Tampilkan postingan dengan label matipa um ugm tahun 2004. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label matipa um ugm tahun 2004. Tampilkan semua postingan

Pembahasan Turunan UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ akar-akar persamaan $ x^2 + kx + k = 0 $ , maka nilai $ k $ yang menjadikan $ x_1^3 + x_2^3 \, $ mencapai maksimum adalah ....
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). FUngsi $ y = f(x) $ mencapai maksimum atau minimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $.
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ dengan akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
-). Rumus bantu :
$ x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1x_1(x_1+x_2) $

$\clubsuit $ Pembahasan 
*). Persamaan kuadrat $ x^2 + kx + k = 0 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-k}{1} = - k $ dan $ x_1x_2 = \frac{k}{1} = k $
*). Menentukan bentuk $ x_1^3 + x_2^3 $ dan syarat nilai maksimumnya :
$ \begin{align} x_1^3 + x_2^3 & = (x_1+x_2)^3 - 3x_1x_1(x_1+x_2) \\ x_1^3 + x_2^3 & = (-k)^3 - 3k(-k) \\ f(k) & = -k^3 + 3k^2 \\ f^\prime (k) & = -3k^2 + 6k \\ -3k^2 + 6k & = 0 \\ 3k(-k+2) & = 0 \\ k = 0 \vee k & = 2 \end{align} $
*). cek nilai $ k $ :
$ \begin{align} f(k) & = -k^3 + 3k^2 \\ k = 0 \rightarrow f(0) & = -0^3 + 3.0^2 = 0 \\ k = 2 \rightarrow f(2) & = -2^3 + 3.2^2 = 4 \end{align} $
Jadi, $ x_1^3 + x_2^3 $ akn maksimum pada saat $ k = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Dari 8 pasangan suami-istri akan dibentuk tim beranggotakan 5 orang teridiri dari 3 pria dan 2 wanita dengan ketentuan tak boleh ada pasangan suami-istri. Banyaknya tim yang dapat dibentuk adalah ....
A). $ 56 \, $ B). $ 112 \, $ C). $ 336 \, $ D). $ 560 \, $ E). $ 672 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Aturan perkalian :
Misalkan kejadian pertama ada $ p $ cara dan kejadian kedua ada $ q $ cara, total cara adalah $ p \times q $.
*). Untuk menghitung banyak cara yang tidak memperhatikan urutan yaitu menggunakan Kombinasi. Rumus kombinasi : $ C_r^n = \frac{n!}{(n-r)!.r!} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ada 8 pasangan suami istri (pasutri) artinya ada 8 pria dan 8 wanita. Akan dipilih 5 orang terdiri dari 3 pria dan 2 wanita dimana tidak boleh ada pasangan suami istri.
*). Agar tidak terdapat pasutri dari 5 orang yang kita pilih, maka :
-). pertama : kita pilih 2 wanita dulu, dengan $ C_2^8 = 28 \, $ cara
-). kedua : agar tidak ada pasutri, maka 2 pria yang menjadi pasangan 2 wanita yang telah kita pilih tadi tidak kita pilih dulu sehingga untuk pria ada 6 pilihan saja. Kita akan pilih 3 pria dari 6 pria tersedia yaitu $ C_3^6 = 20 \, $ cara.
-). total cara :
$ \begin{align} & = C_2^8 \times C_3^6 = 28 \times 20 = 560 \end{align} $
Jadi, ada 560 tim yang terbentuk $ . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan integral UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika D daerah dikuadran I yang dibatasi oleh parabola $ y^2 = 2x $ dan garis $ x - y = 4 $, maka luas D = ....
A). $ 40\sqrt{2} \, $ B). $ 40 \, $ C). $ \frac{64\sqrt{2}}{3} \, $ D). $ \frac{64}{3} \, $ E). $ 13\frac{1}{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva yaitu $x = f(y) $ dan $ x = g(y) $ dengan batas ada di sumbu Y yaitu $ a \leq y \leq b $ adalah $ \text{Luas } = \int \limits_a^b \, [ f(y) - g(y)] dx $
(kurva kanan $ - $ kurva kiri)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menggambar grafik :
-). Kurva $ y^2 = 2x \rightarrow x = \frac{1}{2}y^2 $
Karena persamaannya $ x = ay^2 $ , maka kurva menghadap kekanan dengan $ a = \frac{1}{2} > 0 $, serta memotong sumbu Y di $ x = 0 \rightarrow y^2 = 2.0 \rightarrow y = 0 $.
-). garis $ x - y = 4 \rightarrow x = y + 4 $ memotong sumbu-sumbu di $ (0,-4) $ dan $ (4,0) $. 

-). Titik potong kedua kurva :
substitusi garis $ x - y = 4 \rightarrow x = y + 4 $ ke parabola :
$ \begin{align} y^2 & = 2x \\ y^2 & = 2(y + 4) \\ y^2 -2y - 8 & = 0 \\ (y + 2)(y-4) & = 0 \\ y = -2 \vee y & = 4 \\ y = -2 \rightarrow x & = y + 4 \\ & = -2 + 4 = 2 \\ y = 4 \rightarrow x & = y + 4 \\ & = 4 + 4 = 8 \end{align} $
Sehingga titik potong kedua kurva : $ (2,-2) $ dan $ (8, 4) $.
*). Menentukan luas daerah yang diarsir :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \int \limits_0^4 [(y + 4) - \frac{1}{2}y^2 ] dy \\ & = [ \frac{1}{2}y^2 + 4y - \frac{1}{2}.\frac{1}{3}y^3 ]_0^4 \\ & = [\frac{1}{2}.4^2 + 4.4 - \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.4^3 ] - 0 \\ & = 8 + 16 - \frac{32}{3} = 24 - \frac{32}{3} \\ & = \frac{72}{3} - \frac{32}{3} = \frac{40}{3} = 13\frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ 13\frac{1}{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan integral UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika D daerah dikuadran I yang dibatasi oleh parabola $ y^2 = 2x $ dan garis $ x - y = 4 $, maka luas D = ....
A). $ 40\sqrt{2} \, $ B). $ 40 \, $ C). $ \frac{64\sqrt{2}}{3} \, $ D). $ \frac{64}{3} \, $ E). $ 13\frac{1}{3} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = f(x) $ dengan batas ada di sumbu X yaitu $ a \leq x \leq b $ adalah $ \text{Luas } = \int \limits_a^b \, f(x) dx $
*). Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva yaitu $ y = f(x) $ dan $ y = g(x) $ dengan batas ada di sumbu X yaitu $ a \leq x \leq b $ adalah $ \text{Luas } = \int \limits_a^b \, [ f(x) - g(x)] dx $
(kurva atas $ - $ kurva bawah)
*). RUmus integral : $ \int (ax)^n dx = \frac{1}{a}.\frac{1}{n+1}(ax)^{n+1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menggambar grafik :
-). Kurva $ y^2 = 2x \rightarrow y = (2x)^\frac{1}{2} $
Karena persamaannya $ x = ay^2 $ , maka kurva menghadap kekanan dengan $ a = \frac{1}{2} > 0 $, serta memotong sumbu Y di $ x = 0 \rightarrow y^2 = 2.0 \rightarrow y = 0 $.
-). garis $ x - y = 4 \rightarrow y = x - 4 $ memotong sumbu-sumbu di $ (0,-4) $ dan $ (4,0) $. 

-). Titik potong kedua kurva :
substitusi garis $ x - y = 4 \rightarrow x = y + 4 $ ke parabola :
$ \begin{align} y^2 & = 2x \\ y^2 & = 2(y + 4) \\ y^2 -2y - 8 & = 0 \\ (y + 2)(y-4) & = 0 \\ y = -2 \vee y & = 4 \\ y = -2 \rightarrow x & = y + 4 \\ & = -2 + 4 = 2 \\ y = 4 \rightarrow x & = y + 4 \\ & = 4 + 4 = 8 \end{align} $
Sehingga titik potong kedua kurva : $ (2,-2) $ dan $ (8, 4) $.
*). Untuk memudahkan penghitungan, kita bagi daerah D menjadi dua yaitu A dan B.
*). Menentukan luas daerah yang diarsir :
$ \begin{align} \text{Luas } & = \text{Luas A } + \text{ Luas B} \\ & = \int \limits_0^4 (2x)^\frac{1}{2} dx + \int \limits_4^8 [(2x)^\frac{1}{2} - (x - 4)] dx \\ & = \int \limits_0^4 (2x)^\frac{1}{2} dx + \int \limits_4^8 [(2x)^\frac{1}{2} - x + 4] dx \\ & = \frac{1}{2}.\frac{2}{3} (2x)^\frac{3}{2}|_0^4 + [ \frac{1}{2}.\frac{2}{3}(2x)^\frac{3}{2} - \frac{1}{2}x^2 + 4x]_4^8 \\ & = \frac{1}{3} (2x)^\frac{3}{2}|_0^4 + [ \frac{1}{3}(2x)^\frac{3}{2} - \frac{1}{2}x^2 + 4x]_4^8 \\ & = \frac{1}{3} (2.4)^\frac{3}{2}- 0 + [\frac{1}{3}(2.8)^\frac{3}{2} - \frac{1}{2}.8^2 + 4.8] - [\frac{1}{3}(2.4)^\frac{3}{2} - \frac{1}{2}.4^2 + 4.4] \\ & = \frac{1}{3} (2.4)^\frac{3}{2} + \frac{1}{3}(16)^\frac{3}{2} - 32 + 32 - \frac{1}{3}(2.4)^\frac{3}{2} + 8 - 16 \\ & = \frac{1}{3}.64 - 8 = \frac{64}{3} - \frac{24}{3} \\ & = \frac{40}{3} = 13\frac{1}{3} \end{align} $
Jadi, luasnya adalah $ 13\frac{1}{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Deret Aritmetika UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah tiga suku pertama barisan aritmetika adalah 27 dan jumlah lima buah suku pertama barisan tersebut adalah 85, maka suku ke-4 barisan tersebut adalah ....
A). $ 33 \, $ B). $ 25 \, $ C). $ 17 \, $ D). $ 41 \, $ E). $ 49 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika : $ U_n = a + (n-1)b $
*). Rumus $ S_n $ :
$ S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
dengan $ S_n = \, $ jumlah $ n $ suku pertama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
-). Jumlah tiga suku pertama barisan aritmetika = 27
$ \begin{align} S_3 & = 27 \\ \frac{3}{2}(2a + (3-1)b) & = 27 \\ \frac{3}{2}(2a + 2b) & = 27 \\ 3(a + b) & = 27 \\ a + b & = 9 \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \end{align} $
-). jumlah lima buah suku pertama barisan = 85
$ \begin{align} S_5 & = 85 \\ \frac{5}{2}(2a + (5-1)b) & = 85 \\ \frac{5}{2}(2a + 4b) & = 85 \\ 5(a + 2b) & = 85 \\ a + 2b & = 17 \, \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} a + 2b = 17 & \\ a + b = 9 & - \\ \hline b = 8 & \end{array} $
Pers(i) : $ a + b = 9 \rightarrow a + 8 = 9 \rightarrow a = 1 $
*). Menentukan suku ke-4 :
$ \begin{align} U_4 & = a + 3b \\ & = 1 + 3 \times 8 \\ & = 1 + 24 = 25 \end{align} $
Jadi, suku ke-4 adalah $ 25 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Geometri UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ U_n $ adalah suku ke-$n$ suatu barisan geometri, maka jumlah 4 suku pertama barisan tersebut sama dengan .....
A). $ \frac{u_1(u_1-u_4)}{u_1 - u_2 } \, $
B). $ \frac{u_1-u_4}{u_1 - u_2 } \, $
C). $ \frac{u_1(u_1+u_5)}{u_1 - u_2 } \, $
D). $ \frac{u_1(u_1-u_5)}{u_1 - u_2 } \, $
E). $ \frac{u_1-u_5}{u_1 - u_2 } \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan geometri : $ U_n = ar^{n-1} $
*). Rumus $ S_n $ :
$ S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan beberapa suku :
$ \begin{align} u_1 & = a \\ u_2 & = ar^{2-1} = ar \\ u_5 & = ar^{5-1} = ar^4 \end{align} $
*). Menentukan bentuk $ S_4 $ (jumlah 4 suku pertama) :
$ \begin{align} S_n & = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \\ S_4 & = \frac{a(1-r^4)}{1-r} \\ & = \frac{(a-ar^4)}{1-r} \times \frac{a}{a} \\ & = \frac{a(a-ar^4)}{a-ar} \\ & = \frac{u_1(u_1-u_5)}{u_1-u_2} \end{align} $
Jadi, jumlah 4 suku pertamnya adalah $ = \frac{u_1(u_1-u_5)}{u_1-u_2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Eksponen UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Penyelesaian pertaksamaan $ 4^{x-1} - 6. 2^{x-2} - 10 < 0 $ adalah ....
A). $ x < -1 + {}^2 \log 5 \, $
B). $ x < 2 + {}^2 \log 5 \, $
C). $ x < 1 + {}^2 \log 5 \, $
D). $ x < 1 - 2 \, {}^2 \log 5 \, $
E). $ x < 1 + 2 \, {}^2 \log 5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). SIfat Eksponen :
$ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} \, $ dan $ (a^m)^n = a^{m.n} $
*). SIfat logaritma : $ {}^a \log b.c = {}^a log b + {}^a \log c $
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $ atau $ a^c = b \rightarrow c = {}^a \log b $
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Menentukan akar-akar,
2). Buat garis bilangan dan tentukan tanda (+ atau $-$),
3). Arsir daerah yang diinginkan,
Jika $ > 0 $ , maka arsir positif,
Jika $ < 0 $ , maka arsir negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = 2^x > 0 \, $ (positif)
*). Menentukan akar-akarnya :
$ \begin{align} 4^{x-1} - 6. 2^{x-2} - 10 & < 0 \\ \frac{4^x}{4^1} - 6. \frac{2^x}{2^2} - 10 & < 0 \\ \frac{(2^x)^2}{4} - 6. \frac{2^x}{4} - 10 & < 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ (2^x)^2 - 6. 2^x - 40 & < 0 \\ p^2 - 6p - 40 & < 0 \\ (p+4)(p-10) & < 0 \\ p = -4 \vee p & = 10 \\ p = -4 \rightarrow 2^x & = -4 \, \, \, \text{(tidak memenuhi)} \\ p = 10 \rightarrow 2^x & = 10 \\ x & = {}^2 \log 10 \\ & = {}^2 \log 2 \times 5 \\ & = {}^2 \log 2 + {}^2 \log 5 \\ & = 1 + {}^2 \log 5 \end{align} $
Garis bilangannya .
 

Karena yang diminta $ < 0 $ , maka solusinya daerah yang negatif.
Sehingga solusinya : $ x < 1 + {}^2 \log 5 $ .
Jadi, penyelesaiannya adalah $ x < 1 + {}^2 \log 5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ akar-akar persamaan
$ \left( {}^5 \log (x+3) \right)^2 + 3 \, {}^5 \log ( x + 3) = {}^5 \log \frac{1}{25} $ ,
maka $ |x_1 - x_2 | = .... $
A). $ 0,12 \, $ B). $ 0,14 \, $ C). $ 0,16 \, $ D). $ 0,18 \, $ E). $ 0,20 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). SIfat logaritma : $ {}^a \log b^n = n . {}^a log b $
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = {}^5 \log (x + 3) $
*). Menentukan akar-akarnya :
$ \begin{align} \left( {}^5 \log (x+3) \right)^2 + 3 \, {}^5 \log ( x + 3) & = {}^5 \log \frac{1}{25} \\ \left(p \right)^2 + 3 p & = {}^5 \log 5^{-2} \\ p^2 + 3 p & = -2 . {}^5 \log 5 \\ p^2 + 3 p & = -2 \\ p^2 + 3 p + 2 & = 0 \\ (p+1)(p+2) & = 0 \\ p = -1 \vee p & = -2 \\ p= -1 \rightarrow {}^5 \log (x+3) & = -1 \\ (x+3) & = 5^{-1} \\ x_1 & = \frac{1}{5} + 3 = 3,2 \\ p= -2 \rightarrow {}^5 \log (x+3) & = -2 \\ (x+3) & = 5^{-2} \\ x_2 & = \frac{1}{25} + 3 = 3,04 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ |x_1 - x_2| $ :
$ \begin{align} |x_1 - x_2| & = |3,2 - 3,04 | = 0, 16 \end{align} $
Jadi, nilai $ |x_1 - x_2| = 0,16 . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan segitiga ABC dengan $ \angle ACB = 105^\circ $, $ \angle ABC = 45^\circ $, dan $ AB = \sqrt{2}+\sqrt{6} $ cm. Panjang sisi BC sama dengan ....
A). $ \sqrt{3} \, $ cm
B). $ \sqrt{6} \, $ cm
C). $ 2 \, $ cm
D). $ 3 \, $ cm
E). $ 2\sqrt{2} \, $ cm

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus dasar trigonometri :
$ \sin (x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $
*). Aturan sinus :
$ \frac{a}{\sin A } = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan besar sudut A pada segitga ABC dengan $ \angle B = 45^\circ $ dan $ \angle C = 105^\circ $ :
$ \begin{align} \text{jumlah sudut segitiga } & = 180^\circ \\ \angle A + \angle B + \angle C & = 180^\circ \\ \angle A + 45^\circ + 105^\circ & = 180^\circ \\ \angle A + 150^\circ & = 180^\circ \\ \angle A & = 30^\circ \end{align} $
*). Ilustrasi gambarnya :
 

*). Menentukan nilai $ \sin 105^\circ $ :
$ \begin{align} \sin 105^\circ & = \sin (60 ^\circ + 45^\circ ) \\ & = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{3}. \frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{6} + \frac{1}{4}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2} ) = \frac{1}{4}(\sqrt{2} + \sqrt{6} ) \end{align} $
*). Menentukan BC dengan aturan sinus :
$ \begin{align} \frac{BC}{\sin \angle A} & = \frac{AB}{\sin \angle C} \\ \frac{BC}{\sin 30^\circ } & = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\sin 105^\circ } \\ \frac{BC}{ \frac{1}{2} } & = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\frac{1}{4}(\sqrt{2} + \sqrt{6} )} \\ \frac{BC}{ \frac{1}{2} } & = \frac{1}{\frac{1}{4}} \\ \frac{BC}{ \frac{1}{2} } & = 4 \\ BC & = \frac{1}{2} \times 4 = 2 \end{align} $
Jadi, panjang BC $ = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Trigonometri UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to y } \frac{\tan x - \tan y}{\left(1 - \frac{x}{y}\right)(1 + \tan x. \tan y) } = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ y \, $ E). $ -y \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\tan f(x)}{f(x)} = 1 $
dengan syarat $ f(k) = 0 $
*). RUmus trigonometri :
$ \tan (x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x. \tan y} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to y } \frac{\tan x - \tan y}{\left(1 - \frac{x}{y}\right)(1 + \tan x. \tan y) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to y } \frac{\tan x - \tan y}{\left(\frac{y}{y} - \frac{x}{y}\right)(1 + \tan x. \tan y) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to y } \frac{\tan x - \tan y}{\left(\frac{y - x }{y} \right)(1 + \tan x. \tan y) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to y } \frac{1}{\left(\frac{y - x }{y} \right)} . \frac{\tan x - \tan y}{(1 + \tan x. \tan y) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to y } \frac{y}{y-x} . \tan (x - y) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to y } \frac{y}{-(x-y)} . \tan (x - y) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to y } -y . \frac{\tan (x - y)}{(x-y)} \\ & = -y . 1 = - y \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ -y . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Aljabar UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1 + x} - 1 }{\sqrt[3]{1+x} - 1} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ \frac{3}{2} \, $ E). $ \infty \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan limit bentuk tak tentu $ \frac{0}{0} $, bisa dengan cara L'Hopital (cara turunan).
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ solusinya $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
*). Turunan fungsi :
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[f(x)]^{n-1}. f^\prime (x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya :
$ y = \sqrt{1 + x} = (1+x)^\frac{1}{2} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}} $
$ y = \sqrt[3]{1 + x} = (1+x)^\frac{1}{3} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{3}(1+x)^{-\frac{2}{3}} $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1 + x} - 1 }{\sqrt[3]{1+x} - 1} \, \, \, \, \, \text{(turnan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}} }{\frac{1}{3}(1+x)^{-\frac{2}{3}}} \\ & = \frac{\frac{1}{2}(1+0)^{-\frac{1}{2}} }{\frac{1}{3}(1+0)^{-\frac{2}{3}}} \\ & = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{3}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Aljabar UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1 + x} - 1 }{\sqrt[3]{1+x} - 1} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ \frac{3}{2} \, $ E). $ \infty \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan limit bentuk tak tentu $ \frac{0}{0} $, bisa dengan cara merasionalkan.
*). Bentuk pemfaktoran :
1). $ (\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a}+1) = a - 1 $
2). $ (\sqrt[3]{a} - 1)((\sqrt[3]{a})^2 + \sqrt[3]{a} + 1) = a - 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1 + x} - 1 }{\sqrt[3]{1+x} - 1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1 + x} - 1 }{\sqrt[3]{1+x} - 1} \times \frac{\sqrt{1 + x} + 1 }{\sqrt{1 + x} + 1 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{(1 + x) - 1 }{(\sqrt{1 + x} + 1)(\sqrt[3]{1+x} - 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x}{(\sqrt{1 + x} + 1)(\sqrt[3]{1+x} - 1)} \times \frac{((\sqrt[3]{1 + x})^2 + \sqrt[3]{1 + x} + 1) }{((\sqrt[3]{1 + x})^2 + \sqrt[3]{1 + x} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x((\sqrt[3]{1 + x})^2 + \sqrt[3]{1 + x} + 1) }{(\sqrt{1 + x} + 1)((1+x) - 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x((\sqrt[3]{1 + x})^2 + \sqrt[3]{1 + x} + 1) }{(\sqrt{1 + x} + 1)x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{((\sqrt[3]{1 + x})^2 + \sqrt[3]{1 + x} + 1) }{(\sqrt{1 + x} + 1)} \\ & = \frac{((\sqrt[3]{1 + 0})^2 + \sqrt[3]{1 + 0} + 1) }{(\sqrt{1 + 0} + 1)} = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{3}{2} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan PK UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
AKar-akar persamaan $ 2x^2 + ax - 3 = 0 $ diketahui saling berkebalikan dengan akar-akar persamaan $ 3x^2 - 5x + 2b = 0 $. Nilai $ ab = .... $
A). $ -10 \, $ B). $ -5 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 10 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat(PK) $ ax^2 + bx + c = 0 $ dengan akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya berkebalikan dengan $ ax^2 + bx + c = 0 $ adalah $ cx^2 + bx + a = 0 $
($a$ dan $ c $ ditukar posisinya).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya berkebalikan dari persamaan kuadrat $ 2x^2 + ax - 3 = 0 $ adalah
$ \begin{align} -3x^2 + ax + 2 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 3x^2 - ax - 2 & = 0 \end{align} $
*). Bentuk $ 3x^2 - ax - 2 = 0 $ sama dengan $ 3x^2 - 5x + 2b = 0 $, sehingga :
$ -a = -5 \rightarrow a = 5 $
$ -2 = 2b \rightarrow b = -1 $
Sehingga nilai $ ab = 5. (-1) = -5 $
Jadi, nilai $ ab = -5. \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
AKar-akar persamaan $ 2x^2 + ax - 3 = 0 $ diketahui saling berkebalikan dengan akar-akar persamaan $ 3x^2 - 5x + 2b = 0 $. Nilai $ ab = .... $
A). $ -10 \, $ B). $ -5 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 10 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ dengan akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1. x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ 2x^2 + ax - 3 = 0 $ akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ :
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-a}{2} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{-3}{2} $
*). Karena berkebalikan, maka akar-akar dari $ 3x^2 - 5x + 2b = 0 $ adalah $ y_1 = \frac{1}{x_1} $ dan $ y_2 = \frac{1}{y_2} $.
-). Operasi akar-akar, dan kita gunakan persamaan kuadrat pertama :
Perkalian $ y_1.y_2 $ :
$ \begin{align} y_1.y_2 & = \frac{2b}{3} \\ \frac{1}{x_1}.\frac{1}{x_2} & = \frac{2b}{3} \\ \frac{1}{x_1.x_2} & = \frac{2b}{3} \\ \frac{1}{\frac{-3}{2}} & = \frac{2b}{3} \\ \frac{-2}{3} & = \frac{2b}{3} \\ -2 & = 2b \\ b & = -1 \end{align} $
Penjumlahan $ y_1 + y_2 $ :
$ \begin{align} y_1 + y_2 & = \frac{-(-5)}{3} \\ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} & = \frac{5}{3} \\ \frac{x_1 + x_2}{x_1.x_2} & = \frac{5}{3} \\ \frac{\frac{-a}{2}}{\frac{-3}{2}} & = \frac{5}{3} \\ \frac{a}{3} & = \frac{5}{3} \\ a & = 5 \end{align} $
Sehingga nilai $ ab = 5. (-1) = -5 $
Jadi, nilai $ ab = -5. \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Mutlak UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan semua nilai $ x $ yang memenuhi $ |x+8| - |3x - 4| \geq 0 $ adalah ....
A). $ \{ x| x \geq - 8 \} \, $
B). $ \{ x| x \leq \frac{4}{3} \} \, $
C). $ \{ x| -1 \leq x \leq 6 \} \, $
D). $ \{ x| -8 \leq x \leq \frac{4}{3} \} \, $
E). $ \{ x| x \leq -1 \, \text{ atau } \, x \geq 6 \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x= - 8 \Rightarrow |x+8| - |3x - 4| & \geq 0 \\ |-8+8| - |3.(-8) - 4| & \geq 0 \\ |0| - |-36| & \geq 0 \\ 0 - (36) & \geq 0 \\ -36 & \geq 0 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x= -8 $ SALAH, opsi yang salah A, B, D, dan E.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi C (yang tersisa).
Jadi, penyelesaiannya $ \{ x| -1 \leq x \leq 6 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Mutlak UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan semua nilai $ x $ yang memenuhi $ |x+8| - |3x - 4| \geq 0 $ adalah ....
A). $ \{ x| x \geq - 8 \} \, $
B). $ \{ x| x \leq \frac{4}{3} \} \, $
C). $ \{ x| -1 \leq x \leq 6 \} \, $
D). $ \{ x| -8 \leq x \leq \frac{4}{3} \} \, $
E). $ \{ x| x \leq -1 \, \text{ atau } \, x \geq 6 \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). SIfat pertidaksamaan mutlak :
$ |A| \geq |B| \rightarrow A^2 \geq B^2 $
*). Pemfaktoran : $ A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar dengan sifat pertidaksamaan mutlak :
$ \begin{align} |x+8| - |3x - 4| & \geq 0 \\ |x+8| & \geq |3x - 4| \, \, \, \, \, \, \text{(sifat mutlak)} \\ (x+8)^2 & \geq (3x - 4)^2 \\ (x+8)^2 - (3x - 4)^2 & \geq 0 \\ [(x+8)+(3x - 4) ] & [(x+8) - (3x - 4)] \geq 0 \\ [4x + 4 ][-2x + 12] & \geq 0 \\ x = -1 \vee x = 6 \end{align} $
Garis bilangan :
 

Karena yang diminta $ \geq 0 $ , maka solusinya yang positif.
Sehingga solusinya : $ -1 \leq x \leq 6 $
Jadi, nilai $ x $ adalah $ -1 \leq x \leq 6 . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui vektor $ \vec{u} = (2, -1, 1) $ dan $ \vec{v} = (-1,1,-1)$. $ \vec{w} $ vektor yang panjangnya satu, tegak lurus pada $ \vec{u} $ dan tegak lurus pada $ \vec{v} $ adalah ....
A). $ ( 0,0,1) $
B). $ \left(0, \frac{1}{2}\sqrt{2}, \frac{1}{2}\sqrt{2} \right) $
C). $ \left( 0, -\frac{1}{2}\sqrt{2}, \frac{1}{2}\sqrt{2} \right) $
D). $ \left( -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) $
E). $ \left( \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3} \right) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan ada vektor $ \vec{u} = (u_1, u_2, u_3) $ dan $ \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) $
-). Panjang vektro $ \vec{u} = | \vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} $
-). Perkalian silang $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ :
$ \vec{u} \times \vec{v} = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{matrix} \right| $
-). Pada perkalian silang :
Lambang $ |A| = \, $ determinan matriks A (Cara Sarrus)
*). Vektor $ \vec{w} $ yang tegak lurus $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ :
$ \vec{w} = \frac{1}{| \vec{u} \times \vec{v}| } (\vec{u} \times \vec{v}) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ \vec{u} \times \vec{v} $ :
$ \begin{align} \vec{u} \times \vec{v} & = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{matrix} \right| \\ & = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{matrix} \right| \\ & = (i -j + 2k) - (k -2j + i) \\ & = j + k = (0, 1, 1) \end{align} $
*). Menentukan panjang $ \vec{u} \times \vec{v} = (0,1,1) $ :
$ \begin{align} |\vec{u} \times \vec{v} | & = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \end{align} $
*). Menentukan vektor $\vec{w} $ :
$ \begin{align} \vec{w} & = \frac{1}{| \vec{u} \times \vec{v}| } (\vec{u} \times \vec{v}) \\ & = \frac{1}{\sqrt{2} } (0,1,1) \\ & = \frac{1}{2 } \sqrt{2} (0,1,1) \\ & = \left( 0,\frac{1}{2 } \sqrt{2} , \frac{1}{2 } \sqrt{2} \right) \end{align} $
Jadi, vektor $ \vec{w} = \left( 0,\frac{1}{2 } \sqrt{2} , \frac{1}{2 } \sqrt{2} \right) . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Pada kubus ABCD.EFGH, titik P pada AE dengan 3AP = PE, dan $ \alpha $ adalah sudut antara PH dan BC. Nilai $ \sin \alpha $ adalah ....
A). $ \frac{2}{\sqrt{10}} \, $ B). $ \frac{4}{\sqrt{41}} \, $ C). $ \frac{2}{3} \, $ D). $ \frac{3}{4} \, $ E). $ \frac{3}{5} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Dua garis akan membentu sudut jika keduanya berpotongan. Jika kedua garis belum berpotongan, geser salah satu garis sejajar dengan garis awalnya sehingga memotong garis yang lainnya.
*). Rumus dasar perbandingan trigonometri :
$ \sin \alpha = \frac{depan}{miring} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar, misalkan panjang rusuk kubus = 4 :
 

-). Agar garis PH dan BC berptongan, kita geser garis BC sehingga berimpit dengan garis PQ dimana PQ tetap sejajar dengan BC. Sudut yang terbentuk antara PH dan BC adalah $ \angle HPQ = \alpha $.
-). Diketahui $ 3AP = PE \rightarrow \frac{AP}{PE} = \frac{1}{3} $
$ QH = PE = 3 $ dan $ PQ = AD = 4 $.
-). Panjang PH pada segitiga siku-siku PQH,
$ PH = \sqrt{PQ^2 + QH^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 $
*). Menentukan nilai $ \sin \alpha $ :
$ \begin{align} \sin \alpha & = \frac{QH}{PH} = \frac{3}{5} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \alpha = \frac{3}{5} . \, \heartsuit $

Pembahasan Lingkaran UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui sebuah lingkaran L : $ x^2 + y^2 + y - 24 = 0 $. Jika melalui titik P(1,6) dibuat garis singgung pada L, maka jarak dari P ke titik singgung tadi adalah ....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan Lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Titik pusat $ = (a,b) = \left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2} \right) $
Jari-jari : $ r^2 = a^2 + b^2 - C $
*). Jarak dua titik $ A(x_1,y_1) $ dan $ B (x_2,y_2) $ :
jarak $ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + y - 24 = 0 $
$ A = 0 , B = 1 $ dan $ C = -24 $
-). Titik pusat $ (a,b) $ :
$ (a,b) = \left( -\frac{0}{2}, -\frac{1}{2} \right) = \left( 0, -\frac{1}{2} \right) $
-). Jari-jari $ ( r) $ :
$ r^2 = 0^2 + \left(-\frac{1}{2} \right)^2 - (-24) = \frac{1}{4} + 24 = \frac{97}{4} $
*). Ilustrasi gambar :
 

-). Dari gambar, melalui titik P dibuat garis singgung lingkaran yaitu garis $ k $ dan garis $ l $. Titik singgung garis $ k $ pada lingkaran adalah titik B. Sehingga jarak titik P ke titik singgungnya adalah jarak P ke B atau panjang PB.
*). Perhatikan segitiga PAB siku-siku di B.
-). Panjang PA = jarak P ke A :
$ \begin{align} PA^2 & = (1-0)^2 + (6 - (-\frac{1}{2}))^2 \\ & = 1 + (\frac{13}{2})^2 = 1 + \frac{169}{4} = \frac{173}{4} \end{align} $
-). Panjang AB $ = r \rightarrow AB^2 = r^2 = \frac{97}{4}$
-). Panjang PB dengan pythagoras pada segitiga PAB:
$ \begin{align} PB & = \sqrt{PA^2 - AB^2} \\ & = \sqrt{ \frac{173}{4} - \frac{97}{4} } = \sqrt{\frac{76}{4}} = \sqrt{19} \end{align} $
Jadi, jarak P ke titik singgungnya adalah $ \sqrt{19} . \, \heartsuit $
(Tidak ada jawaban).

Soal dan Pembahasan UM UGM 2004 Matematika IPA


Nomor 1
Diketahui sebuah lingkaran L : $ x^2 + y^2 + y - 24 = 0 $. Jika melalui titik P(1,6) dibuat garis singgung pada L, maka jarak dari P ke titik singgung tadi adalah ....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
Nomor 2
Pada kubus ABCD.EFGH, titik P pada AE dengan 3AP = PE, dan $ \alpha $ adalah sudut antara PH dan BC. Nilai $ \sin \alpha $ adalah ....
A). $ \frac{2}{\sqrt{10}} \, $ B). $ \frac{4}{\sqrt{41}} \, $ C). $ \frac{2}{3} \, $ D). $ \frac{3}{4} \, $ E). $ \frac{3}{5} \, $
Nomor 3
Diketahui vektor $ \vec{u} = (2, -1, 1) $ dan $ \vec{v} = (-1,1,-1)$. $ \vec{w} $ vektor yang panjangnya satu, tegak lurus pada $ \vec{u} $ dan tegak lurus pada $ \vec{v} $ adalah ....
A). $ ( 0,0,1) $
B). $ \left(0, \frac{1}{2}\sqrt{2}, \frac{1}{2}\sqrt{2} \right) $
C). $ \left( 0, -\frac{1}{2}\sqrt{2}, \frac{1}{2}\sqrt{2} \right) $
D). $ \left( -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) $
E). $ \left( \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3} \right) $
Nomor 4
Himpunan semua nilai $ x $ yang memenuhi $ |x+8| - |3x - 4| \geq 0 $ adalah ....
A). $ \{ x| x \geq - 8 \} \, $
B). $ \{ x| x \leq \frac{4}{3} \} \, $
C). $ \{ x| -1 \leq x \leq 6 \} \, $
D). $ \{ x| -8 \leq x \leq \frac{4}{3} \} \, $
E). $ \{ x| x \leq -1 \, \text{ atau } \, x \geq 6 \} \, $
Nomor 5
AKar-akar persamaan $ 2x^2 + ax - 3 = 0 $ diketahui saling berkebalikan dengan akar-akar persamaan $ 3x^2 - 5x + 2b = 0 $. Nilai $ ab = .... $
A). $ -10 \, $ B). $ -5 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 10 \, $

Nomor 6
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1 + x} - 1 }{\sqrt[3]{1+x} - 1} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ \frac{3}{2} \, $ E). $ \infty \, $
Nomor 7
$ \displaystyle \lim_{x \to y } \frac{\tan x - \tan y}{\left(1 - \frac{x}{y}\right)(1 + \tan x. \tan y) } = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ \frac{3}{2} \, $ E). $ \infty \, $
Nomor 8
Diberikan segitiga ABC dengan $ \angle ACB = 105^\circ $, $ \angle ABC = 45^\circ $, dan $ AB = \sqrt{2}+\sqrt{6} $ cm. Panjang sisi BC sama dengan ....
A). $ \sqrt{3} \, $ cm
B). $ \sqrt{6} \, $ cm
C). $ 2 \, $ cm
D). $ 3 \, $ cm
E). $ 2\sqrt{2} \, $ cm
Nomor 9
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ akar-akar persamaan
$ \left( {}^5 \log (x+3) \right)^2 + 3 \, {}^5 \log ( x + 3) = {}^5 \log \frac{1}{25} $ ,
maka $ |x_1 - x_2 | = .... $
A). $ 0,12 \, $ B). $ 0,14 \, $ C). $ 0,16 \, $ D). $ 0,18 \, $ E). $ 0,20 \, $
Nomor 10
Penyelesaian pertaksamaan $ 4^{x-1} - 6. 2^{x-2} - 10 < 0 $ adalah ....
A). $ x < -1 + {}^2 \log 5 \, $
B). $ x < 2 + {}^2 \log 5 \, $
C). $ x < 1 + {}^2 \log 5 \, $
D). $ x < 1 - 2 \, {}^2 \log 5 \, $
E). $ x < 1 + 2 \, {}^2 \log 5 \, $

Nomor 11
Jika $ U_n $ adalah suku ke-$n$ suatu barisan geometri, maka jumlah 4 suku pertama barisan tersebut sama dengan .....
A). $ \frac{u_1(u_1-u_4)}{u_1 - u_2 } \, $
B). $ \frac{u_1-u_4}{u_1 - u_2 } \, $
C). $ \frac{u_1(u_1+u_5)}{u_1 - u_2 } \, $
D). $ \frac{u_1(u_1-u_5)}{u_1 - u_2 } \, $
E). $ \frac{u_1-u_5}{u_1 - u_2 } \, $
Nomor 12
Jumlah tiga suku pertama barisan aritmetika adalah 27 dan jumlah lima buah suku pertama barisan tersebut adalah 85, maka suku ke-4 barisan tersebut adalah ....
A). $ 33 \, $ B). $ 25 \, $ C). $ 17 \, $ D). $ 41 \, $ E). $ 49 $
Nomor 13
Jika D daerah dikuadran I yang dibatasi oleh parabola $ y^2 = 2x $ dan garis $ x - y = 4 $, maka luas D = ....
A). $ 40\sqrt{2} \, $ B). $ 40 \, $ C). $ \frac{64\sqrt{2}}{3} \, $ D). $ \frac{64}{3} \, $ E). $ 13\frac{1}{3} \, $
Nomor 14
Dari 8 pasangan suami-istri akan dibentuk tim beranggotakan 5 orang teridiri dari 3 pria dan 2 wanita dengan ketentuan tak boleh ada pasangan suami-istri. Banyaknya tim yang dapat dibentuk adalah ....
A). $ 56 \, $ B). $ 112 \, $ C). $ 336 \, $ D). $ 560 \, $ E). $ 672 \, $
Nomor 15
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ akar-akar persamaan $ x^2 + kx + k = 0 $ , maka nilai $ k $ yang menjadikan $ x_1^3 + x_2^3 \, $ mencapai maksimum adalah ....
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $