Tampilkan postingan dengan label matipa um ugm tahun 2010. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label matipa um ugm tahun 2010. Tampilkan semua postingan

2010 Pembahasan Invers Matriks UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika matriks $ V = \left[ \begin{matrix} -7 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 2^p & 2^p - 4 \\ 2 & -2^p \end{matrix} \right] $ tidak mempunyai invers, maka nilai $ 2p^2 - 18 = ... $
A). $ -10 \, $ B). $ 14 \, $ C). $ -16 \, $ D). $ 18 \, $ E). $ 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Matriks :
*). Suatu matriks tidak mempunyai invers,
Syaratnya : Determinannya = 0
*). Sifat Determinan : $|A.B| = |A|. |B| $
*). Determinan matriks A disimbolkan $ |A| $.
$ A = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \rightarrow |A| = ad -bc $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Matriks $ V $ tidak punya invers, maka $ |V| = 0 $ .
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} V = \left[ \begin{matrix} -7 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 2^p & 2^p - 4 \\ 2 & -2^p \end{matrix} \right] & \\ |V| & = 0 \\ \left| \left[ \begin{matrix} -7 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 2^p & 2^p - 4 \\ 2 & -2^p \end{matrix} \right] \right| & = 0 \\ \left| \begin{matrix} -7 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right| \left| \begin{matrix} 2^p & 2^p - 4 \\ 2 & -2^p \end{matrix} \right| & = 0 \\ (-7.1 - 2.0) . [2^p.(-2^p) - 2.(2^p - 4)] & = 0 \\ -7[-(2^p)^2 - 2.(2^p) + 8 ] & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 7)} \\ -[-(2^p)^2 - 2.(2^p) + 8 ] & = 0 \\ (2^p)^2 + 2.(2^p) - 8 & = 0 \\ (2^p - 2)(2^p + 4) & = 0 \\ 2^p = 2 \vee 2^p & = -4 \end{align} $
Bentuk $ 2^p = -4 $ tidak memenuhi karena nilai $ 2^p $ selalu positif.
Bentuk $ 2^p = 2 \rightarrow p = 1 $.
Sehingga nilai $ 2p^2 - 18 = 2.1^2 - 18 = -16 $.
Jadi, nilai $ 2p^2 - 18 = -16 . \, \heartsuit $



2010 Pembahasan Ruang Lingkup UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah suku-suku pertama dan kedua barisan geometri dengan rasio 3, yang nilainya merupakan akar-akar persamaan kuadrat $ x^2 - 16x + (5k+3) = 0 $ . Syarat agar $ x_1 , x_2, k+y $ merupakan barisan aritmetika adalah $ y = .... $
A). $ 9 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 11 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 13 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Barisan Geometri : Rasio $ = \frac{U_2}{U_1} $
*). Persamaan keadrat : $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} , \, x_1.x_2 = \frac{c}{a} , \, $ dan $ x_1 -x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $
*). Barisan Aritmetika : Selisih sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
$ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah $ U_1 $ dan $ U_2 $ dengan $ r = 3 $.
$ r = \frac{U_2}{U_1} \rightarrow 3 = \frac{x_2}{x_1} \rightarrow x_2 = 3x_1 \, $ ....(i)
*). PK : $ x^2 - 16x + (5k+3) = 0 $ akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-(-16)}{1} \\ x_1 + x_2 & = 16 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \\ x_1 .x_2 & = \frac{c}{a} = \frac{5k+3}{1} \\ x_1 .x_2 & = 5k+3 \, \, \, \, \, \, \, \text{....(iii)} \end{align} $
*). Substitusi (i) ke (ii) :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = 16 \\ x_1 + 3x_1 & = 16 \\ 4x_1 & = 16 \\ x_1 & = 4 \\ x_2 & = 3x_1 = 3.4 = 12 \end{align} $
Dari pers(iii):
$ x_1.x_2 = 5k+3 \rightarrow 4.12 = 5k+3 \rightarrow k = 9 $
*). Barisan aritmetikanya : $ x_1, \, x_2, \, k + y $
yaitu $ 4, \, 12, \, 9 + y $ .
Ciri-ciri barisan aritmetika : Selisih sama
$\begin{align} 9 + y - 12 & = 12 - 4 \\ y - 3 & = 8 \\ y & = 11 \end{align} $
Jadi, nilai $ y = 11 . \, \heartsuit $



2010 Pembahasan Peluang UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Enam kursi melingkari sebuah meja. Kursi tersebut akan diduduki 5 anak terdiri dari 3 perempuan dan 2 laki-laki. Jika kursi yang kosong diapit oleh anak laki-laki dan perempuan, maka banyaknya susunan cara duduk adalah ....
A). $ 648 \, $ B). $ 564 \, $ C). $ 432 \, $ D). $ 288 \, $ E). $ 216 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Permutasi Siklis
*). Banyak susunan duduk melingkar $ n $ orang $ = (n-1)! $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan kursi yang kosong adalah kursi nomor 1, artinya ada 6 kemungkinan kursi yang kosong (ada 6 cara).
*). Agar dijamin kursi nomor 1 diapit oleh laki-laki dan perempuan, maka kita blok tiga kursi menjadi 1 bagian (anggap menjadi satu kursi), sehingga sekarang ada 4 kursi melingkar seperti gambar berikut ini.

Caranya $ = (4-1)! = 3! = 3.2.1 = 6 \, $ cara.
*). Didalam yang kita blok juga bisa diatur susunan duduknya, yaitu laki-laki ada 2 pilihan dan perempuan ada 3 pilihan, kemudian mereka juga bisa kita tukar posisinya, sehingga ada $ = 3.2.2 = 12 \, $ cara.
*). Total Cara :
$ = 6 . 6. 12 = 432 \, $ cara.
Jadi, ada 432 susunan cara duduk $ . \, \heartsuit $



2010 Pembahasan Turunan UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ f(x) = g\left( x - \sqrt{6x-2} \right) $. Jika $ f^\prime (3) = 6 $ , maka $ g^\prime (-1) = .... $
A). $ 12 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 20 \, $ D). $ 24 \, $ E). $ 28 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Turunan
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x) }{2\sqrt{f(x)}} $
$ y = g[f(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime (x) . g^\prime [f(x)] $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunannya dan $ f^\prime (3) = 6 $ dan $ g^\prime (-1) = ....? $ :
$\begin{align} f(x) & = g\left( x - \sqrt{6x-2} \right) \, \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ f^\prime (x) & = \left( 1 - \frac{6}{2\sqrt{6x-2} } \right) g^\prime \left( x - \sqrt{6x-2} \right) \\ f^\prime (x) & = \left( 1 - \frac{3}{\sqrt{6x-2} } \right) g^\prime \left( x - \sqrt{6x-2} \right) \\ x = 3 \rightarrow f^\prime (x) & = \left( 1 - \frac{3}{\sqrt{6x-2} } \right) g^\prime \left( x - \sqrt{6x-2} \right) \\ f^\prime (3) & = \left( 1 - \frac{3}{\sqrt{6.3-2} } \right) g^\prime \left( 3 - \sqrt{6.3-2} \right) \\ f^\prime (3) & = \left( 1 - \frac{3}{\sqrt{16} } \right) g^\prime \left( 3 - \sqrt{16} \right) \\ f^\prime (3) & = \left( 1 - \frac{3}{4} \right) g^\prime \left( 3 - 4 \right) \\ f^\prime (3) & = \frac{1}{4} . g^\prime \left( -1 \right) \\ 6 & = \frac{1}{4} . g^\prime \left( -1 \right) \\ g^\prime (-1) & = 6 \times \frac{4}{1} = 24 \end{align} $
Jadi, nilai $ g^\prime (-1) = 24 . \, \heartsuit $



2010 Cara 2 Pembahasan Limit Trigonometri UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right)\tan \left( x + \frac{\pi}{4} \right) $ adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -1 \, $ E). $ -2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). \sifat Limit Trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{\sin f(x)}{\tan f(x)} = 1 $ ,
dengan syarat : $ f(k) = 0 $
*). Rumus Dasar Trigonometri :
$ \tan f(x) = \frac{1}{\cot f(x) } $
Sudut Komplemen : $ \cot A = \tan (\frac{\pi}{2} - A) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk $ \tan \left( x + \frac{\pi}{4} \right) $ :
$\begin{align} \tan \left( x + \frac{\pi}{4} \right) & = \frac{1}{\cot \left( x + \frac{\pi}{4} \right) } \\ & = \frac{1}{\tan \left( \frac{\pi}{2} - ( x + \frac{\pi}{4} ) \right) } \\ & = \frac{1}{\tan \left( \frac{\pi}{4} - x \right) } \end{align} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right)\tan \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) . \frac{1}{\tan \left( \frac{\pi}{4} - x \right) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \frac{\sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) }{\tan \left( \frac{\pi}{4} - x \right) } \\ & = 1 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 1 . \, \heartsuit $



2010 Pembahasan Limit Trigonometri UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right)\tan \left( x + \frac{\pi}{4} \right) $ adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -1 \, $ E). $ -2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penerapan Turunan pada Limit :
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ , maka solusinya $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $ .
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \sin f(x) \rightarrow y^\prime = f^\prime (x) \cos f(x) $
$ y = \cos f(x) \rightarrow y^\prime = -f^\prime (x) \sin f(x) $
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \tan f(x) = \frac{\sin f(x)}{\cos f(x) } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan trigonometrinya :
$ y = \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) \rightarrow y^\prime = - \cos \left( \frac{\pi}{4} - x \right) $
$ y = \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \rightarrow y^\prime = - \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right)\tan \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) \frac{\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) }{ \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \frac{\sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) }{ \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \times \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \frac{\sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) }{ \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) } \, \, \, \, \, \, \text{(turunan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \times \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \frac{- \cos \left( \frac{\pi}{4} - x \right)}{ - \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) } \\ & = \sin \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right) \times \frac{ \cos \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \right)}{ \sin \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right) } \\ & = \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) \times \frac{ \cos \left( 0 \right)}{ \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) } \\ & = 1 \times \frac{ 1}{ 1 } = 1 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 1 . \, \heartsuit $



2010 Pembahasan Barisan Geometri UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Sebuah deret geometri mempunyai suku ke-5 dengan nilai 48 dan jumlah nilai suku ke-3 dan ke-4 adalah $ -12 $. Jumlah empat suku pertama deret ini adalah ....
A). $ -6 \, $ B). $ -9 \, $ C). $ -10 \, $ D). $ -15 \, $ E). $ -18 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar barisan dan deret geometri
$ U_n = ar^{n-1} \, $ dan $ S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun Persamaan :
$\begin{align} U_5 = 48 \rightarrow ar^4 & = 48 \\ ar^2 & = \frac{48}{r^2} \, \, \, \, \, \text{...(i)} \\ U_3 + U_4 = -12 \rightarrow ar^2 + ar^3 & = -12 \\ ar^2(1 + r) & = -12 \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Substitusi (i) ke (ii) :
$\begin{align} ar^2(1 + r) & = -12 \\ \frac{48}{r^2}. (1 + r) & = -12 \, \, \, \, \, \text{(bagi 12)} \\ \frac{4}{r^2}. (1 + r) & = -1 \\ 4 + 4r & = -r^2 \\ r^2 + 4r + 4 & = 0 \\ (r+2)^2 & = 0 \\ r & = -2 \end{align} $
Pers(i) : $ ar^4 = 48 \rightarrow a.(-2)^4 = 48 \rightarrow a = 3 $
*). Menentukan nilai $ S_4 $ :
$\begin{align} S_n & = \frac{a(r^n-1)}{r-1} \\ S_4 & = \frac{3((-2)^4-1)}{-2-1} \\ & = \frac{3.(15)}{-3} = -15 \end{align} $
Jadi, jumlah empat suku pertamanya adalah $ -15 . \, \heartsuit $



2010 Pembahasan Persamaan Logaritma UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \alpha $ dan $ \beta $ penyelesaian persamaan $ {}^2 \log \left({}^2 \log (x+7) + 1\right) = {}^2 \log \left( {}^2 \log x + {}^2 \log (x-3) \right) $, maka $ \alpha + \beta = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Logaritma
*). Sifat Logartima :
$ {}^a \log (bc) = {}^a \log b + {}^a \log c $
*). Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Persamaan kuadrat : $ ax^2 + bx + c = 0 $
Jumlah akar-akar : $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Persamaan logaritmanya :
$\begin{align} {}^2 \log \left({}^2 \log (x+7) + 1\right) & = {}^2 \log \left( {}^2 \log x + {}^2 \log (x-3) \right) \\ {}^2 \log (x+7) + 1 & = {}^2 \log x + {}^2 \log (x-3) \\ {}^2 \log (x+7) + {}^2 \log 2 & = {}^2 \log x(x-3) \\ {}^2 \log 2(x+7) & = {}^2 \log x(x-3) \\ 2(x+7) & = x(x-3) \\ 2x + 14 & = x^2 - 3x \\ x^2 - 5x - 14 & = 0 \\ \end{align} $
*). Persamaan kuadrat $ x^2 - 5x - 14 = 0 $ memiliki akar-akar $ \alpha $ dan $ \beta $ , sehingga :
$ \begin{align} \alpha + \beta & = \frac{-b}{a} = \frac{-(-5)}{1} = 5 \end{align} $
Jadi, nilai $ \alpha + \beta = 5 . \, \heartsuit $

$\spadesuit $ Catatan :
*). Dari bentuk $ {}^2 \log \left({}^2 \log (x+7) + 1\right) = {}^2 \log \left( {}^2 \log x + {}^2 \log (x-3) \right) $ , maka syarat nilai $ x $ haruslah positif, sehingga jika kita cari akar-akar persamaan $ x^2 - 5x - 14 = 0 $ yaitu :
$ \begin{align} x^2 - 5x - 14 & = 0 \\ (x + 2)(x - 7) & = 0 \\ x = -2 \vee x & = 7 \end{align} $
*). Karena nilai $ x $ positif, maka yang memenuhi hanya $ x = 7 $. Sehingga hanya ada satu akar yang memenuhi dan penjumlahannya juga hasilnya adalah 7, artinya tidak ada jawaban pada optionnya.
Jadi, dapat disimpulkan bahwa jawaban akhirnya adalah 7.



2010 Cara 2 Pembahasan Fungsi Logaritma UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = \frac{{}^4 \log x}{1 - 2.{}^4 \log x} $ , maka $ f(2a) + f\left( \frac{2}{a} \right) = .... $
A). $ - a \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ a $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Logaritma
*). Sifat-sifat Logartima :
$ {}^a \log 1 = 0 \, $ dan $ {}^a \log a = 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dari soal $ f(2a) + f\left( \frac{2}{a} \right) $ , artinya nilai $ a $ bebas kita ganti dengan angka berapapun, kita pilih $ a = 2 $.
Diketahui fungsinya : $ f(x) = \frac{{}^4 \log x}{1 - 2.{}^4 \log x} $
$\begin{align} f(2a) + f\left( \frac{2}{a} \right) & = f(2.2) + f\left( \frac{2}{2} \right) \\ & = f(4) + f(1) \\ & = \frac{{}^4 \log 4}{1 - 2.{}^4 \log 4} + \frac{{}^4 \log 1}{1 - 2.{}^4 \log 1} \\ & = \frac{1}{1 - 2.1} + \frac{0}{1 - 2.0} \\ & = \frac{1}{-1} + 0 \\ & = -1 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(2a) + f\left( \frac{2}{a} \right) = -1 . \, \heartsuit $



2010 Pembahasan Fungsi Logaritma UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ f(x) = \frac{{}^4 \log x}{1 - 2.{}^4 \log x} $ , maka $ f(2a) + f\left( \frac{2}{a} \right) = .... $
A). $ - a \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ a $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Logaritma
*). Sifat-sifat Logartima :
$ {}^a \log (bc) = {}^a \log b + {}^a \log c $
$ {}^a \log \frac{b}{c} = {}^a \log b - {}^a \log c $
$ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} . {}^a \log b $
Sehingga $ {}^4 \log 2 = {{}^2}^2 \log 2 = \frac{1}{2} {}^2 \log 2 = \frac{1}{2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ f(2a) $ dengan $ f(x) = \frac{{}^4 \log x}{1 - 2.{}^4 \log x} $
$\begin{align} f(2a) & = \frac{{}^4 \log 2a}{1 - 2.{}^4 \log 2a} \\ & = \frac{{}^4 \log 2 + {}^4 \log a}{1 - 2.({}^4 \log 2 + {}^4 \log a)} \\ & = \frac{\frac{1}{2} + {}^4 \log a}{1 - 2.(\frac{1}{2} + {}^4 \log a)} \\ & = \frac{\frac{1}{2} + {}^4 \log a}{1 - 1 - 2 {}^4 \log a } \\ & = \frac{\frac{1}{2} + {}^4 \log a}{ - 2 {}^4 \log a } \\ & = \frac{-\frac{1}{2} - {}^4 \log a}{ 2 {}^4 \log a } \end{align} $
*). Menentukan nilai $ f(\frac{2}{a}) $ dengan $ f(x) = \frac{{}^4 \log x}{1 - 2.{}^4 \log x} $
$\begin{align} f(2a) & = \frac{{}^4 \log \frac{2}{a}}{1 - 2.{}^4 \log \frac{2}{a}} \\ & = \frac{{}^4 \log 2 - {}^4 \log a}{1 - 2.({}^4 \log 2 - {}^4 \log a)} \\ & = \frac{\frac{1}{2} - {}^4 \log a}{1 - 2.(\frac{1}{2} - {}^4 \log a)} \\ & = \frac{\frac{1}{2} - {}^4 \log a}{1 - 1 + 2 {}^4 \log a } \\ & = \frac{\frac{1}{2} - {}^4 \log a}{ 2 {}^4 \log a } \end{align} $
*). Menentukan nilai $ f(2a) + f(\frac{2}{a}) $ :
$\begin{align} f(2a) + f\left( \frac{2}{a} \right) & = \frac{-\frac{1}{2} - {}^4 \log a}{ 2 {}^4 \log a } + \frac{\frac{1}{2} - {}^4 \log a}{ 2 {}^4 \log a } \\ & = \frac{ - 2{}^4 \log a}{ 2 {}^4 \log a } \\ & = -1 \end{align} $
Jadi, nilai $ f(2a) + f\left( \frac{2}{a} \right) = -1 . \, \heartsuit $



2010 Pembahasan Selisih Akar UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui persamaan kuadrat $ px^2 + 5x + p = 0 $ memiliki akar-akar positif. Jika selisih kuadrat akar-akar tersebut bernilai $ \frac{15}{4} $ , maka akar-akar tersebut adalah ....
A). $ 1 \, $ dan $ 2 $ B). $ \frac{1}{2} \, $ dan $ 1 $
C). $ \frac{1}{2} \, $ dan $ 2 $ D). $ 1 \, $ dan $ -2 $
E). $ 1 \, $ dan $ \frac{5}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat (PK)
*). PK $ ax^2 + bx + c = 0 $ mempunyai akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ :
Operasi penjulahan :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1 - x_2 = \frac{\sqrt{D}}{a} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ px^2 + 5x + p = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ dengan $ a = p , \, b = 5 \, $ dan $ c = p $
*). Menentukan nilai $ p $ :
$\begin{align} \text{Selisih kuadrat } & = \frac{15}{4} \\ x_1^2 - x_2^2 & = \frac{15}{4} \\ (x_1+x_2)(x_1-x_2) & = \frac{15}{4} \\ \frac{-b}{a} \times \frac{\sqrt{D}}{a} & = \frac{15}{4} \\ \frac{-5}{p} \times \frac{\sqrt{5^2 - 4.p.p}}{p} & = \frac{15}{4} \\ \frac{-5\sqrt{25 - 4p^2}}{p^2} & = \frac{15}{4} \, \, \, \, \, \text{(bagi 5)} \\ \frac{-\sqrt{25 - 4p^2}}{p^2} & = \frac{3}{4} \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\frac{-\sqrt{25 - 4p^2}}{p^2})^2 & = (\frac{3}{4})^2 \\ \frac{25 - 4p^2 }{p^4} & = \frac{9}{16} \\ 16(25 - 4p^2 ) & = 9p^4 \\ 400 - 64p^2 & = 9p^4 \\ 9p^4 + 64p^2 - 400 & = 0 \\ (9p^2+100)(p^2 - 4) & = 0 \\ p^2 = -\frac{100}{9} \vee p^2 & = 4 \end{align} $
$ p^2 = -\frac{100}{9} \, $ tidak memenuhi karena $ p^2 $ hasilnya selalu positif.
$ p^2 = 4 \rightarrow p = \pm 2 $
*). Akar-akar PK positif, sehingga :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-5}{p} $ harus bernilai positif jika $ p = -2 $. Sehingga nilai $ p $ yang kita pakai adalah $ p = -2 $.
*). Menentukan akar-akarnya :
$\begin{align} p = -2 \rightarrow px^2 + 5x + p & = 0 \\ -2x^2 + 5x -2 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 2x^2 - 5x +2 & = 0 \\ (2x - 1)(x - 2) & = 0 \\ x = \frac{1}{2} \vee x & = 2 \end{align} $
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = \frac{1}{2} \vee x = 2 . \, \heartsuit $



2010 Pembahasan Persamaan Kuadrat UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Salah satu akar persamaan $ ax^2 - (a+5)x + 8 = 0 $ adalah dua kali akar yang lainnya. Apabila $ a_1 $ dan $ a_2 $ nilai-nilai yang cocok untuk $ a $, maka $ a_1 + a_2 = .... $
A). $ 10 \, $ B). $ 15 \, $ C). $ 19 \, $ D). $ 26 \, $ E). $ 32 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat (PK)
*). PK $ ax^2 + bx + c = 0 $ mempunyai akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ :
Operasi penjulahan :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ ax^2 - (a+5)x + 8 = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ dengan $ x_1 = 2x_2 $ (salah satu akar adalah dua akar yang lainnya).
*). Menyusun persamaan :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} \\ x_1 + x_2 & = \frac{-[-(a+5)]}{a} \\ x_1 + x_2 & = \frac{a + 5}{a} \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align} $
*). Substitusi $ x_1 = 2x_2 $ ke pers(i) :
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{a + 5}{a} \\ 2x_2 + x_2 & = \frac{a + 5}{a} \\ 3x_2 & = \frac{a + 5}{a} \\ x_2 & = \frac{a + 5}{3a} \end{align} $
*). Substitusikan $ x_2 = \frac{a + 5}{3a} $ ke PK :
$ \begin{align} ax^2 - (a+5)x + 8 & = 0 \\ a\left( \frac{a + 5}{3a} \right)^2 - (a+5)\left( \frac{a + 5}{3a} \right) + 8 & = 0 \\ a\left( \frac{a^2 + 10a + 25}{9a^2} \right) - \left( \frac{a^2 + 10a + 25}{3a} \right) + 8 & = 0 \\ \left( \frac{a^2 + 10a + 25}{9a } \right) - \left( \frac{a^2 + 10a + 25}{3a} \right) + 8 & = 0 \\ (a^2 + 10a + 25) - 3(a^2 + 10a + 25) + 8.9a & = 0 \\ -2a^2 + 52a - 50 & = 0 \\ 2a^2 - 52a + 50 & = 0 \end{align} $
*). PK $ 2a^2 - 52a + 50 = 0 $ memiliki akar-akar $ a_1 $ dan $ a_2 $ :
$ \begin{align} a_1 + a_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-(-52)}{2} = 26 \end{align} $
Jadi, nilai $ a_1 + a_2 = 26 . \, \heartsuit $



2010 Cara 2 Pembahasan Dimensi Tiga UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH, dengan panjang rusuk $ a $, titik P pada perpanjangan DH sehingga $ DP = 2DH $. Jarak titik F ke bidang PAC adalah ....
A). $ \frac{2a}{3} \, $ B). $ \frac{1}{2}a\sqrt{2} \, $ C). $ \frac{1}{2}a\sqrt{3} \, $ D). $ a \, $ E). $ \frac{3a}{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Teorema Pythagoras :
Misalkan segitiga siku-siku ABC dengan $ a $ dan $ b $ masing-masing sisi siku-sikunya serta $ c $ adalah sisi miringnya, maka berlaku teorema pythagoras yaitu :
$ c^2 = a^2 + b^2 $.

$\clubsuit $ Pembahasan Cara 2 :
*). Misalkan ternyata segitiga FPO buka segitiga siku-siku, maka cara pertama (menggunakan perbandingan luas) tidak bisa kita terapkan. Sehingga kita terapkan cara kedua berikut ini.
*). Ilustrasi gambar :
 

Jarak titik F ke bidang PAC sama dengan jarak F ke garis PO yaitu panjang FM.
*). Untuk perhitungan lainnya secara lengkap silahkan teman-teman baca Cara pertama.
*). Menentukan panjang $ x $ dari $\Delta PFM $ dan $ \Delta OFM $ :
$ \begin{align} FM^2 \, pada \, \Delta PFM & = FM^2 \, pada \, \Delta OFM \\ PF^2 - PM^2 & = FO^2 - MO^2 \\ (a\sqrt{3})^2 - x^2 & = (\frac{1}{2}a\sqrt{6})^2 - (\frac{3}{2}a\sqrt{2} - x)^2 \\ 3a^2 - x^2 & = \frac{6}{4}a^2 -(\frac{18}{4}a^2 - 3ax\sqrt{2} + x^2) \\ 3a^2 - x^2 & = \frac{6}{4}a^2 - \frac{18}{4}a^2 + 3ax\sqrt{2} - x^2 \\ 3a^2 & = - \frac{12}{4}a^2 + 3ax\sqrt{2} \\ 3a^2 & = - 3a^2 + 3ax\sqrt{2} \\ 3ax\sqrt{2} & = 6a^2 \\ x & = \frac{6a^2}{3a\sqrt{2}} = \frac{2a}{\sqrt{2}} = a\sqrt{2} \end{align} $
*). Menentukan panjang FM dari $\Delta PFM $ :
$ \begin{align} FM^2 & = PF^2 - PM^2 \\ FM & = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 - (a\sqrt{2})^2 } \\ & = \sqrt{3a^2 - 2a^2 } \\ & = \sqrt{a^2 } = a \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ a . \, \heartsuit $



2010 Pembahasan Dimensi Tiga UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui kubus ABCD.EFGH, dengan panjang rusuk $ a $, titik P pada perpanjangan DH sehingga $ DP = 2DH $. Jarak titik F ke bidang PAC adalah ....
A). $ \frac{2a}{3} \, $ B). $ \frac{1}{2}a\sqrt{2} \, $ C). $ \frac{1}{2}a\sqrt{3} \, $ D). $ a \, $ E). $ \frac{3a}{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Teorema Pythagoras :
Misalkan segitiga siku-siku ABC dengan $ a $ dan $ b $ masing-masing sisi siku-sikunya serta $ c $ adalah sisi miringnya, maka berlaku teorema pythagoras yaitu :
$ c^2 = a^2 + b^2 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

Jarak titik F ke bidang PAC sama dengan jarak F ke garis PO yaitu panjang FM.
*). Segitiga POD :
$\begin{align} PO & = \sqrt{PD^2 + DO^2} \\ & = \sqrt{(2a)^2 + (\frac{1}{2}a\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{4a^2 + \frac{2}{4}a^2} \\ & = \sqrt{\frac{18}{4}a^2} = \frac{3}{2}a\sqrt{2} \end{align} $
*). Segitiga FBO :
$\begin{align} FO &= \sqrt{FB^2 + BO^2} \\ &= \sqrt{a^2 + (\frac{1}{2}a\sqrt{2})^2} \\ &= \sqrt{a^2 + \frac{2}{4}a^2} \\ &= \sqrt {\frac{6}{4}a^2} = \frac{1}{2}a\sqrt{6} \end{align} $
*). Segitiga FPH :
$ \begin{align} FP & = \sqrt{HP^2 + HF^2} \\ & = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} \\ & = \sqrt{a^2 + 2a^2} = a\sqrt{3} \end{align} $
*). Perhatikan segitiga FPO, apakah siku-siku di F? kita cek dengan teorema Pythagoras :
$ \begin{align} PO^2 & = PF^2 + FO^2 \\ (\frac{3}{2}a\sqrt{2})^2 & = (a\sqrt{3})^2 + (\frac{1}{2}a\sqrt{6})^2 \\ \frac{18}{4}a^2 & = 3a^2 + \frac{6}{4}a^2 \\ \frac{18}{4}a^2 & = \frac{12}{4}a^2 + \frac{6}{4}a^2 \\ \frac{18}{4}a^2 & = \frac{18}{4}a^2 \, \, \, \, \, \text{(BENAR)} \end{align} $
Sehingga segitiga FPO siku-siku di F.
*). Menentukan panjang FM dengan Luas segitiga :
$ \begin{align} \text{Luas FPO alas PO} & = \text{ Luas FPO alas FO} \\ \frac{1}{2}. PO.FM & = \frac{1}{2}.FO . FP \\ PO.FM & = FO . FP \\ FM & = \frac{FO.FP}{FO} \\ & = \frac{\frac{1}{2}a\sqrt{6}. a\sqrt{3}}{\frac{3}{2}a\sqrt{2}} \\ & = \frac{a\sqrt{18}}{3\sqrt{2}} = \frac{a.3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = a \end{align} $
Jadi, jaraknya adalah $ a . \, \heartsuit $



2010 Pembahasan Persamaan Matriks UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui matriks $ X = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] $
dan $ P = \left[ \begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 6 \end{matrix} \right] $ , serta $ PX = P^{-1} $. Nilai $ a + b + c + d = .... $
A). $\frac{11}{4} \, $ B). $ 95 \, $ C). $\frac{95}{4} \, $ D). $-\frac{95}{4} \, $ E). $-\frac{11}{4} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Matriks
*). Invers matriks
$ A = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\left[ \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right] $
*). Persamaan matriks : $ AX=B \rightarrow X = B.A^{-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan invers matriks P :
$\begin{align} P & = \left[ \begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 6 \end{matrix} \right] \\ P^{-1} & = \frac{1}{1.6 - 4.2} \left[ \begin{matrix} 6 & -4 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right] \\ & = \frac{1}{-2} \left[ \begin{matrix} 6 & -4 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right] \end{align} $
*). Menentukan matriks $ X $ :
$\begin{align} PX & = P^{-1} \\ X & = P^{-1} . P^{-1} \\ & = \frac{1}{-2} \left[ \begin{matrix} 6 & -4 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right] . \frac{1}{-2} \left[ \begin{matrix} 6 & -4 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right] \\ & = \frac{1}{-2} .\frac{1}{-2}\left[ \begin{matrix} 6 & -4 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right] . \left[ \begin{matrix} 6 & -4 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right] \\ & = \frac{1}{4}\left[ \begin{matrix} 44 & -28 \\ -14 & 9 \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} 11 & -7 \\ -\frac{7}{2} & \frac{9}{4} \end{matrix} \right] \end{align} $
*). Menentukan nilai $ a + b + c + d $ :
$ \begin{align} a + b + c + d & = 11 + (-7) + (-\frac{7}{2}) + \frac{9}{4} \\ & = \frac{44 - 28 - 14 + 9}{4} \\ & = \frac{11}{4} \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b + c + d = \frac{11}{4} . \, \heartsuit $



2010 Pembahasan Vektor UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Vektor $\vec{u} = (x, y, 1) $ sejajar $ \vec{v} = (-1,3,z) $. Jika $ \vec{u} $ tegak lurus $ (3,-2,3) $ , maka $ y = .... $
A). $ 3 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{1}{3} \, $ D). $ -\frac{1}{3} \, $ E). $ -1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Vektor
*). Jika $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ tegak lurus, maka $ \vec{a}.\vec{b} = 0 $
*). Misalkan $ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) $ dan $ \vec{b} =(b_1,b_2,b_3) $ .
Perkalian dot : $ \vec{a}.\vec{b} = a_1.b_1 + a_2.b_2 + a_3.b_3 $
*). Jika $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ sejajar, maka $ \vec{a} = n \vec{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan vektor $ \vec{w} = (3,-2,3) $ yaitu vektor pada soal.
*). $ \vec{u} $ tegak lurus $ \vec{w} $ sehingga :
$\begin{align} \vec{u}.\vec{w} & = 0 \\ x.3+y.(-2)+1.3 & = 0 \\ 3x - 2y + 3 & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). $ \vec{u} $ sejajar $ \vec{v} $ sehingga :
$\begin{align} \vec{u} & = n\vec{v} \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix} \right) & = n \left( \begin{matrix} -1 \\ 3 \\ z \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x \\ y \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -n \\ 3n \\ zn \end{matrix} \right) \end{align} $
Kita peroleh : $ x = -n , \, y = 3n \, $ dan $ zn = 1 $.
*). Substitusi $ x = -n , \, y = 3n \, $ ke pers(i) :
$ \begin{align} 3x - 2y + 3 & = 0 \\ 3(-n) - 2.(3n) + 3 & = 0 \\ -3n - 6n + 3 & = 0 \\ -9n + 3 & = 0 \\ -9n & = -3 \\ n & = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3} \end{align} $
Sehingga nilai $ y = 3n = 3 . \frac{1}{3} = 1 $ .
Jadi, nilai $ y = 1 . \, \heartsuit $



2010 Pembahasan Trigonometri UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \tan 2\alpha = 4 \sin \alpha \cos \alpha \, $ untuk $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \, $ , maka $ \cos \alpha = .... $
A). $\frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ B). $\frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $-\frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ E). $-\frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Rumus-rumus dasar trigonmetri :
$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $
$ \sin 2x = 2\sin x \cos x $
$ \cos 2x = 2\cos ^2 x - 1 $
*). Bentuk pecahan : $ \frac{a}{b} = c \rightarrow b = \frac{a}{c} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan soal :
$\begin{align} \tan 2\alpha & = 4 \sin \alpha \cos \alpha \\ \frac{\sin 2x}{\cos 2x} & = 4 \sin \alpha \cos \alpha \\ \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha }{2\cos ^2 x - 1} & = 4 \sin \alpha \cos \alpha \\ 2\cos ^2 x - 1 & = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha }{4 \sin \alpha \cos \alpha } \\ 2\cos ^2 x - 1 & = \frac{1}{2} \\ 2\cos ^2 x & = \frac{1}{2} + 1 \\ 2\cos ^2 x & = \frac{3}{2} \\ \cos ^2 x & = \frac{3}{4} \\ \cos x & = \pm \sqrt{\frac{3}{4} } = \pm \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align} $
*). Karena $ \alpha $ pada interval $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \, $ (kuadran II) , maka nilai $ \cos \alpha \, $ bernilai negatif. Sehingga nilai $ \cos \alpha = - \frac{1}{2}\sqrt{3} $.
Jadi, nilai $ \cos \alpha = - \frac{1}{2}\sqrt{3} . \, \heartsuit $



2010 Cara 2 Pembahasan Lingkaran UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Syarat agar garis $ ax + y = 0 $ menyinggung lingkaran dengan pusat $(-1,3)$ dan jari-jari 1 adalah $ a = .... $
A). $ \frac{3}{2} \, $ B). $ \frac{4}{3} \, $ C). $ \frac{3}{4} \, $ D). $ \frac{2}{3} \, $ E). $ \frac{1}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jarak titik $(m,n) $ ke garis $ ax + by + c = 0 $ yaitu :
Jarak $ = \left| \frac{a.m + b.n + c }{\sqrt{a^2 + b^2}} \right| $
*). Lingkaran menyinggung suatu garis, maka jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik pusat ke garis yang disinggung oleh lingkaran.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Lingkaran dengan pusat $(-1,3) $ dan $ r = 1 $ menyinggung garis $ ax + y = 0 $, sehingga :
$\begin{align} \text{Jari-jari } & = \text{ Jarak puat ke garis } ax + y = 0 \\ r & = \left| \frac{a.(-1) + 3}{\sqrt{a^2 + 1^2}} \right| \\ 1 & = \left| \frac{-a + 3}{\sqrt{a^2 + 1 }} \right| \\ \sqrt{a^2 + 1} & = (-a+3) \, \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\sqrt{a^2 + 1})^2 & = (-a+3)^2 \\ a^2 + 1 & = a^2 - 6a + 9 \\ 6a & = 8 \\ a & = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ a = \frac{4}{3} . \, \heartsuit $



2010 Pembahasan Lingkaran UTUL UGM Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Syarat agar garis $ ax + y = 0 $ menyinggung lingkaran dengan pusat $(-1,3)$ dan jari-jari 1 adalah $ a = .... $
A). $ \frac{3}{2} \, $ B). $ \frac{4}{3} \, $ C). $ \frac{3}{4} \, $ D). $ \frac{2}{3} \, $ E). $ \frac{1}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran dengan pusat $(a,b) $ dan jari-jari $ r $ :
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Syarat Garis menyinggung lingkaran : $ D = 0 $
dengan $ D = b^2 - 4ac $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan lingkaran :
dengan pusat $(a,b) = (-1,3) $ dan $ r = 1 $,
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-(-1))^2 + (y-3)^2 & = 1^2 \\ (x+1)^2 + (y-3)^2 & = 1 \end{align} $
*). Substitusi persamaan garis $ ax + y = 0 \rightarrow y = -ax $ ke persamaan lingkaran :
$ \begin{align} (x+1)^2 + (y-3)^2 & = 1 \\ (x+1)^2 + (-ax-3)^2 & = 1 \\ x^2 + 2x + 1 + a^2x^2 + 6ax + 9 & = 1 \\ (a^2 + 1)x^2 + (6a+2)x + 9 & = 0 \end{align} $ .
*). Syarat bersinggungan : $ D = 0 $
$\begin{align} b^2 - 4ac & = 0 \\ (6a+2)^2 - 4(a^2+1).9 & = 0 \\ 36a^2 + 24a + 4 - 36a^2 - 36 & = 0 \\ 24a - 32 & = 0 \\ 24a & = 32 \\ a & = \frac{32}{24} = \frac{4}{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ a = \frac{4}{3} . \, \heartsuit $



Soal dan Pembahasan UTUL UGM Matematika IPA tahun 2010


Nomor 1
Syarat agar garis $ ax + y = 0 $ menyinggung lingkaran dengan pusat $(-1,3)$ dan jari-jari 1 adalah $ a = .... $
A). $ \frac{3}{2} \, $ B). $ \frac{4}{3} \, $ C). $ \frac{3}{4} \, $ D). $ \frac{2}{3} \, $ E). $ \frac{1}{4} $
Nomor 2
Jika $ \tan 2\alpha = 4 \sin \alpha \cos \alpha \, $ untuk $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \, $ , maka $ \cos \alpha = .... $
A). $\frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ B). $\frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $-\frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ E). $-\frac{1}{2} $
Nomor 3
Vektor $\vec{u} = (x, y, 1) $ sejajar $ \vec{v} = (-1,3,z) $. Jika $ \vec{u} $ tegak lurus $ (3,-2,3) $ , maka $ y = .... $
A). $ 3 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \frac{1}{3} \, $ D). $ -\frac{1}{3} \, $ E). $ -1 $
Nomor 4
Diketahui matriks $ X = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] $
dan $ P = \left[ \begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 6 \end{matrix} \right] $ , serta $ PX = P^{-1} $. Nilai $ a + b + c + d = .... $
A). $\frac{11}{4} \, $ B). $ 95 \, $ C). $\frac{95}{4} \, $ D). $-\frac{95}{4} \, $ E). $-\frac{11}{4} \, $
Nomor 5
Diketahui kubus ABCD.EFGH, dengan panjang rusuk $ a $, titik P pada perpanjangan DH sehingga $ DP = 2DH $. Jarak titik F ke bidang PAC adalah ....
A). $ \frac{2a}{3} \, $ B). $ \frac{1}{2}a\sqrt{2} \, $ C). $ \frac{1}{2}a\sqrt{3} \, $ D). $ a \, $ E). $ \frac{3a}{2} \, $

Nomor 6
Salah satu akar persamaan $ ax^2 - (a+5)x + 8 = 0 $ adalah dua kali akar yang lainnya. Apabila $ a_1 $ dan $ a_2 $ nilai-nilai yang cocok untuk $ a $, maka $ a_1 + a_2 = .... $
A). $ 10 \, $ B). $ 15 \, $ C). $ 19 \, $ D). $ 26 \, $ E). $ 32 \, $
Nomor 7
Diketahui persamaan kuadrat $ px^2 + 5x + p = 0 $ memiliki akar-akar positif. Jika selisih kuadrat akar-akar tersebut bernilai $ \frac{15}{4} $ , maka akar-akar tersebut adalah ....
A). $ 1 \, $ dan $ 2 $ B). $ \frac{1}{2} \, $ dan $ 1 $
C). $ \frac{1}{2} \, $ dan $ 2 $ D). $ 1 \, $ dan $ -2 $
E). $ 1 \, $ dan $ \frac{5}{2} $
Nomor 8
Jika $ f(x) = \frac{{}^4 \log x}{1 - 2.{}^4 \log x} $ , maka $ f(2a) + f\left( \frac{2}{a} \right) = .... $
A). $ - a \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ a $
Nomor 9
Jika $ \alpha $ dan $ \beta $ penyelesaian persamaan $ {}^2 \log \left({}^2 \log (x+7) + 1\right) = {}^2 \log \left( {}^2 \log x + {}^2 \log (x-3) \right) $, maka $ \alpha + \beta = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $
Nomor 10
Sebuah deret geometri mempunyai suku ke-5 dengan nilai 48 dan jumlah nilai suku ke-3 dan ke-4 adalah $ -12 $. Jumlah empat suku pertama deret ini adalah ....
A). $ -6 \, $ B). $ -9 \, $ C). $ -10 \, $ D). $ -15 \, $ E). $ -18 $

Nomor 11
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4} } \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right)\tan \left( x + \frac{\pi}{4} \right) $ adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -1 \, $ E). $ -2 $
Nomor 12
Diketahui $ f(x) = g\left( x - \sqrt{6x-2} \right) $. Jika $ f^\prime (3) = 6 $ , maka $ g^\prime (-1) = .... $
A). $ 12 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 20 \, $ D). $ 24 \, $ E). $ 28 $
Nomor 13
Enam kursi melingkari sebuah meja. Kursi tersebut akan diduduki 5 anak terdiri dari 3 perempuan dan 2 laki-laki. Jika kursi yang kosong diapit oleh anak laki-laki dan perempuan, maka banyaknya susunan cara duduk adalah ....
A). $ 648 \, $ B). $ 564 \, $ C). $ 432 \, $ D). $ 288 \, $ E). $ 216 $
Nomor 14
Diketahui $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah suku-suku pertama dan kedua barisan geometri dengan rasio 3, yang nilainya merupakan akar-akar persamaan kuadrat $ x^2 - 16x + (5k+3) = 0 $ . Syarat agar $ x_1 , x_2, k+y $ merupakan barisan aritmetika adalah $ y = .... $
A). $ 9 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 11 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 13 $
Nomor 15
Jika matriks $ V = \left[ \begin{matrix} -7 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 2^p & 2^p - 4 \\ 2 & -2^p \end{matrix} \right] $ tidak mempunyai invers, maka nilai $ 2p^2 - 18 = ... $
A). $ -10 \, $ B). $ 14 \, $ C). $ -16 \, $ D). $ 18 \, $ E). $ 0 $