Tampilkan postingan dengan label matipa kode 245 tahun 2016. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label matipa kode 245 tahun 2016. Tampilkan semua postingan

Kode 245 Pembahasan Garis Singgung Lingkaran SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ g $ adalah garis singgung lingkaran $ x^2+y^2=25 $ di titik A(3,4). Jika garis singgung tersebut ditransformasikan dengan matriks rotasi $ \left( \begin{matrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right)$, maka absis dari titik potong antara garis singgung lingkaran dengan garis hasil transformasi adalah ....
A). $ \frac{7}{2} \, $ B). $ \frac{18}{5} \, $ C). $ 4 \, $ D). $ \frac{24}{5} \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Garis singgung Lingkaran dan Transformasi
*). Persamaan Garis singgung lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $ di titik $ (x_1,y_1) $ dengan $(x_1,y_1)$ ada pada lingkaran adalah $ x_1.x + y_1.y = r^2 $.
*). Transformasi Matriks :
$ \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = (MT) \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right)$
*). Sifat invers matriks :
$ A = BC \rightarrow C = B^{-1}.A $
*). Invers matriks :
$ D = \left(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow D^{-1} = \frac{1}{a.d - b. c } \left(\begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan garis singgung g pada lingkaran $ x^2 + y^2 = 25 $ di titik A(3,4)
$\begin{align} x_1.x+y_1.y & = r^2 \\ x_1.x+y_1.y & = 25 \\ 3x+4y & = 25 \end{align} $
*). Menentukan hasil transformasi garis g oleh matriks $\left(\begin{matrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right)$
$\begin{align} \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT) \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left(\begin{matrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left(\begin{matrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right)^{-1} \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \frac{1}{(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2} \left(\begin{matrix} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \frac{1}{1} \left(\begin{matrix} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) \\ \left(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) & = \left(\begin{matrix} \frac{3}{5}x^\prime - \frac{4}{5}y^\prime \\ \frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime \end{matrix} \right) \end{align} $
Sehingga kita peroleh :
$ x = \frac{3}{5}x^\prime - \frac{4}{5}y^\prime $ dan $ y = \frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime $
*). Substitusikan bentuk yang kita peroleh ke pesamaan awal g : $ 3x + 4y = 25 $ , sehingga kita peroleh bayangan (hasil transformasinya) :
$ \begin{align} 3x + 4y & = 25 \\ 3(\frac{3}{5}x^\prime - \frac{4}{5}y^\prime) + 4(\frac{4}{5}x^\prime + \frac{3}{5}y^\prime) & = 25 \\ 3(\frac{3}{5}x - \frac{4}{5}y ) + 4(\frac{4}{5}x + \frac{3}{5}y ) & = 25 \\ \frac{9}{5}x - \frac{12}{5}y + \frac{16}{5}x + \frac{12}{5}y & = 25 \\ \frac{25}{5}x & = 25 \\ 5x & = 25 \\ x & = 5 \end{align} $
Jadi, absis perpotongannya adalah 5 $ . \, \heartsuit $



Cara 3 : Kode 245 Pembahasan Garis Singgung Kurva SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Garis singgung kurva $ y = 3 - x^2 $ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-Y di titik R. Nilai $ a $ yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ....
A). $ 2\sqrt{3} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{4}\sqrt{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Garis singgung kurva
*). Gradien garis singgung kurva di titik $ (x_1,y_1) $ adalah
$ m = f^\prime (x_1) $.
*). Suatu garis membentuk sudut sebesar $ \theta $ terhadap sumbu X positif, maka gradiennya bisa ditentukan dengan $ m = \tan \theta $.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 3 : Gradien garis
*). Ilustrasi Gambar segitiga PQR nya :
 

Catatan : Untuk konstruksi gambarnya ini, teman-teman bisa lihat langkah-langkahnya pada pembahasan cara 1.
*). Menentukan gradien garis singgung yaitu garis PR dititik P($-a,b$) pada kurva $ y = 3 - x^2 $
Turunannya : $ f^\prime (x) = -2x $
Gradien garis singgung : $ m_{PR} = f^\prime (x_1) = f^\prime (-a) = -2.(-a) = 2a $
*). Karena PQR adalah segitiga sama sisi, maka besar sudut masing-masing adalah $ 60^\circ $. gradien garis PR juga bisa dicari dengan menggunakan tangen sudutnya atau $ m = \tan RPT $. Sehingga :
$ \begin{align} m_{PR} & = \tan RPT \\ 2a & = \tan 60^\circ \\ 2a & = \sqrt{3} \\ a & = \frac{1}{2} \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ a = \frac{1}{2}\sqrt{3} . \, \heartsuit $



Cara 2 : Kode 245 Pembahasan Garis Singgung Kurva SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Garis singgung kurva $ y = 3 - x^2 $ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-Y di titik R. Nilai $ a $ yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ....
A). $ 2\sqrt{3} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{4}\sqrt{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar rumus Trigonmetri
*). Rumus tangen : $ \tan \theta = \frac{depan}{samping} $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 : Rumus Tangen Sudut Segitiga
*). Ilustrasi Gambar segitiga PQR nya :
 

Catatan : Untuk konstruksi gambarnya ini, teman-teman bisa lihat langkah-langkahnya pada pembahasan cara 1.
*). Karena PQR adalah segitiga sama sisi, maka besar sudut masing-masing adalah $ 60^\circ $. Perhatikan segitiga RTQ :
Panjang RT $ = (2a^2 + b ) - b = 2a^2 $
Panjang TQ $ = a $
$ \begin{align} \tan RQT & = \frac{RT}{TQ} \\ \tan 60^\circ & = \frac{2a^2}{a} \\ \sqrt{3} & = 2a \\ a & = \frac{1}{2} \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ a = \frac{1}{2}\sqrt{3} . \, \heartsuit $



Kode 245 Pembahasan Garis Singgung Kurva SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Garis singgung kurva $ y = 3 - x^2 $ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-Y di titik R. Nilai $ a $ yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ....
A). $ 2\sqrt{3} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{4}\sqrt{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Garis singgung Kurva (PGS) Menggunakan Turunan
*). Persamaan Garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik ($x_1,y_1$) yaitu :
$ y - y_1 = m(x- x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $.
*). Konsep Jarak :
Jarak dua titik ($x_1,y_1$) dan ($x_2,y_2$) adalah
Jarak $ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 1 : Panjang Sisi Sama
*). Menyusun PGS kurva $ y = 3 - x^2 $ di titik P($-a,b$) :
Turunannya : $ f^\prime (x) = -2x $
Gradien : $ m = f^\prime (x_1) = f^\prime (-a) = -2. (-a) = 2a $
PGS di titik $(x_1,y_1) = (-a,b) $ dan $ m = 2a $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x- x_1) \\ y - b & = 2a(x- (-a)) \\ y & = 2ax + 2a^2 + b \end{align} $
*). Titik potong PGS terhadap sumbu Y, substitusi $ x = 0 $ :
$\begin{align} x = 0 \rightarrow y & = 2ax + 2a^2 + b \\ y & = 2a . 0 + 2a^2 + b \\ y & = 2a^2 + b \end{align} $
Sehingga titik potong sumbu Y nya adalah R($0, 2a^2 + b$).
*). Konstruksi Gambar segitiga PQR nya :
 

*). Karena PQR adalah segitiga sama sisi, maka panjang ketiga sisinya sama :
$ \begin{align} \text{panjang QR } & = \text{ panjang PQ} \\ \sqrt{ (x_R - x_Q)^2 + (y_R-y_Q)^2} & = \sqrt{(x_Q-x_P)^2 + ( y_Q-y_P)^2} \\ \sqrt{ (0 - a)^2 + [(2a^2 + b) - b ]^2} & = \sqrt{(a - (-a))^2 + ( b - b)^2} \\ \sqrt{ a^2 + 4a^4} & = \sqrt{4a^2 + 0} \\ \sqrt{ a^2 + 4a^4} & = \sqrt{4a^2 } \\ a^2 + 4a^4 & = 4a^2 \\ 4a^4 & = 3a^2 \\ 4a^2 & = 3 \\ a^2 & = \frac{3}{4} \\ a & = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} \\ a & = \pm \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align} $
Nilai $ a $ positif, sehingga yang memenuhi : $ a = \frac{1}{2}\sqrt{3} $.
Jadi, nilai $ a = \frac{1}{2}\sqrt{3} . \, \heartsuit $



Kode 245 Pembahasan Kaidah Pencacahan SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Banyaknya bilangan genap $ n = abc $ dengan 3 digit sehingga $ 3 < b < c $ adalah .....
A). $ 48 \, $ B). $ 54 \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 64 \, $ E). $ 72 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Kaidah pencacahan
*). Aturan Penjumlahan
       Aturan penjumlahan digunakan ketika kejadiannya tidak serentak (tidak sekaligus).
*). Aturan Perkalian
       Aturan perkalian digunakan ketika kejadiannya serentak (sekaligus).
Silahkan teman-teman baca contoh lengkapnya pada artikel "Aturan Perkalian, Aturan Penjumlahan, dan Faktorial".
*). Suatu bilangan akan bernilai genap jika satuannya juga genap.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Agar $ n = abc $ merupakan bilangan genap, maka $ c $ harus bilangan genap yang memenuhi $ 3 < b < c $. Sehingga nilai $ c $ yang mungkin yaitu $ c = 6 $ atau $ c = 8 $.
*). Beberapa kemungkinan :
-). kemungkinan pertama : $ c = 6 \rightarrow 3 < b < 6 $
nilai $ b = 4 $ atau $ b = 5 $.
Nilai $ a = \{ 1,2,3, ..., 9 \} $
Artinya kita peroleh :
$ a $ ada 9 pilihan, $ b $ ada 2 pilihan, dan $ c $ ada 1 pilihan angka.
Sehingga kemungkinan pertama bilangan $ abc $ ada $ 9 \times 2 \times 1 = 18 $ bilangan.
-). kemungkinan kedua : $ c = 8 \rightarrow 3 < b < 8 $
nilai $ b = \{ 4, 5, 6, 7\} $.
Nilai $ a = \{ 1,2,3, ..., 9 \} $
Artinya kita peroleh :
$ a $ ada 9 pilihan, $ b $ ada 4 pilihan, dan $ c $ ada 1 pilihan angka.
Sehingga kemungkinan kedua bilangan $ abc $ ada $ 9 \times 4 \times 1 = 36 $ bilangan.
*). Total bilangan $ n = abc $ yang terbentuk adalah
total $ = 18 + 36 = 54 $.
Jadi, ada 54 bilangan genap $ n . \, \heartsuit $



Cara 3 : Kode 245 Pembahasan Luasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan D adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu-Y, daris $ y = 4$, dan kurva $ y = x^2$. Jika garis $ y = k $ membagi dua daerah D sama besar, maka $ k^3 = .... $
A). $ 8 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 11 \, $ D). $ 14 \, $ E). $ 16 $

$\spadesuit $ Konsep Menghitung Luas
*). Rumus Luas yang dibatasi oleh fungsi kuadrat (parabola) dan membentuk persegi panjang yang melalui titik puncaknya seperti gambar berikut ini,
Luas arsiran $ = \frac{2}{3} \times \, $ Luas Persegipanjang

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 3 :
*). Ilustrasi Gambar :
 

-). Luas daerah A :
Luas A $ = \frac{2}{3} \times (2 \times 4) = \frac{16}{3} $
-). Luas daerah B :
Luas B $ = \frac{2}{3} \times (\sqrt{k} \times k) = \frac{2}{3} k\sqrt{k}$
*). Garis $ y = k $ membagi daerah A menjadi dua bagia sama besar yaitu daerah B dan C, sehingga luas B sama dengan setengah dari luas daerah A.
$\begin{align} \text{ Luas B } & = \frac{1}{2} \text{ Luas A} \\ \frac{2}{3}.k\sqrt{k} & = \frac{1}{2} . \frac{16}{3} \\ \frac{2}{3}.k\sqrt{k} & = \frac{8}{3} \\ k\sqrt{k} & = 4 \\ (k\sqrt{k})^2 & = 4^2 \\ k^3 & = 16 \end{align} $
Jadi, nilai $ k^3 = 16 . \, \heartsuit $



Cara 2 : Kode 245 Pembahasan Luasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan D adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu-Y, daris $ y = 4$, dan kurva $ y = x^2$. Jika garis $ y = k $ membagi dua daerah D sama besar, maka $ k^3 = .... $
A). $ 8 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 11 \, $ D). $ 14 \, $ E). $ 16 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral
*). Rumus Dasar Integral :
$ \int kx^n \, dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1} + c $
*). Menentukan luas daerah menggunakan integral
Misalkan ada daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi $ x = f(y) $ pada interval $ a \leq y \leq b $ seperti gambar berikut ini :
Maka luas daerah tersebut dapat dihitung dengan rumus :
Luas $ = \int \limits_a^b f(y) \, dy $
*). Sifat eksponen : $ (a^m)^n = a^{m.n} $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 : Batas sumbu Y
*). Ilustrasi Gambar :
 

*). Garis $ y = k $ membagi daerah menjadi dua bagia sama besar yaitu daerah A dan B, sehingga luas A sama dengan luas daerah B.
$\begin{align} \text{ Luas A } & = \text{ Luas B} \\ \int \limits_0^k y^\frac{1}{2} \, dy & = \int \limits_k^4 y^\frac{1}{2} \, dy \\ \left[\frac{2}{3} y^\frac{3}{2}\right]_0^k & = \left[\frac{2}{3} y^\frac{3}{2}\right]_k^4 \\ \frac{2}{3} k^\frac{3}{2} & = \left[\frac{2}{3} . 4^\frac{3}{2}\right] - \left[\frac{2}{3} k^\frac{3}{2}\right] \\ \frac{2}{3} k^\frac{3}{2} + \frac{2}{3} k^\frac{3}{2} & = \frac{2}{3} . (2^2)^\frac{3}{2} \\ 2\times \frac{2}{3} k^\frac{3}{2} & = \frac{2}{3} (8) \\ 2 k^\frac{3}{2} & = 8 \\ k^\frac{3}{2} & = 4 \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (k^\frac{3}{2})^2 & = 4^2 \\ k^3 & = 16 \end{align} $
Jadi, nilai $ k^3 = 16 . \, \heartsuit $



Kode 245 Pembahasan Luasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan D adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu-Y, daris $ y = 4$, dan kurva $ y = x^2$. Jika garis $ y = k $ membagi dua daerah D sama besar, maka $ k^3 = .... $
A). $ 8 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 11 \, $ D). $ 14 \, $ E). $ 16 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Luasan Integral
*). Rumus Dasar Integral :
$ \int kx^n \, dx = \frac{k}{n+1} x^{n+1} + c $ dan $ \int k \, dx = kx + c $
*). Menentukan luas daerah menggunakan integral
Misalkan ada daerah yang dibatasi oleh dua kurva fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ seperti gambar berikut ini :
Maka luas daerah tersebut dapat dihitung dengan rumus :
Luas $ = \int \limits_a^b [ f(x) - g(x)] dx $
(kurva atas kurang kurva bawah)

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 1 : Batas sumbu X
*). Ilustrasi Gambar :
 

*). Garis $ y = k $ membagi daerah A menjadi dua bagia sama besar yaitu daerah B dan C, sehingga luas B sama dengan setengah dari luas daerah A.
$\begin{align} \text{ Luas B } & = \frac{1}{2} \text{ Luas A} \\ \int \limits_0^\sqrt{k} ( k - x^2) \, dx & = \frac{1}{2} . \int \limits_0^2 ( 4 - x^2) \, dx \\ [kx - \frac{1}{3}x^3]_0^\sqrt{k} & = \frac{1}{2} . [4x - \frac{1}{3}x^3]_0^2 \\ k\sqrt{k} - \frac{1}{3}(\sqrt{k})^3 & = \frac{1}{2}. (8 - \frac{1}{3}.2^3) \\ k\sqrt{k} - \frac{1}{3}.k\sqrt{k} & = \frac{1}{2}. (8 - \frac{8}{3} ) \\ \frac{2}{3}.k\sqrt{k} & = \frac{8}{3} \\ k\sqrt{k} & = 4 \\ (k\sqrt{k})^2 & = 4^2 \\ k^3 & = 16 \end{align} $
Jadi, nilai $ k^3 = 16 . \, \heartsuit $



Cara 3 : Kode 245 Pembahasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f(x) = f(x+2) $ untuk setiap $ x $. Jika $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, maka $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = .... $
A). $ B \, $ B). $ 2B \, $ C). $ 3B \, $ D). $ 4B \, $ E). $ 5B $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Integral
*). Sifat-sifat integral :
i). Batas integral bisa dipecah menjadi beberapa bagian :
-). $ \int \limits_a^c f(x) \, dx = \int \limits_a^b f(x) \, dx + \int \limits_b^c f(x) \, dx $
dengan $ a < b < c $.
-). $ \int \limits_a^d f(x) \, dx = \int \limits_a^b f(x) \, dx +\int \limits_b^c f(x) \, dx+\int \limits_c^d f(x) \, dx$
dengan $ a < b < c < d $
ii). Batas integral bisa diperkecil nilainya :
$ \int \limits_a^b f(x) \, dx = \int \limits_{a-k}^{b-k} f(x + k) \, dx $
(semua batas dikurangkan $ k $ dan variabel fungsinya ditambahkan $ k$).

*). Jika suatu fungsi diketahui memenuhi $ f(x) = f(x + 2) $ ,
maka berlaku juga untuk $ f(x) = f(x+2) = f(x+4) = f(x+6) = f(x+8) $ dan seterusnya.
Pembuktian :
Dari bentuk $ f(x) = f(x + 2) $, kita ganti $ x $ dengan beberapa kemungkinan yaitu :
$ x = p \rightarrow f(p) = f(p+2) $
$ x = p+2 \rightarrow f(p+2) = f((p+2)+2) \rightarrow f(p+2) = f(p+4) $
$ x = p+4 \rightarrow f(p+4) = f((p+4)+2) \rightarrow f(p+4) = f(p+6) $
$ x = p+6 \rightarrow f(p+6) = f((p+6)+2) \rightarrow f(p+6) = f(p+8) $
sehingga dapat kita simpulkan bahwa :
$ f(p) =f(p+2)=f(p+4)=f(p+6)=f(p+8) \, $ dan seterusnya, atau dapat ditulis $ f(x) = f(x+2) = f(x+4) = f(x+6) = f(x+8) $ dan seterusnya.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 3 :
*). Meneyelesaikan soal dengan menggunakan $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, dan $ f(x) = f(x+2) = f(x+4) = f(x+6) $ serta sifat-sifat integral di atas :
$\begin{align} \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx & = \int \limits_3^7 f(x) \, dx \\ & = \int \limits_3^4 f(x) \, dx + \int \limits_4^6 f(x) \, dx + \int \limits_6^7 f(x) \, dx \\ & = \int \limits_{3-2}^{4-2} f(x+2) \, dx + \int \limits_{4-4}^{6-4} f(x+4) \, dx + \int \limits_{6-6}^{7-6} f(x+6) \, dx \\ & = \int \limits_{1}^{2} f(x+2) \, dx + \int \limits_{0}^{2} f(x+4) \, dx + \int \limits_{0}^{1} f(x+6) \, dx \\ & = \int \limits_{1}^{2} f(x) \, dx + \int \limits_{0}^{2} f(x) \, dx + \int \limits_{0}^{1} f(x) \, dx \\ & = \left( \int \limits_{0}^{1} f(x) \, dx + \int \limits_{1}^{2} f(x) \, dx \right) + \int \limits_{0}^{2} f(x) \, dx \\ & = \int \limits_{0}^{2} f(x) \, dx + \int \limits_{0}^{2} f(x) \, dx \\ & = 2. \left( \int \limits_{0}^{2} f(x) \, dx \right) \\ & = 2B \end{align} $
Jadi, kita peroleh hasil $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = 2B. \, \heartsuit $



Cara 2 : Kode 245 Pembahasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f(x) = f(x+2) $ untuk setiap $ x $. Jika $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, maka $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = .... $
A). $ B \, $ B). $ 2B \, $ C). $ 3B \, $ D). $ 4B \, $ E). $ 5B $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Integral dan persamaan Rekurensi
*). hasil integral : $ \int a^x \, dx = a^x + c $
*). Konsep dasar persamaan rekurensi
Misalkan ada persamaan rekurensi homogen :
$ f(x + n) + f(x + n-1) + ....+ f(x+1) + f(x) = 0 $ ,
maka fungsi $ f(x) $ yang memenuhi adalah $ f(x) = a_1(r_1)^x + a_2(r_2)^x + ...+a_n(r_n)^x $
dengan $ r_1, r_2, ..., r_n \, $ adalah akar-akar dari persamaan :
$ r^n + r^{n-1} + ...+r^1 + r^0 = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan persamaan rekurensinya untuk menentukan fungsi $ f(x) $ :
$\begin{align} f(x) & = f(x+2) \\ f(x+2) - f(x) & = 0 \\ r^2 - r^0 & = 0 \\ r^2 - 1 & = 0 \\ r^2 & = 1 \\ r & = \pm 1 \\ r_1 = -1 \vee r_2 & = 1 \end{align} $
sehingga fungsi $ f(x) $ nya adalah :
$ f(x) = a_1 (r_1)^x + a_2(r_2)^x \rightarrow f(x) = a_1 (-1)^x + a_2(1)^x $
atau disederhanakan : $ f(x) = a_1 (-1)^x + a_2 $
*). Dari bentuk $ f(x) = a_1 (-1)^x + a_2 $, kita tentukan $ f(x+8) $
$\begin{align} f(x) & = a_1 (-1)^x + a_2 \\ f (x+8) & = a_1 (-1)^{x+8} + a_2 \\ & = a_1 (-1)^{x}. (-1)^8 + a_2 \\ & = a_1 (-1)^{x}. 1 + a_2 \\ & = a_1 (-1)^{x} + a_2 \end{align} $
*). Dari bentuk : $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $
$\begin{align} \int \limits_0^2 f(x) \, dx & = B \\ \int \limits_0^2 [a_1 (-1)^x + a_2] \, dx & = B \\ [a_1 (-1)^x + a_2x]_0^2 & = B \\ [a_1 (-1)^2 + a_2.2] - [a_1 (-1)^0 + a_2.0] & = B \\ [a_1 + 2a_2 ] - [a_1 + 0] & = B \\ 2a_2 & = B \\ a_2 & = \frac{1}{2}B \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx & = \int \limits_3^7 [a_1 (-1)^{x} + a_2] \, dx \\ & = [a_1 (-1)^{x} + a_2x]_3^7 \\ & = [a_1 (-1)^{7} + a_2.7]- [a_1 (-1)^{3} + a_2.3] \\ & = [a_1 (-1) + 7a_2]- [a_1 (-1) + 3a_2] \\ & = 4a_2 \\ & = 4 . \frac{1}{2}B \\ & = 2B \end{align} $
Jadi, kita peroleh hasil $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = 2B. \, \heartsuit $



Kode 245 Pembahasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f(x) = f(x+2) $ untuk setiap $ x $. Jika $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, maka $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = .... $
A). $ B \, $ B). $ 2B \, $ C). $ 3B \, $ D). $ 4B \, $ E). $ 5B $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Integral
*). Sifat Integral :
$ \int \limits_a^c f(x) \, dx = \int \limits_a^b f(x) \, dx + \int \limits_b^c f(x) \, dx $
dengan $ a < b < c $.
*). Jika suatu fungsi diketahui memenuhi $ f(x) = f(x + 2) $ ,
maka berlaku juga untuk $ f(x) = f(x+2) = f(x+4) = f(x+6) = f(x+8) $ dan seterusnya.
*). Jika $ f(x) = f(x+2) \, $ dan $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B \, $ , maka berlaku juga untuk integral yang batasnya berselisih dua yang hasilnya sama dengan B, atau kita peroleh :
$ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = \int \limits_1^3 f(x) \, dx =\int \limits_2^4 f(x) \, dx = \int \limits_3^5 f(x) \, dx $ dan seterusnya.

Catatan :
Pernyataan pada konsep dasar ini akan kita buktikan, dan pembuktiannya ada pada bagian paling bawah.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dari konsep dasar di atas, kita peroleh bentuk $ f(x + 8 ) = f(x) $
dan juga kita peroleh : $ \int \limits_3^5 f(x) \, dx = \int \limits_5^7 f(x) \, dx = B $
*). Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx & = \int \limits_3^7 f(x) \, dx \\ & = \int \limits_3^5 f(x) \, dx + \int \limits_5^7 f(x) \, dx \\ & = B + B \\ & = 2B \end{align} $
Jadi, kita peroleh hasil $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = 2B. \, \heartsuit $


$\spadesuit $ Pembuktian Konsep Dasar di atas
*). Pernyataan Pertama : Jika suatu fungsi diketahui memenuhi $ f(x) = f(x + 2) $ ,
maka berlaku juga untuk $ f(x) = f(x+2) = f(x+4) = f(x+6) = f(x+8) $ dan seterusnya.
Pembuktian :
Dari bentuk $ f(x) = f(x + 2) $, kita ganti $ x $ dengan beberapa kemungkinan yaitu :
$ x = p \rightarrow f(p) = f(p+2) $
$ x = p+2 \rightarrow f(p+2) = f((p+2)+2) \rightarrow f(p+2) = f(p+4) $
$ x = p+4 \rightarrow f(p+4) = f((p+4)+2) \rightarrow f(p+4) = f(p+6) $
$ x = p+6 \rightarrow f(p+6) = f((p+6)+2) \rightarrow f(p+6) = f(p+8) $
sehingga dapat kita simpulkan bahwa :
$ f(p) =f(p+2)=f(p+4)=f(p+6)=f(p+8) \, $ dan seterusnya .

*). Pernyataan Kedua : Jika $ f(x) = f(x+2) \, $ dan $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B \, $ , maka berlaku juga untuk integral yang batasnya berselisih dua yang hasilnya sama dengan B, atau kita peroleh :
$ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = \int \limits_1^3 f(x) \, dx =\int \limits_2^4 f(x) \, dx = \int \limits_3^5 f(x) \, dx $ dan seterusnya.
Pembuktian :
-). Misalkan hasil integral dari fungsi $ f(x) $ adalah $ g(x) $, sehingga :
$ \int \limits_a^b f(x) \, dx = [g(x)]_a^b = g(b) - g(a) $
-). dari bentuk $ f(x) = f(x + 2) $, kita substitusi $ x $ dengan $ x + 1 $, kita peroleh :
$ f(x) = f(x+2) \rightarrow f(x+1) = f((x+1)+2) \rightarrow f(x + 1) = f( x+ 3) $.
-). Kita interalkan bentuk $ f(x) = f(x + 2) $ dan bentuk $ f(x+1) = f(x + 3) $ :
$ \begin{align} \text{pertama : } \, f(x) & = f(x+2) \\ \int f(x) & = \int f(x+2) \\ g(x) & = g (x+2) + c \\ \text{kedua : } \, f(x+1) & = f(x+3) \\ \int f(x+1) & = \int f(x+3) \\ g(x+1) & = g (x+3) + c \end{align} $
Catatan : nilai $ c $ sama karena fungsinya sama yaitu dari $ f(x) = f(x+2) $.
-). kita kurangkan kedua bentuk hasil integral di atas, kita peroleh :
$ g(x) - g(x+1) = g(x+2) - g(x+3) \rightarrow g(x+3) - g(x+1) = g(x+2) - g(x) $
-). Dari bentuk $ g(x+3) - g(x+1) = g(x+2) - g(x) $ , kita substitusikan beberapa nilai $ x $ dengan angka tertentu :
$ x = 0 \rightarrow g(3) - g(1) = g(2) - g(0) $
$ x = 1 \rightarrow g(4) - g(2) = g(3) - g(1) $
$ x = 2 \rightarrow g(5) - g(3) = g(4) - g(2) $
$ x = 3 \rightarrow g(6) - g(4) = g(5) - g(3) $
$ x = 4 \rightarrow g(7) - g(5) = g(6) - g(4) $
dan seterusnya .......
Artinya kita peroleh :
$ g(2) - g(0) = g(3) - g(1) = g(4) - g(2) = g(5) - g(3) = g(6) - g(4) = g(7) - g(5) $ dan seterusnya.
-). Dari bentuk $ \int \limits_a^b f(x) \, dx = [g(x)]_a^b = g(b) - g(a) $ atau $ g(b) - g(a) = \int \limits_a^b f(x) \, dx $ , kita simpulkan :
bentuk $ g(2) - g(0) = g(3) - g(1) = g(4) - g(2) = g(5) - g(3) = g(6) - g(4) = g(7) - g(5) $ dan seterusnya.
sama saja dengan :
$ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = \int \limits_1^3 f(x) \, dx = \int \limits_2^4 f(x) \, dx = \int \limits_3^5 f(x) \, dx = \int \limits_4^6 f(x) \, dx = \int \limits_5^7 f(x) \, dx $ dan seterusnya.



Cara 2 : Kode 245 Pembahasan Fungsi Kuadrat SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Nilai konstanta positif $ a $ yang mungkin sehingga $ \frac{451}{50} $ merupakan nilai minimum dari fungsi $ f(x) = (a^2+1)x^2 - 2ax + 10 $ untuk $ x \in \left[ 0, \frac{1}{2}\right] $ adalah ....
A). $ 7 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Minimum/maksimum Fungsi Kuadrat
*). Fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $ mempunyai nilai minimum/maksimum sebesar $ \frac{D}{-4a} $ dengan $ D = b^2 - 4ac $.
*). Rumus $ \frac{D}{-4a} $ hanya berlaku untuk fungsi kuadrat.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi kuadrat : $ f(x) = (a^2+1)x^2 - 2ax + 10 $
dengan $ a = (a^2 + 1) , \, b = -2a, \, $ dan $ c = 10 $
Nilai minimumnya $ \frac{451}{50} $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} \frac{D}{-4a} & = \frac{451}{50} \\ \frac{b^2-4ac}{-4a} & = \frac{451}{50} \\ \frac{(-2a)^2-4(a^2+1).10}{-4(a^2+1)} & = \frac{451}{50} \\ \frac{4a^2-4 (a^2+1).10}{-4(a^2+1)} & = \frac{451}{50} \\ \frac{a^2-(a^2+1).10}{-(a^2+1)} & = \frac{451}{50} \\ \frac{a^2-10a^2 - 10}{-a^2 - 1} & = \frac{451}{50} \\ \frac{-9a^2 - 10}{-a^2 - 1} & = \frac{451}{50} \\ 50(-9a^2 - 10) & = 451( -a^2 - 1) \\ -450a^2 - 500 & = -451a^2 - 451 \\ a^2 & = 49 \\ a & = \pm \sqrt{49} = \pm 7 \end{align} $
Jadi, nilai $ a $ positif yang memenuhi adalah $ a = 7 . \, \heartsuit $



Kode 245 Pembahasan Fungsi Kuadrat SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Nilai konstanta positif $ a $ yang mungkin sehingga $ \frac{451}{50} $ merupakan nilai minimum dari fungsi $ f(x) = (a^2+1)x^2 - 2ax + 10 $ untuk $ x \in \left[ 0, \frac{1}{2}\right] $ adalah ....
A). $ 7 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Nilai Minimum/maksimum Fungsi Kuadrat
*). Fungsi $ y = f(x) $ maksimum/minimum pada saat $ f^\prime (x) = 0 $.
*). Nilai minimum/maksimum fungsi tersebut adalah $ y = f(x_1) $ dengan $ f^\prime (x_1) = 0 $
*). Mencari nilai maksimum/minimum dengan menggunakan turunan ini berlaku umum untuk semua jenis fungsi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsi dan syarat $ f^\prime (x) = 0 $ :
$\begin{align} f(x) & = (a^2+1)x^2 - 2ax + 10 \\ f^\prime (x) & = 2(a^2+1)x - 2a \\ f^\prime (x) & = 0 \\ 2(a^2+1)x - 2a & = 0 \\ 2(a^2+1)x & = 2a \\ (a^2+1)x & = a \\ x & = \frac{a}{a^2 + 1} \end{align} $
Artinya fungsi $ f(x) $ minimum saat $ x = \frac{a}{a^2 + 1} $ dengan nilai minimumnya $ \frac{451}{50} $ yang dapat ditulis $ f\left( \frac{a}{a^2 + 1} \right) = \frac{451}{50} $
*). Menentukan nilai $ a $ dengan $ f(x) = (a^2+1)x^2 - 2ax + 10 $ dan $ f\left( \frac{a}{a^2 + 1} \right) = \frac{451}{50} $
$\begin{align} f\left( \frac{a}{a^2 + 1} \right) & = \frac{451}{50} \\ (a^2+1).\left( \frac{a}{a^2 + 1} \right)^2 - 2a.\left( \frac{a}{a^2 + 1} \right) + 10 & = \frac{451}{50} \\ \frac{a^2}{a^2 + 1} - \frac{2a^2}{a^2 + 1} + 10 . \frac{a^2 + 1}{a^2 + 1} & = \frac{451}{50} \\ \frac{a^2 - 2a^2 + 10a^2 + 10}{a^2 + 1} & = \frac{451}{50} \\ \frac{9a^2 + 10}{a^2 + 1} & = \frac{451}{50} \\ 451(a^2 + 1) & = 50(9a^2 + 10) \\ 451 a^2 + 451 & = 450a^2 + 500 \\ a^2 & = 49 \\ a & = \pm \sqrt{49} = \pm 7 \end{align} $
Jadi, nilai $ a $ positif yang memenuhi adalah $ a = 7 . \, \heartsuit $



Kode 245 Pembahasan Barisan Geometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika dalam sebuah barisan geometri jumlah 10 suku pertamanya adalah 341 dan $u_{n+2}:u_{n-1}=8$, maka $ u_1 + u_4 = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Geometri dan Eksponen
*). Barisan geometri :
$ u_n = ar^{n-1} \, $ dan $ s_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1 } $
*). Sifat eksponen :
$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
Persamaan pertama,
$\begin{align} \frac{u_{n+2}}{u_{n-1}} & = 8 \\ \frac{ar^{n+2-1}}{ar^{n-1-1}} & = 8 \\ \frac{r^{n+1}}{r^{n-2}} & = 8 \\ r^{[(n+1) - (n-2)]} & = 8 \\ r^{3} & = 2^3 \\ r & = 2 \end{align} $
Persamaan kedua,
$\begin{align} \text{jumlah 10 suku pertama } & = 341 \\ s_{10} & = 341 \\ \frac{a(2^{10} - 1)}{2 - 1 } & = 341 \\ \frac{a(1023)}{ 1 } & = 341 \\ 1023a & = 341 \\ a & = \frac{341}{1023} = \frac{1}{3} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ u_1 + u_4 $ :
$\begin{align} u_1 + u_4 & = a + ar^3 \\ & = a ( 1 + r^3) \\ & = \frac{1}{3}. (1 + 2^3) \\ & = \frac{1}{3}. 9 \\ & = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ u_1 + u_4 = 3 . \, \heartsuit $



Cara 3 : Kode 245 Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} = .... $
A). $ \sec ^2 x \, $ B). $ 2\sec ^2 x \, $ C). $ 4\sec ^2 x \, $ D). $ \sec x \, $ E). $2\sec x $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Trigonometri Menggunakan Turunan (L'Hopital)
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \tan A \rightarrow y^\prime = A^\prime . \sec ^2 A $.
*). Sudut negatif : $ \sec ^2 (-A) = \sec ^2 A $
*). Penggunaan Turunan pada Limit (L'Hopital)
Bentuk $ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ dapat diselesaikan dengan $ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $ sampai hasilnya tidak $ \frac{0}{0} $ lagi. Jika hasilnya masih $ \frac{0}{0} $ , maka turunkan lagi pembilang dan penyebutnya.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 3 :
*). Menurunkan fungsi trigonometrinya :
$\begin{align} y & = \tan (-x + h) - \tan (-x-h) \\ y^\prime & = \sec ^2 (-x +h) - (-1).\sec ^2 (-x-h) \\ y^\prime & = \sec ^2 (-x +h) + \sec ^2 (-x-h) \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{1}{ \sqrt{4-h^2}} . \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h} \, \, \, \, \text{(turunkan)} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{1}{ \sqrt{4-h^2}} . \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sec ^2 (-x +h) + \sec ^2 (-x-h)}{1} \\ & = \frac{1}{ \sqrt{4-0^2}} . \frac{\sec ^2 (-x +0) + \sec ^2 (-x-0)}{1} \\ & = \frac{1}{ 2} . (\sec ^2 (-x ) + \sec ^2 (-x ) ) \\ & = \frac{1}{ 2} . (2\sec ^2 (-x ) ) \\ & = \sec ^2 (-x ) \\ & = \sec ^2 x \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \sec ^2 x . \, \heartsuit $



Cara 2 : Kode 245 Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} = .... $
A). $ \sec ^2 x \, $ B). $ 2\sec ^2 x \, $ C). $ 4\sec ^2 x \, $ D). $ \sec x \, $ E). $2\sec x $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Trigonometri
*). Konsep Trigonometri :
$ \tan (A - B)= \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A . \tan B} \rightarrow \tan A - \tan B = \tan (A - B) . (1 + \tan A . \tan B) $
$ \tan ^2 (-A) = \tan ^2 A $
*). Identitas trigonometri :
$ 1 + \tan ^2 A = \sec ^2 A $
*). Sifat Limit Trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\tan ax}{bx} = \frac{a}{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 :
*). Mengubah bentuk:
$\begin{align} & \tan (-x + h) - \tan (-x-h) \\ & = \tan [(-x + h) - (-x-h) ].[ 1 + \tan (-x + h) . \tan (-x-h) ] \\ & = \tan 2h.[ 1 + \tan (-x + h) . \tan (-x-h) ] \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan 2h.[ 1 + \tan (-x + h) . \tan (-x-h) ]}{h\sqrt{4-h^2}} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan 2h}{h} . \frac{ 1 + \tan (-x + h) . \tan (-x-h) }{\sqrt{4-h^2}} \\ & = \frac{2}{1} . \frac{ 1 + \tan (-x + 0) . \tan (-x-0) }{\sqrt{4-0^2}} \\ & = 2. \frac{ 1 + \tan (-x ) . \tan (-x) }{2} \\ & = 1 + \tan ^2 (-x ) \\ & = 1 + \tan ^2 x \\ & = \sec ^2 x \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \sec ^2 x . \, \heartsuit $



Kode 245 Pembahasan Limit Trigonometri SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} = .... $
A). $ \sec ^2 x \, $ B). $ 2\sec ^2 x \, $ C). $ 4\sec ^2 x \, $ D). $ \sec x \, $ E). $2\sec x $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit Trigonometri
*). Konsep Trigonometri :
$ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \, $ dan $ \sec A = \frac{1}{\cos A} $
$ \sin (A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
$ \cos (-A) = \cos A $
*). Sifat Limit Trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk dengan $ \sin (A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
$\begin{align} & \tan ( - x + h ) - \tan (-x - h) \\ & = \frac{\sin (-x+h)}{\cos (-x+h)} - \frac{\sin (-x-h)}{\cos (-x-h)} \\ & = \frac{\sin (-x+h) \cos (-x-h)}{\cos (-x+h) \cos (-x-h)} - \frac{\cos (-x + h)\sin (-x-h)}{\cos (-x + h)\cos (-x-h)} \\ & = \frac{\sin (-x+h) \cos (-x-h) - \cos (-x + h)\sin (-x-h) }{\cos (-x+h) \cos (-x-h)} \\ & = \frac{\sin [(-x+h) - (-x-h) ] }{\cos (-x+h) \cos (-x-h)} \\ & = \frac{\sin 2h }{\cos (-x+h) \cos (-x-h)} \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin 2h }{\cos (-x+h) \cos (-x-h)} }{h\sqrt{4-h^2}} \\ & = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\sin 2h }{h} . \frac{1}{\sqrt{4-h^2} \cos (-x+h) \cos (-x-h)} \\ & = \frac{2 }{1} . \frac{1}{\sqrt{4-0^2} \cos (-x+0) \cos (-x-0)} \\ & = 2. \frac{1}{2\cos (-x ) \cos (-x )} \\ & = \frac{1}{ \cos x \cos x} \\ & = \frac{1}{ \cos ^2 x } \\ & = \sec ^2 x \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \sec ^2 x . \, \heartsuit $



Kode 245 Pembahasan Pertidaksamaan SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Grafik $ y = 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x $ berada di bawah grafik $ y = 3^x + 1 \, $ jika .....
A). $ 0 < x < 1 \, $ B). $ x > 1 \, $ C). $ x < 0 \, $
D). $ x > 3 \, $ E). $ 1 < x < 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Berkaitan Pertidaksamaan
Jika grafik $ f(x) $ di bawah grafik fungsi $ g(x) $, maka berlaku $ f(x) < g(x) $
*). Suatu fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $ disebut memenuhi definis positif jika $ a > 0 $ dan $ D < 0 $, dengan $ D = b^2 - 4ac $.
*). Definit positif artinya nilai fungsi kuadrat selalu positif untuk semua nilai variabelnya ($x$).
*). Jika terdapat suatu fungsi bernilai definit positif, maka fungsi tersebut bisa diabaikan karena tidak akan berpengaruh pada pertidaksamaannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = 3^x $
Grafik $ y_1 = 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x $ berada di bawah grafik $ y_2 = 3^x + 1 \, $ maka berlaku :
$\begin{align} y_1 & < y_2 \\ 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x & < 3^x + 1 \\ 3^{x }. 3^1 - \left(\frac{1}{3^2} \right)^x & < 3^x + 1 \\ 3. 3^{x } - \frac{1}{3^{2x}} - 3^x - 1 & < 0 \\ 2. 3^{x } - \frac{1}{(3^x)^2} - 1 & < 0 \\ 2p - \frac{1}{p^2} - 1 & < 0 \\ \frac{2p . p^2}{p^2} - \frac{1}{p^2} - \frac{p^2}{p^2} & < 0 \\ \frac{2p^3 - p^2 - 1}{p^2} & < 0 \, \, \, \, \, \, \text{(faktorkan)} \\ \frac{(2p^2+p+1)(p-1)}{p^2} & < 0 \end{align} $
*). Bentuk $ 2p^2+p+1 \, $ dan $ p^2 $ adalah definit positif, sehingga bisa diabaikan, pertidaksamaannya menjadi :
$\begin{align} \frac{(2p^2+p+1)(p-1)}{p^2} & < 0 \\ (p-1) & < 0 \\ p & < 1 \\ 3^x & < 1 \\ 3^x & < 3^0 \\ x & < 0 \end{align} $
Jadi, solusinya adalah $ x < 0 . \, \heartsuit $



Cara 2 : Kode 245 Pembahasan Suku Banyak SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika sisa pembagian $ f(x) $ oleh $ x^3 - 3x + 5 $ adalah $ 3x^2-2$, dan sisa pembagian $ (x+f(x))^2$ oleh $ x^3-3x+5$ adalah $ ax^2+bx+c$, maka $ a - b - c = .... $
A). $ 33 \, $ B). $ 43 \, $ C). $ 53 \, $ D). $ 63 \, $ E). $ 73 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pembagian Suku Banyak
$ f(x) = p(x).h(x) + s(x) $
atau dapat dipersingkat menjadi :
$ f = ph + s $
Keterangan :
$ f(x) = f \, $ suku banyak yang dibagi,
$ p(x) = p \, $ pembagi,
$ h(x) = h \, $ hasil bagi,
$ s(x) = s \, $ sisa pembagian.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 :
*). $ f(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^3 - 3x +5 $ dengan sisa $ s_1(x) = 3x^2 - 2 $ dan hasil bagi $ h_1(x) $ :
$ f(x) = p(x).h_1(x) + (3x^2 - 2 ) \, $ ....(i)
atau $ f = p.h_1 + s_1 $
*). $ [x +f(x)]^2 \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^3 - 3x +5 $ dengan sisa $ s_2(x) = ax^2 + bx + c $ dan hasil bagi $ h_2(x) $
*). Menentukan bentuk $ [ x + f(x)]^2 \, $ atau $ [ x + f]^2 $
$\begin{align} [x + f(x)]^2 & = [x + f]^2 \\ & = [ x + p.h_1 + s_1]^2 \\ & = p(2h_1x+2h_1s_1+ph_1^2) + x^2+2s_1x+s_1^2 \end{align} $
Bentuk $ p(2h_1x+2h_1s_1+ph_1^2) $ habis dibagi oleh $ p(x) $ , sehingga tinggal mencari sisa pembagian $ x^2+2s_1x+s_1^2 $ oleh $ p $.
*). Menentukan bentuk $ x^2+2s_1x+s_1^2 $ :
$\begin{align} x^2+2s_1x+s_1^2 & = x^2+2(3x^2 - 2)x+(3x^2 - 2)^2 \\ & = x^2+6x^3 - 4x+ 9x^4 - 12x^2 + 4 \\ & = 9x^4 + 6x^3 - 11x^2 - 4x + 4 \end{align} $
Dengan cara pembagian bersusun, sisa pembagian $ 9x^4 + 6x^3 - 11x^2 - 4x + 4 $ oleh $ p(x) = x^3 - 3x + 5 $ adalah $ 16x^2 - 31x - 26 $ .
artinya kita peroleh sisa pembagian $ [x+f(x)]^2 $ oleh $ p(x)=x^3 - 3x + 5 $ adalah $ 16x^2 - 31x - 26 $ yang bentuknya sama dengan $ s_2(x) = ax^2 + bx + c $ . Sehingga $ 16x^2 - 31x - 26 = ax^2 + bx + c $ kita peroleh $ a = 16, b = -31, $ dan $ c = -26 $.
*). Menentukan hasil :
$ a - b - c = 16 - (-31)-(-26) = 73 $.
Jadi, nilai $ a - b - c = 73 . \, \heartsuit $



Kode 245 Pembahasan Suku Banyak SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Jika sisa pembagian $ f(x) $ oleh $ x^3 - 3x + 5 $ adalah $ 3x^2-2$, dan sisa pembagian $ (x+f(x))^2$ oleh $ x^3-3x+5$ adalah $ ax^2+bx+c$, maka $ a - b - c = .... $
A). $ 33 \, $ B). $ 43 \, $ C). $ 53 \, $ D). $ 63 \, $ E). $ 73 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pembagian Suku Banyak
$ f(x) = p(x).h(x) + s(x) $
Keterangan :
$ f(x) = \, $ suku banyak yang dibagi,
$ p(x) = \, $ pembagi,
$ h(x) = \, $ hasil bagi,
$ s(x) = \, $ sisa pembagian.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 1 :
*). $ f(x) \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^3 - 3x +5 $ dengan sisa $ s(x) = 3x^2 - 2 $ dan hasil bagi $ h_1(x) $ :
$ f(x) = p(x).h_1(x) + (3x^2 - 2 ) \, $ ....(i)
*). $ [x +f(x)]^2 \, $ dibagi dengan $ p(x) = x^3 - 3x +5 $ dengan sisa $ s(x) = ax^2 + bx + c $ dan hasil bagi $ h_2(x) $ :
$ [x +f(x)]^2 = p(x).h_2(x) + (ax^2 + bx + c ) \, $ ....(ii)
*). Agar kedua persamaan bisa diselesaikan, maka kita harus substitusi nilai $ x $ yang merupakan akar-akar dari pembaginya yaitu $ p(x) = x^3 - 3x + 5 $. Misalkan salah satu akarnya adalah $ x = z $, maka $ p(z) = z^3 - 3z + 5 = 0 $.
*). Dari bentuk $ z^3 - 3z + 5 = 0 $, kita peroleh :
$ z^3 - 3z + 5 = 0 \rightarrow z^3 = 3z - 5 $.
kita kalikan dengan $ z $ :
$ z^3 . z = (3z - 5) . z \rightarrow z^4 = 3z^2 - 5z $.
*). Substitusi $ x = z \, $ ke pers(i) dan $ p(z) = 0 $
$\begin{align} f(x) & = p(x).h_1(x) + (3x^2 - 2 ) \\ f(z) & = p(z).h_1(z) + (3z^2 - 2 ) \\ f(z) & = 0.h_1(z) + (3z^2 - 2 ) \\ f(z) & = 3z^2 - 2 \, \, \, \, \, \, \, \text{...(iii)} \end{align} $
*). Substitusi $ x = z $ ke pers(ii), dan $ p(z) = 0 $ , serta $ z^3 = 3z - 5 , \, z^4 = 3z^2 - 5z $ serta kita gunakan $ f(z) = 3z^2 - 2 $
$\begin{align} [x +f(x)]^2 & = p(x).h_2(x) + (ax^2 + bx + c ) \\ [z +f(z)]^2 & = p(z).h_2(z) + (az^2 + bz + c ) \\ [z + 3z^2 - 2 ]^2 & = 0.h_2(z) + (az^2 + bz + c ) \\ [3z^2 + z- 2 ]^2 & = az^2 + bz + c \\ 9z^4 + 6z^3 - 11z^2 - 4z + 4 & = az^2 + bz + c \\ 9(3z^2 - 5z) + 6(3z - 5) - & 11z^2 - 4z + 4 \\ & = az^2 + bz + c \\ 16z^2 - 31z - 26 & = az^2 + bz + c \end{align} $
dari persamaan $ 16z^2 - 31z - 26 = az^2 + bz + c $ kita peroleh $ a = 16, b = -31, $ dan $ c = -26 $.
*). Menentukan hasil :
$ a - b - c = 16 - (-31)-(-26) = 73 $.
Jadi, nilai $ a - b - c = 73 . \, \heartsuit $