Tampilkan postingan dengan label matipa kode 168 tahun 2017. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label matipa kode 168 tahun 2017. Tampilkan semua postingan

Pembahasan Garis Singgung SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 168

Soal yang Akan Dibahas
Garis singgung dari $ f(x) = \frac{1}{x^2 \cos x} $ di titik $ x = \pi $ memotong garis $ y = x + c $ di titik $(\pi, 0 )$. Nili $ c $ adalah ....
A). $ -\frac{1}{4}\pi \, $ B). $ -\frac{1}{2}\pi \, $ C). $ -\pi \, $ D). $ \frac{1}{2}\pi \, $ E). $ \pi \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Suatu garis singgung kurva berpotongan dengan garis lain di titik $(x_1,y_1)$, maka titik tersebut bisa kita substitusikan ke salah satu garis.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Garis singgung berpotongan dengan garis $ y = x + c $ di titik $(\pi , 0)$ , sehingga titik tersebut bisa kita substitusikan ke garisnya :
$\begin{align} (x,y)=(\pi , 0) \rightarrow y & = x + c \\ 0 & = \pi + c \\ -\pi & = c \end{align} $
Jadi, nilai $ c = -\pi . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 168

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ f(x) = 2\tan \left( \sqrt{\sec x} \right) $ , maka $ f^\prime (x) = .... $
A). $ \sec ^2 \left( \sqrt{\sec x} \right) . \tan x \, $
B). $ \sec ^2 \left( \sqrt{\sec x} \right) . \sqrt{\sec x}. \tan x \, $
C). $ 2\sec ^2 \left( \sqrt{\sec x} \right) . \sqrt{\sec x} . \tan x \, $
D). $ \sec ^2 \left( \sqrt{\sec x} \right) . \sec x . \tan x \, $
E). $ 2\sec ^2 \left( \sqrt{\sec x} \right) . \sec x . \tan x $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \tan g(x) \rightarrow y^\prime = \sec ^2 ( g(x) ) . g^\prime (x) $.
$ y = \sec x \rightarrow y^\prime = \sec x . \tan x $
$ y = [h(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[h(x)]^{n-1}. h^\prime (x) $.
*). Sifat eksponen : $ a^m.a^n = a^{m+n} $ dan $ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ g(x) = \sqrt{\sec x } = (\sec x )^\frac{1}{2} $ , Turunannya :
$ \begin{align} g^\prime (x) & = \frac{1}{2} (\sec x)^{-\frac{1}{2}} . \sec x . \tan x \\ & = \frac{1}{2} (\sec x)^{-\frac{1}{2} + 1} . \tan x \\ & = \frac{1}{2} (\sec x)^{\frac{1}{2} } . \tan x \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{ \sec x} . \tan x \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} f(x) & = 2\tan \left( \sqrt{\sec x} \right) \\ f(x) & = 2\tan \left( g(x) \right) \\ f^\prime (x) & = 2\sec ^2 ( g(x) ) . g^\prime (x) \\ f^\prime (x) & = 2\sec ^2 \left( \sqrt{\sec x} \right) . \frac{1}{2} \sqrt{ \sec x} . \tan x \\ f^\prime (x) & = \sec ^2 \left( \sqrt{\sec x} \right) . \sqrt{ \sec x} . \tan x \end{align} $
Jadi, $ f^\prime (x) = \sec ^2 \left( \sqrt{\sec x} \right) . \sqrt{ \sec x} . \tan x . \, \heartsuit $

Pembahasan Asimtot SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 168

Soal yang Akan Dibahas
Grafik fungsi $ f(x) = \frac{(x+2)^k(x^2-1)}{(x^2+x-2)(x^2+3x+2)} $ , $ k $ bilangan asli, mempunyai satu asimtot tegak jika $ k = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Asimtot tegak $ x = a $ pada kurva $ y = f(x) $ jika $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \infty $ , artinya fungsi $ f(x) $ harus berbentuk pecahan dengan $ x = a $ adalah akar dari penyebutnya.
*). Kurva $ y = f(x) $ memiliki satu asimtot tegak jika penyebutnya hanya mempunyai satu faktor yang berbeda.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Meyederhanakan fungsinya :
$\begin{align} f(x) & = \frac{(x+2)^k(x^2-1)}{(x^2+x-2)(x^2+3x+2)} \\ & = \frac{(x+2)^k(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+2)(x+1)(x+2)} \\ & = \frac{(x+2)^k}{(x+2)^2} \end{align} $
*). Agar $ f(x) $ mempunyai satu asimtot mendatar, maka faktor penyebut harus tetap tersisa ketika disederhanakan dengan pembilangnya (harus satu jenis faktor saja) yaitu pada saat $ k = 1 $ ($k$ adalah bilangan asli).
*). Ilustrasi untuk beberapa nilai $ k $ dengan $ f(x) = \frac{(x+2)^k}{(x+2)^2} $ :
$\begin{align} k = 1 \rightarrow f(x) & = \frac{(x+2)^1}{(x+2)^2} = \frac{1}{x+2} \\ (\text{ada } & \text{ asimtot}) \\ k = 2 \rightarrow f(x) & = \frac{(x+2)^2}{(x+2)^2} = 1 \\ (\text{tidak ada } & \text{ asimtot}) \\ k = 3 \rightarrow f(x) & = \frac{(x+2)^3}{(x+2)^2} = x + 2 \\ (\text{tidak ada } & \text{ asimtot}) \\ k = 4 \rightarrow f(x) & = \frac{(x+2)^4}{(x+2)^2} = (x+2)^2 \\ (\text{tidak ada } & \text{ asimtot}) \end{align} $
Artinya fungsi $ f(x) $ tidak mempunyai asimtot tegak saat $ x =\{ 2, 3, 4, ....\} $.
Jadi, $ f(x) $ mempunyai satu asimtot tegak jika $ k = 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Takhingga SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 168

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, 2x \tan \frac{1}{x}. \sec \frac{2}{x} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{\tan y}{y} = 1 $.
*). Rumus Trigonometri : $ \sec A = \frac{1}{\cos A} $
*). Bentuk pecahan : $ a.b = \frac{b}{\frac{1}{a}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ \frac{1}{x} = y $, sehingga untuk $ x $ mendekati $ \infty $ maka $ y $ mendekati $0$.
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, 2x \tan \frac{1}{x}. \sec \frac{2}{x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{ \tan \frac{1}{x}. 2\sec \frac{2}{x} }{\frac{1}{x}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{ \tan \frac{1}{x}. 2\sec 2\frac{1}{x} }{\frac{1}{x}} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{ \tan y. 2\sec 2y }{y} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{ \tan y }{y} . 2\sec 2y \right) \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \left( \frac{ \tan y }{y} . \frac{2}{\cos 2y} \right) \\ & = 1 . \frac{2}{\cos 0} \\ & = 1 . \frac{2}{1} = 2 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 168

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{4x + 3x \cos 2x}{\sin x \cos x} = .... $
A). $ 8 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{4x + 3x \cos 2x}{\sin x \cos x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(4 + 3 \cos 2x)}{\sin x \cos x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} . \frac{4 + 3 \cos 2x}{\cos x} \\ & = 1 . \frac{4 + 3 \cos 0}{\cos 0} \\ & = \frac{7}{1} = 7 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 168

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan
$ f(x) = 3x^3 - 9x^2 + 4bx + 18 = (x-2)g(x) + 2b $
maka $ g(-2) = .... $
A). $ 12 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menentukan nilai tertentu pada suku banyak (polinom), bisa langsung substitusikan saja nilai $ x $ (variabelnya).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusikan $ x = 2 $ untuk menentukan nilai $ b $ :
$\begin{align} 3x^3 - 9x^2 + 4bx + 18 & = (x-2)g(x) + 2b \\ 3.2^3 - 9.2^2 + 4b.2 + 18 & = (2-2)g(2) + 2b \\ 24 - 36 + 8b + 18 & = 0 + 2b \\ 8b + 6 & = 2b \\ 6b & = -6 \\ b & = -1 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ g(-2)$ dengan substitusi $ x=-2 $ :
$\begin{align} 3x^3 - 9x^2 + 4bx + 18 & = (x-2)g(x) + 2b \\ 3.(-2)^3 - 9.(-2)^2 + 4.(-1).(-2) + 18 & = (-2-2)g(-2) + 2.(-1) \\ -24 - 36 + 8 + 18 & = -4.g(-2) -2 \\ -34 & = -4.g(-2) -2 \\ 4.g(-2) & = 34 -2 \\ 4.g(-2) & = 32 \\ g(-2) & = \frac{32}{4} = 8 \end{align} $
Jadi, nilai $ g(-2) = 8 . \, \heartsuit $

Pembahasan Hiperbola SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 168

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan salah satu asimtot dari hiperbola :
$ 9x^2 - 36x - 4y^2 + 8y - 4 = 0 $ adalah ....
A). $ y = -\frac{3}{2}x - 2 \, $
B). $ y = -\frac{3}{2}x - 4 \, $
C). $ y = \frac{3}{2}x + 2 \, $
D). $ y = \frac{3}{2}x - 2 \, $
E). $ y = \frac{3}{2}x + 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar pada Hiperbola
*). Persamaan hiperbola :
$ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
Memiliki persamaan asimtot :
$ y-q = \pm \frac{b}{a} (x-p) $
atau persamaan asimtotnya juga dapat dicari dengan mengganti 1 dengan 0 :
$ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 0 $
*). Kuadrat sempurna :
$ x^2 - bx = (x - \frac{b}{a})^2 - (\frac{b}{2})^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaannya :
$\begin{align} 9x^2 - 36x - 4y^2 + 8y - 4 & = 0 \\ 9(x^2 - 4x) - 4(y^2 - 2y) - 4 & = 0 \\ 9[(x-2)^2 - 4] - 4[(y-1)^2 - 1] - 4 & = 0 \\ 9(x-2)^2 -36 - 4(y-1)^2 +4 - 4 & = 0 \\ 9(x-2)^2 - 4(y-1)^2 & = 36 \, \, \, \, \, \text{(bagi 36)} \\ \frac{9(x-2)^2}{36} - \frac{4(y-1)^2}{36} & = \frac{36}{36} \\ \frac{(x-2)^2}{4} - \frac{(y-1)^2}{9} & = 1 \\ \frac{(x-2)^2}{2^2} - \frac{(y-1)^2}{3^2} & = 1 \end{align} $
Artinya : $ p = 2, q = 1, a = 2, b = 3 $.
*). Menyusun persamaan asimtotnya :
$\begin{align} y-q & = \pm \frac{b}{a} (x-p) \\ y-1 & = \pm \frac{3}{2} (x-2) \\ y-1 = \frac{3}{2} (x-2) & \vee y-1 = - \frac{3}{2} (x-2) \\ y-1 = \frac{3}{2}x- 3 & \vee y-1 = - \frac{3}{2}x + 3 \\ y = \frac{3}{2}x- 3 + 1 & \vee y = - \frac{3}{2}x + 3 + 1 \\ y = \frac{3}{2}x- 2 & \vee y = - \frac{3}{2}x +4 \end{align} $
Sehingga persamaan asimtotnya adalah :
$ y = \frac{3}{2}x- 2 $ atau $ y = - \frac{3}{2}x +4 $ .
Jadi, yang ada di option adalah $ y = \frac{3}{2}x- 2 . \, \heartsuit $

Catatan :
-). Jika teman-teman lupa dengan rumus persamaan asimtotnya, maka dari persamaan hiperbola bakunya, kita ganti 1 dengan 0.
-). Persamaan asimtotnya :
$ \begin{align} \frac{(x-2)^2}{2^2} - \frac{(y-1)^2}{3^2} & = 1 \\ \frac{(x-2)^2}{2^2} - \frac{(y-1)^2}{3^2} & = 0 \\ \frac{(y-1)^2}{3^2} & = \frac{(x-2)^2}{2^2} \\ (y-1)^2 & = \frac{3^2}{2^2} (x-2)^2 \\ (y-1) & = \pm \sqrt{ \frac{3^2}{2^2} (x-2)^2 } \\ (y-1) & = \pm \frac{3}{2} (x-2) \end{align} $
(hasilnya sama dengan asimtot di atas).

Pembahasan Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 168

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \frac{2\tan x}{1 - \tan ^2 x} - 5 = 0 $, dengan $ 0 < x <\frac{\pi}{2} $, maka $ \cos ^2 x - \sin ^2 x = .... $
A). $ \frac{1}{\sqrt{26}} \, $ B). $ \frac{2}{\sqrt{26}} \, $ C). $ \frac{3}{\sqrt{26}} \, $ D). $ \frac{4}{\sqrt{26}} \, $ E). $ \frac{5}{\sqrt{26}} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus-rumus dasar trigonometri :
$ \cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x $
$ \tan 2 x = \frac{2\tan x}{1 - \tan ^2 x } $
$ \tan x = \frac{depan}{samping} $ dan $ \cos x = \frac{samping}{miring} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ \tan 2x $ :
$\begin{align} \frac{2\tan x}{1 - \tan ^2 x} - 5 & = 0 \\ \tan 2x - 5 & = 0 \\ \tan 2x & = 5 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \cos 2x $ dari $ \tan 2x = 5 = \frac{5}{1} = \frac{depan}{samping} $ :
Segitiga siku-sikunya :
 

Nilai $ \cos 2x = \frac{samping}{miring} = \frac{1}{\sqrt{26}} $.
Sehingga $ \cos ^2 x - \sin ^2 x = \cos 2x = \frac{1}{\sqrt{26}} $.
Jadi, nilai $ \cos ^2 x - \sin ^2 x = \frac{1}{\sqrt{26}} . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 168

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui tiga vektor $ \vec{a}, \vec{b}, $ dan $ \vec{c} $ dengan $|\vec{b}| = 3 $ , $ |\vec{c}| = 4 $ , dan $ \vec{a} = \vec{c} - \vec{b} $ . Jika $ \gamma $ adalah sudut antara vektor $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ , dengan $ \vec{a}.\vec{c} = 25 $, maka $ \sin \gamma = .... $
A). $ \frac{1}{4} \, $ B). $ \frac{\sqrt{3}}{4} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{\sqrt{7}}{6} \, $ E). $ \frac{\sqrt{7}}{4} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus-rumus pada vektor :
$ \vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \alpha \rightarrow \cos \alpha = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
$ \vec{a}.\vec{a} = (\vec{a})^2 = |\vec{a}|^2 $
$ |\vec{q} - \vec{r}|^2 = |\vec{q}|^2 + |\vec{r}|^2 - 2\vec{q}.\vec{r} $
*). Rumus identitas trigonometri :
$\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \sin x = \sqrt{1 - \cos ^2 x } $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan panjang $\vec{a}$, disimbolkan $ |\vec{a}| $ :
$\begin{align} \vec{a} & = \vec{c} - \vec{b} \\ \vec{b} & = \vec{c} - \vec{a} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\vec{b})^2 & = (\vec{c} - \vec{a})^2 \\ |\vec{b}|^2 & = |\vec{c} - \vec{a}|^2 \\ |\vec{b}|^2 & = |\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{a}.\vec{c} \\ 3^2 & = 4^2 + |\vec{a}|^2 - 2 \times 25 \\ |\vec{a}|^2 & = 43 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \vec{b}.\vec{c} $ :
$\begin{align} \vec{a} & = \vec{c} - \vec{b} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\vec{a})^2 & = (\vec{c} - \vec{b})^2 \\ |\vec{a}|^2 & = |\vec{c} - \vec{b}|^2 \\ |\vec{a}|^2 & = |\vec{c}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{b}.\vec{c} \\ 43 & = 4^2 + 3^2 - 2\vec{b}.\vec{c} \\ 2\vec{b}.\vec{c} & = - 18 \\ \vec{b}.\vec{c} & = -9 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \cos \gamma $ :
$\begin{align} \cos \gamma & = \frac{\vec{b}.\vec{c}}{|\vec{b}||\vec{c}|} \\ & = \frac{-9}{3 . 4} = \frac{-3}{4} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \sin \gamma $ :
$\begin{align} \sin \gamma & = \sqrt{1 - \cos ^2 \gamma } \\ & = \sqrt{1 - (\frac{-3}{4})^2 } \\ & = \sqrt{1 - \frac{9}{16} } = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \gamma = \frac{\sqrt{7}}{4} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 168

Soal yang Akan Dibahas
Banyakknya bilangan bulat $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \frac{3x+6}{|x-1|} > 4 $ adalah .....
A). $ 5 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 7 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Nolkan salah satu ruas,
2). Menentukan pembuat nol (akar-akarnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($+$ atau $-$),
4). Arsir daerah yang diinginkan :
Jika $ > 0 $ , maka daerah $+$ ,
Jika $ < 0 $ , maka daerah $-$ .
*). Syarat bentuk pecahan yaitu akar-akar penyebut selalu tidak ikut karena penyebut tidak boleh bernilai $ 0 $.
*). Definisi nilai mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Definisi bentuk mutlak :
$ |x-1| = \left\{ \begin{array}{ccc} x-1 & , \text{untuk } x - 1 \geq 0 & \rightarrow x \geq 1 \\ -(x-1) & , \text{untuk } x - 1 < 0 & \rightarrow x < 1 \end{array} \right. $
Artinya bentuk mutlak kita bagi menjadi dua berdasarkan batas $ x $ yaitu untuk $ x \geq 1 $ dan untuk $ x < 1 $.
*). Untuk $ x \geq 1 $ , maka $ |x-1| = x-1 $ :
$\begin{align} \text{soal : } \frac{3x+6}{|x-1|} & > 4 \\ \frac{3x+6}{x-1} - 4 & > 0 \\ \frac{3x+6}{x-1} - \frac{4(x-1)}{x-1} & > 0 \\ \frac{-x + 10}{x-1} & > 0 \end{align} $
Akar-akarnya :
$ -x + 10 = 0 \rightarrow x = 10 $,
$ x - 1 = 0 \rightarrow x = 1 $.
Garis bilangannya :
 

HP1 $ = \{ x \geq 1 \} \cap \{ 1 < x < 10 \} = \{ 1 < x < 10 \} $
*). Untuk $ x < 1 $ , maka $ |x-1| = -(x-1) = -x + 1 $ :
$\begin{align} \text{soal : } \frac{3x+6}{|x-1|} & > 4 \\ \frac{3x+6}{-x + 1} - 4 & > 0 \\ \frac{3x+6}{-x + 1} - \frac{4(-x+1)}{-x+1} & > 0 \\ \frac{7x + 2}{-x+1} & > 0 \end{align} $
Akar-akarnya :
$ 7x + 2 = 0 \rightarrow x = -\frac{2}{7} $,
$ -x + 1 = 0 \rightarrow x = 1 $.
Garis bilangannya :
 

HP2 $ = \{ x < 1 \} \cap \{ -\frac{2}{7} < x < 1 \} = \{ -\frac{2}{7} < x < 1 \} $
*). Solusi totalnya :
$\begin{align} HP & = HP1 \cup HP2 \\ & = \{ 1 < x < 10 \} \cup \{ -\frac{2}{7} < x < 1 \} \\ & = \{ -\frac{2}{7} < x < 1 \} \cup \{ 1 < x < 10 \} \end{align} $
Bilangan bulatnya $ =\{ 0,2,3,4,5,6,7,8,9\} $.
Jadi, ada 9 bilangan bulat yang memenuhi $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 168

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x $ dan $ y $ memenuhi sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{2}{x + y} + \frac{1}{2x - y} = 2 \\ -\frac{4}{x + y} + \frac{3}{2x - y} = 1 \\ \end{array} \right. $
maka nilai $ 2x^2 + xy - y^2 = .... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan dapat dilakukan dengan metode eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
Misalkan : $ p = \frac{1}{x+y} $ dan $ q = \frac{1}{2x - y} $
Sistem persamaan pada soal menjadi :
$ \left\{ \begin{array}{c} 2p + q = 2 \\ -4p+3q = 1 \\ \end{array} \right. $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{c|c|cc} 2p + q = 2 & \times 2 & 4p + 2q = 4 & \\ -4p+3q = 1 & \times 1 & -4p+3q = 1 & + \\ \hline & & 5q = 5 & \\ & & q = 1 & \end{array} $
Pers(i) : $ 2p + q = 2 \rightarrow 2p + 1 = 2 \rightarrow p = \frac{1}{2} $
*). Dari nilai $ p = \frac{1}{2} $ dan $ q = 1 $,
$ p = \frac{1}{2} \rightarrow \frac{1}{x+y} = \frac{1}{2} \rightarrow x + y = 2 \, $ ....(iii)
$ q = 1 \rightarrow \frac{1}{2x-y} = 1 \rightarrow 2x-y = 1 \, $ ....(iv)
*). Eliminasi pers(iii) dan (iv) :
$ \begin{array}{cc} x + y = 2 & \\ 2x - y = 1 & + \\ \hline 3x = 3 & \\ x = 1 & \end{array} $
Pers(iii): $ x + y = 2 \rightarrow 1 + y = 2 \rightarrow y = 1 $
*). Substitusi $ x = 1 $ dan $ y = 1 $ ke soal :
$\begin{align} 2x^2 + xy - y^2 & = 2.1^2 + 1.1 - 1^2 \\ & = 2 + 1 - 1 = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ 2x^2 + xy - y^2 = 2 . \, \heartsuit $

$\spadesuit $ Catatan :
*). Sebenarnya untuk soal ini kita tidak perlu mencari nilai $ x $ dan $ y $ karena kebetulan bentuk $ 2x^2 + xy - y^2 $ bisa difaktorkan yaitu :
$\begin{align} 2x^2 + xy - y^2 & = (2x - y)(x+y) \\ & = 1.2 = 2 \end{align} $
Sehingga nilai $ 2x^2 + xy - y^2 = 2 $ juga.

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika IPA Kode 168


Nomor 1
Jika $ x $ dan $ y $ memenuhi sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{2}{x + y} + \frac{1}{2x - y} = 2 \\ -\frac{4}{x + y} + \frac{3}{2x - y} = 1 \\ \end{array} \right. $
maka nilai $ 2x^2 + xy - y^2 = .... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 $
Nomor 2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungan menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ....
A). $ 2(\sqrt[10]{2}-1) \, $ B). $ 2(\sqrt[5]{2}-1) \, $
C). $2(\sqrt{2}) \, $ D). $ 2(\sqrt[5]{2}) \, $ E). $ 2(\sqrt[10]{2} ) $
Nomor 3
Banyakknya bilangan bulat $ x $ yang memenuhi pertidaksamaan $ \frac{3x+6}{|x-1|} > 4 $ adalah .....
A). $ 5 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 7 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 9 $
Nomor 4
Diketahui tiga vektor $ \vec{a}, \vec{b}, $ dan $ \vec{c} $ dengan $|\vec{b}| = 3 $ , $ |\vec{c}| = 4 $ , dan $ \vec{a} = \vec{c} - \vec{b} $ . Jika $ \gamma $ adalah sudut antara vektor $ \vec{b} $ dan $ \vec{c} $ , dengan $ \vec{a}.\vec{c} = 25 $, maka $ \sin \gamma = .... $
A). $ \frac{1}{4} \, $ B). $ \frac{\sqrt{3}}{4} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{\sqrt{7}}{6} \, $ E). $ \frac{\sqrt{7}}{4} \, $
Nomor 5
Jika $ \frac{2\tan x}{1 - \tan ^2 x} - 5 = 0 $, dengan $ 0 < x <\frac{\pi}{2} $, maka $ \cos ^2 x - \sin ^2 x = .... $
A). $ \frac{1}{\sqrt{26}} \, $ B). $ \frac{2}{\sqrt{26}} \, $ C). $ \frac{3}{\sqrt{26}} \, $ D). $ \frac{4}{\sqrt{26}} \, $ E). $ \frac{5}{\sqrt{26}} \, $

Nomor 6
Persamaan salah satu asimtot dari hiperbola :
$ 9x^2 - 36x - 4y^2 + 8y - 4 = 0 $ adalah ....
A). $ y = -\frac{3}{2}x - 2 \, $
B). $ y = -\frac{3}{2}x - 4 \, $
C). $ y = \frac{3}{2}x + 2 \, $
D). $ y = \frac{3}{2}x - 2 \, $
E). $ y = \frac{3}{2}x + 4 \, $
Nomor 7
Misalkan
$ f(x) = 3x^3 - 9x^2 + 4bx + 18 = (x-2)g(x) + 2b $
maka $ g(-2) = .... $
A). $ 12 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 4 $
Nomor 8
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $ 3\sqrt{2} $ melaui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ....
A). $ 18\pi + 18 \, $ B). $ 18\pi - 18 \, $
C). $ 14\pi + 14 \, $ D). $ 14\pi - 15 \, $
E). $ 10\pi + 10 $
Nomor 9
Jika $ \int_{-4}^4 f(x) (\sin x + 1) dx = 8 $ , dengan $ f(x) $ fungsi genap dan $ \int_{-2}^4 f(x) dx = 4 $ , maka $ \int_{-2}^0 f(x) dx = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 10
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{4x + 3x \cos 2x}{\sin x \cos x} = .... $
A). $ 8 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 2 $

Nomor 11
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, 2x \tan \frac{1}{x}. \sec \frac{2}{x} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 12
Grafik fungsi $ f(x) = \frac{(x+2)^k(x^2-1)}{(x^2+x-2)(x^2+3x+2)} $ , $ k $ bilangan asli, mempunyai satu asimtot tegak jika $ k = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
Nomor 13
Misalkan $ f(x) = 2\tan \left( \sqrt{\sec x} \right) $ , maka $ f^\prime (x) = .... $
A). $ \sec ^2 \left( \sqrt{\sec x} \right) . \tan x \, $
B). $ \sec ^2 \left( \sqrt{\sec x} \right) . \sqrt{\sec x}. \tan x \, $
C). $ 2\sec ^2 \left( \sqrt{\sec x} \right) . \sqrt{\sec x} . \tan x \, $
D). $ \sec ^2 \left( \sqrt{\sec x} \right) . \sec x . \tan x \, $
E). $ 2\sec ^2 \left( \sqrt{\sec x} \right) . \sec x . \tan x $
Nomor 14
Garis singgung dari $ f(x) = \frac{1}{x^2 \cos x} $ di titik $ x = \pi $ memotong garis $ y = x + c $ di titik $(\pi, 0 )$. Nili $ c $ adalah ....
A). $ -\frac{1}{4}\pi \, $ B). $ -\frac{1}{2}\pi \, $ C). $ -\pi \, $ D). $ \frac{1}{2}\pi \, $ E). $ \pi \, $
Nomor 15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalia, maka peluang yang terambil adalah 1 bola merah adalah .....
A). $ 0,04 \, $ B). $ 0,10 \, $ C). $ 0,16 \, $ D). $ 0,32 \, $ E). $ 0,40 $