Tampilkan postingan dengan label matdas um ugm 2007. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label matdas um ugm 2007. Tampilkan semua postingan

Pembahasan Matriks Logaritma UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika matriks $ \left( \begin{matrix} {}^x \log a & \log (4a-14) \\ \log (b-4) & 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \log b & 1 \\ \log a & 1 \end{matrix} \right) $ , maka $ a = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 10 \, $ E). $ 10^6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Kesamaan dua buah matriks yaitu unsur yang seletak nilainya sama.
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow a^c = b \, $ atau $ b = a^c $
*). Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Bentuk $ \log x = {}^{10} \log x $

$\clubsuit $ Pembahasan 
*). Menyusun persamaan :
$\begin{align} \left( \begin{matrix} {}^x \log a & \log (4a-14) \\ \log (b-4) & 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \log b & 1 \\ \log a & 1 \end{matrix} \right) \\ {}^x \log a & = \log b \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \\ \log (4a - 14) & = 1 \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \\ \log (b-4) & = \log a \, \, \, \, \, \, \text{....(iii)} \end{align} $
*). Persamaan (ii) :
$\begin{align} \log (4a - 14) & = 1 \\ {}^{10} \log (4a - 14) & = 1 \\ (4a - 14) & = 10^1 \\ 4a & = 10 + 14 \\ 4a & = 24 \\ a & = 6 \end{align} $
*). Persamaan (iii) :
$\begin{align} \log (b-4) & = \log a \\ b - 4 & = 6 \\ b & = 10 \end{align} $
*). Persamaan (i) :
$\begin{align} {}^x \log a & = \log b \\ {}^x \log 6 & = {}^{10} \log 10 \\ {}^x \log 6 & = 1 \\ x^1 & = 6 \\ x & = 6 \end{align} $
Jadi, nilai $ x = 6 . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Kuadrat UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Akar-akar persamaan $ x^2 - (a+3)x + 4a = 0 $ adalah $ \alpha $ dan $ \beta $. Nilai minimum dari $ \alpha ^2 + \beta ^2 + 4\alpha \beta \, $ dicapai untuk $ a = .... $
A). $ -7 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 7 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ f(x) $ mencapai minimum pada saat $ f^\prime (x) = 0 $
*). Operasi akar-akar persamaan kuadrat : $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ \alpha + \beta = \frac{-b}{a} \, $ dan $ \alpha . \beta = \frac{c}{a} $
$ \alpha ^2 + \beta ^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha . \beta $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ x^2 - (a+3)x + 4a = 0 \, $ dengan akar-akar $ \alpha $ dan $ \beta $
$\begin{align} \alpha + \beta & = \frac{-b}{a} = \frac{-[-(a+3)]}{1} = a + 3 \\ \alpha . \beta & = \frac{c}{a} = \frac{4a}{1} = 4a \end{align} $
*). Misalkan fungsinya : $ f(a) = \alpha ^2 + \beta ^2 + 4\alpha \beta $
*). Menentukan fungsi $ f(a) $ :
$\begin{align} f(a) & = \alpha ^2 + \beta ^2 + 4\alpha \beta \\ & = [(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha . \beta] + 4\alpha \beta \\ & = (\alpha + \beta)^2 + 2\alpha . \beta \\ & = (a+3)^2 + 2. (4a) \\ & = (a^2 + 6a + 9) + 8a \\ f(a) & = a^2 + 14a + 9 \\ f^\prime (a) & = 2a + 14 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a $ dengan syarat $ f^\prime (a) = 0 $ :
$\begin{align} f^\prime (a) & = 0 \\ 2a + 14 & = 0 \\ 2a & = -14 \\ a & = -7 \end{align} $
Jadi, nilai $ a = -7 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Matriks UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \left( \begin{matrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
maka $ p + q + r + s = .... $
A). $ -5 \, $ B). $ -4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pada Matriks
*). Perkalian matriks , caranya :
Perkalian = baris kali kolom.
*). bentuk persamaan :
$ A + B = C \rightarrow B = C - A $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \left( \begin{matrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 1+2+0 & -1+0+0 \\ -3-1+4 & 3+0+2 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 3 & -1 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 & 1 \\ 0 & -4 \end{matrix} \right) \end{align} $
Artinya nilai $ p = -2, q = 1 , r = 0 $ dan $ s = -4 $.
Sehingga nilai :
$ p+q+r+s = -2 + 1 + 0 + (-4) = -5 $
Jadi, nilai $ p+q+r+s = -5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Invers Matriks UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Apabila $ A = \left[ \begin{matrix} -5 & 2 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right] $, $ A^T \, $ menyatakan transpose dari A dan $ A^{-1} $ menyatakan invers dari A, maka $ A^T + A^{-1} = .... $
A). $ \left[ \begin{matrix} -1 & -2 \\ -2 & -5 \end{matrix} \right] \, $ B). $ \left[ \begin{matrix} -1 & 2 \\ 2 & -5 \end{matrix} \right] \, $
C). $ \left[ \begin{matrix} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{matrix} \right] \, $ D). $ \left[ \begin{matrix} -6 & 0 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right] \, $
E). $ \left[ \begin{matrix} -6 & 0 \\ 0 & -6 \end{matrix} \right] $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pada Matriks
*). Determinan :
$ A = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \rightarrow Det(A) = |A| = ad - bc $
*). Transpose :
$ A = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \rightarrow A^T = \left[ \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} \right] $
*). Invers Matriks :
$ A = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan matriks $ A^T $ dan $ A^{-1} $ :
$\begin{align} A & = \left[ \begin{matrix} -5 & 2 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right] \rightarrow A^T = \left[ \begin{matrix} -5 & 2 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right] \\ A & = \left[ \begin{matrix} -5 & 2 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right] \rightarrow |A| = -5.(-1) - 2. 2 = 1 \\ A^{-1} & = \frac{1}{1} \left[ \begin{matrix} -1 & -2 \\ -2 & -5 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} -1 & -2 \\ -2 & -2 \end{matrix} \right] \end{align} $
*). Menentukan $ A^T + A^{-1} $ :
$\begin{align} A^T + A^{-1} & = \left[ \begin{matrix} -5 & 2 \\ 2 & -1 \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} -1 & -2 \\ -2 & -5 \end{matrix} \right] \\ & = \left[ \begin{matrix} -6 & 0 \\ 0 & -6 \end{matrix} \right] \end{align} $
Jadi, nilai $ A^T + A^{-1} = \left[ \begin{matrix} -6 & 0 \\ 0 & -6 \end{matrix} \right] . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika A dan B dua kejadian dengan $ P(B^c) = 0,45 $ , $ P(A \cap B ) = 0,45 $ dan $ P( A \cup B) = 0,85 $ , maka $ P(A^c) \, $ sama dengan ....
A). $ 0,15 \, $ B). $ 0,25 \, $ C). $ 0,45 \, $ D). $ 0,55 \, $ E). $ 0,75 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Peluang Komplemen :
$ P(A^c) = 1 - P(A) \, $ atau $ P(A) = 1 - P(A^c) $
Keterangan :
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A,
$ P(A^c) = \, $ peluang bukan kejadian A.
*). Peluang gabungan :
$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan peluang kejadian B :
$ P(B) = 1 - P(B^c) = 1 - 0,45 = 0,55 $
*). Menentukan peluang kejadian B :
$\begin{align} P(A \cup B) & = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \\ 0,85 & = P(A) + 0,55 - 0,45 \\ P(A) & = 0,75 \end{align} $
*). Menentukan $ P(A^c) $ :
$\begin{align} P(A^c) & = 1 - P(A) \\ & = 1 - 0,75 \\ & = 0,25 \end{align} $
Jadi, nilai $ P(A^c) = 0,25 . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Hasil penjualan suatu toko serba ada diperlihatkan dalam diagram lingkaran di bawah ini. Jika diketahui hasil penjualan minyak lebih besar Rp 1.260.00,- dibandingkan hasil penjualan beras, maka hasil penjualan rokok adalah ....
A). Rp 1.260.000,-
B). Rp 1.380.000,-
C). Rp 1.800.000,-
D). Rp 1.890.000,-
E). Rp 1.900.000,-

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Dalam menyelesaikan soal diagram lingkaran, bisa menggunakan perbandingan.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan Minyak = M, Beras = B dan Rokok = R :
-). Penjualan minyak lebih besar Rp1.260.000 dibandingkan penjulana beras, sehingga persamaannya menjadi :
$ M = B + 1.260.000 \rightarrow M_B = 1.260.000 $
-). Menentukan besarnya persentase :
%R = 21%, %(M-B) = 20% - 6% = 14%.
*). Menentukan penjualan Rokok dengan perbandingan :
$\begin{align} \frac{R}{M-B} & = \frac{\% R}{\%(M-B)} \\ \frac{R}{1.260.000} & = \frac{21\%}{14\%} \\ \frac{R}{1.260.000} & = \frac{3}{2} \\ R & = \frac{3}{2} \times 1.260.000 \\ & = 1.890.000 \end{align} $
Jadi, penjualan rokok sebesar Rp1.890.000 $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Aritmetika UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Empat buah bilangan merupakan suku berurutan suatu deret aritmetika. Hasil kali kedua suku tengahnya sama dengan 135 dan hasil kali kedua suku pinggirnya sama dengan 63. Jumlah kedua suku tengah tersebut adalah ....
A). $-35 \, $ atau $ 35 $
B). $-27 \, $ atau $ 27 $
C). $-24 \, $ atau $ 24 $
D). $-21 \, $ atau $ 21 $
E). $-15 \, $ atau $ 15 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ U_n = a + (n-1)b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan barisan aritmetikanya :
$ a, a+b , a + 2b , a + 3b $
*). Hasil kali dua suku tengah = 135 :
$\begin{align} (a + b).(a + 2b ) & = 135 \\ a^2 + 2ab + ab + 2b^2 & = 135 \\ (a^2 + 3ab) + 2b^2 & = 135 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Hasil kali suku pinggirnya = 63 :
$\begin{align} a . ( a + 3b) & = 63 \\ a^2 + 3ab & = 63 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi (ii) ke (i) :
$\begin{align} (a^2 + 3ab) + 2b^2 & = 135 \\ (63) + 2b^2 & = 135 \\ 2b^2 & = 72 \\ b^2 & = 36 \\ b & = \pm 6 \end{align} $
*). Persamaan (i), substitusi $ b = 6 $ :
$\begin{align} a^2 + 3ab & = 63 \\ a^2 + 3a.6 & = 63 \\ a^2 + 18a - 63 & = 0 \\ (a +21)(a - 3) & = 0 \\ a = -21 \vee a = 3 \end{align} $
*). Menyusun barisannya :
-). Untul $ b = 6 $ dan $ a = -21 $
$ a, a+b , a + 2b , a + 3b \rightarrow -21, -15, -9, -3 $
Jumlah suku tengah $ = -15 + (-9) = -24 $
-). Untul $ b = 6 $ dan $ a = 3 $
$ a, a+b , a + 2b , a + 3b \rightarrow 3, 9, 15, 21 $
Jumlah suku tengah $ = 9 + 15 = 24 $
*). Untuk $ b = -6 $, hasil jumlah suku tengahnya juga sama yaitu $ -24 $ dan $ 24 $.
Jadi, jumlah kedua suku tengahnya adalah $ -24 $ atau $ 24 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Geometri UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x-1, \, x - \frac{3}{2}, \, x - \frac{7}{4} \, $ adalah tiga suku pertama suatu deret geometri, maka jumlah tak hingga deret tersebut adalah ....
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ -\frac{1}{2} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Ciri-ciri barisan geometri : "Memiliki perbandingan sama".
misalkan ada tiga suku $ U_1, U_2, U_3 $ berlaku ,
Karena perbandingannya sama :
$ \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} \rightarrow U_2^2 = U_1 . U_3 $
*). Rumus jumlah tak hingga deret geometri tak hingga :
$ S_\infty = \frac{a}{1-r} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ x $ :
Diketahui $ U_1 = x-1, \, U_2 = x - \frac{3}{2}, \, U_3 = x - \frac{7}{4} $
$\begin{align} U_2^2 & = U_1 . U_3 \\ (x - \frac{3}{2})^2 & = (x-1)(x - \frac{7}{4}) \\ \frac{9}{4} - \frac{7}{4} & = 3x - \frac{11}{4}x \\ \frac{2}{4} & = \frac{1}{4}x \\ x & = 2 \end{align} $
Sehingga barisannya menjadi ( substitusi $ x = 2 $) :
$ x-1, \, x - \frac{3}{2}, \, x - \frac{7}{4} \rightarrow 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4} , .... $
Artinya $ a = U_1 = 1, r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{1}{2} $
*). Menentukan jumlah tak hingga deretnya :
$\begin{align} S_\infty & = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \end{align} $
Jadi, jumlah tak hingga deret tersebut adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Maksimum Turunan UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika nilai maksimum fungsi $ f(x) = x + \sqrt{a - 3x} $ adalah 1, maka $ a = .... $
A). $ \frac{-3}{4} \, $ B). $ \frac{-1}{4} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ \frac{3}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ mencapai maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
*). Turunan fungsi bentuk akar :
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan :
$\begin{align} f(x) & = x + \sqrt{a - 3x} \\ f^\prime (x) & = 1 + \frac{-3}{2\sqrt{a - 3x}} \end{align} $
*). Syarat nilai maksimum $ f^\prime (x) = 0 $ :
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 1 + \frac{-3}{2\sqrt{a - 3x}} & = 0 \\ \frac{3}{2\sqrt{a - 3x}} & = 1 \\ 2\sqrt{a - 3x} & = 3 \\ \sqrt{a - 3x} & = \frac{3}{2} \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \\ \sqrt{a - 3x} & = \frac{3}{2} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ a - 3x & = \frac{9}{4} \\ 3x & = a - \frac{9}{4} \\ x & = \frac{a}{3} - \frac{3}{4} \end{align} $
artinya $ f(x) $ maksimum pada saat $ x_p = \frac{a}{3} - \frac{3}{4} $ dengan nilai maksimum adalah $ 1 $ sehingga dapat kita tulis $ f(x_p) = 1 $.
*). Menentukan nilai $ a $ dan menggunakan bentuk (i) :
$\begin{align} f(x) & = 1 \\ x + \sqrt{a - 3x} & = 1 \\ x + \frac{3}{2} & = 1 \\ \frac{a}{3} - \frac{3}{4} + \frac{3}{2} & = 1 \\ \frac{a}{3} + \frac{3}{4} & = 1 \\ \frac{a}{3} & = 1 - \frac{3}{4} \\ \frac{a}{3} & = \frac{1}{4} \\ a & = \frac{3}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ a = \frac{3}{4} . \, \heartsuit $

Pembahasan Terapan Turunan UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Fungsi $ y = 2x + 3\sqrt[3]{x^2} \, $ mencapai maksimum untuk $ x $ bernilai ....
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -1 \, $ E). $ -2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ mencapai maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
*). Turunan fungsi : $ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.ax^{n-1} $
*). Sifat eksponen : $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan :
$\begin{align} y & = 2x + 3\sqrt[3]{x^2} = 2x + 3x^\frac{2}{3} \\ y^\prime & = 2 + \frac{2}{3}. 3x^{\frac{2}{3} - 1} \\ & = 2 +2x^{-\frac{1}{3}} \\ & = 2 + \frac{2}{x^\frac{1}{3}} \end{align} $
*). Syarat nilai maksimum $ y^\prime = 0 $ :
$\begin{align} y^\prime & = 0 \\ 2 + \frac{2}{x^\frac{1}{3}} & = 0 \\ \frac{2}{x^\frac{1}{3}} & = -2 \\ x^\frac{1}{3} & = -1 \\ x & = -1 \end{align} $
Jadi, fungsi maksimum pada saat $ x = -1 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Limit UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{x^2+5} -3}{x^2-2x} \, $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{1}{3} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{3}{4} \, $ E). $ \infty $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penerapan turunan pada limti (Dalil L'Hopital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \, $ memiliki solusi $ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
*). Turunan bentuk akar :
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Turunan bentuk akar :
$ y = \sqrt{x^2+5} \rightarrow y^\prime = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+5}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+5}} $
*). Menyelesaikan soal dengan turunan :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{x^2+5} -3}{x^2-2x} = \frac{0}{0} \, \, \, \, \, \text{(L'Hopital)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+5}}}{2x - 2} \\ & = \frac{\frac{2}{\sqrt{2^2+5}}}{2.2 - 2} \\ & = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3} \\ \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{x^2+5} -3}{x^2-2x} \, $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{1}{3} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{3}{4} \, $ E). $ \infty $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan limit bentuk tak tentu ( hasilnya $ \frac{0}{0} $ ) dapat dengan merasionalkan.
*). Merasionalkan bentuk $ \sqrt{a} - b $ dengan cara mengalikan :
$ ( \sqrt{a} - b ) (\sqrt{a} + b ) = a - b^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{x^2+5} -3}{x^2-2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{\sqrt{x^2+5} -3}{x^2-2x} \times \frac{\sqrt{x^2+5} +3}{\sqrt{x^2+5} +3} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x^2+5) -9}{(x^2-2x)(\sqrt{x^2+5} +3)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x^2- 4) }{(x^2-2x)(\sqrt{x^2+5} +3)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{(x- 2)(x + 2) }{x(x -2 )(\sqrt{x^2+5} +3)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{ (x + 2) }{x (\sqrt{x^2+5} +3)} \\ & = \frac{ (2 + 2) }{2. (\sqrt{2^2+5} +3)} \\ & = \frac{ (4 }{2. (3+3)} \\ & = \frac{ 4 }{12} = \frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ \Delta ABC $ siku-siku di B, $ \cos \alpha = \frac{4}{5} $ dan $ \tan \beta = 1 $. Jika $ AD = a $ , maka AC = ....
A). $ 4a \, $ B). $ 4\frac{1}{3}a \, $ C). $ 4\frac{2}{3}a \, $ D). $ 5a \, $ E). $ 5\frac{1}{3}a $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku :
$ \sin y = \frac{depan}{miring}, \, \cos y = \frac{samping}{miring} \, $ dan $ \tan y = \frac{depan}{samping} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan panjang $ BD = x $
*). Pada segitiga BCD :
$\begin{align} \tan \beta & = 1 \rightarrow \frac{BC}{BD} = 1 \rightarrow BC = BD = x \end{align} $
*). Pada segitiga ABC, $ AC = AD + BD = a + x $ :
Karena $ \cos \alpha = \frac{4}{5} = \frac{samping}{miring} $ sehingga depannya adalah 3 (dengan phytagoras), sehingga nilai $ \tan \alpha = \frac{depan}{samping} = \frac{3}{4} $.
*). Hubungan $ a $ dan $ x $ pada segitiga ABC :
$\begin{align} \tan \alpha & = \frac{BC}{AB} \\ \frac{3}{4} & = \frac{x}{a + x} \\ 4x & = 3a + 3x \\ x & = 3a \end{align} $
Artinya $ AB = a + x = a + 3a = 4a $
*). Panjang AC pada segitiga ABC :
$\begin{align} \cos \alpha & = \frac{AB}{AC} \\ \frac{4}{5} & = \frac{4a}{AC} \\ 4AC & = 20a \\ AC & = 5a \end{align} $
Jadi, panjang $ AC = 5a . \, \heartsuit $

Pembahasan Program Linear UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai maksimum dari $ z = 4x + 9y $ dengan syarat $ x + 2y \leq 12 $ , $ 2x + y \leq 12 $ , $ x \geq 0 $ , $ y \geq 0 $ adalah ....
A). $ 24 \, $ B). $ 42 \, $ C). $ 48 \, $ D). $ 52 \, $ E). $ 54 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menentukan nilai optimum pada program linear, bisa menggunakan metode uji titik pojok yang langkah-langkahnya :
1). Buat daerah himpunan penyelesaiannya (DHP),
2). Tentukan titik pojok DHP nya,
3). Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya, lalu pilih sesuai permintaan soal ( jika minimum maka pilih yang terkecil dan jika maksimum maka pilih yang terbesar).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan Daerah himpunan penyelesaian (DHP) :
Garis I : $ x + 2y \leq 12 \rightarrow (0,6) , \, (12,0) $
Garis II : $ 2x + y \leq 12 \rightarrow (0,12), \, (6,0) $
Garis III : $ x \geq 0 \rightarrow \, $ Sumbu Y
Garis IV : $ y \geq 0 \rightarrow \, $ Sumbu X
 

*). Menentukan titik pojok A, B, dan C :
-). Titik $ A(6,0) , \, C(0,6) $
-). Titik B, Eliminasi pers I dan pers II :
$ \begin{array}{c|c|cc} x + 2y = 12 & \times 2 & 2x + 4y = 24 & \\ 2x + y = 12 & \times 1 & 2x + y = 12 & - \\ \hline & & 3y = 12 & \\ & & y = 4 & \end{array} $
Pers(I): $ x + 2y = 12 \rightarrow x + 2.4 = 12 \rightarrow x = 4 $
Sehingga titik $ B \left( 4,4 \right) $.
*). Substitusi semua titik pojok ke fungsi $ z = 4x + 9y $ :
$ \begin{align} A \rightarrow z & = 4. 6 + 9.0 = 24 \\ B \rightarrow z & = 4.4 + 9.4 = 52 \\ C \rightarrow z & = 4.0 + 9.6 = 54 \end{align} $.
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ 54 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan $ x_1 $ dan $ x_2 $ merupakan akar dari persamaan $ x^2 - px + (p+2) = 0 $ . Nilai $ x_1^2 + x_2^2 $ minimum bila nilai $ p $ sama dengan ....
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan Kuadrat (PK) $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1.x_2 $
*). FUngsi $ y = f(x) $ minimum pada saat $ f^\prime (x) = 0 $ .
(Turunan pertama fungsinya sama dengan nol)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ x^2 - px + (p+2) = 0 \rightarrow a =1 , b = -p , c = p+2 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-p)}{1} = p $
$ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} = \frac{p + 1}{1} = p + 1 $
Sehingga nilai :
$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = (x_1+x_2)^2 - 2x_1.x_2 \\ & = (p)^2 - 2(p+1) \\ f(p) & = p^2 - 2p - 2 \\ f^\prime (p) & = 2p - 2 \end{align} $
*). Bentuk $ x_1^2 + x_2^2 = f(p) $ minimum pada saat :
$\begin{align} f^\prime (p ) & = 0 \\ 2p - 2 & = 0 \\ p & = 1 \end{align} $
Jadi, $ x_1^2 + x_2^2 $ minimum pada saat $ p = 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Kuadrat UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika fungsi $ f(x) = ax^2 + bx + c $ mencapai minimum di $ x = 0 $ dan grafik fungsi $ f $ melalui titik $ (0,2) $ dan $ (1,8) $ , maka nilai $ a + b + 2c = .... $
A). $ 6 \, $ B). $ 8 \, $ C). $ 10 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 16 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi Kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $ mencapai maksimum atau minimum pada saat $ x = \frac{-b}{2a} $
*). Titik-titik yang dilalui oleh suatu kurva bisa kita substitusikan ke fungsi kurva tersebut.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $ mencapai minimum di $ x = 0 $ :
$\begin{align} x & = 0 \rightarrow \frac{-b}{2a} = 0 \rightarrow b = 0 \end{align} $
Sehingga fungsinya menjadi : $ f(x) = ax^2 + c $
*). Substitusikan titik yang dilalui oleh fungsi :
$\begin{align} (x,y)=(0,2) \rightarrow f(x) & = ax^2 + c \\ 2 & = a.0^2 + c \\ c & = 2 \\ \text{Sehingga } f(x) & = ax^2 + 2 \\ (x,y)=(1,8) \rightarrow f(x) & = ax^2 + 2 \\ 8 & = a.1^2 + 2 \\ a & = 6 \end{align} $
Kita peroleh : $ a = 6, b = 0 , c = 2 $
Nilai $ a + b + 2c = 6 + 0 + 2.2 = 10 $
Jadi, nilai $ a + b + 2c = 10 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x $ dan $ y $ memenuhi $ \frac{2x+3y+2}{x+y} = 2 $ dan $ \frac{3x-y+1}{4x+5y}= 6 $ , maka $ x - y = .... $
A). $ 6 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ -4 \, $ E). $ -5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan bisa dengan teknik substitusi dan eliminasi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan persamaannya :
Persamaan pertama :
$\begin{align} \frac{2x+3y+2}{x+y} & = 2 \\ 2x+3y+2 & = 2(x+y) \\ 2x+3y+2 & = 2x + 2y \\ y & = -2 \end{align} $
Persamaan kedua, substitusi $ y = -2 $ :
$\begin{align} \frac{3x-y+1}{4x+5y} & = 6 \\ 3x-y+1 & = 6(4x+5y) \\ 3x-y+1 & = 24x+30y \\ 3x-(-2)+1 & = 24x+30(-2) \\ 3x + 3 & = 24x - 60 \\ -21x & = - 63 \\ x & = 3 \end{align} $
Sehingga nilai $ x - y = 3 - (-2) = 5 $.
Jadi, nilai $ x - y = 5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Garis UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan garis yang melalui titik potong garis $ 2x + 2y - 4 = 0 $ dan $ x - 2y - 5 = 0 $ dan tegak lurus pada garis $ 12x + 6y - 3 = 0 $ adalah $ x + by + c = 0 $. Nilai $ b + c \, $ adalah .....
A). $ -7 \, $ B). $ -3\frac{1}{2} \, $ C). $1\frac{1}{2} \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan garis lurus melalui titik $(x_1,y_1) $ :
$ \, \, \, \, y - y_1 = m(x - x_1) $
dengan $ m $ adalah gradien garisnya.
*). Gradien garis $ ax + by + c = 0 \, $ adalah $ m = \frac{-a}{b} $
*). Syarat dua garis tegak lurus yaitu perkalian kedua gradiennya $ - 1 $ atau bisa ditulis $ m_1.m_2 = -1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan titik potong :
$\begin{array}{cc} 2x + 2y - 4 = 0 & \\ x - 2y - 5 = 0 & + \\ \hline 3x - 9 = 0 & \\ x = 3 & \end{array} $
Pers(ii): $ x - 2y - 5 == 0 \rightarrow 3 - 2y - 5 = 0 \rightarrow y = -1 $
Sehingga tiik potongnya adalah $ (3,-1) $ .
*). Menentukan gradien :
$ 12x + 6y - 3 = 0 \rightarrow m_1 = \frac{-a}{b} = \frac{-12}{6} = -2 $
Garis yang kita cari tegak lurus dengan garis $ 12x + 6y - 3 = 0 $, sehingga :
$\begin{align} m_1.m_2 & = -1 \rightarrow (-2).m_2 = -1 \rightarrow m_2 = \frac{1}{2} \end{align} $
*). PGL melalui titik $ (x_1,y_1) = (3,-1) $ dan $ m = \frac{1}{2} $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x - x_1) \\ y - (-1) & = \frac{1}{2}(x - 3) \\ y + 1 & = \frac{1}{2}(x - 3) \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 2 y + 2 & = x - 3 \\ x - 2y - 5 & = 0 \end{align} $
Bentuk $ x - 2y - 5 = 0 $ sama dengan $ x + by + c = 0 $ sehingga $ b = -2 $ dan $ c = -5 $.
Nilai $ b + c = -2 + (-5) = -7 $.
Jadi, nilai $ b + c = -7 . \, \heartsuit $

Pembahasan Eksponen UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Penyelesaian persamaan $ 3^{2x+2} + 8.3^x - 1 = 0 $ terletak pada interval ....
A). $ \left[ -\frac{1}{2}, 0 \right] $
B). $ \left[2, 0 \right] $
C). $ \left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right] $
D). $ \left[ \frac{1}{2}, 1 \right] $
E). $ \left[ 1, 2 \right] $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat Eksponen :
1). $ a ^{m+n} = a^m.a^n $
2). $ (a^m)^n = a^{m.n} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Interval $ [a,b] $ sama saja dengan $ a \leq x \leq b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = 3^x $ :
$\begin{align} 3^{2x+2} + 8.3^x - 1 & = 0 \\ 3^{2x}. 3^2 + 8.3^x - 1 & = 0 \\ (3^x)^2. 9 + 8.3^x - 1 & = 0 \\ 9p^2 + 8p - 1 & = 0 \\ (9p-1)(p+1) & = 0 \\ p = \frac{1}{9} \vee p & = -1 \\ p = \frac{1}{9} \rightarrow 3^x & = 3^{-2} \rightarrow x = -2 \\ p = -1 \rightarrow 3^x & = -1 \, \text{(tidak memenhi)} \end{align} $
sehingga solusi persamaannya adalah $ x = - 2 $ yang ada pada interval $ [-2,0] $.
Jadi, solusinya pada interval $ [-2,0] . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma UM UGM 2007 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ {}^3 \log 8 = x \, $ dan $ {}^3 \log 25 = y $ , maka $ {}^3 \log 15\sqrt[3]{16} = .... $
A). $ 9x + 8y + 18 \, $
B). $ \frac{9x + 8y + 18}{18} \, $
C). $ 8x + 9y + 18 \, $
D). $\frac{ 8x + 9y + 18 }{18} \, $
E). $ \frac{2x+3y+5}{7} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat Logaritma :
1). $ {}^a \log (b.c) = {}^a \log b + {}^a \log c $
2). $ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} $
Contoh :
$ \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^4} = 2^\frac{4}{3} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan soal yang diketahui :
$\begin{align} {}^3 \log 8 = x \rightarrow {}^3 \log 2^3 & = x \\ 3. {}^3 \log 2 & = x \\ {}^3 \log 2 & = \frac{x}{3} \\ {}^3 \log 25 = y \rightarrow {}^3 \log 5^2 & = y \\ 2.{}^3 \log 5 & = y \\ {}^3 \log 5 & = \frac{y}{2} \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & {}^3 \log 15\sqrt[3]{16} \\ & = {}^3 \log 3.5.2^\frac{4}{3} \\ & = {}^3 \log 3 + {}^3 \log 5 + {}^3 \log 2^\frac{4}{3} \\ & = 1 + \frac{y}{2} + \frac{4}{3}. {}^3 \log 2 \\ & = 1 + \frac{y}{2} + \frac{4}{3}. \frac{x}{3} \\ & = 1 + \frac{y}{2} + \frac{4x}{9} \\ & = \frac{18}{18} + \frac{9y}{18} + \frac{8x}{18} \\ & = \frac{8x+9y+18}{18} \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ \frac{8x+9y+18}{18} . \, \heartsuit $