Tampilkan postingan dengan label sbmptn mat dasar. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label sbmptn mat dasar. Tampilkan semua postingan

Soal dan Pembahasan SBMPTN Kode 347 Matematika Dasar tahun 2016


Nomor 1
Misalkan $ m $ dan $ n $ adalah bilangan bulat dan merupakan akar-akar persamaan $ x^2 + ax - 30 = 0 $ , maka nilai $ a $ agar $ m + n $ maksimum adalah ....
A). $ 30 \, $ B). $ 29 \, $ C). $ 13 \, $ D). $ -29 \, $ E). $ -31 $
Nomor 2
Jika $ A^{2x} = 2 $, maka $ \frac{A^{5x} - A^{-5x}}{A^{3x} + A^{-3x} } = .... $
A). $\frac{31}{18} \, $ B). $\frac{31}{9} \, $ C). $ \frac{32}{18} \, $ D). $ \frac{33}{9} \, $ E). $ \frac{33}{18} $
Nomor 3
Suatu garis yang melalui titik $(0,0)$ membagi persegipanjang dengan titik-titik sudut (1,2), (5,0), (1,12), dan (5,12) menjadi dua bagian yang sama luas. Gradien garis tersebut adalah ....
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ \frac{12}{5} \, $ E). $ 3 $
Nomor 4
Semua nilai $ x $ yang memenuhi $ \frac{3}{x} - \frac{3}{x+3} \geq 0 \, $ adalah ....
A). $ x < 0 \, $ B). $ -3 \leq x \leq 0 \, $ C). $ -3 < x < 0 \, $
D). $ x < -3 \, $ atau $ x > 0 \, $ E). $ x \leq -3 \, $ atau $ x \geq 0 \, $
Nomor 5
Jika grafik fungsi $ y = x^2 - (9+a)x + 9a \, $ diperoleh dari grafik fungsi $ y = x^2 - 2x - 3 \, $ melalui pencerminan terhadap garis $ x = 4 $ , maka $ a = .... $
A). $ 7 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ -5 \, $ E). $ -7 \, $

Nomor 6
Tujuh finalis lomba menyanyi tingkat SMA di suatu kota berasal dari 6 SMA yang berbeda terdiri atas empat pria dan tiga wanita. Diketahui satu pria dan satu wanita berasal dari SMA "A". Jika urutan tampil diatur bergantian antara pria dan wanita, serta finalis dari SMA "A" tidak tampil berurutan, maka susunan urutan tampil yang mungkin ada sebanyak ....
A). $ 144 \, $ B). $ 108 \, $ C). $ 72 \, $ D). $ 36 \, $ E). $ 35 $
Nomor 7
Jika $ f(x) = x + 2a - b \, $ dan $ g(x) = 2bx + 2 $, serta $ 4f(0) = 3g(1) $ , maka $ 4a - 5b = .... $
A). $ 3 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -1 \, $ E). $ -3 $

Nomor 8
Jika fungsi $ f $ dan $ g $ mempunyai invers dan memenuhi $ f(x + 2) = g(x-3) $, maka $ f^{-1}(x) = .... $
A). $ g^{-1}(x) + 5 \, $ B). $ g^{-1}(x + 5) \, $
C). $ g^{-1}(5x) \, $ D). $ g^{-1}(x-5) \, $
E). $ g^{-1}(x) - 5 $
Nomor 9
Jika $ \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)B \left( \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right) $ dan $ \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)B \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right) $ , maka $ B \left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \end{matrix} \right) = .... $
A). $ \left( \begin{matrix} -1 \\ 0 \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} -1 \\ 1 \end{matrix} \right) \, $
C). $ \left( \begin{matrix} 1 \\ -2 \end{matrix} \right) \, $ D). $ \left( \begin{matrix} -2 \\ 1 \end{matrix} \right) \, $
E). $ \left( \begin{matrix} -2 \\ 2 \end{matrix} \right) $
Nomor 10
Pada suatu barisan aritmetika dengan suku-suku berbeda, jumlah suku ke-1, ke-3, dan ke-5 sama dengan jumlah suku ke-2 dan ke-4. Jika suku ke-10 sama dengan kuadrat suku ke-4, maka suku ke-13 adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 10 \, $ D). $ 70 \, $ E). $ 91 $

Nomor 11
Titik X, Y, Z terletak pada segitiga ABC dengan $ AZ = AY, \, $ $ BZ = BX, \, $ dan $ CX = CY \, $ seperti pada gambar. Jika AB, AC, dan BC berturut-turut adalah 4 cm, 3 cm, dan 5 cm, maka luas segitiga CXY adalah .... cm$^2$.
A). $ \frac{6}{5} \, $ B). $ \frac{8}{5} \, $ C). $ \sqrt{3} \, $ D). $ 2\sqrt{3} \, $ E). $ 4 $
Nomor 12
Jangkauan dan rata-rata nilai ujian 6 siswa berturut-turut adalah 10 dan 6. Jika median data tersebut adalah 6 dan selisih kuatil ke-1 dan ke-3 adalah 6, maka jumlah dua nilai ujian terendah adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 8 $
Nomor 13
Diketahui $ f(x) = ax^2 + b $. Jika $ f(2b) - f(b) = 3 $, dan $ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(bx)}{x-1} = 2 $, maka $ a + b = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $
E). $ 2 $
Nomor 14
Jika $ 2x + 3y = 12, \, 3x - 2y = 5, \, $ $ ax + by = 16 $ , dan $ ax - by = 8 $, maka $ a - b = .... $
A). $ -6 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 6 $
Nomor 15
Semua bilangan real $ x $ yang memenuhi $ x - 1 < \frac{2}{|x|} \, $ adalah ....
A). $ x < 1 \, $ B). $ x < 0 \, $ C). $ x > 0 \, $
D). $ x < 0 \, $ atau $ 0 < x < 2 \, $
E). $ -1 < x < 0 \, $ atau $ 0 < x < 2 \, $


Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 624 tahun 2015


Nomor 1
Jika $ \sqrt{a+3} = \sqrt{a} + 1 , \, $ maka $ \sqrt{a+1} = ... $
$\clubsuit \, $ Kuadratkan bentuk akar kedua ruas
$\begin{align} \sqrt{a+3} & = \sqrt{a} + 1 \\ (\sqrt{a+3})^2 & = (\sqrt{a} + 1)^2 \\ a + 3 & = a + 2\sqrt{a} + 1 \\ 2\sqrt{a} & = 2 \\ \sqrt{a} & = 1 \\ a & = 1 \end{align}$
Jadi, diperoleh $ \sqrt{a+1} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} . \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ k+24, \, k, \, $ dan $ k-6 \, $ berturut-turut merupakan suku pertama, ketiga, dan kelima suatu barisan geometri dengan semua suku positif, maka jumlah suku kedua dan suku keempat barisan tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $ u_n = ar^{n-1} $
$\spadesuit \, $ Diketahui : $ u_1 = k+24, \, u_3= k, \, u_5 = k-6 $
Barisan geometri dengan suku berurutan, misalkan $ u_1,u_2,u_3, \, $ atau $ u_3,u_4,u_5, \, $ atau $ u_1, u_3, u_5, \, $ atau $ u_2, u_5, u_8 , \, $ dan lainnya pasti memiliki perbandingan yang sama.
Perbandingannya sama : suku-suku $u_1, u_3, u_5 $
$\begin{align} \frac{u_3}{u_1} & = \frac{u_5}{u_3} \\ (u_3)^2 & = u_1 .u_5 \\ (k)^2 & = (k+24)(k-6) \\ k^2 & = k^2 + 18k - 24 \times 6 \\ 18k & = 24 \times 6 \\ k & = \frac{24 \times 6}{18} = 8 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dan $ r $
$ a = u_1 = k + 24 = 8 + 24 = 32 $
$ u_3 = k \rightarrow ar^2 = 8 \rightarrow 32.r^2 = 8 \rightarrow r = \frac{1}{2} $
$\spadesuit \, $ Menentukan suku kedua dan keempat
$\begin{align} u_2 & = ar = 32 . \frac{1}{2} = 16 \\ u_4 & = ar^3 = 32. (\frac{1}{2})^3 = 4 \end{align} $
Sehingga nilai : $ u_2 + u_4 = 16 + 4 = 20 $
Jadi, jumlah suku kedua dan keempat adalah 20. $ \heartsuit $
Nomor 3
Diketahui persegi panjang ABCD. Jika panjang BE = panjang EF = panjang FC = 5 cm dan panjang DG = panjang GH = panjang HC = 3 cm, maka luas daerah yang diarsir adalah .... cm$^2$
sbmptn_matdas_1_k624_2015.png
$\clubsuit \, $ gambarnya
sbmptn_matdas_1a_k624_2015.png
$\clubsuit \, $ Konsep Luas segitiga
Apapun bentuk segitiganya, luas adalah setengah kali alas kali tinggi.
Tinggi segitiga adalah jarak alas ke titik sudut paling atas segitiga yang tegaklurus.
$\clubsuit \, $ Menentukan luas arsiran
$\begin{align} L_{\Delta AEF} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.EF.AB \\ & = \frac{1}{2}.5.9 = \frac{45}{2} \\ L_{\Delta AGH} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.GH.AD \\ & = \frac{1}{2}.3.15 = \frac{45}{2} \\ L_\text{arsiran} & = L_{\Delta AEF} + L_{\Delta AGH} \\ & = \frac{45}{2} + \frac{45}{2} \\ & = 45 \end{align}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 45. $ \heartsuit $
Nomor 4
Diketahui $ {}^2 \log p = \frac{1}{3} \, $ dan $ {}^3 \log q = \frac{1}{2}. \, $ Jika $ x = p^2 \, $ dan $ y = q^3, \, $ maka $ {}^x \log y = ..... $
$\spadesuit \, $ Definisi logaritma : $ {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c $
Sifat logaritma : $ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $
$\spadesuit \, $ Sifat Eksponen : $ (a^m)^n = a^{m.n} $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soalnya
$\begin{align} {}^2 \log p & = \frac{1}{3} \rightarrow p = 2^\frac{1}{3} \\ {}^3 \log q & = \frac{1}{2} \rightarrow q = 3^\frac{1}{2} \\ x & = p^2 = (2^\frac{1}{3})^2 =2^\frac{2}{3} \\ y & = q^3 = (3^\frac{1}{2})^3 = 3^\frac{3}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} {}^x \log y & = {{}^2}^\frac{2}{3} \log 3^\frac{3}{2} \\ & = (\frac{3}{2} : \frac{2}{3}) . {}^2 \log 3 \\ & = (\frac{3}{2} \times \frac{3}{2}) . {}^2 \log 3 \\ & = \frac{9}{4}. {}^2 \log 3 \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^x \log y = \frac{9}{4} ({}^2 \log 3) . \heartsuit $
Nomor 5
Diagram di bawah ini menyajikan data (dalam bilangan bulat) nilai sementara dan nilai ujian ulang mahasiswa peserta kuliah Matematika. Ujian ulang diikuti hanya oleh peserta kuliah tersebut dengan nilai sementara lebih kecil daripada 6. Jika yang dinyatakan lulus kuliah adalah mahasiswa yang memperoleh nilai sementara tidak lebih kecil daripada 6 atau nilai ujian ulangnya adalah 6, maka rata-rata nilai mahasiswa yang lulus mata kuliah tersebut adalah .....
sbmptn_matdas_2_k624_2015.png
$\clubsuit \, $ Yang lulus adalah nilai sementaranya tidak lebih kecil dari 6 atau nilai ujian ulangnya 6.
$\clubsuit \, $ Banyak yang lulus :
*). Nilai sementara
Nilai 6 ada 1 orang
Nilai 7 ada 4 orang
Nilai 8 ada 3 orang
*). Nilai ujian ulang
Nilai 6 ada 2 orang
$\clubsuit \, $ Menentukan rata-ratanya $(\overline{x})$
$\begin{align} \overline{x} & = \frac{6.1+7.4+8.3+6.2}{1+4+3+2} \\ & = \frac{70}{10} = 7 \end{align}$
Jadi, yang lulus ujian memiliki rata-rata 7,00. $ \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 623 tahun 2015


Nomor 1
Diketahui $ a \, $ dan $ b \, $ adalah bilangan real positif. Jika $ \frac{(a-\sqrt{b})\sqrt{b} + (a-\sqrt{b})a}{a^2 - b} = c \, $ , maka nilai $ c \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ c $
$\begin{align} \frac{(a-\sqrt{b})\sqrt{b} + (a-\sqrt{b})a}{a^2 - b} & = c \, \, \, \, \text{(distributif)} \\ \frac{(a-\sqrt{b})[a+\sqrt{b}] }{a^2 - b} & = c \\ \frac{ a^2 - b }{a^2 - b} & = c \\ 1 & = c \end{align}$
Jadi, nilai $ c = 1 . \heartsuit $
Nomor 2
Diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku pertama dan suku ketiga berturut-turut adalah $ k -1 \, $ dan $ 3k+1. \, $ Jika suku kesepuluh adalah 98, maka suku kelima barisan tersebut adalah ....
$\spadesuit \, $ Barisan aritmetika : $ u_n = a + (n-1)b $
Diketahui :
$ u_1 = k-1 \rightarrow a = k - 1 \, \, $ ...pers(i)
$ u_3 = 3k+1 \rightarrow a+2b = 3k+1 \, \, $ ...pers(ii)
$ u_{10} = 98 \rightarrow a + 9b = 98 \, \, $ ...pers(iii)
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} a+2b & = 3k+1 \\ (k-1)+2b & = 3k+1 \\ 2b & = 3k+1 - k + 1 \\ 2b & = 2k+2 \\ b & = k+1 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ k \, $ dengan substitusi ke pers(iii)
$\begin{align} a + 9b & = 98 \\ (k-1) + 9(k+1) & = 98 \\ (k-1) + 9k+9 & = 98 \\ 10 k & = 90 \\ k & = 9 \end{align} $
Diperoleh :
$ a = k - 1 = 9 - 1 = 8 $
$ b = k+1 = 9+1 = 10 $
$ U_5 = a+4b = 8 + 4.(10) = 48 $
Jadi, suku kelimanya adalah 48. $\heartsuit $
Nomor 3
Diketahui persegi panjang ABCD. Jika panjang BE = panjang EF = panjang FC = 5 cm dan panjang DG = panjang GH = panjang HC = 3 cm, maka luas daerah yang diarsir adalah .... cm$^2$
sbmptn_matdas_1_k623_2015.png
$\clubsuit \, $ gambarnya
sbmptn_matdas_1a_k623_2015.png
$\clubsuit \, $ Konsep Luas segitiga
Apapun bentuk segitiganya, luas adalah setengah kali alas kali tinggi.
Tinggi segitiga adalah jarak alas ke titik sudut paling atas segitiga yang tegaklurus.
$\clubsuit \, $ Menentukan luas arsiran
$\begin{align} L_{\Delta AEF} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.EF.AB \\ & = \frac{1}{2}.5.9 = \frac{45}{2} \\ L_{\Delta AGH} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.GH.AD \\ & = \frac{1}{2}.3.15 = \frac{45}{2} \\ L_\text{arsiran} & = L_{\Delta AEF} + L_{\Delta AGH} \\ & = \frac{45}{2} + \frac{45}{2} \\ & = 45 \end{align}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 45. $ \heartsuit $
Nomor 4
Jika $ {}^a \log 2 = x \, $ dan $ {}^a \log 5 = y, \, $ maka $ \log a^{3x} + 3\log a^y = .... $
$\spadesuit \, $ Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
$ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b $
$ (a)^{{}^a \log b} = b $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} \log a^{3x} + 3\log a^y & = (3x).\log a + 3y.\log a \\ & = 3(x.\log a + y.\log a) \\ & = 3(\log a^x + \log a^y) \\ & = 3(\log a^{{}^a \log 2} + \log a^{{}^a \log 5}) \\ & = 3(\log 2 + \log 5) \\ & = 3(\log (2.5)) \\ & = 3(\log (10)) \\ & = 3(1) \\ & = 3 \end{align}$
Jadi, nilai $ \log a^{3x} + 3\log a^y = 3 . \heartsuit $
Nomor 5
Diagram di bawah ini menyajikan data (dalam bilangan bulat) nilai sementara dan nilai ujian ulang mahasiswa peserta kuliah Matematika. Ujian ulang diikuti hanya oleh peserta kuliah tersebut dengan nilai sementara lebih kecil daripada 6. Jika yang dinyatakan lulus kuliah adalah mahasiswa yang memperoleh nilai sementara tidak lebih kecil daripada 6 atau nilai ujian ulangnya adalah 6, maka rata-rata nilai mahasiswa yang lulus mata kuliah tersebut adalah .....
sbmptn_matdas_2_k623_2015.png
$\clubsuit \, $ Yang lulus adalah nilai sementaranya tidak lebih kecil dari 6 atau nilai ujian ulangnya 6.
$\clubsuit \, $ Banyak yang lulus :
*). Nilai sementara
Nilai 6 ada 1 orang
Nilai 7 ada 4 orang
Nilai 8 ada 3 orang
*). Nilai ujian ulang
Nilai 6 ada 2 orang
$\clubsuit \, $ Menentukan rata-ratanya $(\overline{x})$
$\begin{align} \overline{x} & = \frac{6.1+7.4+8.3+6.2}{1+4+3+2} \\ & = \frac{70}{10} = 7 \end{align}$
Jadi, yang lulus ujian memiliki rata-rata 7,00. $ \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 622 tahun 2015


Nomor 1
Jika $ a \, $ dan $ b \, $ adalah bilangan real positif, maka $ \frac{(\sqrt{2a}+\sqrt{b})^2-\sqrt{b}(2\sqrt{2a}+\sqrt{b})}{-2a} = .... $
$\clubsuit \, $ Sifat-sifat bentuk akar
$ (\sqrt{a})^2 = a \, $ dan $ \sqrt{a}. \sqrt{b} = \sqrt{ab} $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan hasilnya
$\begin{align} & \frac{(\sqrt{2a}+\sqrt{b})^2-\sqrt{b}(2\sqrt{2a}+\sqrt{b})}{-2a} \\ & = \frac{(2a + b + 2\sqrt{2ab})-2\sqrt{2ab} - b }{-2a} \\ & = \frac{2a }{-2a} = -1 \end{align}$
Jadi, diperoleh hasilnya adalah $ -1 . \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ k \, $ adalah bilangan real positif, serta $ k+3, \, k+1, \, $ dan $ k \, $ adalah berturut-turut suku ketiga, keempat, dan kelima suatu barisan geometri, maka jumlah dua suku pertama barisan tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $ u_n = ar^{n-1} $
$\spadesuit \, $ Diketahui : $ u_3 = k+3, \, u_4= k+1, \, u_5 = k $
Perbandingannya sama : suku-suku $u_3, u_4, u_5 $
$\begin{align} \frac{u_4}{u_3} & = \frac{u_5}{u_4} \\ (u_4)^2 & = u_3 .u_5 \\ (k+1)^2 & = (k+3)(k) \\ k^2 + 2k + 1 & = k^2 + 3k \\ k & = 1 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dan $ r $
$ r = \frac{u_4}{u_3} = \frac{k+1}{k+3} = \frac{1+1}{1+3}= \frac{1}{2} $
$ u_3 = k+3 \rightarrow ar^2 = 1+3 \rightarrow a.(\frac{1}{2})^2 = 4 \rightarrow a = 16 $
$ u_2 = a.r = 16. \frac{1}{2} = 8 $
$\spadesuit \, $ Jumlah dua suku pertamanya
$\begin{align} u_1 + u_2 & = 16 + 8 = 24 \end{align} $
Jadi, jumlah dua suku pertamanya adalah 24. $ \heartsuit $
Nomor 3
Diketahui persegi panjang ABCD. Jika panjang BE = panjang EF = panjang FC = 5 cm dan panjang DG = panjang GH = panjang HC = 3 cm, maka luas daerah yang diarsir adalah .... cm$^2$
sbmptn_matdas_1_k622_2015.png
$\clubsuit \, $ gambarnya
sbmptn_matdas_1a_k622_2015.png
$\clubsuit \, $ Konsep Luas segitiga
Apapun bentuk segitiganya, luas adalah setengah kali alas kali tinggi.
Tinggi segitiga adalah jarak alas ke titik sudut paling atas segitiga yang tegaklurus.
$\clubsuit \, $ Menentukan luas arsiran
$\begin{align} L_{\Delta AEF} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.EF.AB \\ & = \frac{1}{2}.5.9 = \frac{45}{2} \\ L_{\Delta AGH} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.GH.AD \\ & = \frac{1}{2}.3.15 = \frac{45}{2} \\ L_\text{arsiran} & = L_{\Delta AEF} + L_{\Delta AGH} \\ & = \frac{45}{2} + \frac{45}{2} \\ & = 45 \end{align}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 45. $ \heartsuit $
Nomor 4
Diketahui $ {}^2 \log p = \frac{1}{3} \, $ dan $ {}^3 \log q = \frac{1}{2}. \, $ Jika $ x = p^2 \, $ dan $ y = q^3, \, $ maka $ {}^x \log y = ..... $
$\spadesuit \, $ Definisi logaritma : $ {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c $
Sifat logaritma : $ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $
$\spadesuit \, $ Sifat Eksponen : $ (a^m)^n = a^{m.n} $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soalnya
$\begin{align} {}^2 \log p & = \frac{1}{3} \rightarrow p = 2^\frac{1}{3} \\ {}^3 \log q & = \frac{1}{2} \rightarrow q = 3^\frac{1}{2} \\ x & = p^2 = (2^\frac{1}{3})^2 =2^\frac{2}{3} \\ y & = q^3 = (3^\frac{1}{2})^3 = 3^\frac{3}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} {}^x \log y & = {{}^2}^\frac{2}{3} \log 3^\frac{3}{2} \\ & = (\frac{3}{2} : \frac{2}{3}) . {}^2 \log 3 \\ & = (\frac{3}{2} \times \frac{3}{2}) . {}^2 \log 3 \\ & = \frac{9}{4}. {}^2 \log 3 \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^x \log y = \frac{9}{4} ({}^2 \log 3) . \heartsuit $
Nomor 5
Diagram di bawah ini menyajikan data (dalam bilangan bulat) nilai sementara dan nilai ujian ulang mahasiswa peserta kuliah Matematika. Ujian ulang diikuti hanya oleh peserta kuliah tersebut dengan nilai sementara lebih kecil daripada 6. Jika yang dinyatakan lulus kuliah adalah mahasiswa yang memperoleh nilai sementara tidak lebih kecil daripada 6 atau nilai ujian ulangnya adalah 6, maka rata-rata nilai mahasiswa yang lulus mata kuliah tersebut adalah .....
sbmptn_matdas_2_k622_2015.png
$\clubsuit \, $ Yang lulus adalah nilai sementaranya tidak lebih kecil dari 6 atau nilai ujian ulangnya 6.
$\clubsuit \, $ Banyak yang lulus :
*). Nilai sementara
Nilai 6 ada 1 orang
Nilai 7 ada 4 orang
Nilai 8 ada 3 orang
*). Nilai ujian ulang
Nilai 6 ada 2 orang
$\clubsuit \, $ Menentukan rata-ratanya $(\overline{x})$
$\begin{align} \overline{x} & = \frac{6.1+7.4+8.3+6.2}{1+4+3+2} \\ & = \frac{70}{10} = 7 \end{align}$
Jadi, yang lulus ujian memiliki rata-rata 7,00. $ \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 621 tahun 2015


Nomor 1
Jika $ \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{9} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} , \, $ maka $ a = .... $
$\clubsuit \, $ Sifat-sifat bentuk akar dan eksponen
$ \sqrt[a]{\sqrt[b]{c}} = \sqrt[a.b]{c}, \, \, \sqrt[a]{b} = b^{\frac{1}{a}} \, $ dan $ \sqrt[n]{b} = b^\frac{1}{n} = c \rightarrow b = c^n $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soal
$\begin{align} \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{9} & = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \, \, \, \, \text{(dirasionalkan)} \\ \sqrt[4]{a} + \sqrt[2]{\sqrt[2]{9}} & = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} \\ \sqrt[4]{a} + \sqrt[2]{3} & = \frac{2+\sqrt{3}}{4 - 3} \\ \sqrt[4]{a} + \sqrt{3} & = 2+\sqrt{3} \\ \sqrt[4]{a} & = 2 \\ a & = 2^4 \\ a & = 16 \end{align}$
Jadi, diperoleh $ a = 16. \heartsuit $
Nomor 2
Diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku pertama dan suku ketiga berturut-turut adalah $ k -1 \, $ dan $ 3k+1. \, $ Jika suku kesepuluh adalah 98, maka suku keenam barisan tersebut adalah ....
$\spadesuit \, $ Barisan aritmetika : $ u_n = a + (n-1)b $
Diketahui :
$ u_1 = k-1 \rightarrow a = k - 1 \, \, $ ...pers(i)
$ u_3 = 3k+1 \rightarrow a+2b = 3k+1 \, \, $ ...pers(ii)
$ u_{10} = 98 \rightarrow a + 9b = 98 \, \, $ ...pers(iii)
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$\begin{align} a+2b & = 3k+1 \\ (k-1)+2b & = 3k+1 \\ 2b & = 3k+1 - k + 1 \\ 2b & = 2k+2 \\ b & = k+1 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ k \, $ dengan substitusi ke pers(iii)
$\begin{align} a + 9b & = 98 \\ (k-1) + 9(k+1) & = 98 \\ (k-1) + 9k+9 & = 98 \\ 10 k & = 90 \\ k & = 9 \end{align} $
Diperoleh :
$ a = k - 1 = 9 - 1 = 8 $
$ b = k+1 = 9+1 = 10 $
$ U_6 = a+5b = 8 + 5.(10) = 58 $
Jadi, suku keenamnya adalah 58. $\heartsuit $
Nomor 3
Diketahui persegi panjang ABCD. Jika panjang BE = panjang EF = panjang FC = 5 cm dan panjang DG = panjang GH = panjang HC = 3 cm, maka luas daerah yang diarsir adalah .... cm$^2$
sbmptn_matdas_1_k621_2015.png
$\clubsuit \, $ gambarnya
sbmptn_matdas_1a_k621_2015.png
$\clubsuit \, $ Konsep Luas segitiga
Apapun bentuk segitiganya, luas adalah setengah kali alas kali tinggi.
Tinggi segitiga adalah jarak alas ke titik sudut paling atas segitiga yang tegaklurus.
$\clubsuit \, $ Menentukan luas arsiran
$\begin{align} L_{\Delta AEF} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.EF.AB \\ & = \frac{1}{2}.5.9 = \frac{45}{2} \\ L_{\Delta AGH} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.GH.AD \\ & = \frac{1}{2}.3.15 = \frac{45}{2} \\ L_\text{arsiran} & = L_{\Delta AEF} + L_{\Delta AGH} \\ & = \frac{45}{2} + \frac{45}{2} \\ & = 45 \end{align}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 45. $ \heartsuit $
Nomor 4
Diketahui $ {}^p \log 2 = 8 \, $ dan $ {}^q \log 8 = 4. \, $ Jika $ s = p^4 \, $ dan $ t = q^2, \, $ maka $ {}^t \log s = ..... $
$\spadesuit \, $ Definisi logaritma : $ {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c $
$\spadesuit \, $ Sifat logaritma dan eksponen :
$ {{}^a}^n \log b^n = {}^a \log b \, $ dan $ {{}^a}^n \log b^m = \frac{m}{n} . {}^a \log b $
$ (a^m)^n = a^{m.n} \, $ dan $ a^m = b \rightarrow (a^m)^n = b^n $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soalnya
$\begin{align} {}^p \log 2 & = 8 \rightarrow p^8 = 2 \rightarrow (p^8)^\frac{1}{2} = 2^\frac{1}{2} \rightarrow p^4 = 2^\frac{1}{2} \\ {}^q \log 8 & = 4 \rightarrow q^4 = 8 \rightarrow (q^4)^\frac{1}{2} = 8^\frac{1}{2} \rightarrow q^2 = 8^\frac{1}{2} \\ s & = p^4 = 2^\frac{1}{2} \\ t & = q^2 = 8^\frac{1}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} {}^t \log s & = {{}^8}^\frac{1}{2} \log 2^\frac{1}{2} \\ & = {}^8 \log 2 \\ & = {{}^2}^3 \log 2^1 \\ & = \frac{1}{3} . {}^2 \log 2 \\ & = \frac{1}{3} \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^t \log s = \frac{1}{3} . \heartsuit $
Nomor 5
Diagram di bawah ini menyajikan data (dalam bilangan bulat) nilai sementara dan nilai ujian ulang mahasiswa peserta kuliah Matematika. Ujian ulang diikuti hanya oleh peserta kuliah tersebut dengan nilai sementara lebih kecil daripada 6. Jika yang dinyatakan lulus kuliah adalah mahasiswa yang memperoleh nilai sementara tidak lebih kecil daripada 6 atau nilai ujian ulangnya adalah 6, maka rata-rata nilai mahasiswa yang lulus mata kuliah tersebut adalah .....
sbmptn_matdas_2_k621_2015.png
$\clubsuit \, $ Yang lulus adalah nilai sementaranya tidak lebih kecil dari 6 atau nilai ujian ulangnya 6.
$\clubsuit \, $ Banyak yang lulus :
*). Nilai sementara
Nilai 6 ada 1 orang
Nilai 7 ada 4 orang
Nilai 8 ada 3 orang
*). Nilai ujian ulang
Nilai 6 ada 2 orang
$\clubsuit \, $ Menentukan rata-ratanya $(\overline{x})$
$\begin{align} \overline{x} & = \frac{6.1+7.4+8.3+6.2}{1+4+3+2} \\ & = \frac{70}{10} = 7 \end{align}$
Jadi, yang lulus ujian memiliki rata-rata 7,00. $ \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 620 tahun 2015


Nomor 1
Jika $ a \, $ dan $ b \, $ adalah bilangan real positif, maka $ \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 + (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{a+b} = .... $
$\clubsuit \, $ Sifat-sifat bentuk akar
$ (\sqrt{a})^2 = a \, $ dan $ \sqrt{b} \times \sqrt{c} = \sqrt{bc}$
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} & \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 + (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{a+b} \\ & = \frac{(a + b + 2\sqrt{ab}) + (a+b-2\sqrt{ab})}{a+b} \\ & = \frac{2a + 2b}{a+b} = \frac{2(a+b)}{a+b} = 2 \end{align}$
Jadi, nilainya adalah 2. $\heartsuit $
Nomor 2
Jika $ k \, $ adalah bilangan real positif, serta $ k-7, \, 4, \, $ dan $ k+8 \, $ adalah berturut-turut suku pertama, ketiga, dan kelima suatu barisan geometri, maka hasil kali suku kedua dan suku keempat barisan tersebut adalah ...
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $ u_n = ar^{n-1} $
$\spadesuit \, $ Diketahui : $ u_1 = k-7, \, u_3= 4, \, u_5 = k+8 $
Barisan geometri dengan suku berurutan, misalkan $ u_1,u_2,u_3, \, $ atau $ u_3,u_4,u_5, \, $ atau $ u_1, u_3, u_5, \, $ atau $ u_2, u_5, u_8 , \, $ dan lainnya pasti memiliki perbandingan yang sama.
Perbandingannya sama : suku-suku $u_1, u_3, u_5 $
$\begin{align} \frac{u_3}{u_1} & = \frac{u_5}{u_3} \\ (u_3)^2 & = u_1 .u_5 \\ (4)^2 & = (k-7)(k+8) \\ 16 & = k^2 + k - 56 \\ 0 & = k^2 + k - 72 \\ 0 & = (k+9)(k-8) \\ k & = -9 \vee k = 8 \end{align} $
karena $ k \, $ positif, maka $ k = 8 \, $ yang memenuhi.
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dan $ r $
$ a = u_1 = k - 7 = 8 - 7 = 1 $
$ u_3 = 4 \rightarrow ar^2 = 4 \rightarrow 1.r^2 = 4 \rightarrow r = 2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan suku kedua dan keempat
$\begin{align} u_2 & = ar = 1 . 2 = 2 \\ u_4 & = ar^3 = 1. 2^3 = 8 \end{align} $
Sehingga nilai : $ u_2 . u_4 = 2 . 8 = 16 $
Jadi, hasil kali suku kedua dan keempat adalah 16. $ \heartsuit $
Nomor 3
Diketahui persegi panjang ABCD. Jika panjang BE = panjang EF = panjang FC = 5 cm dan panjang DG = panjang GH = panjang HC = 3 cm, maka luas daerah yang diarsir adalah .... cm$^2$
sbmptn_matdas_1_k620_2015.png
$\clubsuit \, $ gambarnya
sbmptn_matdas_1a_k620_2015.png
$\clubsuit \, $ Konsep Luas segitiga
Apapun bentuk segitiganya, luas adalah setengah kali alas kali tinggi.
Tinggi segitiga adalah jarak alas ke titik sudut paling atas segitiga yang tegaklurus.
$\clubsuit \, $ Menentukan luas arsiran
$\begin{align} L_{\Delta AEF} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.EF.AB \\ & = \frac{1}{2}.5.9 = \frac{45}{2} \\ L_{\Delta AGH} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.GH.AD \\ & = \frac{1}{2}.3.15 = \frac{45}{2} \\ L_\text{arsiran} & = L_{\Delta AEF} + L_{\Delta AGH} \\ & = \frac{45}{2} + \frac{45}{2} \\ & = 45 \end{align}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 45. $ \heartsuit $
Nomor 4
Diketahui $ {}^2 \log p = \frac{1}{3} \, $ dan $ {}^3 \log q = \frac{1}{2}. \, $ Jika $ x = p^2 \, $ dan $ y = q^3, \, $ maka $ {}^y \log x = ..... $
$\spadesuit \, $ Definisi logaritma : $ {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c $
Sifat logaritma : $ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $
$\spadesuit \, $ Sifat Eksponen : $ (a^m)^n = a^{m.n} $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soalnya
$\begin{align} {}^2 \log p & = \frac{1}{3} \rightarrow p = 2^\frac{1}{3} \\ {}^3 \log q & = \frac{1}{2} \rightarrow q = 3^\frac{1}{2} \\ x & = p^2 = (2^\frac{1}{3})^2 =2^\frac{2}{3} \\ y & = q^3 = (3^\frac{1}{2})^3 = 3^\frac{3}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} {}^y \log x & = {{}^3}^\frac{3}{2} \log 2^\frac{2}{3} \\ & = (\frac{2}{3} : \frac{3}{2}) . {}^3 \log 2 \\ & = (\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}) . {}^3 \log 2 \\ & = \frac{4}{9}. {}^3 \log 2 \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^y \log x = \frac{4}{9} ({}^3 \log 2) . \heartsuit $
Nomor 5
Diagram di bawah ini menyajikan data (dalam bilangan bulat) nilai sementara dan nilai ujian ulang mahasiswa peserta kuliah Matematika. Ujian ulang diikuti hanya oleh peserta kuliah tersebut dengan nilai sementara lebih kecil daripada 6. Jika yang dinyatakan lulus kuliah adalah mahasiswa yang memperoleh nilai sementara tidak lebih kecil daripada 6 atau nilai ujian ulangnya adalah 6, maka rata-rata nilai mahasiswa yang lulus mata kuliah tersebut adalah .....
sbmptn_matdas_2_k620_2015.png
$\clubsuit \, $ Yang lulus adalah nilai sementaranya tidak lebih kecil dari 6 atau nilai ujian ulangnya 6.
$\clubsuit \, $ Banyak yang lulus :
*). Nilai sementara
Nilai 6 ada 1 orang
Nilai 7 ada 4 orang
Nilai 8 ada 3 orang
*). Nilai ujian ulang
Nilai 6 ada 2 orang
$\clubsuit \, $ Menentukan rata-ratanya $(\overline{x})$
$\begin{align} \overline{x} & = \frac{6.1+7.4+8.3+6.2}{1+4+3+2} \\ & = \frac{70}{10} = 7 \end{align}$
Jadi, yang lulus ujian memiliki rata-rata 7,00. $ \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 619 tahun 2015


Nomor 1
Diketahui $ a \, $ dan $ b \, $ adalah bilangan real positif. Jika $ \frac{(a-\sqrt{b})\sqrt{b} + (a-\sqrt{b})a}{a^2 - b} = c \, $ , maka nilai $ c \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ c $
$\begin{align} \frac{(a-\sqrt{b})\sqrt{b} + (a-\sqrt{b})a}{a^2 - b} & = c \, \, \, \, \text{(distributif)} \\ \frac{(a-\sqrt{b})[a+\sqrt{b}] }{a^2 - b} & = c \\ \frac{ a^2 - b }{a^2 - b} & = c \\ 1 & = c \end{align}$
Jadi, nilai $ c = 1 . \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ k \, $ adalah bilangan real positif, serta $ 2k+1, \, 10, \, $ dan $ 2k+7 \, $ adalah berturut-turut suku ketiga, keempat, dan kelima suatu barisan aritmetika, maka jumlah dua suku pertama barisan tersebut adalah ....
$\spadesuit \, $ Barisan aritmetika :
$ u_n = a + (n-1)b \, $ dan $ s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
$\spadesuit \, $ Diketahui : $ u_3 = 2k+1, \, u_4= 10, \, u_5 = 2k+7 $
Selisih sama :
$\begin{align} u_4 - u_3 & = u_5 - u_4 \\ 2u_4 & = u_5 + u_3 \\ 2.(10) & = (2k+7) + (2k+1) \\ 20 & = 4k + 8 \\ 4k & = 12 \\ k & = 3 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b $
$ u_3 = 2k+1 = 2.3 + 1 = 7 $
$ b = u_4 - u_3 = 10 - 7 = 3 $
$ u_4 = 10 \rightarrow a+3b = 10 \rightarrow a + 3.3 = 10 \rightarrow a = 1 $
$\spadesuit \, $ Menentukan jumlah dua suku pertama ($s_2$)
$\begin{align} s_n & = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ s_2 & = \frac{2}{2}(2.1 + (2-1).3) \\ s_2 & = (2 + 3) \\ s_2 & = 5 \end{align} $
Jadi, jumlah dua suku pertamanya adalah 5. $ \heartsuit $
Nomor 3
Diketahui persegi panjang ABCD. Jika panjang BE = panjang EF = panjang FC = 5 cm dan panjang DG = panjang GH = panjang HC = 3 cm, maka luas daerah yang diarsir adalah .... cm$^2$
sbmptn_matdas_1_k619_2015.png
$\clubsuit \, $ gambarnya
sbmptn_matdas_1a_k619_2015.png
$\clubsuit \, $ Konsep Luas segitiga
Apapun bentuk segitiganya, luas adalah setengah kali alas kali tinggi.
Tinggi segitiga adalah jarak alas ke titik sudut paling atas segitiga yang tegaklurus.
$\clubsuit \, $ Menentukan luas arsiran
$\begin{align} L_{\Delta AEF} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.EF.AB \\ & = \frac{1}{2}.5.9 = \frac{45}{2} \\ L_{\Delta AGH} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.GH.AD \\ & = \frac{1}{2}.3.15 = \frac{45}{2} \\ L_\text{arsiran} & = L_{\Delta AEF} + L_{\Delta AGH} \\ & = \frac{45}{2} + \frac{45}{2} \\ & = 45 \end{align}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 45. $ \heartsuit $
Nomor 4
Jika $ xy = 90 \, $ dan $ \log x - \log y = 1 , \, $ maka $ x - y = .... $
$\spadesuit \, $ konsep logaritma :
*). Definisi : $ {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c $
*). Sifat : $ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $
$\spadesuit \, $ Menyusun persamaan
$ xy = 90 \, $ .....pers(i)
$\begin{align} \log x - \log y & = 1 \\ {}^{10} \log \frac{x}{y} & = 1 \\ \frac{x}{y} & = 10^1 \\ \frac{x}{y} & = 10 \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Kalikan kedua persamaan dan sederhanakan
$\begin{align} (xy)\times \left( \frac{x}{y} \right) & = 90 \times 10 \\ (x\not{y})\times \left( \frac{x}{\not{y}} \right) & = 90 \times 10 \\ x^2 & = 900 \\ x & = \sqrt{900} = 30 \end{align}$
Pers(i) : $ xy = 90 \rightarrow 30.y = 90 \rightarrow y = 3 $
sehingga nilai $ x - y = 30 - 3 = 27 $
Jadi, nilai $ x - y = 27 . \heartsuit $
Nomor 5
Diagram di bawah ini menyajikan data (dalam bilangan bulat) nilai sementara dan nilai ujian ulang mahasiswa peserta kuliah Matematika. Ujian ulang diikuti hanya oleh peserta kuliah tersebut dengan nilai sementara lebih kecil daripada 6. Jika yang dinyatakan lulus kuliah adalah mahasiswa yang memperoleh nilai sementara tidak lebih kecil daripada 6 atau nilai ujian ulangnya adalah 6, maka rata-rata nilai mahasiswa yang lulus mata kuliah tersebut adalah .....
sbmptn_matdas_2_k619_2015.png
$\clubsuit \, $ Yang lulus adalah nilai sementaranya tidak lebih kecil dari 6 atau nilai ujian ulangnya 6.
$\clubsuit \, $ Banyak yang lulus :
*). Nilai sementara
Nilai 6 ada 1 orang
Nilai 7 ada 4 orang
Nilai 8 ada 3 orang
*). Nilai ujian ulang
Nilai 6 ada 2 orang
$\clubsuit \, $ Menentukan rata-ratanya $(\overline{x})$
$\begin{align} \overline{x} & = \frac{6.1+7.4+8.3+6.2}{1+4+3+2} \\ & = \frac{70}{10} = 7 \end{align}$
Jadi, yang lulus ujian memiliki rata-rata 7,00. $ \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 618 tahun 2015


Nomor 1
Diketahui $ a, \, b , \, $ dan $ c \, $ adalah bilangan real positif . Jika $ \frac{\sqrt{bc}}{\sqrt[4]{ab^3}} = ab , \, $ maka nilai $ c \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Sifat-sifat eksponen
$ \sqrt[n]{a} = (a)^\frac{1}{n}, \, \, (a^m)^n = a^{m.n} \, $ dan
$ (ab)^m = a^m .b^m, \, \, a^m=b^n \rightarrow a = b^\frac{n}{m} $
$\clubsuit \, $ Persamaan dipangkatkan 4
$\begin{align} \frac{\sqrt{bc}}{\sqrt[4]{ab^3}} & = ab \\ \sqrt{bc} & = (ab) . \sqrt[4]{ab^3} \\ (bc)^\frac{1}{2} & = (ab) . (ab^3)^\frac{1}{4} \\ [(bc)^\frac{1}{2}]^4 & = [(ab) . (ab^3)^\frac{1}{4}]^4 \\ (bc)^2 & = (ab)^4 . (ab^3) \\ b^2.c^2 & = (ab)^4 . (ab^3) \, \, \, \, \text{ [bagi } \, b^2 ] \\ c^2 & = (ab)^4 . (ab) \\ c^2 & = (ab)^5 \\ c & = (ab)^\frac{5}{2} \end{align}$
Jadi, diperoleh $ c = (ab)^\frac{5}{2} . \heartsuit $
Nomor 2
Diketahui suatu barisan aritmetika dengan beda $ k + 1 \, $ untuk suatu $ k > 0 \, $ dan suku pertama adalah $ k^2. \, $ Jika suku ketujuh adalah 33, maka suku kesepuluh barisan tersebut adalah ....
$\spadesuit \, $ Barisan aritmetika : $ u_n = a + (n-1)b $
sehingga : $ u_7 = a + (7-1)b = a + 6b $
Diketahui : $ a = k^2 \, $ dan $ b = k + 1 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ k $
$\begin{align} U_7 & = 33 \\ a+6b & = 33 \\ k^2+6(k+1) & = 33 \\ k^2+6k - 27 & = 0 \\ (k-3)(k+9) & = 0 \\ k=3 \vee k & = -9 \end{align} $
karena $ k > 0, \, $ nilai $ k = 3 \, $ yang memenuhi.
Sehingga :
$ a = k^2 = 3^2 = 9 \, $ dan $ b = k + 1 = 3 + 1 = 4 $
$\spadesuit \, $ Menentukan suku kesepuluh
$\begin{align} U_{10} & = a + (10-1)b \\ & = 9 + 9.4 \\ & = 9 + 36 \\ & = 45 \end{align} $
Jadi, suku kesepuluhnya adalah 45. $ \heartsuit $
Nomor 3
Diketahui persegi panjang ABCD. Jika panjang BE = panjang EF = panjang FC = 5 cm dan panjang DG = panjang GH = panjang HC = 3 cm, maka luas daerah yang diarsir adalah .... cm$^2$
sbmptn_matdas_1_k618_2015.png
$\clubsuit \, $ gambarnya
sbmptn_matdas_1a_k618_2015.png
$\clubsuit \, $ Konsep Luas segitiga
Apapun bentuk segitiganya, luas adalah setengah kali alas kali tinggi.
Tinggi segitiga adalah jarak alas ke titik sudut paling atas segitiga yang tegaklurus.
$\clubsuit \, $ Menentukan luas arsiran
$\begin{align} L_{\Delta AEF} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.EF.AB \\ & = \frac{1}{2}.5.9 = \frac{45}{2} \\ L_{\Delta AGH} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.GH.AD \\ & = \frac{1}{2}.3.15 = \frac{45}{2} \\ L_\text{arsiran} & = L_{\Delta AEF} + L_{\Delta AGH} \\ & = \frac{45}{2} + \frac{45}{2} \\ & = 45 \end{align}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 45. $ \heartsuit $
Nomor 4
Diketahui $ {}^2 \log p = \frac{1}{3} \, $ dan $ {}^3 \log q = \frac{1}{2}. \, $ Jika $ x = p^2 \, $ dan $ y = q^3, \, $ maka $ {}^y \log x = ..... $
$\spadesuit \, $ Definisi logaritma : $ {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c $
Sifat logaritma : $ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $
$\spadesuit \, $ Sifat Eksponen : $ (a^m)^n = a^{m.n} $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soalnya
$\begin{align} {}^2 \log p & = \frac{1}{3} \rightarrow p = 2^\frac{1}{3} \\ {}^3 \log q & = \frac{1}{2} \rightarrow q = 3^\frac{1}{2} \\ x & = p^2 = (2^\frac{1}{3})^2 =2^\frac{2}{3} \\ y & = q^3 = (3^\frac{1}{2})^3 = 3^\frac{3}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} {}^y \log x & = {{}^3}^\frac{3}{2} \log 2^\frac{2}{3} \\ & = (\frac{2}{3} : \frac{3}{2}) . {}^3 \log 2 \\ & = (\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}) . {}^3 \log 2 \\ & = \frac{4}{9}. {}^3 \log 2 \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^y \log x = \frac{4}{9} ({}^3 \log 2) . \heartsuit $
Nomor 5
Diagram di bawah ini menyajikan data (dalam bilangan bulat) nilai sementara dan nilai ujian ulang mahasiswa peserta kuliah Matematika. Ujian ulang diikuti hanya oleh peserta kuliah tersebut dengan nilai sementara lebih kecil daripada 6. Jika yang dinyatakan lulus kuliah adalah mahasiswa yang memperoleh nilai sementara tidak lebih kecil daripada 6 atau nilai ujian ulangnya adalah 6, maka rata-rata nilai mahasiswa yang lulus mata kuliah tersebut adalah .....
sbmptn_matdas_2_k618_2015.png
$\clubsuit \, $ Yang lulus adalah nilai sementaranya tidak lebih kecil dari 6 atau nilai ujian ulangnya 6.
$\clubsuit \, $ Banyak yang lulus :
*). Nilai sementara
Nilai 6 ada 1 orang
Nilai 7 ada 4 orang
Nilai 8 ada 3 orang
*). Nilai ujian ulang
Nilai 6 ada 2 orang
$\clubsuit \, $ Menentukan rata-ratanya $(\overline{x})$
$\begin{align} \overline{x} & = \frac{6.1+7.4+8.3+6.2}{1+4+3+2} \\ & = \frac{70}{10} = 7 \end{align}$
Jadi, yang lulus ujian memiliki rata-rata 7,00. $ \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 617 tahun 2015


Nomor 1
Jika $ a, \, b , \, $ dan $ x \, $ adalah bilangan real positif dan $ \frac{\sqrt[3]{x}\sqrt{ab}}{\sqrt{a\sqrt[3]{ab}}} = \sqrt{a\sqrt[3]{b^2}}, \, $ maka nilai $ x \, $ adalah .....
$\clubsuit \, $ Sifat-sifat eksponen
$ \sqrt[n]{a} = (a)^\frac{1}{n}, \, \, (a^m)^n = a^{m.n} \, $ dan $ (ab)^m = a^m .b^m $
$\clubsuit \, $ Pangkatkan 6 kedua ruas
$\begin{align} \frac{\sqrt[3]{x}\sqrt{ab}}{\sqrt{a\sqrt[3]{ab}}} & = \sqrt{a\sqrt[3]{b^2}} \\ \sqrt[3]{x}\sqrt{ab} & = \sqrt{a\sqrt[3]{ab}} . \sqrt{a\sqrt[3]{b^2}} \\ x^\frac{1}{3} . (ab)^\frac{1}{2} & = (a.(ab)^\frac{1}{3})^\frac{1}{2} . (a.(b)^\frac{2}{3})^\frac{1}{2} \\ \left[ x^\frac{1}{3} . (ab)^\frac{1}{2} \right]^6 & = \left[ (a.(ab)^\frac{1}{3})^\frac{1}{2} . (a.(b)^\frac{2}{3})^\frac{1}{2} \right]^6 \\ x^\frac{6}{3} . (ab)^\frac{6}{2} & = (a.(ab)^\frac{1}{3})^\frac{6}{2} . (a.(b)^\frac{2}{3})^\frac{6}{2} \\ x^2 . (ab)^3 & = (a.(ab)^\frac{1}{3})^3 . (a.(b)^\frac{2}{3})^3 \\ x^2 . a^3.b^3 & = a^3.(ab)^\frac{3}{3} . a^3.(b)^\frac{2.3}{3} \\ x^2 . a^3.b^3 & = a^3.(ab) . a^3.(b)^2 \\ x^2 . a^3.b^3 & = a^7.b^3 \\ x^2 & = \frac{a^7.b^3}{a^3.b^3} \\ x^2 & = a^4 \\ x & = a^\frac{4}{2} = a^2 \end{align}$
Jadi, diperoleh $ x = a^2. \heartsuit $
Nomor 2
Diketahui perbandingan suku pertama dan suku ketiga dari suatu barisan aritmetika adalah 2 : 3. Perbandingan suku pertama dan suku kedua dari barisan tersebut adalah .....
$\spadesuit \, $ Barisan aritmetika : $ u_n = a + (n-1)b $
sehingga :
$ u_1 = a + (1-1)b = a $
$ u_2 = a + (2-1)b = a + b $
$ u_3 = a + (3-1)b = a + 2b $
$\spadesuit \, $ Menentukan hubungan $ a \, $ dan $ b $
$\begin{align} \frac{\text{suku pertama}}{\text{suku ketiga}} & = \frac{2}{3} \\ \frac{u_1}{u_3} & = \frac{2}{3} \\ \frac{a}{a+2b} & = \frac{2}{3} \\ 3a & = 2 (a+2b) \\ 3a & = 2a + 4b \\ a & = 4b \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya dengan substitusi $ a = 4b $
$ \begin{align} \frac{u_1}{u_2} = \frac{a}{a+b } = \frac{4b}{4b+b} = \frac{4b}{5b} = \frac{4}{5} \end{align} $
Artinya perbandingan suku pertama dan kedua adalah 4 : 5.
Jadi, perbandingannya adalah $ u_1 : u_2 = 4 : 5. \heartsuit $
Nomor 3
Diketahui persegi panjang ABCD. Jika panjang BE = panjang EF = panjang FC = 5 cm dan panjang DG = panjang GH = panjang HC = 3 cm, maka luas daerah yang diarsir adalah .... cm$^2$
sbmptn_matdas_1_k617_2015.png
$\clubsuit \, $ gambarnya
sbmptn_matdas_1a_k617_2015.png
$\clubsuit \, $ Konsep Luas segitiga
Apapun bentuk segitiganya, luas adalah setengah kali alas kali tinggi.
Tinggi segitiga adalah jarak alas ke titik sudut paling atas segitiga yang tegaklurus.
$\clubsuit \, $ Menentukan luas arsiran
$\begin{align} L_{\Delta AEF} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.EF.AB \\ & = \frac{1}{2}.5.9 = \frac{45}{2} \\ L_{\Delta AGH} & = \frac{1}{2} . a . t = \frac{1}{2}.GH.AD \\ & = \frac{1}{2}.3.15 = \frac{45}{2} \\ L_\text{arsiran} & = L_{\Delta AEF} + L_{\Delta AGH} \\ & = \frac{45}{2} + \frac{45}{2} \\ & = 45 \end{align}$
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 45. $ \heartsuit $
Nomor 4
Diketahui $ {}^2 \log p = \frac{1}{3} \, $ dan $ {}^3 \log q = \frac{1}{2}. \, $ Jika $ x = p^3 \, $ dan $ y = q^2, \, $ maka $ {}^x \log y = ..... $
$\spadesuit \, $ Definisi logaritma : $ {}^a \log b = c \Leftrightarrow b = a^c $
$\spadesuit \, $ Sifat Eksponen : $ (a^m)^n = a^{m.n} $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soalnya
$\begin{align} {}^2 \log p & = \frac{1}{3} \rightarrow p = 2^\frac{1}{3} \\ {}^3 \log q & = \frac{1}{2} \rightarrow q = 3^\frac{1}{2} \\ x & = p^3 = (2^\frac{1}{3})^3 =2^\frac{3}{3} = 2 \\ y & = q^2 = (3^\frac{1}{2})^2 = 3^\frac{2}{2} = 3 \end{align}$
Sehingga : $ {}^x \log y = {}^2 \log 3 $
Jadi, nilai $ {}^x \log y = {}^2 \log 3 . \heartsuit $
Nomor 5
Diagram di bawah ini menyajikan data (dalam bilangan bulat) nilai sementara dan nilai ujian ulang mahasiswa peserta kuliah Matematika. Ujian ulang diikuti hanya oleh peserta kuliah tersebut dengan nilai sementara lebih kecil daripada 6. Jika yang dinyatakan lulus kuliah adalah mahasiswa yang memperoleh nilai sementara tidak lebih kecil daripada 6 atau nilai ujian ulangnya adalah 6, maka rata-rata nilai mahasiswa yang lulus mata kuliah tersebut adalah .....
sbmptn_matdas_2_k617_2015.png
$\clubsuit \, $ Yang lulus adalah nilai sementaranya tidak lebih kecil dari 6 atau nilai ujian ulangnya 6.
$\clubsuit \, $ Banyak yang lulus :
*). Nilai sementara
Nilai 6 ada 1 orang
Nilai 7 ada 4 orang
Nilai 8 ada 3 orang
*). Nilai ujian ulang
Nilai 6 ada 2 orang
$\clubsuit \, $ Menentukan rata-ratanya $(\overline{x})$
$\begin{align} \overline{x} & = \frac{6.1+7.4+8.3+6.2}{1+4+3+2} \\ & = \frac{70}{10} = 7 \end{align}$
Jadi, yang lulus ujian memiliki rata-rata 7,00. $ \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 328 tahun 2013


Nomor 1
Jika $9^m+9^{m+1} = 20 \, $ , maka $27^m = ...$
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan persamaan: Sifat $a^{m+n}=a^m.a^n$
$\begin{align} 9^m+9^{m+1} & = 20 \\ 9^m+9^m.9^1 & = 20 \\ 9^m+9.9^m & = 20 \\ (1+9)9^m & = 20 \\ 10.(3^2)^m & = 20 \, \, \, \, \text{(bagi 10)} \\ (3^m)^2 & = 2 \\ 3^m & = \sqrt{2} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $27^m$
$\begin{align} 27^m & = (3^3)^m \\ &= (3^m)^3 \\ &= (\sqrt{2})^3 \\ &= \sqrt{2} .\sqrt{2} .\sqrt{2} \\ &= 2\sqrt{2} \end{align}$
Jadi, $27^m = 2\sqrt{2}. \, \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ \frac{\log xy }{\log w } = 2 $ dan $ \frac{\log w }{\log y } = \frac{1}{4} $ , maka nilai $ {}^{x}\log w \, $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Konsep logaritma
Sifat-sifat logaritma :
1). $ \frac{{}^p \log b }{{}^p \log a } = {}^ a \log b $
2). $ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a } $
3). $ {}^a \log (bc) = {}^a \log b + {}^a \log c $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ {}^w \log y $
$\begin{align} \frac{\log w }{\log y } & = \frac{1}{4} \, \, \, \, \text{(sifat 1)} \\ {}^y \log w & = \frac{1}{4} \, \, \, \, \text{(sifat 2)} \\ {}^w \log y & = \frac{4}{1} = 4 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ {}^x \log w $
$\begin{align} \frac{\log xy }{\log w } & = 2 \, \, \, \, \text{(sifat 1)} \\ {}^w \log xy & = 2 \, \, \, \, \text{(sifat 3)} \\ {}^w \log x + {}^w \log y & = 2 \\ {}^w \log x + 4 & = 2 \\ {}^w \log x & = 2 - 4 = -2 \, \, \, \, \text{(sifat 2)} \\ {}^x \log w & = \frac{1}{-2} = - \frac{1}{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ {}^x \log w = - \frac{1}{2} . \heartsuit $
Nomor 3
Persamaan kuadrat $ x^2 - (c+3)x + 9 = 0 \, $ mempunyai akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Jika $ x_1 < -2 \, $ dan $ x_2 < -2 , \, $ maka .....
(A) $ c < -\frac{19}{2} \, $ atau $ c > -9 $
(B) $ -\frac{19}{2} < c \leq -9 $
(C) $ -\frac{19}{2} < c \leq -7 $
(D) $ -9 < c < 3 $
(E) $ c > 3 $
$\clubsuit \, $ PK : $ x^2 - (c+3)x + 9 = 0 \, \rightarrow a = 1 , \, b = -(c+3) , \, c = 9 $
Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-(c+3))}{1} = c + 3 $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{9}{1} = 9 $
$\clubsuit \, $ Modifikasi akar-akarnya : $ x_1 < -2 \, $ dan $ x_2 < -2 $
$ x_1 < -2 \rightarrow x_1+2 < 0 \, $ (negatif)
$ x_2 < -2 \rightarrow x_2+2 < 0 \, $ (negatif)
$\clubsuit \, $ Jumlahkan keduanya, hasilnya juga negatif
$\begin{align} (x_1+2)+(x_2+2) & < 0 \, \, \, \, \, \text{ (negatif)} \\ x_1 + x_2 + 4 & < 0 \\ (c + 3) + 4 & < 0 \\ c & < -7 \, \, \, \, \, \text{ ....(HP1)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Kalikan keduanya, hasilnya juga positif (negatif kali negatif)
$\begin{align} (x_1+2)(x_2+2) & > 0 \, \, \, \, \, \text{ (positif)} \\ x_1.x_2 + 2(x_1+x_2) + 4 & > 0 \\ (9) + 2(c+3) + 4 & > 0 \\ 2c + 19 & > 0 \\ c & > -\frac{19}{2} \, \, \, \, \, \text{ ....(HP2)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Karena akar-akarnya $ x_1 < -2 \, $ dan $ x_2 < -2 \, $ , maka akar-akarnya bisa berbeda atau bisa juga sama (kembar), sehinggga syaratnya : $ D \geq 0 $
$\begin{align} D = b^2 - 4ac & \geq 0 \\ (-(c+3))^2 - 4.1.(9) & \geq 0 \\ c^2+6c + 9 - 36 & \geq 0 \\ c^2 + 6c - 27 & \geq 0 \\ (c-3)(c+9) & = 0 \\ c = 3 \vee c & = -9 \end{align}$
sbmptn_matdas_k328_1_2013.png
HP3 = $ \{ c \leq -9 \vee c \geq 3 \} $
Solusinya harus memenuhi ketiganya, yaitu irisannya.
Solusi : $ HP = HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ -\frac{19}{2} < c \leq -9 \} $
Jadi, solusinya HP $ = \{ -\frac{19}{2} < c \leq -9 \} . \heartsuit $
Nomor 4
Jika grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+bx+c$ mempunyai titik puncak (8,4) dan memotong sumbu-X negatif, maka ...
$\spadesuit \, $ Titik puncak fungsi (8,4) , artinya puncaknya ada pada kuadran I.
$\spadesuit \, $ kurva memotong sumbu X negatif. berdasarkan dua pernyataan di atas, maka gambarnya adalah :
sbmptn_matdas_k328_2_2013.png
$\spadesuit \, $ Kurva maksimum (puncak di atas) , maka nilai $a < 0$ .
$\spadesuit \, $ Kurva memotong sumbu Y positif, artinya nilai $ c > 0 $ .
$\spadesuit \, $ Titik puncak ada di kanan sumbu Y, berarti berlaku BeKa (beda kanan) artinya tanda $a$ dan $b$ tidak sama (harus berbeda). Karena $a < 0$ , maka nilai $b$ harus $b >0 $ .
Jadi, diperoleh $a < 0 , b > 0 , c > 0. \heartsuit $
Nomor 5
Ibu mendapat potongan harga sebesar 25% dari total pembelian darang di suatu toko. Toko tersebut membebankan pajak sebesar 10% dari harga total pembelian setelah dipotong. Jika $x$ adalah harga total pembelian, maka ibu harus membayar sebesar ...
$\clubsuit \, $ Misalkan $x$ adalah total pembelian barang sebelum kena diskon dan pajak.
$\clubsuit \, $ Potongan 25%
yang harus dibayar adalah 75%$x$
$\clubsuit \, $ kena pajak 10% setelah dipotong
besar pajak = $10\% . 75\% x$
$\clubsuit \, $ Total yang harus dibayar :
$\begin{align} \text{Total} \, & = 75\% x + 10\% . 75\% x \\ & = (1+10\% ) . 75\% x \\ &= (1+0,1) . 0,75 x \\ &= (1,1). 0,75 x \end{align}$
Jadi, ibu harus membayar sebesar $(1,1\times 0,75) x. \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Dasar kode 442 tahun 2013


Nomor 1
Jika $ 8^m = 27 \, $ , maka $ 2^{m+2} + 4^m = ...$
$\clubsuit \, $ Sifat - sifat eksponen :
$a^{m+n}=a^m.a^n; \, \, \, \, (a^m)^n = a^{m.n} = (a^n)^m ; $
$ a^n = b^n \rightarrow a = b $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan persamaan
$\begin{align} 8^m & = 27 \\ (2^3)^m & = 3^3 \\ (2^m)^3 & = 3^3 \\ 2^m & = 3 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} 2^{m+2} + 4^m & = 2^m . 2^2 + (2^2)^m \\ & = 4.2^m + (2^m)^2 \\ & = 4.3 + (3)^2 \\ & = 12 + 9 \\ 2^{m+2} + 4^m & = 21 \end{align}$
Jadi, $ 2^{m+2} + 4^m = 21 . \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ {}^a \log b + {}^b \log a = 3 , \, $ maka nilai $ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 \, $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
$ p^2 + q^2 = (p+q)^2 - 2pq $
$ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
$\spadesuit \, $ Misalkan $ p = {}^a \log b \, $ dan $ q = {}^b \log a $
$\begin{align} & {}^a \log b + {}^b \log a = 3 \\ & p + q = 3 \\ & p.q = {}^a \log b . {}^b \log a = {}^a \log a 1 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soal
$\begin{align} \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 & = p^2 + q^2 \\ & = (p+q)^2 - 2pq \\ & = (3)^2 - 2.1 \\ & = 9 - 2 \\ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 & = 7 \end{align} $
Jadi, nilai $ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 = 7. \heartsuit $

Cara II : Langsung kuadratkan
$\spadesuit \, $ Kuadratkan kedua ruas
$\begin{align} {}^a \log b + {}^b \log a & = 3 \\ \left( {}^a \log b + {}^b \log a \right)^2 & = 3^2 \\ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 + 2.{}^a \log b . {}^b \log a & = 9 \\ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 + 2.1 & = 9 \\ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 + 2 & = 9 \\ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 & = 9 - 2 \\ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 & = 7 \end{align} $
Jadi, nilai $ \left( {}^a \log b \right)^2 + \left( {}^b \log a \right)^2 = 7. \heartsuit $
Nomor 3
Persamaan kuadrat $ x^2 + ax - 2a^2 = 0 \, $ mempunyai akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ . Jika $ x_1+2x_2 = 1 , \, $ maka nilai $ a \, $ adalah .....
$\clubsuit \, $ PK : $ x^2 + ax - 2a^2 = 0 \, \rightarrow a = 1 , \, b = a , \, c = -2a^2 $
Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-a}{1} = -a \, $ ....pers(i)
Diketahui : $ x_1+2x_2 = 1 \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \, $ Eliminasi kedua persamaan
$ \begin{array}{cc} x_1+2x_2 = 1 & \\ x_1 + x_2 = - a & - \\ \hline x_2 = 1 + a & \end{array} $
$\clubsuit \, $ Substitusi $ x_2 = 1 + a \, $ ke PK
$\begin{align} x^2 + ax - 2a^2 & = 0 \\ (1+a)^2 + a.(1+a) - 2a^2 & = 0 \\ a^2 + 2a + 1 + a^2 + a - 2a^2 & = 0 \\ 3a + 1 & = 0 \\ 3a = -1 \rightarrow a & = - \frac{1}{3} \end{align}$
Jadi, nilai $ a = - \frac{1}{3} . \heartsuit $
Nomor 4
Jika grafik fungsi kuadrat $f(x)=ax^2+bx+c$ mempunyai titik puncak (8,4) dan memotong sumbu-X negatif, maka ...
$\spadesuit \, $ Titik puncak fungsi (8,4) , artinya puncaknya ada pada kuadran I.
$\spadesuit \, $ kurva memotong sumbu X negatif. berdasarkan dua pernyataan di atas, maka gambarnya adalah :
sbmptn_matdas_k422_2_2013.png
$\spadesuit \, $ Kurva maksimum (puncak di atas) , maka nilai $a < 0$ .
$\spadesuit \, $ Kurva memotong sumbu Y positif, artinya nilai $ c > 0 $ .
$\spadesuit \, $ Titik puncak ada di kanan sumbu Y, berarti berlaku BeKa (beda kanan) artinya tanda $a$ dan $b$ tidak sama (harus berbeda). Karena $a < 0$ , maka nilai $b$ harus $b >0 $ .
Jadi, diperoleh $a < 0 , b > 0 , c > 0. \heartsuit $
Nomor 5
Ibu mendapat potongan harga sebesar 25% dari total pembelian darang di suatu toko. Toko tersebut membebankan pajak sebesar 10% dari harga total pembelian setelah dipotong. Jika $x$ adalah harga total pembelian, maka ibu harus membayar sebesar ...
$\clubsuit \, $ Misalkan $x$ adalah total pembelian barang sebelum kena diskon dan pajak.
$\clubsuit \, $ Potongan 25%
yang harus dibayar adalah 75%$x$
$\clubsuit \, $ kena pajak 10% setelah dipotong
besar pajak = $10\% . 75\% x$
$\clubsuit \, $ Total yang harus dibayar :
$\begin{align} \text{Total} \, & = 75\% x + 10\% . 75\% x \\ & = (1+10\% ) . 75\% x \\ &= (1+0,1) . 0,75 x \\ &= (1,1). 0,75 x \end{align}$
Jadi, ibu harus membayar sebesar $(1,1\times 0,75) x. \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15