Tampilkan postingan dengan label matipa kode 145 tahun 2017. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label matipa kode 145 tahun 2017. Tampilkan semua postingan

Pembahasan Garis Singgung SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 145

Soal yang Akan Dibahas
Jika garis singgung dari kurva $ y = \frac{x}{1-x} $ pada $ x = a $ memotong garis $ y = -x $ di titik $ (b, -b) $ , maka $ b = ..... $
A). $ \frac{a^2}{a^2 - 2a + 2} \, $ B). $ \frac{a^2}{1-a} \, $
C). $ \frac{a^2-1}{2a} \, $ D). $ \frac{a^2}{2 + a} \, $ E). $ \frac{a^2}{2-a} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $(x_1,y_1)$ memiliki gradien $ m = f^\prime (x_1) $ adalah $ y - y_1 = m(x - x_1) $
*). Turunan fungsi perkalian :
$ y = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime}{V^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi $ x_1 = a $ ke fungsinya :
$ \begin{align} y & = \frac{x}{1-x} \rightarrow y = \frac{a}{1-a} \end{align} $
*). Titik singgungnya adalah $ (x_1,y_1) = \left( a,\frac{a}{1-a} \right) $
*). Menentukan turunan dan gradien garis singgungnya di $ x_1 = a $ :
$ \begin{align} f(x) & = \frac{x}{1-x} \\ f^\prime (x) & = \frac{1.(1-x) - x.(-1)}{(1-x)^2} \\ m & = f^\prime (a) = \frac{1}{(1-a)^2} \\ \end{align} $
*). Menyusun PGS nya :
$ \begin{align} y - y_1 & = m(x - x_1) \\ y - \frac{a}{1-a} & = \frac{1}{(1-a)^2}.(x -a) \end{align} $
*). Karena garis singgung berpotongan dengan $ y = -x $ di titik $ (b, -b) $, maka titik $ (b,-b) $ juga dilalui oleh garis singgungnya sehingga bisa kita substitusi ke gari singgungnya :
$ \begin{align} y - \frac{a}{1-a} & = \frac{1}{(1-a)^2}.(x -a) \\ -b - \frac{a}{1-a} & = \frac{1}{(1-a)^2}.(b -a) \\ (1-a)^2 (-b - \frac{a}{1-a} ) & = (b -a) \\ -b(1-a)^2 - a(1-a) & = (b -a) \\ a - a(1-a) & = b + b(1-a)^2 \\ a - a + a^2 & = b(1+(1-a)^2) \\ a^2 & = b(a^2 - 2a + 2) \\ b & = \frac{a^2}{a^2 - 2a + 2} \end{align} $
Jadi, nilai $ b = \frac{a^2}{a^2 - 2a + 2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Asimtot SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 145

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ y = a + 1 $ adalah asimtot datar dan $ x = x_1 $ adalah asimtot tegak dari kurva $ y = \frac{2ax^3-4ax^2+x-2}{x^3+2x^2-a^2x-2a^2} $ dengan $ x_1 > 0 $ , maka nilai dari $ 2x_1^2 - x_1 = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan asimtot mendatar kurva $ y = f(x) $ yaitu $ y = \displaystyle \lim_{x \to \infty } f(x) $ atau $ y = \displaystyle \lim_{x \to -\infty } f(x) $ dengan hasil limitnya bukan $ \infty $ atau $ -\infty $.
*). Asimtot tegak $ x = a $ dan $ x = b $ pada kurva $ y = f(x) $ jika $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to b } f(x) = \infty $ , artinya fungsi $ f(x) $ harus berbentuk pecahan dengan $ x = a $ dan $ x = b $ adalah akar-akar dari penyebutnya.
*). Konsep limit tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{cx^3 + ...}{dx^3 + ... } = \frac{c}{d} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan asimtot mendatarnya $ y = a + 1 $, artinya hasil limitnya adalah $ a + 1 $
$\begin{align} y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{2ax^3-4ax^2+x-2}{x^3+2x^2-a^2x-2a^2} \\ a+ 1 & = \frac{2a }{1} \\ a & = 1 \end{align} $
Sehingga fungsinya menjadi :
$ y = \frac{2ax^3-4ax^2+x-2}{x^3+2x^2-a^2x-2a^2} \rightarrow y = \frac{2x^3-4x^2+x-2}{x^3+2x^2-x-2} $
*). Persamaan asimtot tegaknya adalah akar-akar dari penyebut fungsinya :
$\begin{align} x^3+2x^2-x-2 & = 0 \\ (x - 1)(x^2 + 3x + 2) & = 0 \\ (x - 1)(x+1)(x+2)) & = 0 \\ x = 1, x = -1 , x & = -2 \end{align} $
Karena yang diminta positif, maka persamaan asimtot tegaknya adalah $ x = 1 $ sehingga $ x_1 = 1 $
*). Menentukan nilai $ 2x_1^2 - x_1 $ :
$ 2x_1^2 - x_1= 2.1^2 - 1 = 2 - 1 = 1 $
Jadi, nilai $ 2x_1^2 - x_1 = 1 . \, \heartsuit $

Catatan :
*). Untuk memfaktorkan bisa menggunakan cara HORNER
Koefisien bentuk $ x^3+2x^2-x-2 \rightarrow 1, 2, -1, -2 $
$ \begin{array}{c|cccc} & 1 & 2 & -1 & -2 & \\ 1 & * & 1 & 3 & 2 & + \\ \hline & 1 & 3 & 2 & 0 & \end{array} $
Artinya $ x^3+2x^2-x-2 = (x -1)(x^2 + 3x + 2) $

Cara 2 Pembahasan Limit Trigono SBMPTN 2017 MatIpa kode 145

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \, x.\left( 1- \sin \left(x - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \cot ( 2x - \pi) = .... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ \frac{5}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penyelesaian limit dengan turunan (L'Hopital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{ f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \, $ memiliki solusi $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{ f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{ f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \sin (- x) = - \sin x \, $ dan $ \tan ( - x) = -\tan x $
$ \tan (\pi - A) = -\tan A \, $ dan $ \cot A = \frac{1}{\tan A} $
$ \tan ( A - \pi) = \tan -(\pi - A) = -\tan (\pi - A) = \tan A $
*). Turunan $ y = \tan ax \rightarrow y^\prime = a\sec ^2 ax $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \, x.\left( 1- \sin \left(x - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \cot ( 2x - \pi) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, x.\left( 1- \sin \left(x - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \frac{1}{\tan ( 2x - \pi) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \left( 1- \sin \left(x - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \frac{x}{\tan ( 2x - \pi) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \left( 1- \sin \left(x - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \frac{x}{\tan 2x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \left( 1- \sin \left(x - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \frac{x}{\tan 2x } \, \, \, \, \, \, \text{(L'Hopital)} \\ & = \left( 1- \sin \left(0 - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \frac{1}{2\sec ^2 2x } \\ & = \left( 1- \sin \left( - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \frac{1}{2\sec ^2 0 } \\ & = \left( 1+ \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) \right) . \frac{1}{2 . 1} \\ & = \left( 1+ 1 \right) . \frac{1}{2} = 2 . \frac{1}{2} = 1 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 145

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \, x.\left( 1- \sin \left(x - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \cot ( 2x - \pi) = .... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ \frac{5}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ ax}{\tan bx} = \frac{a}{b} \, $
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \sin (- x) = - \sin x \, $ dan $ \tan ( - x) = -\tan x $
$ \tan (\pi - A) = -\tan A \, $ dan $ \cot A = \frac{1}{\tan A} $
$ \tan ( A - \pi) = \tan -(\pi - A) = -\tan (\pi - A) = \tan A $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \, x.\left( 1- \sin \left(x - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \cot ( 2x - \pi) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, x.\left( 1- \sin \left(x - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \frac{1}{\tan ( 2x - \pi) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \left( 1- \sin \left(x - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \frac{x}{\tan ( 2x - \pi) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \left( 1- \sin \left(x - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \frac{x}{\tan 2x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \left( 1- \sin \left(x - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \frac{x}{\tan 2x } \\ & = \left( 1- \sin \left(0 - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \frac{1}{2} \\ & = \left( 1- \sin \left( - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \frac{1}{2} \\ & = \left( 1+ \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) \right) . \frac{1}{2} \\ & = \left( 1+ 1 \right) . \frac{1}{2} = 2 . \frac{1}{2} = 1 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Hiperbola SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 145

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan salah satu asimtot dari hiperbola :
$ 9x^2 + 18x - 16y^2 - 32y - 151 = 0 $ adalah ....
A). $ -3x + 4y = -7 \, $
B). $ -3x + 4y = 1 \, $
C). $ 3x - 4y = -7 \, $
D). $ 3x + 4y = -7 \, $
E). $ 3x + 4y = 1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar pada Hiperbola
*). Persamaan hiperbola :
$ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
Memiliki persamaan asimtot :
$ y-q = \pm \frac{b}{a} (x-p) $
atau persamaan asimtotnya juga dapat dicari dengan mengganti 1 dengan 0 :
$ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
*). Kuadrat sempurna :
$ x^2 - bx = (x - \frac{b}{a})^2 - (\frac{b}{2})^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaannya :
$\begin{align} 9x^2 + 18x - 16y^2 - 32y - 151 & = 0 \\ 9(x^2 + 2x) - 16(y^2 +2y) & = 151 \\ 9[(x+1)^2 - 1] - 16[(y+1)^2 -1] & = 151 \\ 9(x+1)^2 - 9 - 16(y+1)^2 + 16 & = 151 \\ 9(x+1)^2 - 16(y+1)^2 & = 151 + 9 - 16 \\ 9(x+1)^2 - 16(y+1)^2 & = 144 \, \, \, \, \, \text{(bagi 144)} \\ \frac{9(x+1)^2}{144} - \frac{16(y+1)^2}{144} & = \frac{144}{144} \\ \frac{(x+1)^2}{16} - \frac{(y+1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{4^2} - \frac{(y+1)^2}{3^2} & = 1 \end{align} $
Artinya : $ p = -1, q = -1, a = 4, b = 3 $.
*). Menyusun persamaan asimtotnya :
$\begin{align} y-q & = \pm \frac{b}{a} (x-p) \\ y+1 & = \pm \frac{3}{4} (x+1) \\ y+1 = \frac{3}{4} (x+1) & \vee y+1 = - \frac{3}{4} (x+1) \\ 4y+4 = 3x + 3 & \vee 4y+4 = -3x - 3 \\ 3x - 4y = 1 & \vee 3x + 4y = -7 \end{align} $
Sehingga persamaan asimtotnya adalah :
$ 3x - 4y = 1 $ atau $ 3x + 4y = -7 $ .
Jadi, yang ada di option adalah $ 3x + 4y = -7 . \, \heartsuit $

Catatan :
-). Jika teman-teman lupa dengan rumus persamaan asimtotnya, maka dari persamaan hiperbola bakunya, kita ganti 1 dengan 0.
-). Persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} \frac{(x+1)^2}{16} - \frac{(y+1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x+1)^2}{16} - \frac{(y+1)^2}{9} & = 0 \\ \frac{(y+1)^2}{3^2} & = \frac{(x+1)^2}{4^2} \\ (y+1)^2 & = \frac{3^2}{4^2} (x+1)^2 \\ (y+1) & = \pm \sqrt{ \frac{3^2}{4^2} (x+1)^2 } \\ (y+1) & = \pm \frac{3}{4} (x+1) \end{align} $
(hasilnya sama dengan asimtot di atas).

Pembahasan Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 145

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui persamaan $ \sec \theta \left( \sec \theta (\sin \theta)^2 + \frac{2}{3}\sqrt{3}\sin \theta \right) = 1 $. Jika $ \theta _1 $ dan $ \theta _2 $ adalah solusi dari persamaan tersebut, maka $ \tan \theta _1 . \tan \theta _2 = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ -0,5 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 0,5 \, $ E). $ 1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus Dasar Trigonometri :
$ \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta } $ dan $ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar :
$\begin{align} \sec \theta \left( \sec \theta (\sin \theta)^2 + \frac{2}{3}\sqrt{3}\sin \theta \right) & = 1 \\ \frac{1}{\cos \theta} \left( \frac{1}{\cos \theta} (\sin \theta)^2 + \frac{2}{3}\sqrt{3}\sin \theta \right) & = 1 \\ \frac{1}{\cos \theta} . \frac{1}{\cos \theta} (\sin \theta)^2 + \frac{2}{3}\sqrt{3}.\frac{1}{\cos \theta}. \sin \theta & = 1 \\ \frac{(\sin \theta)^2 }{(\cos \theta)^2} + \frac{2}{3}\sqrt{3}.\frac{\sin \theta}{\cos \theta} - 1 & = 0 \\ \tan ^2 \theta + \frac{2}{3}\sqrt{3}\tan \theta - 1 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 3\tan ^2 \theta + 2\sqrt{3}\tan \theta - 3 & = 0 \\ (3\tan \theta - \sqrt{3} )(\tan \theta + \sqrt{3} ) & = 0 \\ \tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{3} \vee \tan \theta & = -\sqrt{3} \\ \tan \theta _1 = \frac{\sqrt{3}}{3} \vee \tan \theta _2 & = -\sqrt{3} \end{align} $
Sehingga nilai :
$ \tan \theta _1 . \tan \theta _2 = \frac{\sqrt{3}}{3} . (-\sqrt{3} ) = -1 $
Jadi, nilai $ \tan \theta _1 . \tan \theta _2 = -1 . \, \heartsuit $

Catatan :
*). Kita juga bisa menggunakan rumus perkalian akar pada persamaan kuadrat yaitu $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $
*). Bentuk $ \tan ^2 \theta + \frac{2}{3}\sqrt{3}\tan \theta - 1 = 0 $
$ \tan \theta _1 . \tan \theta _2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{1} = -1 $

Pembahasan Vektor SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 145

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui vektor $ \vec{a} $, $ \vec{b} $ , dan $ \vec{c} $ dengan $ \vec{b} = (-2, 1) $ , $ \vec{b} \bot \vec{c} $ , dan $ \vec{a}-\vec{b}+\vec{c}=0 $. Jika luas segitiga yang dibentuk ujung-ujung vektor $ \vec{a} $, $ \vec{b} $ , dan $ \vec{c} $ adalah $ \sqrt{5} $ , maka panjang vektor $ \vec{a} $ adalah ......
A). $ \sqrt{2} \, $ B). $ 2 \, $ C). $ \sqrt{3} \, $ D). $ \sqrt{6} \, $ E). $ 3 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Vektor $ \vec{u} $ tegak lurus $ \vec{v} $ maka $ \vec{u}.\vec{v}= 0 $.
*). Panjang vektor $ \vec{u} = (x , y) $ yaitu :
Panjang $ \vec{u} = |\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2} $
*). Rumus pengkuadratan :
$ (\vec{u}-\vec{v})^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2\vec{u}.\vec{v} $
Karena $ \vec{u} $ tegak lurus $ \vec{v} $ maka :
$ (\vec{u}-\vec{v})^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 $
*). Perkalian dot dua vektor yang sama menghasilkan panjang.
$ \vec{P}.\vec{P} = (\vec{P})^2 = |\vec{P}|^2 $
*). Luas segitiga : Luas $ = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan panjang vektor $ \vec{b} = (-2,1) $ :
$ |\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 } = \sqrt{5} $
*). Karena $ \vec{b} $ tegak lurus $ \vec{c} $ maka $ \vec{b}.\vec{c} = 0 $.
*). Ilustrasi gambar :
$ \vec{b} $ tegak lurus $ \vec{c} $ dan $ \vec{a}-\vec{b}+\vec{c}=0 \rightarrow \vec{a} = \vec{b}+(-\vec{c}) $ sehingga gambar ketiga vektor yaitu :
 

Segitiga yang dibentuk oleh ujung-ujung ketiga vektor adalah segitiga ABC siku-siku di A.
*). Menentukan panjang vektor $ \vec{c} $ dengan luas segitiga ABC :
$\begin{align} \text{Luas } \Delta ABC & = \frac{1}{2} \times \text{alas} \times \text{tinggi} \\ \sqrt{5} & = \frac{1}{2} \times |\vec{b}| \times |\vec{c}| \\ \sqrt{5} & = \frac{1}{2} \times \sqrt{5} \times |\vec{c}| \\ 1 & = \frac{1}{2} \times |\vec{c}| \\ 2 & = |\vec{c}| \end{align} $
*). Menentukan panjang vektor $ \vec{a} $ :
$\begin{align} \vec{a} & = \vec{b}+(-\vec{c}) \\ (\vec{a})^2 & = (\vec{b} -\vec{c})^2 \\ |\vec{a}|^2 & = |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 \\ |\vec{a}| & = \sqrt{ |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 } \\ & = \sqrt{ (\sqrt{5})^2 + 2^2 } \\ & = \sqrt{ 5 + 4 } = \sqrt{ 9 } = 3 \end{align} $
Jadi, panjang vektor $ \vec{a} $ adalah $ 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 145

Soal yang Akan Dibahas
Banyak bilangan bulat $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \frac{(x+1)(x-2)}{(x+3)(x-4)} \leq 1 $ adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Syarat bentuk pecahan yaitu akar-akar penyebut selalu tidak ikut karena penyebut tidak boleh bernilai $ 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar :
$\begin{align} \frac{(x+1)(x-2)}{(x+3)(x-4)} & \leq 1 \\ \frac{(x+1)(x-2)}{(x+3)(x-4)} - 1 & \leq 0 \\ \frac{(x+1)(x-2)}{(x+3)(x-4)} - \frac{(x+3)(x-4)}{(x+3)(x-4)} & \leq 0 \\ \frac{x^2 - x - 2}{(x+3)(x-4)} - \frac{x^2 -x - 12}{(x+3)(x-4)} & \leq 0 \\ \frac{10}{(x+3)(x-4)} & \leq 0 \end{align} $
Akar-akar penyebutnya :
$ (x+3)(x-4) = 0 \rightarrow x = -3 $ dan $ x = 4 $ .
Akar penyebut tidak boleh ikut.
Garis bilangannya :
 

Yang diminta $ \leq 0 $ (daerah negatif), HP $ = \{ -3 < x < 4 \} $.
Sehingga bilangan bulat $ x $ yang memenuhi adalah :
$ x = \{ -2,-1,0,1,2,3\} $ yaitu ada 6 bilangan.
Jadi, ada 6 bilangan bulat yang memenuhi pertidaksamaan $ . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika IPA Kode 145


Nomor 1
Jika $ a $ dan $ b $ memenuhi
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{2}{2a - b} + \frac{7}{2a + b} = 3 \\ \frac{1}{2a - b} - \frac{7}{2a + b} = 0 \\ \end{array} \right. $
maka $ a^2 + 2b = .... $
A). $ 5 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 7 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 10 $
Nomor 2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungan menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ....
A). $ 2(\sqrt[10]{2}-1) \, $ B). $ 2(\sqrt[5]{2}-1) \, $
C). $2(\sqrt{2}) \, $ D). $ 2(\sqrt[5]{2}) \, $ E). $ 2(\sqrt[10]{2} ) $
Nomor 3
Banyak bilangan bulat $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \frac{(x+1)(x-2)}{(x+3)(x-4)} \leq 1 $ adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $
Nomor 4
Diketahui vektor $ \vec{a} $, $ \vec{b} $ , dan $ \vec{c} $ dengan $ \vec{b} = (-2, 1) $ , $ \vec{b} \bot \vec{c} $ , dan $ \vec{a}-\vec{b}+\vec{c}=0 $. Jika luas segitiga yang dibentuk ujung-ujung vektor $ \vec{a} $, $ \vec{b} $ , dan $ \vec{c} $ adalah $ \sqrt{5} $ , maka panjang vektor $ \vec{a} $ adalah ......
A). $ \sqrt{2} \, $ B). $ 2 \, $ C). $ \sqrt{3} \, $ D). $ \sqrt{6} \, $ E). $ 3 \, $
Nomor 5
Diketahui persamaan $ \sec \theta \left( \sec \theta (\sin \theta)^2 + \frac{2}{3}\sqrt{3}\sin \theta \right) = 1 $. Jika $ \theta _1 $ dan $ \theta _2 $ adalah solusi dari persamaan tersebut, maka $ \tan \theta _1 . \tan \theta _2 = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ -0,5 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 0,5 \, $ E). $ 1 \, $

Nomor 6
Persamaan salah satu asimtot dari hiperbola :
$ 9x^2 + 18x - 16y^2 - 32y - 151 = 0 $ adalah ....
A). $ -3x + 4y = -7 \, $
B). $ -3x + 4y = 1 \, $
C). $ 3x - 4y = -7 \, $
D). $ 3x + 4y = -7 \, $
E). $ 3x + 4y = 1 \, $
Nomor 7
Jika $ p(x) = (x-1)q(x)+1 $ dan $ q(3) = 5 $ , maka sisa pembagian $ p(x) $ oleh $ (x-1)(x-3) $ adalah ....
A). $ 2x - 1 \, $
B). $ 3x - 2 \, $
C). $ 5x - 4 \, $
D). $ -3x + 4 \, $
E). $ -5x + 6 $
Nomor 8
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $ 3\sqrt{2} $ melaui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ....
A). $ 18\pi + 18 \, $ B). $ 18\pi - 18 \, $
C). $ 14\pi + 14 \, $ D). $ 14\pi - 15 \, $
E). $ 10\pi + 10 $
Nomor 9
Jika $ \int_{-4}^4 f(x) (\sin x + 1) dx = 8 $ , dengan $ f(x) $ fungsi genap dan $ \int_{-2}^4 f(x) dx = 4 $ , maka $ \int_{-2}^0 f(x) dx = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 10
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \, x.\left( 1- \sin \left(x - \frac{\pi}{2} \right) \right) . \cot ( 2x - \pi) = .... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ \frac{5}{2} $

Nomor 11
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, 2x \tan \frac{1}{x}. \sec \frac{2}{x} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 12
Jika $ y = a + 1 $ adalah asimtot datar dan $ x = x_1 $ adalah asimtot tegak dari kurva $ y = \frac{2ax^3-4ax^2+x-2}{x^3+2x^2-a^2x-2a^2} $ dengan $ x_1 > 0 $ , maka nilai dari $ 2x_1^2 - x_1 = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $
Nomor 13
Misalkan $ f(x) = \cos (\cos ^2 x ) $ , maka $ f^\prime (x) = .... $
A). $ 2\sin x. \sin (\cos ^2x) \, $
B). $ 2\sin 2x. \sin (\cos ^2x) \, $
C). $ \sin 2x. \sin (\cos ^2x) \, $
D). $ \sin ^2 x. \sin (\cos ^2x) \, $
E). $ 2\sin ^2x. \sin (\cos ^2x) $
Nomor 14
Jika garis singgung dari kurva $ y = \frac{x}{1-x} $ pada $ x = a $ memotong garis $ y = -x $ di titik $ (b, -b) $ , maka $ b = ..... $
A). $ \frac{a^2}{a^2 - 2a + 2} \, $ B). $ \frac{a^2}{1-a} \, $
C). $ \frac{a^2-1}{2a} \, $ D). $ \frac{a^2}{2 + a} \, $ E). $ \frac{a^2}{2-a} \, $
Nomor 15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalia, maka peluang yang terambil adalah 1 bola merah adalah .....
A). $ 0,04 \, $ B). $ 0,10 \, $ C). $ 0,16 \, $ D). $ 0,32 \, $ E). $ 0,40 $