Tampilkan postingan dengan label matipa kode 167 tahun 2017. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label matipa kode 167 tahun 2017. Tampilkan semua postingan

Pembahasan Garis Singgung SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 167

Soal yang Akan Dibahas
Jika garis $ y = 7x - 16 $ menyinggung kurva $ y = px^3 + qx $ di $ x = 2 $, maka $ p - q = ..... $
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 8 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $(x_1,y_1)$ memiliki gradien $ m = f^\prime (x_1) $.
*). Gradien garis $ y = ax + b $ adalah $ m = a $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui pada soal :
-). Kurvanya $ y = px^3 + qx \rightarrow y^\prime = 3px^2 + q $.
-). Garis singgungnya $ y = 7x - 16 $,
gradie garis singgungnya $ m = 7 $.
*). Menentukan titik singgung dengan substitusi $ x_1 = 2 $ ke garis :
$\begin{align} x_1 = 2 \rightarrow y & = 7x - 16 = 7.2 - 16 = -2 \end{align} $
titik singgungnya $ (x_1,y_1)=(2,-2) $.
*). Substitusi titik singgung ke kurva
$\begin{align} (x_1,y_1)=(2,-2) \rightarrow y & = px^3 + qx \\ -2 & = p.2^3 + q.2 \\ -2 & = 8p + 2q \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 4p + q & = -1 \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Gradien garis singgung saat $ x_1 = 2 $ :
$\begin{align} m & = f^\prime (x_1) \\ 7 & = f^\prime (2) \\ 7 & = 3p.2^2 + q \\ 12p + q & = 7 \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} 12p + q = 7 & \\ 4p + q = -1 & - \\ \hline 8p = 8 & \\ p = 1 & \end{array} $
pers(ii) : $ 4p + q = -1 \rightarrow 4.1 + q = -1 \rightarrow q = -5 $
Sehingga nilai $ p - q = 1 - (-5) = 6 $.
Jadi, nilai $ p - q = 6 . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 167

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ f(x) = \sin (\sin ^2 x ) $ , maka $ f^\prime (x) = .... $
A). $ 2\sin x. \cos (\sin ^2x) \, $
B). $ 2\sin 2x. \cos (\sin ^2x) \, $
C). $ \sin ^2 x. \cos (\sin ^2x) \, $
D). $ \sin ^2 2 x. \cos (\sin ^2x) \, $
E). $ \sin 2x. \cos (\sin ^2x) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus trigonometri :
$ 2\sin x . \cos x = \sin 2x $
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \sin g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) \cos g(x) $.
$ y = \sin ^n x \rightarrow y^\prime = n \sin ^{n-1} x . \cos x $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ g(x) = \sin ^2 x $ , Turunannya :
$ g^\prime (x) = 2.\sin x .\cos x = \sin 2x $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} f(x) & = \sin (\sin ^2 x ) \\ f(x) & = \sin ( g(x) ) \\ f^\prime (x) & = g^\prime (x) \cos ( g(x) ) \\ f^\prime (x) & = \sin 2x .\cos (\sin ^2 x) \end{align} $
Jadi, $ f^\prime (x) = \sin 2x .\cos (\sin ^2 x) . \, \heartsuit $

Pembahasan Asimtot SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 167

Soal yang Akan Dibahas
Di antara pilihan berikut, kurva $ y = \frac{x^3+x^2+1}{x^3+10} $ memotong asimtot datarnya di titik $ x = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan asimtot mendatar kurva $ y = f(x) $ yaitu $ y = \displaystyle \lim_{x \to \infty } f(x) $ dengan hasil limitnya bukan $ \infty $ atau $ -\infty $.
*). Konsep limit tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{cx^3 + ...}{dx^3 + ... } = \frac{c}{d} $.
*). Untuk menentukan titik potong dua kurva, substitusikan salah satu persamaan ke persamaan lain.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan persamaan asimtot mendatar kurva $ f(x) = \frac{x^3+x^2+1}{x^3+10} $
$\begin{align} y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } f(x) \\ y & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \frac{x^3+x^2+1}{x^3+10} \\ y & = 1 \end{align} $
*). Substitusi $ y = 1 $ ke persamaan kurva $ y = \frac{x^3+x^2+1}{x^3+10} $
$\begin{align} y & = \frac{x^3+x^2+1}{x^3+10} \\ 1 & = \frac{x^3+x^2+1}{x^3+10} \\ x^3+10 & = x^3 + x^2 + 1 \\ x^2 & = 9 \\ x & = \pm \sqrt{9} = \pm 3 \end{align} $
Sehingga titik potongnya adalah di $ x = -3 $ atau $ x = 3 $, dan yang ada di option adalah $ x = 3 $.
Jadi, titik potongnya adalah di $ x = 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Takhingga SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 167

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x\left(1 - \cos \frac{1}{\sqrt{x}} \right) = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{1}{3} \, $ D). $ \frac{1}{4} \, $ E). $ \frac{1}{5} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{\sin ay}{\sin by} = \frac{a}{b} $.
*). Rumus Trigonometri :
$ \cos A = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} A $
$ 1 - \cos A = 2\sin \frac{1}{2} A \sin \frac{1}{2} A $
Sehingga :
$ 1 - \cos y = 2\sin \frac{1}{2}y \sin \frac{1}{2}y $
*). Bentuk pecahan : $ a.b = \frac{b}{\frac{1}{a}} = \frac{b}{\frac{1}{\sqrt{a}} . \frac{1}{\sqrt{a}} } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ \frac{1}{\sqrt{x}} = y $, sehingga untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $0$.
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x\left(1 - \cos \frac{1}{\sqrt{x}} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\left(1 - \cos \frac{1}{\sqrt{x}} \right)}{\frac{1}{x}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\left(1 - \cos \frac{1}{\sqrt{x}} \right)}{\frac{1}{\sqrt{x}}.\frac{1}{\sqrt{x}}} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{\left(1 - \cos y \right)}{y.y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{2\sin \frac{1}{2}y \sin \frac{1}{2}y}{y.y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, 2 . \frac{\sin \frac{1}{2}y}{y} .\frac{ \sin \frac{1}{2}y}{y} \\ & = 2. \frac{1}{2} . \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 167

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\cos \left(x- \frac{\pi}{2}\right) \cos x}{4x + 3x\cos 2x} = .... $
A). $ \frac{1}{5} \, $ B). $ \frac{1}{6} \, $ C). $ \frac{1}{7} \, $ D). $ \frac{1}{8} \, $ E). $ \frac{1}{9} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $
*). RUmus dasar Trigonometri :
$ \cos ( 90^\circ - x ) = \sin x \, $ atau $ \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right) = \sin x $
$ \cos (-x) = \cos x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan soal :
$\begin{align} \cos \left(x- \frac{\pi}{2}\right) & = \cos \left[ - \left( \frac{\pi}{2} - x \right) \right] \\ & = \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right) \\ & = \sin x \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\cos \left(x- \frac{\pi}{2}\right) \cos x}{4x + 3x\cos 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x}{4x + 3x\cos 2x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x}{x (4 + 3 \cos 2x ) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x } . \frac{ \cos x}{ 4 + 3 \cos 2x } \\ & = 1 . \frac{ \cos 0}{ 4 + 3 \cos 0 } = \frac{1}{7} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{7} . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 167

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ p(x) = (x-1)q(x)+1 $ dan $ q(3) = 5 $ , maka sisa pembagian $ p(x) $ oleh $ (x-1)(x-3) $ adalah ....
A). $ 2x - 1 \, $
B). $ 3x - 2 \, $
C). $ 5x - 4 \, $
D). $ -3x + 4 \, $
E). $ -5x + 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar pembagian suku banyak
$ \, \, \, \, \, f(x) = g(x).H(x) + S(x) $
Keterangan :
$ f(x) = \, $ fungsi yang mau dibagi,
$ g(x) = \, $ pembagi,
$ H(x) = \, $ hasil bagi,
$ S(x) = \, $ Sisa pembagian.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ q(3) = 5 $ dan
$ p(x) = (x-1)q(x) + 1 \, $ .....pers(i).
*). Substitusi $ x = 1 $ dan $ x = 3 $ ke pers(i) :
$\begin{align} x = 1 \rightarrow p(x) & = (x-1)q(x) + 1 \\ p(1) & = (1-1)q(1) + 1 \\ & = 0 + 1 \\ & = 1 \\ x = 3 \rightarrow p(x) & = (x-1)q(x) + 1 \\ p(3) & = (3-1)q(3) + 1 \\ & = 2. 5 + 1 \\ & = 1 1 \end{align} $
*). $ p(x) $ dibagi $ (x-1)(x-3) $ , misalkan sisanya $ ax + b $ :
$ p(x) = (x-1)(x-3)H(x) + (ax+b) \, $ ...pers(ii).
*). Substitusi akar-akar pembaginya (1 dan 3) ke pers(ii) :
$\begin{align} x = 1 \rightarrow p(x) & = (x-1)(x-3)H(x) + (ax+b) \\ p(1) & = (1-1)(1-3)H(1) + (a.1+b) \\ 1 & = 0 + (a+b) \\ 1 & = a + b \, \, \, \, \, \, \, \text{...(iii)} \\ x = 3 \rightarrow p(x) & = (x-1)(x-3)H(x) + (ax+b) \\ p(3) & = (3-1)(3-3)H(3) + (a.3+b) \\ 11 & = 0 + (3a+b) \\ 11 & = 3a + b \, \, \, \, \, \, \, \text{...(iv)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(iii) dan (iv) :
$ \begin{array}{c} 3a + b = 11 & \\ a + b = 1 & - \\ \hline 2a = 10 & \\ a = 5 & \end{array} $
Pers(iii) : $ a + b = 1 \rightarrow 5 + b = 1 \rightarrow b = -4 $.
Sehingga sisa pembagiannya : $ ax + b = 5x - 4 $.
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ 5x - 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Hiperbola SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 167

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan hiperbola dengan puncak $(-2,3)$ dan $(-2,9)$. Jika puncak berada di tengah-tengah antara pusat dan fokus, maka persamaan hiperbola itu adalah ....
A). $ -\frac{(x+2)^2}{9} + \frac{(y-6)^2}{16} = 1 \, $
B). $ \frac{(x-6)^2}{25} - \frac{(y+2)^2}{36} = 1 \, $
C). $ -\frac{(x+2)^2}{27} + \frac{(y-6)^2}{9} = 1 \, $
D). $ \frac{(x+2)^2}{27} - \frac{(y-6)^2}{16} = 1 \, $
E). $ -\frac{(x-2)^2}{16} + \frac{(y+6)^2}{9} = 1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar pada Hiperbola
*). Persamaan hiperbola dengan komponen $ y $ berubah pada titik puncak yaitu :
$ -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} = 1 $
Keterangan :
1). $(p,q) = \, $ titik pusat yang terletak ditengah-tengah kedua titik puncak
2). $ a = \, $ jarak titik puncak ke titik pusat,
3). $ c = \, $ jarak titik fokus ke titik pusat,
4). $ b ^2 = c^2 - a^2 $
*). Jarak dua titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ :
Jarak $ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $
*). Titik tengah antara dua titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ :
titik tengah $ = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan titik puat $(p,q) $ yaitu titik tengah kedua puncak $(-2,3) $ dan $(-2,9) $ :
$ (p,q) = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) = \left( \frac{-2 +(-2)}{2} , \frac{3 + 9}{2} \right) = (-2,6) $.
*). Menentukan nilai $ a $ yaitu jarak titik pusat $(-2,6) $ ke salah satu titik puncak $(-2,3) $ :
$ a = \sqrt{(-2-(-2))^2 + (6-3)^2} = \sqrt{9} = 3 $
*). Karena titik puncak ada ditengah-tengah antara titik pusat dan fokus, maka jarak titik pusat dan titik fokus adalah dua kali jarak titik pusat ke salah satu titik puncak.
$ c = 2a = 2. 3 = 6 $.
Nilai $ b^2 = c^2 - a^2 = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27 $.
*). Menyusun persamaan hiperbola :
$\begin{align} -\frac{(x-p)^2}{b^2} + \frac{(y-q)^2}{a^2} & = 1 \\ -\frac{(x-(-2))^2}{27} + \frac{(y-6)^2}{3^2} & = 1 \\ -\frac{(x+2)^2}{27} + \frac{(y-6)^2}{9} & = 1 \end{align} $
Jadi, persamaannya $ -\frac{(x+2)^2}{27} + \frac{(y-6)^2}{9} = 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 167

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 2\sin x + 3\cot x - 3\csc x = 0 $ , dengan $ 0 < x < \frac{\pi}{2}$ , maka $ \sin x. \cos x = ..... $
A). $ \sqrt{3} \, $ B). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ C). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{4}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{5}\sqrt{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus-rumus dasar trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \sin ^2 x = 1 - \cos ^2 x $
$ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $ dan $ \csc x = \frac{1}{\sin x} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} 2\sin x + 3\cot x - 3\csc x & = 0 \\ 2\sin x + 3.\frac{\cos x}{\sin x} - 3 . \frac{1}{\sin x} & = 0 \, \, \, \, \, \text{(kalikan } \sin x) \\ 2\sin ^2 x + 3\cos x - 3 & = 0 \\ 2( 1 - \cos ^2 x) + 3\cos x - 3 & = 0 \\ 2 - 2\cos ^2 x + 3\cos x - 3 & = 0 \\ - 2\cos ^2 x + 3\cos x - 1 & = 0 \\ (- 2\cos x + 1)(\cos x - 1) & = 0 \\ \cos x = \frac{1}{2} \vee \cos x & = 1 \end{align} $
*). Karena $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $ , maka $ \cos x = \frac{1}{2} $ yang memenuhi.
$ \cos x = \frac{1}{2} \rightarrow x = 60 ^\circ $
Nilai $ \sin x = \sin 60^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3} $.
Sehingga $ \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sqrt{3} . \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\sqrt{3} $.
Jadi, nilai $ \sin x \cos x = \frac{1}{4}\sqrt{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 167

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui vektor $ \vec{a} = (4,6), \vec{b}=(3,4)$, dan $ \vec{c} =(p,0) $. Jika $ |\vec{c}-\vec{a}|=10 $ , maka kosinus sudut antara $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ adalah ....
A). $ 2/5 \, $ B). $ 1/2 \, $ C). $ 3/5 \, $ D). $2/3 \, $ E). $ 3/4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Diketahui $ \vec{a} = (a_1,a_2) $ dan $ \vec{b} = (b_1, b_2) $ .
*). Perkalian dot :
$ \vec{a}.\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 $
$ \vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \alpha \rightarrow \cos \alpha = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} $
*). Panjang vektor $ \vec{a} $, simbol $ |\vec{a}| $ :
$ |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Panjang vektor $ \vec{b} = (3,4) $ :
$ |\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 $
*). Menentukan nilai $ p $ :
$\begin{align} \vec{c}-\vec{a} & = (p-4, 0-6) = (p-4, -6) \\ |\vec{c}-\vec{a}| & = 10 \\ \sqrt{(p-4)^2 + (-6)^2 } & = 10 \\ \sqrt{(p-4)^2 + 36 } & = 10 \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (p-4)^2 + 36 & = 100 \\ (p-4)^2 & = 64 \\ (p-4) & = \pm \sqrt{64} = \pm 8 \\ p-4 & = 8 \rightarrow p = 12 \\ p-4 & = -8 \rightarrow p = -4 \end{align} $
*). Menentukan nilai kosinus sudut antara $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ :
$\begin{align} p = 12 \rightarrow \vec{c} & = (12, 0 ) \\ |\vec{c}| & = \sqrt{12^2 + 0^2 } = 12 \\ \vec{b}.\vec{c} & = 3.12 + 4.0 = 36 \\ \cos \alpha & = \frac{\vec{b}.\vec{c}}{|\vec{b}||\vec{c}|} \\ & = \frac{36}{5.12} = \frac{3}{5} \\ p = -4 \rightarrow \vec{c} & = (-4, 0 ) \\ |\vec{c}| & = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 } = 4 \\ \vec{b}.\vec{c} & = 3.(-4) + 4.0 = -12 \\ \cos \alpha & = \frac{\vec{b}.\vec{c}}{|\vec{b}||\vec{c}|} \\ & = \frac{-12}{5.(-4)} = - \frac{3}{5} \end{align} $
Jadi, nilai kosinusnya adalah $ \frac{3}{5} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 167

Soal yang Akan Dibahas
Banyak bilangan prima yang memenuhi pertidaksamaan $|2x-16| < |x-2| < 11 $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Sifat-sifat pertidaksamaan mutlak :
i). $ |f(x)| < a \rightarrow -a < f(x) < a $
ii). $ |f(x)| < |g(x)| \rightarrow [f(x)-g(x)][f(x)+g(x)] < 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $|2x-16| < |x-2| < 11 $ kita bagi menjadi dua bagian :
1). Pertama : $ |x-2| < 11 $, gunakan sifat (i)
$\begin{align} -11 < & x - 2 < 11 \, \, \, \, \, \text{(tambahkan 2)} \\ -11 + 2 < & x - 2 + 2< 11 +2 \\ -9 < & x < 13 \end{align} $
HP1 $ = \{ -9 < x < 13 \} $
2). kedua : $ |2x-16| < |x-2| $, gunakan sifat (ii)
$\begin{align} [f(x)-g(x)][f(x)+g(x)] & < 0 \\ [(2x-16)-(x-2)][(2x-16)+(x-2)] & < 0 \\ (x - 14)(3x - 18) & < 0 \\ x = 14 \vee x & = 6 \end{align} $
garis bilangannya :
 

HP2 $ = \{ 6 < x < 14 \} $
*). Solusi keseluruhan yaitu :
HP = HP1 $ \cap $ HP2 = $ \{ 6 < x < 13 \} $
Bilangan prima yang memenuhi : $ 7 $ dan $ 11 $.
Jadi, ada dua bilangan prima yang memenuhi $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 167

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x $ dan $ y $ memenuhi sistem
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{y}{x} - \frac{1}{(y-2)^2} = \frac{1}{4} \\ \frac{3y}{x} - \frac{4}{(y-2)^2} = \frac{1}{2} \\ \end{array} \right. $
maka $ xy = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 16 \, $ E). $ 32 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan dapat dilakukan dengan metode eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
Misalkan : $ p = \frac{y}{x} $ dan $ q = \frac{1}{(y-2)^2} $
dengan $ x \neq 0 $ dan $ y \neq 2 $ (penyebut tidak boleh nol).
Sistem persamaan pada soal menjadi :
$ \left\{ \begin{array}{c} p - q = \frac{1}{4} \\ 3p-4q = \frac{1}{2} \\ \end{array} \right. $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{c|c|cc} p - q = \frac{1}{4} & \times 4 & 4p - 4q = 1 & \\ 3p-4q = \frac{1}{2} & \times 1 & 3p-4q = \frac{1}{2} & + \\ \hline & & p = \frac{1}{2} & \end{array} $
Pers(i) : $ p - q = \frac{1}{4} \rightarrow \frac{1}{2} - q = \frac{1}{4} \rightarrow q = \frac{1}{4} $
*). Dari nilai $ p = \frac{1}{2} $ dan $ q = \frac{1}{4} $,
$ p = \frac{1}{2} \rightarrow \frac{y}{x} = \frac{1}{2} \rightarrow x = 2y \, $ ....(iii)
$ q = \frac{1}{4} \rightarrow \frac{1}{(y-2)^2} = \frac{1}{4} \rightarrow (y-2)^2 = 4 \rightarrow y-2 = \pm 2 $
*). Menentukan nilai $ xy $ berdasarkan $ y-2 = \pm 2 $ :
$\begin{align} y-2 = 2 \rightarrow y & = 4 \\ x & = 2y = 2.4 = 8 \\ xy & = 8 . 4 = 32 \\ y-2 = -2 \rightarrow y & = 0 \\ x & = 2y = 2.0 = 0 \, \, \, \text{(tidak memenuhi)} \end{align} $
Jadi, nilai $ xy = 32 . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika IPA Kode 167


Nomor 1
Jika $ x $ dan $ y $ memenuhi sistem
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{y}{x} - \frac{1}{(y-2)^2} = \frac{1}{4} \\ \frac{3y}{x} - \frac{4}{(y-2)^2} = \frac{1}{2} \\ \end{array} \right. $
maka $ xy = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 16 \, $ E). $ 32 $
Nomor 2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungan menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ....
A). $ 2(\sqrt[10]{2}-1) \, $ B). $ 2(\sqrt[5]{2}-1) \, $
C). $2(\sqrt{2}) \, $ D). $ 2(\sqrt[5]{2}) \, $ E). $ 2(\sqrt[10]{2} ) $
Nomor 3
Banyak bilangan prima yang memenuhi pertidaksamaan $|2x-16| < |x-2| < 11 $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 4
Diketahui vektor $ \vec{a} = (4,6), \vec{b}=(3,4)$, dan $ \vec{c} =(p,0) $. Jika $ |\vec{c}-\vec{a}|=10 $ , maka kosinus sudut antara $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ adalah ....
A). $ 2/5 \, $ B). $ 1/2 \, $ C). $ 3/5 \, $ D). $2/3 \, $ E). $ 3/4 \, $
Nomor 5
Jika $ 2\sin x + 3\cot x - 3\csc x = 0 $ , dengan $ 0 < x < \frac{\pi}{2}$ , maka $ \sin x. \cos x = ..... $
A). $ \sqrt{3} \, $ B). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ C). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{4}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{5}\sqrt{3} \, $

Nomor 6
Diberikan hiperbola dengan puncak $(-2,3)$ dan $(-2,9)$. Jika puncak berada di tengah-tengah antara pusat dan fokus, maka persamaan hiperbola itu adalah ....
A). $ -\frac{(x+2)^2}{9} + \frac{(y-6)^2}{16} = 1 \, $
B). $ \frac{(x-6)^2}{25} - \frac{(y+2)^2}{36} = 1 \, $
C). $ -\frac{(x+2)^2}{27} + \frac{(y-6)^2}{9} = 1 \, $
D). $ \frac{(x+2)^2}{27} - \frac{(y-6)^2}{16} = 1 \, $
E). $ -\frac{(x-2)^2}{16} + \frac{(y+6)^2}{9} = 1 \, $
Nomor 7
Jika $ p(x) = (x-1)q(x)+1 $ dan $ q(3) = 5 $ , maka sisa pembagian $ p(x) $ oleh $ (x-1)(x-3) $ adalah ....
A). $ 2x - 1 \, $
B). $ 3x - 2 \, $
C). $ 5x - 4 \, $
D). $ -3x + 4 \, $
E). $ -5x + 6 $
Nomor 8
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $ 3\sqrt{2} $ melaui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ....
A). $ 18\pi + 18 \, $ B). $ 18\pi - 18 \, $
C). $ 14\pi + 14 \, $ D). $ 14\pi - 15 \, $
E). $ 10\pi + 10 $
Nomor 9
Jika $ \int_{-4}^4 f(x) (\sin x + 1) dx = 8 $ , dengan $ f(x) $ fungsi genap dan $ \int_{-2}^4 f(x) dx = 4 $ , maka $ \int_{-2}^0 f(x) dx = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 10
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\cos \left(x- \frac{\pi}{2}\right) \cos x}{4x + 3x\cos 2x} = .... $
A). $ \frac{1}{5} \, $ B). $ \frac{1}{6} \, $ C). $ \frac{1}{7} \, $ D). $ \frac{1}{8} \, $ E). $ \frac{1}{9} $

Nomor 11
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x\left(1 - \cos \frac{1}{\sqrt{x}} \right) = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ \frac{1}{3} \, $ D). $ \frac{1}{4} \, $ E). $ \frac{1}{5} $
Nomor 12
Di antara pilihan berikut, kurva $ y = \frac{x^3+x^2+1}{x^3+10} $ memotong asimtot datarnya di titik $ x = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 13
Misalkan $ f(x) = \sin (\sin ^2 x ) $ , maka $ f^\prime (x) = .... $
A). $ 2\sin x. \cos (\sin ^2x) \, $
B). $ 2\sin 2x. \cos (\sin ^2x) \, $
C). $ \sin ^2 x. \cos (\sin ^2x) \, $
D). $ \sin ^2 2 x. \cos (\sin ^2x) \, $
E). $ \sin 2x. \cos (\sin ^2x) $
Nomor 14
Jika garis $ y = 7x - 16 $ menyinggung kurva $ y = px^3 + qx $ di $ x = 2 $, maka $ p - q = ..... $
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 8 \, $
Nomor 15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalia, maka peluang yang terambil adalah 1 bola merah adalah .....
A). $ 0,04 \, $ B). $ 0,10 \, $ C). $ 0,16 \, $ D). $ 0,32 \, $ E). $ 0,40 $