)(y-3) = 0 \, $
D). $ (y+2)(y-1) = 0 \, $
E). $ (y-2)(y+1) = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $ y_1 $ dan $ y_2 $ adalah
$ (y-y_1)(y-y_2) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar :
$\begin{align} 6x^2 - 3x - 3 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ 2x^2 - x - 1 & = 0 \\ (x -1)(2x + 1) & = 0 \\ x_1 = 1 \vee x_2 & = -\frac{1}{2} \end{align} $
*). Persamaan kuadrat baru (PKB) dengan akar-akar :
$ y_1 = \frac{1}{x_1} + 1 = \frac{1}{1} + 1 = 2 $

$ y_2 = \frac{1}{x_2} + 1 = \frac{1}{-\frac{1}{2}} + 1 = -2 + 1 = -1 $
*). Menyusun persamaan kuadrat barunya :
$\begin{align} (y-y_1)(y-y_2) & = 0 \\ (y-2)(y-(-1)) & = 0 \\ (y-2)(y+1) & = 0 \end{align} $
Jadi, PKB-nya adalah $ (y-2)(y+1) = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Aljabar UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x^2 - 4} \right) $ adalah .....
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{1}{4} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan limit bentuk tak tentu yaitu $ \infty - \infty $ atau $ \frac{0}{0} $ salah satunya bisa dengan pemfaktoran.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x^2 - 4} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{4}{(x+2)(x-2)} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{x + 2}{(x+2)(x - 2)} - \frac{4}{x^2 - 4} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{x + 2 - 4 }{(x+2)(x - 2)} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{(x -2)}{(x+2)(x - 2)} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x+2} \right) \\ & = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{4} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Trigonometri UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{1}{a}\left( \frac{\sin ^3 2a}{\cos 2a} + \sin 2a \cos 2a \right) $ sama dengan .....
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 1 \, $ 1 D). $ 2 \, $ E). $ \infty \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Limit fungsi trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{\sin ma}{na} = \frac{m}{n} $
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 f(x) + \cos ^2 f(x) = 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{1}{a}\left( \frac{\sin ^3 2a}{\cos 2a} + \sin 2a \cos 2a \right) \\ & = \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{1}{a}\left( \frac{\sin ^3 2a}{\cos 2a} + \frac{\sin 2a \cos ^2 2a }{\cos 2a} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{1}{a}\left( \frac{\sin ^3 2a + \sin 2a \cos ^2 2a }{\cos 2a} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{1}{a}\left( \frac{\sin 2a( \sin ^2 2a + \cos ^2 2a) }{\cos 2a} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{1}{a}\left( \frac{\sin 2a ( 1) }{\cos 2a} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{1}{a}\left( \frac{\sin 2a }{\cos 2a} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{1}{\cos 2a} \left( \frac{\sin 2a }{a} \right) \\ & = \frac{1}{\cos 0} . \frac{2}{1} = 2 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Trigonometri UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

Untuk $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} $ , grafik fungsi di atas memotong grafik $ y = \cos 2x $ pada titik yang memenuhi .....
A). $ \sin 2x = \frac{2}{3} \, $
B). $ \tan 2x = \frac{2}{3} \, $
C). $ \sin 2x = \frac{1}{3} \, $
D). $ \cos 2x = \frac{1}{3}\sqrt{5} \, $
E). $ \cos 2x = \frac{2}{\sqrt{5}} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). FUngsi trigonometri $ y = a \sin kx $ memiliki amplitudo $ a $ dan periode $ P = \frac{2\pi}{k} $ dimana grafik fungsinya melalui titik $ (0,0) $.
*). RUmus dasar trigonometri :
$ \tan f(x) = \frac{\sin f(x)}{\cos f(x)} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dari grafik diketahui $ a = 1,5 = \frac{3}{2} $ ,
Periode $ = \pi \rightarrow \frac{2\pi}{k} = \pi \rightarrow k = 2 $.
(satu periode = satu gelombang dan satu lembah).
*). Fungsi trigonometri grafik di atas :
$ y = a \sin kx \rightarrow y = \frac{3}{2} \sin 2x $.
*). Titik potong kedua fungsi
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ \frac{3}{2} \sin 2x & = \cos 2x \\ \frac{ \sin 2x }{\cos 2x } & = \frac{1}{\frac{3}{2}} \\ \tan 2x & = \frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, berpotongan pada $ \tan 2x = \frac{2}{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Maksimum Trigonometri UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai maksimum dari fungsi trigonometri $ f(x) = \frac{1}{5}\sin \left(5x - \frac{\pi}{6} \right) $ adalah ....
A). $ \frac{1}{5} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ \frac{5}{6} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Nilai maksimum fungsi trigonometri
$ y = A \sin g(x) $ adalah $ y_{maks} = |A| $ .

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi trigonometri $ f(x) = \frac{1}{5}\sin \left(5x - \frac{\pi}{6} \right) $ :
$\begin{align} f_{maks} & = |A| = \left| \frac{1}{5} \right| = \frac{1}{5} \end{align} $
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ \frac{1}{5} . \, \heartsuit $

Pembahasan Eksponen UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x $ memenuhi persamaan $ 3x^{0,4} - 9\left(\frac{1}{3}\right)^{0,6} = 0 $ , maka $ 3x - x^2 $ sama dengan ....
A). $ 3^{0,4} \, $ B). $ 3^{0,6} \, $ C). $ 3^{-0,26} \, $ D). $ \frac{8}{9} \, $ E). $ 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat eksponen :
1). $ (a^m)^n = a^{m.n} $
2). $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
3). $ a^m . a^n = a^{m+n} $
4). $ a^m = b^m \rightarrow a = b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ x $ :
$\begin{align} 3x^{0,4} & - 9\left(\frac{1}{3}\right)^{0,6} = 0 \\ 3x^{0,4} & = 9\left(\frac{1}{3}\right)^{0,6} \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x^{0,4} & = 3\left(\frac{1}{3}\right)^{0,6} \\ x^{0,4} & = 3^1 . \left(3^{-1}\right)^{0,6} \\ x^{0,4} & = 3^1 . 3^{-0,6} \\ x^{0,4} & = 3^{1-0,6} \\ x^{0,4} & = 3^{0,4} \\ x & = 3 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ 3x - x^2 $ :
$ 3x - x^2 = 3.3 - 3^2 = 9 - 9 = 0 $
Jadi, nilai $ 3x - x^2 = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Bentuk Akar UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
$ \frac{(9+\sqrt{5})(2\sqrt{5}+1)}{\sqrt{5}+1} = .... $
A). $ 21\sqrt{5} \, $ B). $ 19 \, $ C). $ 8\sqrt{5} \, $ D). $ 15 \, $ E). $ 5\sqrt{5} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat bentuk akar :
1). $ \sqrt{a} \times \sqrt{a} = a $
2). $ b\sqrt{a} \times c = bc\sqrt{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \frac{(9+\sqrt{5})(2\sqrt{5}+1)}{\sqrt{5}+1} \\ & = \frac{18\sqrt{5} + 9 + 10 + \sqrt{5}}{\sqrt{5}+1} \\ & = \frac{19\sqrt{5} + 19}{\sqrt{5}+1} \\ & = \frac{19(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5}+1)} \\ & = 19 \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ 19 . \, \heartsuit $