Tampilkan postingan dengan label sbmptn mat ipa. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label sbmptn mat ipa. Tampilkan semua postingan

Soal dan Pembahasan SBMPTN Kode 246 Matematika IPA tahun 2016


Nomor 1
Diketahui lingkaran menyinggung sisi-sisi persebi panjang dengan ukuran $ 12 \times 15$, seperti pada gambar. Garis CE menyinggung lingkaran. Panjang DE = ....
A). $ 4 \, $ B). $ 3\sqrt{2} \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 4\sqrt{3} \, $ E). $ 6 $
Nomor 2
Diketahi $\Delta ABC$, titik D pada AC, dengan AB = 8, BC = 10, AC = 12 dan $ \angle ACB = \angle CBD$. Panjang BD = .....
A). $\frac{16}{3} \, $ B). $\frac{17}{3} \, $ C). $\frac{18}{3} \, $ D). $ \frac{19}{3} \, $ E). $ \frac{20}{3} $
Nomor 3
Banyaknya nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $(\cos 3x + \tan 3x)(\cos 3x - \tan 3x) = 1 $ untuk $0 \leq x \leq 2\pi, \, x \neq \frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3} \, $ dan $ k $ bilangan asli, adalah ....
A). $ 12 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 4 $
Nomor 4
Jika pencerminan titik $P(s,t)$ terhadap garis $ x = a $ dan dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis $ y = b $ menghasilkan dilatasi sebesar 3 kali, maka $ ab = .... $
A). $st \, $ B). $ 2st \, $ C). $ 3st \, $ D). $ 4st \, $ E). $ 5st \, $
Nomor 5
Diketahui kubus ABCD.EFGH, titik P adalah titik potong diagonal AH dan DE, titik Q adalah titik potong diagonal BG dan CF. Nilai $ \sin \angle BPQ $ adalah ....
A). $ \frac{\sqrt{3}}{3} \, $ B). $ \frac{\sqrt{3}}{2} \, $ C). $ \frac{\sqrt{3}}{6} \, $ D). $ \frac{\sqrt{3}}{4} \, $ E). $ \frac{\sqrt{2}}{2} \, $
Nomor 6
Diketahui sisa pembagian suku banyak $ f(x)-g(x) $ oleh $ x^2 + x - 2 $ adalah $ x $ dan sisa pembagian $ f(x) + g(x) $ oleh $ x^2 - 3x + 2 $ adalah $ x+1$, maka sisa pembagian $ \left(f(x)\right)^2 - \left(g(x)\right)^2 $ oleh $ x- 1 $ adalah .....
A). $ \frac{3}{2} \, $ B). $ \frac{3}{4} \, $ C). $ \frac{1}{4} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $
Nomor 7
Grafik $ y = 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x $ berada di bawah grafik $ y = 3^x + 1 \, $ jika .....
A). $ 0 < x < 1 \, $ B). $ x > 1 \, $ C). $ x < 0 \, $
D). $ x > 3 \, $ E). $ 1 < x < 3 $

Nomor 8
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sin (x) - \left(\frac{1}{2}\right)\sin (x) \sqrt{x}}{x^\frac{3}{2}} = .... $
A). $ - \infty \, $ B). $ -\frac{7}{2} \, $ C). $ -\frac{5}{2} \, $ D). $ -\frac{3}{2} \, $ E). $ -\frac{1}{2} $
Nomor 9
Suatu barisan geometri semua sukunya positif. Jika $ \frac{u_1+u_2}{u_3+u_4}=\frac{1}{9} \, $ maka $ \frac{u_1 + u_2+u_3+u_4}{u_2+u_3}= .... $
A). $ \frac{10}{9} \, $ B). $ 3 \, $ C). $ \frac{10}{3} \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 10 $
Nomor 10
Misalkan $ f(x) = x^3 + 2x^2 + a $ dan $ g(x) = x + a $ berpotongan di sumbu-x, dengan $ a $ bilangan bulat. Nilai minimum dari $ f(x) $ di interval $ -1\leq x \leq 2 $ adalah ....
A). $ -\frac{4}{3} \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{2} \, $ E). $ 1 $
Nomor 11
Diketahui fungsi $ f(x) = f(x+2) $ untuk setiap $ x $. Jika $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, maka $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = .... $
A). $ B \, $ B). $ 2B \, $ C). $ 3B \, $ D). $ 4B \, $ E). $ 5B $
Nomor 12
Luas daerah di antar kurva $ y = -3a+4 $ dan kurva $ y = x^2-3a $ selalu bernilai konstan, yaitu $ k$. Nilai $ k $ adalah ....
A). $ \frac{34}{3} \, $ B). $ \frac{32}{3} \, $ C). $ \frac{28}{3} \, $ D). $ \frac{16}{3} \, $ E). $ \frac{8}{3} $
Nomor 13
Banyaknya bilangan genap $ n = abc $ dengan 3 digit sehingga $ 3 < b < c $ adalah .....
A). $ 48 \, $ B). $ 54 \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 64 \, $
E). $ 72 $
Nomor 14
Garis singgung kurva $ y = 3 - x^2 $ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-Y di titik R. Nilai $ a $ yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ....
A). $ 2\sqrt{3} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{4}\sqrt{3} $
Nomor 15
Misalkan vektor $ p = \left( {}^2 \log x^c , \, 2, \, {}^2 \log x^{2c} \right) $ dan $ q = \left( {}^2 \log x, \, 2, \, {}^2 \log x^{2c^2} \right) $ dengan $ 0 < x < \infty $. Nilai $ c $ yang memenuhi syarat agar $ p $ dan $ q $ membentuk sudut tumpul berada pada interval .....
A). $ \left(0, \, \frac{4}{3} \right) \, $ B). $ \left(-\frac{4}{3}, \, 0 \right) \, $
C). $ \left(-\frac{4}{3}, \, \frac{4}{3} \right) \, $ D). $ \left(-\frac{1}{3}, \, \frac{4}{3} \right) \, $
E). $ \left(\frac{1}{3}, \, \frac{4}{3} \right) $
Catatan :
Pembahasannya akan dilengkapi secara bertahap. Terima kasih.



Soal dan Pembahasan SBMPTN Kode 245 Matematika IPA tahun 2016


Nomor 1
Diketahui persegi dengan panjang sisi 12, dan setengah lingkaran dengan diameter pada alas, seperti pada gambar. Garis CE menyinggung lingkaran di titik F. Panjang CE = ....
A). $ 9\sqrt{2} \, $ B). $ 13 \, $ C). $ 15 \, $ D). $ 9\sqrt{3} \, $ E). $ 16 $
Nomor 2
Diketahi $\Delta ABC$, titik D pada AB, dengan AB = 8, BC = 6, AC = 4 dan $ \angle BCD = \angle CBD$. Panjang CD = .....
A). $\frac{20}{7} \, $ B). $\frac{24}{7} \, $ C). $\frac{26}{7} \, $ D). $ \frac{30}{7} \, $ E). $ \frac{32}{7} $
Nomor 3
Banyaknya nilai $ x $ ketika $ 0 \leq x \leq 5\pi $ yang memenuhi persamaan
$ \cos ^3 x + \cos ^2 x - 4\cos ^2 \left( \frac{x}{2} \right) = 0 $
adalah .....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 4
Jika vektor $ u = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) $ dicerminkan pada garis $ x = y $ kemudian dirotasikan sejauh 90$^\circ$ dengan pusat ($0,0$) menjadi vektor $ v$, maka $ u+v = ..... $
A). $\left( \begin{matrix} a \\ 0 \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} 2a \\ 0 \end{matrix} \right) \, $ C). $ \left( \begin{matrix} 2a \\ 2b \end{matrix} \right) \, $ D). $ \left( \begin{matrix} 0 \\ 2b \end{matrix} \right) \, $ E). $ \left( \begin{matrix} 0 \\ b \end{matrix} \right) \, $
Nomor 5
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan P merupakan titik tengah BF, dan Q merupakan titik tengah DC. Jika $\angle PHQ = \theta$, maka $ \cos \theta = .... $
A). $ \frac{2}{15}\sqrt{5} \, $ B). $ \frac{4}{15}\sqrt{5} \, $ C). $ \frac{2}{5}\sqrt{5} \, $ D). $ \frac{9}{130}\sqrt{65} \, $ E). $ \frac{4}{15}\sqrt{65} \, $
Nomor 6
Jika sisa pembagian $ f(x) $ oleh $ x^3 - 3x + 5 $ adalah $ 3x^2-2$, dan sisa pembagian $ (x+f(x))^2$ oleh $ x^3-3x+5$ adalah $ ax^2+bx+c$, maka $ a - b - c = .... $
A). $ 33 \, $ B). $ 43 \, $ C). $ 53 \, $ D). $ 63 \, $ E). $ 73 $
Nomor 7
Grafik $ y = 3^{x+1} - \left(\frac{1}{9} \right)^x $ berada di bawah grafik $ y = 3^x + 1 \, $ jika .....
A). $ 0 < x < 1 \, $ B). $ x > 1 \, $ C). $ x < 0 \, $
D). $ x > 3 \, $ E). $ 1 < x < 3 $

Nomor 8
$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\tan (-x + h) - \tan (-x-h)}{h\sqrt{4-h^2}} = .... $
A). $ \sec ^2 x \, $ B). $ 2\sec ^2 x \, $ C). $ 4\sec ^2 x \, $ D). $ \sec x \, $ E). $2\sec x $
Nomor 9
Jika dalam sebuah barisan geometri jumlah 10 suku pertamanya adalah 341 dan $u_{n+2}:u_{n-1}=8$, maka $ u_1 + u_4 = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 $
Nomor 10
Nilai konstanta positif $ a $ yang mungkin sehingga $ \frac{451}{50} $ merupakan nilai minimum dari fungsi $ f(x) = (a^2+1)x^2 - 2ax + 10 $ untuk $ x \in \left[ 0, \frac{1}{2}\right] $ adalah ....
A). $ 7 \, $ B). $ 5 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 2 $
Nomor 11
Diketahui fungsi $ f(x) = f(x+2) $ untuk setiap $ x $. Jika $ \int \limits_0^2 f(x) \, dx = B $, maka $ \int \limits_3^7 f(x+8) \, dx = .... $
A). $ B \, $ B). $ 2B \, $ C). $ 3B \, $ D). $ 4B \, $ E). $ 5B $
Nomor 12
Misalkan D adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu-Y, daris $ y = 4$, dan kurva $ y = x^2$. Jika garis $ y = k $ membagi dua daerah D sama besar, maka $ k^3 = .... $
A). $ 8 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 11 \, $ D). $ 14 \, $ E). $ 16 $
Nomor 13
Banyaknya bilangan genap $ n = abc $ dengan 3 digit sehingga $ 3 < b < c $ adalah .....
A). $ 48 \, $ B). $ 54 \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 64 \, $
E). $ 72 $
Nomor 14
Garis singgung kurva $ y = 3 - x^2 $ di titik $P(-a,b)$ dan $Q(a,b)$ memotong sumbu-Y di titik R. Nilai $ a $ yang membuat segitiga PQR sama sisi adalah ....
A). $ 2\sqrt{3} \, $ B). $ \sqrt{3} \, $ C). $ \frac{1}{2}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \frac{1}{4}\sqrt{3} $
Nomor 15
Misalkan $ g $ adalah garis singgung lingkaran $ x^2+y^2=25 $ di titik A(3,4). Jika garis singgung tersebut ditransformasikan dengan matriks rotasi $ \left( \begin{matrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{matrix} \right)$, maka absis dari titik potong antara garis singgung lingkaran dengan garis hasil transformasi adalah ....
A). $ \frac{7}{2} \, $ B). $ \frac{18}{5} \, $ C). $ 4 \, $ D). $ \frac{24}{5} \, $ E). $ 5 $



Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 517 tahun 2015


Nomor 1
Misalkan titik A dan B pada lingkaran $ x^2 + y^2 - 6x - 2y + k = 0 \, $ sehingga garis singgung lingkaran di titik A dan B berpotongan di titik C(8,1). Jika luas segiempat yang melalui A, B, C, dan pusat lingkaran adalah 12, maka $ k = .... $
Cara I :
$\clubsuit \, $ Konsep dasar lingkaran :
*). Persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Pusatnya : $ (a,b)= \left( -\frac{A}{2}, - \frac{B}{2} \right) $
Jari-jarinya : $ r^2 = a^2 + b^2 - C $
$\clubsuit \, $ Persamaan garis singgung lingkaran di titik ($x_1,y_1$)
$ x_1.x + y_1.y + A \frac{(x_1+x)}{2} + B\frac{(y_1+y)}{2} + C = 0 $
$\clubsuit \, $ Jarak titik ($x_1,y_1$) dan ($x_2,y_2$) : Jarak $ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 } $
$\clubsuit \, $ Menentukan unsur-unsur lingkaran :
$ x^2 + y^2 - 6x - 2y + k = 0 \rightarrow A = -6, \, B = -2, \, C = k $
Pusat lingkaran : $ (a,b)= \left( -\frac{-6}{2}, - \frac{-2}{2} \right) = (3,1) $
Jari-jari : $ r^2 = a^2 + b^2 - C \rightarrow r^2 = 3^2 + 1^2 - k \rightarrow r^2 = 10 - k \, $ ....pers(i)
Gambar ilustrasinya :
sbmptn_mat_ipa_kode_517_3_2015
Panjang $ OC = 5 $
$\clubsuit \, $ Menentukan titik A($x_1,y_1$)
*). Segitiga AOC dan segitiga BOC kongruen sehingga luas segiempat AOBC adalah 2 kali segitiga AOC.
$ \begin{align} \text{Luas segiempat } AOBC & = 12 \\ 2 \times \text{Luas } AOC & = 12 \\ \text{Luas } AOC & = 6 \\ \frac{1}{2}.OC.AD & = 6 \\ \frac{1}{2}.5.AD & = 6 \\ AD & = \frac{12}{5} \end{align} $
Sehingga $ y_1 = AD + 1 = \frac{12}{5} + 1 = \frac{17}{5} $
*). Persamaan garis singgung pada titik A($x_1,y_1$) dan melalui titik (8,1). Substitusi titik (8,1)
$ \begin{align} x_1.x + y_1.y -6. \frac{(x_1+x)}{2} -2.\frac{(y_1+y)}{2} + k & = 0 \\ x_1.x + y_1.y -3 (x_1+x) -(y_1+y) + k & = 0 \, \, \, \, \, \text{(substitusi (8,1))} \\ x_1.8 + y_1.1 -3 (x_1+8) -(y_1+1) + k & = 0 \\ 8x_1 + y_1 -3 x_1-24 -y_1 - 1 + k & = 0 \\ 5x_1 - 25 + k & = 0 \\ x_1 & = \frac{25-k}{5} \end{align} $
Sehingga titik A adalah $ A(x_1,y_1) = A\left( \frac{25-k}{5}, \frac{17}{5} \right) $
$\clubsuit \, $ Jari-jari lingkaran adalah OA ($r = |OA|$)
$ \begin{align} |OA| & = \sqrt{(x_1-3)^2 + (y_1-1)^2} \\ |OA| & = \sqrt{(\frac{25-k}{5}-3)^2 + (\frac{17}{5}-1)^2} \\ |OA| & = \sqrt{(\frac{10-k}{5})^2 + (\frac{12}{5})^2} \\ |OA|^2 & = (\frac{10-k}{5})^2 + (\frac{12}{5})^2 \end{align} $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ k \, $ dari pers(i) :
$ \begin{align} |OA| & = r \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ |OA|^2 & = r^2 \\ (\frac{10-k}{5})^2 + (\frac{12}{5})^2 & = 10 - k \\ \frac{k^2 - 20k + 100}{25} + \frac{144}{25} & = 10 - k \, \, \, \, \, \text{(kali 25)} \\ k^2 - 20k + 100 + 144 & = 250 - 25k \\ k^2 + 5k - 6 & = 0 \\ (k-1)(k+6) & = 0 \\ k = 1 \vee k & = -6 \end{align} $
Jadi, nilai $ k = 1 . \heartsuit $

Cara II :
$\clubsuit \, $ Konsep dasar lingkaran :
*). Persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Pusatnya : $ (a,b)= \left( -\frac{A}{2}, - \frac{B}{2} \right) $
Jari-jarinya : $ r^2 = a^2 + b^2 - C $
$\clubsuit \, $ Menentukan unsur-unsur lingkaran :
$ x^2 + y^2 - 6x - 2y + k = 0 \rightarrow A = -6, \, B = -2, \, C = k $
Pusat lingkaran : $ (a,b)= \left( -\frac{-6}{2}, - \frac{-2}{2} \right) = (3,1) $
Jari-jari : $ r^2 = a^2 + b^2 - C \rightarrow r^2 = 3^2 + 1^2 - k \rightarrow k = 10 - r^2 \, $ ....pers(i)
Gambar ilustrasinya :
sbmptn_mat_ipa_kode_517_3_2015
Panjang $ OC = 5 $
$\clubsuit \, $ Teorema Pythagoras pada segitiga AOC
$ \begin{align} OC^2 & = AO^2 + AC^2 \\ 5^2 & = r^2 + AC^2 \\ AC^2 & = 25 - r^2 \\ AC & = \sqrt{25 - r^2} \end{align} $
$\clubsuit \, $ Segitiga AOC dan segitiga BOC kongruen sehingga luas segiempat AOBC adalah 2 kali segitiga AOC.
$ \begin{align} \text{Luas segiempat } AOBC & = 12 \\ 2 \times \text{Luas } AOC & = 12 \\ \text{Luas } AOC & = 6 \\ \frac{1}{2}.OA.AC & = 6 \\ r.\sqrt{25 - r^2} & = 12 \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ r^2.(25 - r^2) & = 144 \\ r^4 - 25r^2 + 144 & = 0 \\ (r^2 - 9)(r^2 -16) & = 0 \\ r^2 = 9 \vee r^2 & = 16 \end{align} $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ k \, $ dari nilai $ r^2 \, $ dan pers(i) :
$ \begin{align} r^2 = 9 \rightarrow k & = 10 - r^2 \\ k & = 10 - 9 = 1 \\ r^2 = 16 \rightarrow k & = 10 - r^2 \\ k & = 10 - 16 = -6 \end{align} $
Jadi, nilai $ k = 1 . \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ \sin \left( x + 15^\circ \right) = a \, $ dengan $ 0^\circ \leq x \leq 15^\circ , \, $ maka nilai $ \sin \left( 2x + 60^\circ \right) \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar trigonometri
$ \sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
$ \sin 2A = 2 \sin A \cos A $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai trigonometri
$ \sin (x+15^\circ ) = a \rightarrow \sin (x+15^\circ ) = \frac{a}{1} = \frac{de}{mi} $
gambar segitiga untuk sudut $ (x+15^\circ ) $ :
sbmptn_mat_ipa_kode_517_4_2015
sehingga nilai $ \cos (x+15^\circ ) = \frac{sa}{mi} = \frac{\sqrt{1-a^2}}{1} = \sqrt{1-a^2} $
*). Nilai $ \sin 2(x+15^\circ ) $
$\begin{align} \sin 2(x+15^\circ ) & = 2 \sin (x+15^\circ ) . \cos (x+15^\circ ) \\ \sin 2(x+15^\circ ) & = 2 a \sqrt{1-a^2} \end{align}$
gambar segitiga untuk sudut $ 2(x+15^\circ ) $ :
sbmptn_mat_ipa_kode_517_4a_2015
Cara menentukan nilai $ x $
$\begin{align} x^2 & = 1^2 - (2 a \sqrt{1-a^2})^2 \\ x & = \sqrt{1^2 - (2 a \sqrt{1-a^2})^2 } \\ x & = \sqrt{1 - (4 a^2(1-a^2)) } \\ & = \sqrt{1 - (4 a^2 - 4a^4) } \\ & = \sqrt{1 - 4 a^2 + 4a^4 } \\ & = \sqrt{(1-2a^2)^2 } \\ x & = 1-2a^2 \end{align}$
sehingga nilai $ \cos 2(x+15^\circ ) = \frac{samping}{miring} = \frac{1-2a^2}{1} = 1-2a^2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \sin \left( 2x + 60^\circ \right) \, $ dan gunakan $ \sin (A+B) $
$\begin{align} \sin \left( 2x + 60^\circ \right) & = \sin \left( 2x + 30^\circ + 30^\circ \right) \\ & = \sin \left( \underbrace{2(x + 15^\circ )}_{A} + \underbrace{30^\circ }_{B} \right) \\ & = \sin A \cos B + \cos A \sin B \\ & = \sin 2(x + 15^\circ ) \cos 30^\circ + \cos 2(x + 15^\circ ) \sin 30^\circ \\ & = 2 a \sqrt{1-a^2} . \frac{1}{2} \sqrt{3} + (1-2a^2) . \frac{1}{2} \\ & = a \sqrt{1-a^2} \sqrt{3} + \frac{1}{2} - a^2 \\ & = a \sqrt{3(1-a^2)} + \frac{1}{2} - a^2 \\ & = \frac{1}{2} - a^2 + a \sqrt{3(1-a^2)} \end{align}$
Jadi, nilai $ \sin \left( 2x + 60^\circ \right) = \frac{1}{2} - a^2 + a \sqrt{3(1-a^2)} . \, \heartsuit $
Nomor 3
Diketahui $\vec{a} = 2\vec{i} - 2\vec{j} - \vec{k} \, $ dan $ \vec{b} = \vec{i} - 4\vec{j}. \, $ Luas jajaran genjang yang dibentuk oleh $ \vec{a} + \vec{b} \, $ dan $ \vec{a} \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar vektor :
*). Misalkan ada vektor $ \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \, $ dan $ \vec{b} = (b_1,b_2,b_3) $
i).Penjumlahan : $ \vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3) $
ii).Perkalian dot : $ \vec{a} . \vec{b} = a_1. b_1 + a_2 . b_2 + a_3 . b_3 $
iii).Panjang vektor : $ |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 } $
iv). Sudut dua vektor : $ \cos \theta = \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|.|\vec{b}|} $
$\clubsuit \, $ Konsep Luas pada segitiga ABC
Luas segitiga ABC = $ \frac{1}{2} . AB. AC. \sin A $
$\clubsuit \, $ Diketahui vektor-vektor berikut :
$ \vec{a} = 2\vec{i} - 2\vec{j} - \vec{k} \rightarrow \vec{a} = (2, - 2, - 1) $
$ \vec{b} = \vec{i} - 4\vec{j} \rightarrow \vec{b} = (1, -4, 0 ) $
$ \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (3, -6, -1) $
$ \vec{a} . \vec{c} = 2.3 + (-2).(-6) + (-1).(-1) = 6 +12 + 1 = 19 $
$ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-1)^2 } = \sqrt{9} = 3 $
$ |\vec{c}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + (-1)^2 } = \sqrt{46} $
$\clubsuit \, $ Menentukan besarnya sudut $ \vec{a} \, $ dan $ \vec{c} $
$ \cos \theta = \frac{\vec{a}.\vec{c}}{|\vec{a}|.|\vec{c}|} = \frac{19}{3.\sqrt{46}} \rightarrow \cos \theta = \frac{19}{3\sqrt{46}} $
gambar segitganya :
sbmptn_mat_ipa_kode_517_5_2015
Sehingga nilai $ \sin \theta = \frac{\sqrt{53}}{3\sqrt{46}} $
$\clubsuit \, $ Gambar jajargenjang yang dibentuk oleh $ \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} \, $ dan $ \vec{a} $
sbmptn_mat_ipa_kode_517_5a_2015
$\clubsuit \, $ Menentukan luas jajargenjang
$\begin{align} \text{ Luas jajargenjang } & = 2 L_{\Delta ABD} \\ & = 2 . \frac{1}{2} . AB . AD . \sin \theta \\ & = AB. AD . \sin \theta \\ & = 3. \sqrt{46} . \frac{\sqrt{53}}{3\sqrt{46}} \\ & = \sqrt{53} \end{align}$
Jadi, luas jajargenjang adalah $ \sqrt{53} . \, \heartsuit $
Nomor 4
Pencerminan garis $ y = -x + 2 \, $ terhadap garis $ y = 3 \, $ menghasilkan garis ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar pencerminan (refleksi)
Titik ($x,y$) dicerminkan terhadap garis $ y = m , \, $ bayangannya ($x^\prime , y^\prime$) :
$ (x^\prime , y^\prime) = ( x, 2m-y) $
artinya $ x^\prime = x, \, $ dan $ y^\prime = 2m - y $
$\spadesuit \, $ Karena yang ditransformasi (dicerminkan) adalah garis (suatu persamaan), maka cukup kita transformasi titik ($x,y$) saja (ini berlaku umum untuk semua jenis transformasi).
$\spadesuit \, $ Pencerminan terhadap garis $ y = 3 $
$\begin{align} (x^\prime , y^\prime) & = ( x, 2m-y) \\ (x^\prime , y^\prime) & = ( x, 2.3-y) \\ (x^\prime , y^\prime) & = ( x, 6-y) \end{align}$
diperoleh $ x^\prime = x, \, $ dan $ y^\prime = 6-y \rightarrow y = 6 - y^\prime $
$\spadesuit \, $ Menentukan bayangan dengan substitusi $ x = x^\prime \, $ dan $ y = 6 - y^\prime $
Persamaan awal : $ y = -x + 2 $
$\begin{align} \text{bayangan : } 6 - y^\prime & = -x^\prime + 2 \\ y^\prime & = x^\prime + 4 \end{align}$
Jadi, bayangannya adalah $ y = x + 4 . \, \heartsuit $
Nomor 5
Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4, titik P terletak pada segmen AF sehingga PF = 2AP. Titik Q adalah titik potong garis GP dan bidang ABCD. Jika $ \alpha \, $ adalah sudut yang terbentuk antara garis GQ dan garis DA, maka nilai $ \cos \alpha \, $ adalah ....
sbmptn_mat_ipa_kode_517_1_2015
$\clubsuit \, $ Menentukan unsur-unsur kubus dengan panjang rusuk kubus : $ s = 4 $
*). Panjang AF = diagonal sisi = $ s\sqrt{2} = 4\sqrt{2} $
*). PF = 2AP $ \rightarrow \frac{PF}{AP} = \frac{2}{1} $
sehingga $ AP = \frac{1}{3} AF = \frac{1}{3} . 4\sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{3} $
*).Panjang AQ dari segitiga berikut,
sbmptn_mat_ipa_kode_517_1a_2015
Segitiga APQ sebangun dengan segitiga GDQ :
$\begin{align} \frac{AQ}{DQ} & = \frac{AP}{DG} \\ \frac{x}{x + 4} & = \frac{\frac{1}{3}4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} \\ \frac{x}{x + 4} & = \frac{1}{3} \\ 3x & = x + 4 \\ x & = 2 \\ GQ & = \sqrt{DQ^2 + GD^2 } \\ GQ & = \sqrt{6^2 + (4\sqrt{2})^2 } \\ GQ & = \sqrt{36 + 32 } \\ GQ & = \sqrt{68 } = 2\sqrt{17} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ \cos \alpha \, $ dari segitiga GDQ
$\begin{align} \cos \alpha = \frac{samping}{miring} = \frac{6}{2\sqrt{17}} = \frac{3}{\sqrt{17}} \end{align}$
Jadi, nilai $ \cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{17}} . \, \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 542 tahun 2014


Hallow sobat, bagaimana kabarnya???? Mudah-mudahan baik-baik saja!!!!
      Berikut kami share pembahasan soal SBMPTN Matematika IPA kode 542 tahun 2014 untuk kode yang ke enam matematika IPA tahun 2014. Lumayan bisa untuk latihan bagi adik-adik untuk enam kode yang ada, dan jika sobat ada yang mempunyai soal SBMPTN dengan kode yang berbeda, mohon share ke blog kami ya, atau krim ke email kami d.4rm.408@gmail.com langsung. Terima kasih sebelumnya.
      Soal SBMPTN Matematika IPA kode 542 ini sama dengan kode 591 , yang artinya soalnya akan sama dengan kode yang lainnya yaitu kode 541,543,544, 592,593, dan kode 594, hanya saja nomor soalnya yang diacak. Selamat belajar teman-teman, semoga bermanfaat.
      Untuk soal nomor satu melibatkan materi persamaan kuadrat dan turunan yang digunakan untuk menentukan nilai minimumnya. di sini kita menyediakan dua alternatif penyelesaian. Untuk soal nomor dua melibatkan teori trigonometri dan deret geometri tak hingga serta bentuk pertidaksamaan. Dari pilihan jawaban, sebenarnya yang diminta adalah rentang nilai $ s \, $ dengan menerapkan deret tak hingga dan nilai maksimum/minimum fungsi trigonometri.
      Pada soal nomor 3 relatif mudah karena hanya butuh kemampuan untuk memfaktorkan suatu bentuk persamaan suku banyak (polinomial) dan mampu memilih jenis akar-akar realnya (bilangan real) . Penerapan kaidah pencacahan yaitu permutasi berulang digunakan untuk menyelesaikan soal nomor 4. mohon maaf karena disini kita menyelesaikannya harus dengan mendaftar seperti itu, jika ada alternatif lain mohon untuk di share di sini ya.
      Soal nomor 5 melibatkan konsep dimensi tiga yang menitik beratkan pada bidang irisan. Pada soal ini, yang sulit memang menentukan dan menggambar bidang irisannya. Salah satu cara yang bisa kita gunakan adalah dengan bantuan sumbu afinitas (garis afinitas = garis yang terbentuk dari perpotongan bidang irisan dengan bidang alas)
Nomor 1
Jika $ p \, $ dan $ q \, $ merupakan akar-akar persamaan kuadrat : $ x^2 -(a+1)x + \left( -a-\frac{5}{2} \right) = 0 \, $ maka nilai minimum $ p^2 + q^2 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ PK : $ x^2 -(a+1)x + \left( -a-\frac{5}{2} \right) = 0 \, \, \, \, $ akar-akarnya $ p \, $ dan $ q \, $
Operasi akar-akarnya :
$ p+q = \frac{-b}{a} = \frac{a+1}{1} = a+1 \, \, $ dan $ p.q = \frac{c}{a} = -a-\frac{5}{2} $
$\clubsuit \, $ Menentukan bentuk $ p^2 + q^2 $
$\begin{align} p^2 + q^2 & = (p+q)^2 - 2pq \\ f(a) & = (a+1)^2 - 2 (-a-\frac{5}{2}) \\ f(a) & = a^2 + 2a + 1 + 2a + 5 \\ f(a) & = a^2 + 4a + 6 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai minimum, syarat : $ f^\prime (a) = 0 $
$\begin{align} f(a) & = a^2 + 4a + 6 \\ f^\prime (a) & = 2a + 4 \\ f^\prime (a) & = 0 \\ 2a + 4 & = 0 \rightarrow a = -2 \end{align}$
artinya $ p^2 + q^2 \, $ minimum saat $ a = -2 \, $
$\clubsuit \, $ Substitusi nilai $ a = -2 $
$\begin{align} a = -2 \rightarrow p^2 + q^2 = f(a) & = a^2 + 4a + 6 \\ f(-2) & = (-2)^2 + 4(-2) + 6 \\ & = 4 - 8 + 6 = 2 \end{align}$
Jadi, nilai minimum $ p^2 + q^2 \, $ adalah 2 . $ \heartsuit $

Cara II : Menggunakan diskriminan
$\clubsuit \, $ PK : $ x^2 -(a+1)x + \left( -a-\frac{5}{2} \right) = 0 \, \, \, \, $ akar-akarnya $ p \, $ dan $ q \, $
Operasi akar-akarnya :
$ p+q = \frac{-b}{a} = \frac{a+1}{1} = a+1 \, \, $ dan $ p.q = \frac{c}{a} = -a-\frac{5}{2} $
$\clubsuit \, $ Menentukan bentuk $ p^2 + q^2 $
$\begin{align} p^2 + q^2 & = (p+q)^2 - 2pq \\ f(a) & = (a+1)^2 - 2 (-a-\frac{5}{2}) \\ f(a) & = a^2 + 2a + 1 + 2a + 5 \\ f(a) & = a^2 + 4a + 6 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Karena fungsinya berbentuk fungsi kuadrat, sehingga nilai minimumnya adalah $ \frac{D}{-4a} $
$\begin{align} f(a) & = a^2 + 4a + 6 \rightarrow a = 1, b=4, c= 6 \\ f_\text{minimum} & = \frac{D}{-4a} \\ & = \frac{b^2-4ac}{-4a} \\ & = \frac{4^2-4.1.6}{-4.1} \\ f_\text{minimum} & = \frac{-8}{-4} = 2 \end{align}$
Jadi, nilai minimum $ p^2 + q^2 \, $ adalah 2 . $ \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ s = 1 + \frac{1}{2} \sin 2x + \frac{1}{4} \sin ^2 2x + \frac{1}{8} \sin ^3 2x + .... \, $ , maka .... .
(A) $ \frac{2}{3} < s < 2 $
(B) $ \frac{3}{2} < s < 2 $
(C) $ \frac{2}{3} < s < \frac{3}{2} $
(D) $ \frac{1}{2} < s < \frac{3}{2} $
(E) $ \frac{1}{2} < s < \frac{2}{3} $
$\spadesuit \, $ Konsep Deret tak hingga : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
$ s = 1 + \frac{1}{2} \sin 2x + \frac{1}{4} \sin ^2 2x + \frac{1}{8} \sin ^3 2x + .... \, $
$ a = 1, \, \, $ dan $ r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{ \frac{1}{2} \sin 2x }{ 1} = \frac{1}{2} \sin 2x $
$\spadesuit \, $ Menentukan jumlahnya
$\begin{align} s & = 1 + \frac{1}{2} \sin 2x + \frac{1}{4} \sin ^2 2x + \frac{1}{8} \sin ^3 2x + .... \\ s & = s_\infty = \frac{a}{1-r} \\ s & = \frac{1}{1- \frac{1}{2} \sin 2x } \end{align}$
nilai maksimum dan minimum dari $ \sin 2x \, $ 1 dan -1.
*) Nilai maksimum dari $ s = \frac{1}{1- \frac{1}{2} \sin 2x } \, $ diperoleh pada saat nilai penyebutnya minimum, bentuk $ 1- \frac{1}{2} \sin 2x \, $ minimum saat nilai $ \sin 2x \, $ maksimum, sehingga nilai $ \sin 2x = 1 $
**) Nilai minimum dari $ s = \frac{1}{1- \frac{1}{2} \sin 2x } \, $ diperoleh pada saat nilai penyebutnya maksimum, bentuk $ 1- \frac{1}{2} \sin 2x \, $ maksimum saat nilai $ \sin 2x \, $ minimum, sehingga nilai $ \sin 2x = -1 $
$\spadesuit \, $ Menentukan rentang nilai $ s $
$\begin{align} \sin 2x = 1 \rightarrow s & = \frac{1}{1- \frac{1}{2} \sin 2x } \\ s_\text{maks} & = \frac{1}{1- \frac{1}{2} .1 } \\ s_\text{maks} & = \frac{1}{1- \frac{1}{2} } = \frac{1}{ \frac{1}{2} } = 2 \\ \sin 2x = -1 \rightarrow s & = \frac{1}{1- \frac{1}{2} \sin 2x } \\ s_\text{min} & = \frac{1}{1- \frac{1}{2} .(-1) } \\ s_\text{min} & = \frac{1}{1+ \frac{1}{2} } = \frac{1}{ \frac{3}{2} } = \frac{2}{3} \end{align}$
Sehingga rentang nilai $ s \, $ adalah $ _\text{min} < s < _\text{maks} \, $ yaitu $ \frac{2}{3} < s < 2 $
Jadi, nilai $ s \, $ ada pada interval $ \frac{2}{3} < s < 2 . \heartsuit $
Nomor 3
Banyaknya akar real $f(t)=t^9-t$ adalah ... buah.
$\spadesuit \, $ Bentuk pemfaktoran :
$p^2-q^2=(p-q)(p+q)\, $ atau $\, p^n-1=(p^{n/2}-1)(p^{n/2}+1)$
dengan $n$ genap
$\spadesuit \, $ Untuk menentukan akar-akarnya, maka $f(t)=0$
$\begin{align} f(t)&=0 \\ t^9-t&=0 \\ t(t^8-1)&=0 \\ t(t^4-1)(t^4+1)&=0 \\ t(t^2-1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \\ t(t-1)(t+1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Sehingga akar-akarnya:
$t=0,t=1,t=-1$ dan $t^2=-1$ (tidak real) serta $t^4=-1$ (tidak real).
Jadi, akar-akar realnya ada tiga yaitu 0, 1, dan -1. $ \, \heartsuit $
Nomor 4
Banyak cara menempatkan 10 kelereng identik ke dalam 5 kotak dengan setiap kotak memuat paling sedikit 1 kelereng adalah ....
$\spadesuit \, $ Karena kelereng identik, maka yang menentukan urutannya adalah banyaknya kelereng setiap kotak , artinya jika isi setiap kotak 2 2 2 2 2 , maka hanya ada satu susunan karena diacak seperti apapun tidak akan berpengaruh sebab kelerengnya identik . Dan untuk susunan 6 1 1 1 1 akan berbeda dengan 1 6 1 1 1 .
$\spadesuit \, $ Untuk kasus ini, kita harus menggunakan permutasi berulang.
Konsep permutasi berulang : Banyaknya huruf dibagi dengan huruf yang sama saja.
Misalkan ada kata "BAHAGIA" akan disusun ulang, maka ada $ \frac{7!}{3!} \, $ kata yang diperoleh (banyak huruf ada 7, huruf "A" ada 3 yang sama) . Misalkan lagi ada kata "MATEMATIKA" akan disusun ulang, maka ada $ \frac{10!}{2!.3!.2!} \, $ kata yang diperoleh (banyak huruf ada 10, huruf yang kembar : "M" ada 2, "A" ada 3, "T" ada 2).
Pada kasus ini anggap saja banyaknya kelereng setiap kotak mewakili sebuah huruf, misalkan susunan 6 1 1 1 1 (artinya kotak I ada 6 kelereng, kotak II ada 1 kelereng, kotak III ada 1 kelereng, kotak IV ada 1 kelereng, kotak V ada 1 kelereng) bisa disusun ulang lagi (misalkan 1 6 1 1 1) akan ada $ \frac{5!}{4!} = 5 \, $ susunan ( total angka ada 5, angka kembar : angka 1 ada 4 yang kembar).
$\spadesuit \, $ Menentukan susunan yang mungkin dan banyak caranya dari 10 kelereng yang diletakkan pada 5 kotak dengan setiap kotak memuat paling sedikit 1 kelereng
Kemungkinan I : 6 1 1 1 1 , banyak cara = $ \frac{5!}{4!}= 5 $
Kemungkinan II : 5 2 1 1 1 , banyak cara = $ \frac{5!}{3!}= 20 $
Kemungkinan III : 4 3 1 1 1 , banyak cara = $ \frac{5!}{3!}= 20 $
Kemungkinan IV : 4 2 2 1 1 , banyak cara = $ \frac{5!}{2!.2!}= 30 $
Kemungkinan V : 3 3 2 1 1 , banyak cara = $ \frac{5!}{2!.2!}= 30 $
Kemungkinan VI : 3 2 2 2 1 , banyak cara = $ \frac{5!}{3!}= 20 $
Kemungkinan VII : 2 2 2 2 2 , banyak cara = $ \frac{5!}{5!}= 1 $
Sehingga total cara = 5 + 20 + 20 + 30 + 30 20 + 1 = 126 cara
Jadi, banyak caranya ada 126 cara. $ \heartsuit $
Nomor 5
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $ 2p . \, $ Titik-titik P, Q, dan R masing-masing adalah titik tengah FB, FG, dan AD. Luas penampang irisan bidang yang melalui P, Q, dan R dan kubus ABCD.EFGH adalah .....
$\clubsuit \, $ Gambar
sbmptn_1_mat_ipa_k542_2014.png
Bidang irisannya adalah bidang NPQLMR berwarna hijau di dalam kubus. Bidang irisannya membentuk segienam beraturan sehingga ada 6 segitiga sama sisi yang menyusunnya, salah satunya segitiga NOP.
Segitiga NBP , panjang
$ NP = \sqrt{NB^2 + BP^2} = \sqrt{p^2 + p^2 } = \sqrt{2p^2} = p\sqrt{2} $
sehingga panjang NO = OP = NP = $ p\sqrt{2} \, $ seperti pada gambar di atas
$\clubsuit \, $ Menentukan luas segitiga NOP
$\begin{align} \text{ Luas NOP } & = \frac{1}{2} . NO . OP . \sin 60^\circ \\ & = \frac{1}{2} . p\sqrt{2} . p\sqrt{2} . \frac{1}{2} \sqrt{3} \\ \text{ Luas NOP } & = \frac{1}{2}p^2 \sqrt{3} \end{align}$
Sehingga luas bidang irisannya :
Luas = 6 $ \times \, $ Luas NOP = $ 6 \times \frac{1}{2}p^2 \sqrt{3} = 3p^2 \sqrt{3} $
Jadi, luas bidang irisannya adalah $ 3p^2 \sqrt{3} . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 586 tahun 2014


Nomor 1
Jika $ f(x+y) = f(x) + f(y) + x^2y + xy^2 \, $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f(x)}{x} = 3 \, , $ maka $ f^\prime (0) = .... $
$\clubsuit \, $ Menghitung nilai limitnya
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f(x)}{x} & = 3 \\ \frac{f(0)}{0} & = 3 \\ \infty & \neq 3 \end{align}$
Setelah disubstitusi $ x = 0 \, $ diperoleh nilai limitnya tidak sama dengan 3. Agar nilai limitnya sama dengan 3, maka bentuk limitnya harus bentuk tak tentu ( $ \frac{0}{0} $ ) sehingga bisa diproses lagi salah satunya dengan turunan.
$\clubsuit \, $ Konsep penerapan turunan pada limit :
$ \displaystyle \lim_{x \to a } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \rightarrow \displaystyle \lim_{x \to a } \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a } \frac{f^ \prime (x)}{g^\prime (x)} $
sampai hasilnya tidak $ \frac{0}{0} $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan limit dengan turunan
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f(x)}{x} & = 3 \, \, \, \text{(pembilang dan penyebut diturunkan)} \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f^\prime (x)}{1} & = 3 \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } f^\prime (x) & = 3 \\ f^\prime (0) & = 3 \end{align}$
Jadi, nilai $ f^\prime (0) = 3 . \heartsuit $
Catatan : Bentuk fungsi $ f(x+y) = f(x) + f(y) + x^2y + xy^2 \, $ tidak berpengaruh pada soal ini.
Nomor 2
Misalkan suatu lingkaran dan persegi masing-masing mempunyai luas $ L \, $ dan $ P \, . $ Jika keliling keduanya sama, maka $ L = .... $
$\spadesuit \, $ Menentukan jari-jari dan panjang sisi dari luasnya
Lingkaran , luas = $ L \, $
$\begin{align} \text{ Luas lingkaran } & = L \\ \pi r^2 & = L \\ r^2 & = \frac{L}{\pi} \\ r & = \sqrt{\frac{L}{\pi}} \end{align}$
Persegi, luas = $ P \, $
$\begin{align} \text{ Luas persegi } & = P \\ s^2 & = P \\ s & = \sqrt{P} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan hubungan $ L \, $ dan $ P $
$\begin{align} \text{ Keliling lingkaran } & = \text{ Keliling persegi } \\ 2\pi r & = 4 s \\ 2\pi \sqrt{\frac{L}{\pi}} & = 4 \sqrt{P} \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \pi \sqrt{\frac{L}{\pi}} & = 2 \sqrt{P} \, \, \, \text{(kuadratkan kedua ruas)} \\ \pi ^2 . \frac{L}{\pi} & = 4 . P \\ \pi . L & = 4P \\ L & = \frac{4P}{\pi} \end{align}$
Jadi, diperoleh $ L = \frac{4P}{\pi} . \heartsuit $
Nomor 3
Agar $ a, \, 4a^2 - 2, \, $ dan $ 8a^2 + 6 \, $ masing-masing merupakan suku ke-3, suku ke-5, dan suku ke-9 suatu barisan aritmetika, maka beda barisan tersebut adalah ....
$\clubsuit \, $ Barisan aritmetika, misalkan suku pertamanya $ p \, $ (agar tidak rancu dengan $ a\, $ yang diketahui pada soal) dan bedanya $ b \, $ .
Rumus suku ke-$n\,$ : $ u_n = u_1 + (n-1) b \, \rightarrow u_n = p + (n-1)b $
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan dengan $ u_n = p + (n-1)b $
$ u_3 = a \rightarrow p + 2b = a \, $ ....pers(i)
$ u_5 = 4a^2 - 2 \rightarrow p + 4b = 4a^2 - 2 \, $ ....pers(ii)
$ u_9 = 8a^2 + 6 \rightarrow p + 8b = 8a^2 + 6 \, $ ....pers(iii)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} p + 4b = 4a^2 - 2 & \\ p + 2b = a & - \\ \hline 2b = 4a^2 - a - 2 \end{array} $
diperoleh $ 2b = 4a^2 - a - 2 \rightarrow b = \frac{4a^2 - a - 2}{2} \, $ ....pers(iv)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(ii) dan pers(iii)
$\begin{array}{cc} p + 8b = 8a^2 + 6 & \\ p + 4b = 4a^2 - 2 & \\ \hline 4b = 4a^2 + 8 \end{array} $
diperoleh $ 4b = 4a^2 + 8 \, $ ....pers(v)
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(iv) ke pers(v)
$\begin{align} 4b & = 4a^2 + 8 \\ 4. \left( \frac{4a^2 - a - 2}{2} \right) & = 4a^2 + 8 \\ 2 (4a^2 - a - 2) & = 4a^2 + 8 \\ 4a^2 -2a - 12 & = 0 \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 2a^2 - a - 6 & = 0 \\ (2a + 3) (a - 2) & = 0 \\ a = -\frac{3}{2} \vee a & = 2 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi nilai $ a \, $ ke pers(iv)
$\begin{align} a = -\frac{3}{2} \rightarrow b & = \frac{4a^2 - a - 2}{2} \\ b & = \frac{4.(-\frac{3}{2})^2 - (-\frac{3}{2}) - 2}{2} \\ b & = \frac{4.(\frac{9}{4}) + (\frac{3}{2}) - 2}{2} \\ b & = \frac{17}{4} \\ a = 2 \rightarrow b & = \frac{4a^2 - a - 2}{2} \\ b & = \frac{4.(2)^2 - 2 - 2}{2} \\ b & = \frac{12}{2} \\ b & = 6 \end{align}$
Jadi, bedanya adalah $ b = \frac{17}{4} \vee b = 6 . \heartsuit $
Nomor 4
Jika $ f(x) = 2x + \sin 2x \, $ untuk $ -\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4} , \, $ maka $ f^\prime (x) = .... $
(A) $ 4 \displaystyle \sum_{i=0}^\infty ( \tan x )^i $
(B) $ 4 ( 1 - \cos ^2 x ) $
(C) $ 4 \displaystyle \sum_{i=0}^\infty (-1)^i ( \tan x )^{2i} $
(D) $ 4 \displaystyle \sum_{i=0}^\infty ( - \sin x )^{2i} $
(E) $ 4 \cos 2x $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
turunan : $ y = \sin [g(x)] \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) \cos [g(x)] $
Trigonometri : $ \cos 2x = 2\cos ^2 x - 1 $
$ 1 + \tan ^2 x = \sec ^2 x \, $ dan $ \cos x = \frac{1}{\sec x} $
Deret tak hingga : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
sehingga , $ \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = 1 + (-x^2) + x^4 + (-x^6) + .... $
Notasi sigma : $ \displaystyle \sum_{i=0}^\infty a^i = a^0 + a^1 + a^2 + a^3 + a^4 + ..... $
$\spadesuit \, $ Menentukan turunan dan memodifikasinya
$\begin{align} f(x) & = 2x + \sin 2x \\ f^\prime (x) & = 2 + 2 \cos 2x \\ f^\prime (x) & = 2(1 + \cos 2x ) \\ & = 2(1 + 2\cos ^2 x \, - 1 ) \\ & = 4\cos ^2 x \\ & = 4. \frac{1}{\sec ^2 x} \\ & = 4. \frac{1}{1 + \tan ^2 x} \\ & = 4. \frac{1}{1 - (- \tan ^2 x) } \\ & = 4 ( 1 + (-\tan ^2 x) + (\tan ^4 x ) + (-\tan ^6 x ) + .... \\ & = 4 ( 1 -\tan ^2 x + \tan ^4 x -\tan ^6 x + .... \\ & = 4 ( (-1)^0(\tan x)^{2.0} + (-1)^1(\tan x)^{2.1} + (-1)^2(\tan x)^{2.2} + .... \\ & = 4 \displaystyle \sum_{i=0}^\infty (-1)^i ( \tan x )^{2i} \end{align}$
Jadi, turunannya adalah $ f^\prime (x) = 4\displaystyle \sum_{i=0}^\infty (-1)^i ( \tan x )^{2i} . \heartsuit $
Nomor 5
Banyaknya akar real $f(t)=t^9-t$ adalah ... buah.
$\clubsuit \, $ Bentuk pemfaktoran :
$p^2-q^2=(p-q)(p+q)\, $ atau $\, p^n-1=(p^{n/2}-1)(p^{n/2}+1)$
dengan $n$ genap
$\clubsuit \, $ Untuk menentukan akar-akarnya, maka $f(t)=0$
$\begin{align} f(t)&=0 \\ t^9-t&=0 \\ t(t^8-1)&=0 \\ t(t^4-1)(t^4+1)&=0 \\ t(t^2-1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \\ t(t-1)(t+1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Sehingga akar-akarnya:
$t=0,t=1,t=-1$ dan $t^2=-1$ (tidak real) serta $t^4=-1$ (tidak real).
Jadi, akar-akar realnya ada tiga yaitu 0, 1, dan -1. $ \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 532 tahun 2014


Nomor 1
Jika $ A(x) = \frac{1}{2}\left( p^x - p^{-x} \right) \, $ dan $ B(x) = \frac{1}{2}\left( p^x + p^{-x} \right) \, $ denga $ p > 1 \, $ , maka $ B(nx) = .... $
(A) $ \left( B(x) - A(x) \right)^\frac{1}{n} + A\left( \frac{x}{n} \right) $
(B) $ \left( B(x) - A(x) \right)^\frac{1}{n} + A\left( nx \right) $
(C) $ \left( B(x) - A(x) \right)^n + A\left( nx \right) $
(D) $ \left( A(x) - B(x) \right)^n + A\left( nx \right) $
(E) $ \left( A(x) - B(x) \right)^n + A\left( \frac{x}{n} \right) $
$\clubsuit \, $ Menentukan $ B(nx) \, $
$\begin{align} B(x) & = \frac{1}{2}\left( p^x + p^{-x} \right) \\ B(nx) & = \frac{1}{2}\left( p^{nx} + p^{-nx} \right) \, \, \, \text{ ...pers(i)} \end{align}$
Karena pada pilihannya dalam bentuk $ A(nx) \, $ atau $ A(\frac{x}{n}) \, $ , maka pers(i) harus diubah atau dimodifikasi menjadi bentuk $ A(nx) \, $ atau $ A(\frac{x}{n}) \, $ .
$\clubsuit \, $ Memodifikasi pers(i)
$\begin{align} B(nx) & = \frac{1}{2}\left( p^{nx} + p^{-nx} \right) \\ B(nx) & = \frac{1}{2}\left( p^{nx} \right) + \frac{1}{2}\left( p^{-nx} \right) \\ B(nx) & = \frac{1}{2}\left( p^{nx} \right) + p^{-nx} - \frac{1}{2}\left( p^{-nx} \right) \\ B(nx) & = p^{-nx} + \frac{1}{2}\left( p^{nx} - p^{-nx} \right) \\ B(nx) & = p^{-nx} + A(nx) \, \, \, \text{ ...pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Memodifikasi bentuk $ p^{-nx} $
$\begin{align} p^{-nx} & = (p^{-x})^n \\ & = ( \frac{1}{2} . p^{-x} + \frac{1}{2} . p^{-x} )^n \\ & = ( \frac{1}{2} . p^{-x} + \frac{1}{2} . p^{-x} + \frac{1}{2} . p^{x} - \frac{1}{2} . p^{x} )^n \\ & = ( \frac{1}{2} . p^{x} + \frac{1}{2} . p^{-x} - \frac{1}{2} . p^{x} + \frac{1}{2} . p^{-x} )^n \\ & = \left( \frac{1}{2} (p^{x} + p^{-x}) - \frac{1}{2} (p^{x} - p^{-x} ) \right)^n \\ p^{-nx} & = \left( B(x) - A(x) \right)^n \, \, \, \text{ ...pers(iii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(iii) ke pers(ii)
$\begin{align} B(nx) & = p^{-nx} + A(nx) \\ B(nx) & = \left( B(x) - A(x) \right)^n + A(nx) \end{align}$
Jadi, diperoleh bentuk $ B(nx) = \left( B(x) - A(x) \right)^n + A(nx) . \heartsuit $
Nomor 2
Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $ 3p . \, $ Titik-titik P, Q, dan R masing-masing pada FB, FG, dan AD sehingga BP = GQ = DR = $ p \, $ . Jika S adalah titik potong bidang yang melalui P, Q, dan R dengan rusuk DH, maka jarak dari S ke P adalah .....
$\spadesuit \, $ Gambar bidang irisannya
sbmptn_1_mat_ipa_k532_2014.png
Perpotongan bidang yang melalui titik P, Q, dan R dengan rusuk DH adalah Bidang irisan (bidang VPQZSR) dengan rusuk DH yaitu di titik S.
Ternyata jarak DS sama dengan BP , sehingga jarak SP sama saja dengan jarak BD yaitu panjang diagonal sisi.
Misal panjang rusuknya adalah $ s \, $ dengan $ s = 3p $
$\spadesuit \, $ Menentukan jarak S ke P
$\begin{align} \text{jarak S ke P } & = \text{ Panjang BD (Diagonal sisi) } \\ & = s\sqrt{2} \\ & = 3p\sqrt{2} \end{align}$
Jadi, jarak S ke P adalah $ 3p\sqrt{2} . \heartsuit $
Nomor 3
Banyaknya akar real $f(t)=t^9-t$ adalah ... buah.
$\spadesuit \, $ Bentuk pemfaktoran :
$p^2-q^2=(p-q)(p+q)\, $ atau $\, p^n-1=(p^{n/2}-1)(p^{n/2}+1)$
dengan $n$ genap
$\spadesuit \, $ Untuk menentukan akar-akarnya, maka $f(t)=0$
$\begin{align} f(t)&=0 \\ t^9-t&=0 \\ t(t^8-1)&=0 \\ t(t^4-1)(t^4+1)&=0 \\ t(t^2-1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \\ t(t-1)(t+1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Sehingga akar-akarnya:
$t=0,t=1,t=-1$ dan $t^2=-1$ (tidak real) serta $t^4=-1$ (tidak real).
Jadi, akar-akar realnya ada tiga yaitu 0, 1, dan -1. $ \, \heartsuit $
Nomor 4
Tujuh anak laki-laki dan tiga perempuan akan duduk berdampingan dalam satu baris. Peluang kedua ujung ditempati anak laki-laki dan tidak ada anak perempuan duduk berdampingan adalah .....
$\spadesuit \, $ Ada 7L dan 3P duduk berdampingan, sehingga $ n(S) = 10!$
Pada kasus orang duduk, urutan atau letak diperhatikan sehingga menggunakan permutasi. Rumus : $ P_r^n = \frac{n!}{(n-r)!} $
$\spadesuit \, $ Susunan agar kedua ujung ditempati anak laki-laki dan tidak ada anak perempuan duduk berdampingan, ada dua kemungkinan :
sbmptn_2_mat_ipa_k532_2014.png
Keterangan Kasus I :
*). dua anak laki-laki dipilih dari 7 anak laki-laki untuk menempati kedua ujung , ada $ P_2^7 = \frac{7!}{(7-2)!} = \frac{7!}{5!} = 7.6 \, $ cara
*). agar tidak ada anak perempuan berdampingan, maka 8 posisi yang ditengah harus dikelompokkan seperti gambar kasus I menjadi lima kelompok dengan tiga kelompok berpasangan (ada anak laki dan perempuan dengan perempuan didepan dan laki-laki dibelakangnya).
*). lima kelompok yang ada bisa diacak urutannya , ada $ 5! \, $ cara.
*). karena lima kelompok sudah diacak, maka tinggal menentukan tiga anak laki-laki dari 5 anak laki-laki untuk berpasangan dengan tiga anak perempuan, ada $ P_3^5 = \frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5!}{2!} = 5.4.3 $
total cara I = $ P_2^7 . 5!. P_3^5 $
Keterangan kasus II :
*). kasus II mirip dengan kasus I, hanya saja untuk kelompok yang berpasangan urutannya dibalik yaitu laki-laki dulu baru perempuan.
total cara II = $ P_2^7 . 5!. P_3^5 $
$\spadesuit \, $ Sehingga total cara :
$ n(A) = \, $ total cara I + total cara II
$ n(A) = \, $ = $ 2. ( P_2^7 . 5!. P_3^5 ) \, $ = 2.7.6.5!.5.4.3
$\spadesuit \, $ Menentukan peluang $ P(A) $
$\begin{align} P(A) & = \frac{n(A)}{n(S)} \\ & = \frac{2.7.6.5!.5.4.3}{10!} \\ & = \frac{2.7.6.5!.5.4.3}{10.9.8.7.6.5!} \\ & = \frac{1}{6} \\ \end{align}$
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{1}{6} . \heartsuit $
Nomor 5
Nilai maksimum $ f(x) = 2x + \sqrt{p-4x} \, $ adalah $ \frac{13}{2} . \, $ Nilai $ f(2) + f^\prime (2) \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep turunan bentuk akar
$ y = \sqrt{g(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{g^\prime (x)}{2\sqrt{g(x)}} $
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan fungsi $ f(x) $
$\begin{align} f(x) & = 2x + \sqrt{p-4x} \\ f^\prime (x) & = 2 + \frac{-4}{2\sqrt{p-4x}} \\ f^\prime (x) & = 2 - \frac{2}{\sqrt{p-4x}} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Fungsi $ f(x) \, $ maksimum, syaratnya : $ f^\prime (x) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 2 - \frac{2}{\sqrt{p-4x}} & = 0 \\ \frac{2}{\sqrt{p-4x}} & = 2 \\ 2\sqrt{p-4x} & = 2 \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \sqrt{p-4x} & = 1 \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \left( \sqrt{p-4x} \right)^2 & = 1^2 \\ p-4x & = 1 \\ x & = \frac{p-1}{4} \end{align}$
artinya fungsi $ f(x) \, $ maksimum pada saat $ x = \frac{p-1}{4} \, $
$\clubsuit \, $ Substitusi $ x = \frac{p-1}{4} \, $ ke fungsi $ f(x) \, $ diperoleh nilai maksimum
$\begin{align} x = \frac{p-1}{4} \rightarrow f(x) & = 2x + \sqrt{p-4x} \\ f_\text{maks} \left( \frac{p-1}{4} \right) & = \frac{13}{2} \\ 2.\left( \frac{p-1}{4} \right) + \sqrt{p-4.\left( \frac{p-1}{4} \right)} & = \frac{13}{2} \\ \frac{p-1}{2} + 1 & = \frac{13}{2} \, \, \, \text{(kali 2)} \\ p-1 + 2 & = 13 \\ p & = 12 \end{align}$
Sehingga fungsinya : $ f(x) = 2x + \sqrt{12-4x} $
dan turunannya : $ f^\prime (x) = 2 - \frac{2}{\sqrt{12-4x}} $
$\clubsuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} f(2) + f^\prime (2) & = \left( 2.2 + \sqrt{12-4.2} \right) + \left( 2 - \frac{2}{\sqrt{12-4.2}} \right) \\ & = \left( 4 + \sqrt{12-8} \right) + \left( 2 - \frac{2}{\sqrt{12-8}} \right) \\ & = \left( 4 + \sqrt{4} \right) + \left( 2 - \frac{2}{\sqrt{4}} \right) \\ & = \left( 4 + 2 \right) + \left( 2 - \frac{2}{2} \right) \\ & = 6 + \left( 2 - 1 \right) \\ f(2) + f^\prime (2) & = 7 \end{align}$
Jadi, nilai $ f(2) + f^\prime (2) = 7 . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SBMPTN Matematika IPA kode 523 tahun 2014


Nomor 1
Diberikan limas $T.ABC$. Misalkan $u=\vec{TA}, v=\vec{TB}, w=\vec{TC}$. Jika $P$ titik berat $\Delta ABC$, maka $\vec{TP}=...$
sbmptn_1_mat_ipa_k523_2014.png
$\clubsuit \, $ Titik P adalah titik berat, sehingga:
$\vec{AP}=\frac{2}{3}\vec{AD} \, $ dan $\vec{BD} : \vec{DC} = 1 : 1$
$\clubsuit \, $ Menentukan vektor $\vec{TD}$ dari gambar berikut:
sbmptn_2_mat_ipa_k523_2014.png
$\vec{TD}=\frac{1.\vec{v}+1.\vec{w}}{1+1} = \frac{\vec{v}+\vec{w}}{2} $
$\clubsuit \, $ Menentukan vektor $\vec{AD}$ dan $\vec{AP}$ :
$\begin{align} \vec{AD}&=\vec{AT}+\vec{TD} \\ &=-\vec{u}+ \left( \frac{\vec{v}+\vec{w}}{2} \right) \\ \vec{AD}&= \frac{\vec{v}+\vec{w}-2\vec{u}}{2} \\ \vec{AP}&=\frac{2}{3}\vec{AD} \\ \vec{AP}&=\frac{2}{3}.\left( \frac{\vec{v}+\vec{w}-2\vec{u}}{2} \right) \\ \vec{AP}&=\frac{1}{3}(\vec{v}+\vec{w}-2\vec{u}) \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan vektor $\vec{TP}$ :
$\begin{align} \vec{TP}&=\vec{TA}+\vec{AP} \\ &=\vec{u}+ \frac{1}{3}(\vec{v}+\vec{w}-2\vec{u}) \\ &=\frac{1}{3}(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}) \end{align}$
Jadi, $\vec{TP}=\frac{1}{3}(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}). \heartsuit $
Nomor 2
Banyaknya akar real $f(t)=t^9-t$ adalah ... buah.
$\spadesuit \, $ Bentuk pemfaktoran :
$p^2-q^2=(p-q)(p+q)\, $ atau $\, p^n-1=(p^{n/2}-1)(p^{n/2}+1)$
dengan $n$ genap
$\spadesuit \, $ Untuk menentukan akar-akarnya, maka $f(t)=0$
$\begin{align} f(t)&=0 \\ t^9-t&=0 \\ t(t^8-1)&=0 \\ t(t^4-1)(t^4+1)&=0 \\ t(t^2-1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \\ t(t-1)(t+1)(t^2+1)(t^4+1)&=0 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Sehingga akar-akarnya:
$t=0,t=1,t=-1$ dan $t^2=-1$ (tidak real) serta $t^4=-1$ (tidak real).
Jadi, akar-akar realnya ada tiga yaitu 0, 1, dan -1. $ \, \heartsuit $
Nomor 3
Bila $ \tan x = -\frac{3}{4}, \, \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi , \, $ maka $ \sin \left( \frac{\pi}{3} - x \right) = .... $
$\clubsuit \, $ Buat segitiga dari $ \tan x = - \frac{3}{4} = \frac{de}{sa} $
sbmptn_5_mat_ipa_k523_2014.png
Sudut $ x \, $ ada di $ \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi \, $ artinya kuadran 4, sehingga nilai sin negatif dan cos positif
nilai $ \sin x = - \frac{3}{5}, \, $ dan $ \cos x = \frac{4}{5} $
$\clubsuit \, $ Rumus dasar : $ \sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
$\clubsuit \, $ Maenentukan hasilnya
$\begin{align} \sin \left( \frac{\pi}{3} - x \right) & = \sin \left( 60^\circ - x \right) \\ & = \sin 60^\circ \cos x - \cos 60^\circ \sin x \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{3} . \frac{4}{5} - \frac{1}{2} . (- \frac{3}{5} ) \\ & = \frac{4}{10} \sqrt{3} + \frac{3}{10} \\ & = \frac{4\sqrt{3} + 3}{10} \end{align}$
Jadi, nilai $ \sin \left( \frac{\pi}{3} - x \right) = \frac{4\sqrt{3} + 3}{10} . \heartsuit $
Nomor 4
Jika $ \alpha \, $ dan $ \beta \, $ adalah akar - akar persamaan kuadrat $ (m-1)x^2 - (m+2)x - 1 = 0, \, $ maka $ \log (1 + (1-\alpha ) \beta + \alpha ) \, $ ada nilainya untuk ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar logaritma
$ {}^a \log f(x) \, $ ada nilainya jika $ a > 0, \, a \neq 1, \, $ dan $ f(x) > 0 $
Sehingga syarat pada soal ini :
$ \log (1 + (1-\alpha ) \beta + \alpha ) \, $ ada nilai, syaratnya : $ (1 + (1-\alpha ) \beta + \alpha ) > 0 $
$\spadesuit \, $ PK $ (m-1)x^2 - (m+2)x - 1 = 0, \, $ akar-akarnya $ \alpha \, $ dan $ \beta $
$ \alpha + \beta = \frac{-b}{a} \rightarrow \alpha + \beta = \frac{m+2}{m-1} $
$ \alpha . \beta = \frac{c}{a} \rightarrow \alpha . \beta = \frac{-1}{m-1} $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan syaratnya
$\begin{align} (1 + (1-\alpha ) \beta + \alpha ) & > 0 \\ 1 + \beta - \alpha \beta + \alpha & > 0 \\ 1 + (\alpha + \beta ) - \alpha \beta & > 0 \\ 1 + \frac{m+2}{m-1} - \frac{-1}{m-1} & > 0 \\ \frac{m-1}{m-1} + \frac{m+2}{m-1} + \frac{1}{m-1} & > 0 \\ \frac{(m-1) + (m+2) + 1}{m-1} & > 0 \\ \frac{2m+2}{m-1} & > 0 \\ m = -1 \vee m & = 1 \end{align}$
sbmptn_6_mat_ipa_k523_2014.png
Jadi, solusinya HP = $ \{ m < -1 \vee m > 1 \} . \heartsuit $
Nomor 5
Di antara 20.000 dan 70.000, banyak bilangan genap dengan tidak ada digit berulang adalah .....
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar
*). Suatu bilangan genap syaratnya angka satuannya harus genap
*). tidak ada digit berulang artinya angka yang sudah dipakai tidak boleh dipakai lagi atau tidak ada digit yang sama.
$\clubsuit \, $ Menentukan banyak bilangannya
(i). Pilihan angka yang digunakan : 0,1,2,3,4,5,6,7,8 dan 9. Artinya ada 10 pilihan angka.
(ii). Agar bilangannya di antara 20.000 dan 70.000 maka puluh ribuannya harus 2,3,4,5, dan 6
(iii). Agar genap, maka satuannya harus genap yaitu 0,2,4,6, dan 8
Untuk mempermudah perhitungan, angka puluh ribuannya dibagi menjadi dua kasus yaitu yang genap dan yang ganjil :
Kasus I : puluh ribuannya genap
*). puluh ribuannya genap, ada 3 pilihan yaitu 2, 4, 6
*). satuannya ada 4 pilihan karena angka genap salah satunya sudah dipakai pada puluh ribuannya
*). ribuannya ada 8 pilihan karena dua angka sudah dipakai pada puluh ribuan dan satuan
*). ratusannya ada 7 pilihan karena tiga angka sudah dipakai untuk puluh ribuan, satuan dan ribuannya
*). puluhannya ada 6 pilihan sisa
cara I = 3.8.7.6.4 = 4032
Kasus II : puluh ribuannya ganjil
*). puluh ribuannya ganjil, ada 2 pilihan yaitu 3 atau 5
*). satuannya ada 5 pilihan yaitu 0,2,4,6,8
*). ribuannya ada 8 pilihan karena dua angka sudah dipakai pada puluh ribuan dan satuan
*). ratusannya ada 7 pilihan karena tiga angka sudah dipakai untuk puluh ribuan, satuan dan ribuannya
*). puluhannya ada 6 pilihan sisa
cara II = 2.8.7.6.5 = 3360
Sehingga total cara = cara I + cara II = 4032 + 3360 = 7392
Jadi, banyak bilangan yang terbentuk ada 7.392 bilangan. $ \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal UMPTN Matematika IPA tahun 2000


Nomor 1
Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan $ x^2-3x+n=0 \, $ sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan $ x^2 + x -n =0 , \, $ maka nilai $ n \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ PKI : $ x^2-3x+n=0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-3)}{1} = 3 $
$ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} = \frac{n}{1} = n $
$\clubsuit \, $ PKII : $ x^2 + x -n =0 \, $ dengan akar-akar $ y_1 $ dan $ y_2 $
$ y_1 + y_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-1}{1} = -1 $
$ y_1 . y_2 = \frac{c}{a} = \frac{-n}{1} = -n $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ n $ dengan jumlah kuadrat PKI sama dengan jumlah pangkat tiga PKII
$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = y_1^3 + y_2^3 \\ (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 & = (y_1+y_2)^2 - 3y_1y_2(y_1+y_2) \\ 3^2 - 2.n & = (-1)^3 - 3. (-n) . (-1) \\ 9 - 2n & = -1 - 3n \\ n & = -10 \end{align}$
Jadi, nilai $ n = -10 . \heartsuit $
Nomor 2
Nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan :
$ {}^2 \log \, {}^2 \log \left( 2^{x+1} + 3 \right) = 1 + {}^2 \log x $
adalah .....
$\spadesuit \, $ Konsep logaritma :
persamaan : $ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
definisi : $a^x = c \rightarrow x = {}^a \log c $
Sifat : $ {}^a \log b ^ n = n. {}^a \log b \, \, \, $ dan $ \, {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
$\spadesuit \, $ Misalkan $ p = 2^x \, $ dengan nilai $ p $ positif
$\begin{align} {}^2 \log \, {}^2 \log \left( 2^{x+1} + 3 \right) & = 1 + {}^2 \log x \\ {}^2 \log \,\left[ {}^2 \log \left( 2^{x+1} + 3 \right) \right] & = {}^2 \log 2 + {}^2 \log x \\ {}^2 \log \,\left[ {}^2 \log \left( 2^{x+1} + 3 \right) \right] & = {}^2 \log (2x) \\ \text{(coret } \, {}^2 \log \, \text{ paling } \, & \text{ luar ) } \\ {}^2 \log \left( 2^{x+1} + 3 \right) & = 2x \\ {}^2 \log \left( 2^{x+1} + 3 \right) & = {}^2 \log 2^{2x} \, \, \text{(coret } \, {}^2 \log \, ) \\ 2^{x+1} + 3 & = 2^{2x} \\ 2^{2x} - 2^{x+1} - 3 & = 0 \\ (2^x)^2 - 2^1 . 2^x - 3 & = 0 \, \, \text{(subst. } p = 2^x \, ) \\ p^2 - 2p - 3 & = 0 \\ (p+1)(p-3) & = 0 \\ p = -1 \vee p = 3 \end{align}$
yang memenuhi $ p = 3 \, $ karena nilai $ p $ harus positif.
sehingga : $ p = 3 \rightarrow 2^x = 3 \rightarrow x = {}^2 \log 3 $
Jadi, nilai $ x = {}^2 \log 3 . \heartsuit $
Nomor 3
Garis singgung pada kurva $ x^2 - y + 2x - 3 = 0 \, $ yang tegak lurus pada garis $ x-2y+3 = 0 \, $ mempunyai persamaan .....
$\clubsuit \, $ Menentukan gradien garis
$ x - 2y + 3 = 0 \rightarrow y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \rightarrow m_1 = \frac{1}{2} $
Karena tegak lurus, maka gradien garis singgungnya ($m$) :
$ m.m_1 = -1 \rightarrow m = \frac{-1}{m_1} = \frac{-1}{\frac{1}{2}} = -2 $
sehingga gradien garis sinngungnya $ m = -2 $
$\clubsuit \, $ Gradien garis singgung : $ m = y^\prime $
$\begin{align} x^2 - y + 2x - 3 = 0 \rightarrow y & = x^2+2x - 3 \\ y^\prime & = 2x + 2 \\ m & = y^\prime \\ -2 & = 2x + 2 \\ x & = -2 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan titik singgung dengan substitusi $ x = -2 $
$\begin{align} x = -2 \rightarrow y & = x^2+2x - 3 \\ y & = (-2)^2+2.(-2) - 3 \\ y & = -3 \end{align}$
Sehingga titik singgungnya (-2,-3)
$\clubsuit \, $ Menentukan persamaan garis singgung di titik ($x_1,y_1$) = (-2,-3) dengan gradien $ m = -2 $
$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-(-3) & = -2(x-(-2)) \\ y+3 & = -2 ( x+2) \\ y+3 & = -2x - 4 \\ y+2x+7 & = 0 \end{align}$
Jadi, PGS nya adalah $ y+2x+7 = 0 . \heartsuit$
Nomor 4
Dalam kubus ABCD.EFGH titik S adalah titik tengah sisi CD dan P adalah titik tengah diagonal ruang BH. Perbandingan antara volume limas P.BCS dan volume kubus ABCD.EFGH adalah .....
$\spadesuit \, $ Gambar
umptn_mat_ipa_3_2000.png
Misalkan rusuk kubus adalah $ a \, $ cm. Tinggi limas P.BCS adalah $ \frac{1}{2}a $
$L_{\Delta BCS} = \frac{1}{2}.BC.CS = \frac{1}{2}.a.\frac{1}{2}a $
$\spadesuit \, $ Menentukan perbandingan volume
$\begin{align} \frac{V_{P.BCS}}{V_{kubus}} & = \frac{\frac{1}{3} L_{\Delta BCS} . t}{s^3} \\ & = \frac{\frac{1}{3} .(\frac{1}{2}.a.\frac{1}{2}a) . \frac{1}{2}a }{a.a.a} \\ & = \frac{1}{24} \end{align}$
Jadi, perbandingannya adalah 1 : 24 . $ \heartsuit $
Nomor 5
umptn_mat_ipa_1_2000.png
Pada segitiga ABC, E adalah titik tengah BC dan M adalah titik berat segitiga tersebut.
Jika $ \vec{u} = \vec{AB} \, $ dan $ \vec{v} = \vec{AC}, \, $ maka ruas garis berarah $ \vec{ME} \, $ dapat dinyatakan dalam $ \vec{u} \, $ dan $ \vec{v} \, $ sebagai .....
$\clubsuit \, $ Konsep dasar vektor
umptn_mat_ipa_4_2000.png
$ \vec{AE} = \frac{m\vec{u} + n\vec{v}}{m+n} $
AE garis berat sehingga titik E ditengah BC.
Jika M titik berat, maka $ \vec{ME} = \frac{1}{3}\vec{AE} $
$\clubsuit \, $ Menentukan vektor $ \vec{AE} \, $ dan $ \vec{ME} $
umptn_mat_ipa_5_2000.png
$\begin{align} \vec{AE} & = \frac{m\vec{u} + n\vec{v}}{m+n} = \frac{1.\vec{u} + 1.\vec{v}}{1+1} = \frac{\vec{u} + \vec{v}}{2} \\ \vec{ME} & = \frac{1}{3}\vec{AE} \\ & = \frac{1}{3}. \frac{\vec{u} + \vec{v}}{2} \\ \vec{ME} & = \frac{1}{6}\vec{u} + \frac{1}{6}\vec{v} \end{align}$
Jadi, vektor $ \vec{ME} = \frac{1}{6}\vec{u} + \frac{1}{6}\vec{v} . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10