Tampilkan postingan dengan label simak ui matematika dasar. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label simak ui matematika dasar. Tampilkan semua postingan

Pembahasan Soal Simak UI Matematika Dasar tahun 2015


Nomor 1
Nilai minimum dari fungsi $ z = 4x + 3y \, $ pada himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan : $ x \geq 0, \, y \geq 0 , \, 2x + 3y \geq 6 , \, 3x - 2y \leq 9 , \, $ dan $ x + 5y \leq 20 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Gambar daerahnya
I. $ 2x + 3y = 6 \rightarrow (0,2), \, (3,0) $
II. $ 3x - 2y = 9 \rightarrow (0,-\frac{9}{2}), \, (3,0) $
III. $ x + 5y = 20 \rightarrow (0,4), \, (20,0) $
simak_ui_matdas_kd1_1_2015.png
$\clubsuit \, $ Menentukan Titik pojoknya
Menentukan titik B dengan eliminasi pers II dan pers III :
$ \begin{array}{c|c|cc} 3x - 2y = 9 & \times 1 & 3x - 2y = 9 & \\ x + 5y = 20 & \times 3 & 3x + 15y = 27 & - \\ \hline & & -17y = -51 & \\ & & y = 3 & \end{array} $
Pers III : $ x + 5y = 20 \rightarrow x + 5.3 = 20 \rightarrow x = 5 $
Sehingga titik B(5,3)
$\clubsuit \, $ Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan $ z = 4x + 3y $
$\begin{align} A(3,0) \rightarrow z & = 4.3 + 3.0 = 12 \\ B(5,3) \rightarrow z & = 4.5 + 3.3 = 29 \\ C(0,4) \rightarrow z & = 4.0 + 3.4 = 12 \\ D(0,2) \rightarrow z & = 4.0 + 3.2 = 6 \end{align}$
Jadi, nilai minimumnya adalah 6. $ \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ (x,y) = (a,b) \, $ adalah penyelesaian dari sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} 2xy - y^2 + 5x + 20 = 0 \\ 3x + 2y - 3 = 0 \end{array} \right. $
maka jumlah semua $ a + b \, $ dimana $ a \, $ dan $ b \, $ bukan bilangan bulat adalah ....
$\spadesuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(i)
pers(ii) : $ 3x + 2y - 3 = 0 \rightarrow y = \frac{3-3x}{2} $
$ \begin{align} \text{pers(i) } : \, \, \, 2xy - y^2 + 5x + 20 & = 0 \\ 2x \left( \frac{3-3x}{2} \right) - \left( \frac{3-3x}{2} \right)^2 + 5x + 20 & = 0 \\ 3x - 3x^2 - \left( \frac{9 - 18x + 9x^2}{4} \right) + 5x + 20 & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 12x - 12x^2 -9 + 18x - 9x^2 + 20x + 80 & = 0 \\ -21x^2 + 50x + 71 & = 0 \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 21x^2 - 50x - 71 & = 0 \\ (21x-71)(x+1) & = 0 \\ x = \frac{71}{21} \vee x & = -1 \end{align} $
Karena $ x \, $ bukan bulat, maka yang memenuhi adalah $ x = \frac{71}{21} $ .
Sehingga nilai $ y $ :
$ y = \frac{3-3x}{2} = \frac{3}{2}(1-x) = \frac{3}{2}(1-\frac{71}{21}) = - \frac{75}{21} $
Sehingga solusinya : $ (a,b) = (\frac{71}{21}, - \frac{75}{21} ) $ .
Nilai $ a + b = \frac{71}{21}+ ( - \frac{75}{21} ) = - \frac{4}{21} $
Jadi, nilai $ a + b = - \frac{4}{21} . \heartsuit $
Nomor 3
Diketahui matriks $ A = \left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right] \, $ dan $ B \, $ adalah matriks dengan entri-entri bernilai real sedemikian sehingga $ AB = BA \, $ . Nilai terkecil untuk detrminan $ B $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Kosep determinan : $ P = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \rightarrow Det(P) = ad-bc $
$\clubsuit \, $ Misalkan matriks $ B = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan persamaannya
$ \begin{align} AB & = BA \\ \left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ 2 & 2 \end{matrix} \right] \\ 2\left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] & = 2\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right] \\ \left[ \begin{matrix} a-c & b-d \\ a+c & b+d \end{matrix} \right] & = \left[ \begin{matrix} a+b & -a+b \\ c+d & -c+d \end{matrix} \right] \end{align} $
Dari kesamaan matriks di atas kita peroleh :
$ a - c = a + b \rightarrow b = -c $
$ a + c = c + d \rightarrow a = d $
Misalkan : $ a = d = x, \, b = y, \, c = -y $
Sehingga matriks B menjadi :
$ B = \left[ \begin{matrix} x & y \\ -y & x \end{matrix} \right] $
Nilai $ Det(B) = x^2 - (-y^2) = x^2 + y^2 $
Karena $ x, y \, $ bilangan real, maka agar Det(B) terkecil, haruslah $ x = 0 \, $ dan $ y = 0 $ , sehingga nilai $ Det(B) = x^2 + y^2 = 0^2 + 0^2 = 0 $
Jadi, nilai terkecil determinan B adalah 0. $ \heartsuit $
Nomor 4
Jika $ a $ dan $ b $ adalah dua bilangan (tidak harus berbeda) yang dipilih secara acak dan dengan pengembalian dari himpunan $ \{ 1,2,3,4,5\} $ , maka probabilitas bahwa $ \frac{a}{b} \, $ merupakan bilangan bulat adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep peluang kejadian A : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
$ P(A) = \, $ Peluang kejadian A,
$ n(A) = \, $ Harapan kejadian A,
$ n(S) = \, $ Semua kemungkinan kejadian.
$\spadesuit \, a \, $ dan $ b $ dipilih dari $ \{ 1,2,3,4,5\} $ , artinya $ a \, $ ada lima pilihan angka, begitu juga $ b $ ada lima pilihan angka. Sehingga $ n(S) = 5.5 = 25 $
$\spadesuit \, $ Menentukan $ n(A) $
A = Kejadian $ \frac{a}{b} \, $ adalah bilangan bulat,
$ b = \{ 1 \} \rightarrow a = \{ 1,2,3,4,5 \} \, $ ada 5 kemungkinan.
$ b = \{ 2 \} \rightarrow a = \{ 2,4 \} \, $ ada 2 kemungkinan.
$ b = \{ 3 \} \rightarrow a = \{ 3 \} \, $ ada 1 kemungkinan.
$ b = \{ 4 \} \rightarrow a = \{ 4 \} \, $ ada 1 kemungkinan.
$ b = \{ 5 \} \rightarrow a = \{ 5 \} \, $ ada 1 kemungkinan.
sehingga $ n(A) = 5 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10 $
$\spadesuit \, $ Menentukan $ P(A) $
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{10}{25} $
Jadi, peluangnya adalah $ \frac{10}{25} . \heartsuit $
Nomor 5
Diketahui $ \log _2 5 = b \, $ dan $ \log _5 3 = c , \, $ maka nilai dari $ \log _8 \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar Akar dalam akar
$ \sqrt{(a+b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} $
$ \sqrt{(a+b) - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \, $ dengan $ a > b $
Sehingga bentuk :
$ \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{(3+2) + 2\sqrt{3.2}} = \sqrt{3} + \sqrt{2} $
$ \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{(3+2) - 2\sqrt{3.2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2} $
$\clubsuit \, $ Penulisan logaritma : $ \log _a b = {}^a \log b $
$\clubsuit \, $ Sifat-sifat logaritma
(i). $ {}^a \log bc = {}^a \log b + {}^a \log c $
(ii). $ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
(iii). $ {{}^a}^m \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $
(iv). $ {}^a \log b = \frac{{}^p \log b }{ {}^p \log a} $
Dari soal diketahui :
$ \log _2 5 = b \rightarrow {}^2 \log 5 = b \rightarrow {}^5 \log 2 = \frac{1}{b} $
$ \log _5 3 = c \rightarrow {}^5 \log 3 = c $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soal
$ \begin{align} & \log _8 \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) \\ & = {}^8 \log \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) \\ & = {}^8 \log \left( (\sqrt{3} + \sqrt{2}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \right) \\ & = {}^8 \log \left( 2\sqrt{2} \right) \\ & = {{}^2 }^3 \log 2^\frac{3}{2} \, \, \, \, \, \text{(gunakan sifat(iii) ) } \\ & = ( \frac{3}{2} : 3 ) \, {}^2 \log 2 \\ & = \frac{1}{2} . 1 \\ & = \frac{1}{2} \end{align} $
Catatan : Tidak ada jawaban pada opsinya, kemungkinan soalnya adalah penjumlahan.
$ \begin{align} & \log _8 \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) \\ & = {}^8 \log \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) \\ & = {}^8 \log \left( (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \right) \\ & = {}^8 \log \left( 2\sqrt{3} \right) \\ & = {{}^2 }^3 \log 2. 3^\frac{1}{2} \, \, \, \, \, \text{(gunakan sifat(iv) ) } \\ & = \frac{{}^5 \log 2. 3^\frac{1}{2} }{ {}^5 \log 2^3 } \, \, \, \, \, \text{(gunakan sifat(i) dan (ii) ) } \\ & = \frac{{}^5 \log 2 + {}^5 \log 3^\frac{1}{2} }{ 3 . \, {}^5 \log 2 } \\ & = \frac{{}^5 \log 2 + \frac{1}{2} . {}^5 \log 3 }{ 3 . \, {}^5 \log 2 } \\ & = \frac{\frac{1}{b} + \frac{1}{2} . c }{ 3 . \frac{1}{b} } \\ & = \frac{\frac{1}{b} + \frac{1}{2} . c }{ 3 . \frac{1}{b} } \times \frac{2b}{2b} \\ & = \frac{2 + b c }{ 6 } \end{align} $
Jadi, diperoleh $ \log _8 \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 -2\sqrt{6}} \right) = \frac{2 + b c }{ 6 } . \heartsuit $ .
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Pembahasan Soal Simak UI Matematika Dasar KD2 tahun 2014


Nomor 1
Jika diketahui $x<0$ , maka banyaknya penyelesaian yang memenuhi sistem persamaan $\left\{ \begin{array}{c} x^2-ax+2014=0 \\ x^2-2014x+a=0 \end{array} \right.$ , adalah ...
$\clubsuit \, $ Kurangkan kedua persamaan
$\begin{array}{cc} x^2-ax+2014=0 & \\ x^2-2014x+a=0 & - \\ \hline (-a+2014)x+(-a+2014) = 0 & \end{array} $
Bentuk $ (-a+2014)x+(-a+2014) = 0 \, \, \, $ mempunyai penyelesaian hanya untuk $ x = -1 $
Cara :
$ \begin{align} (-a+2014)x+(-a+2014) & = 0 \\ (-a+2014)x & = - (-a+2014) \\ x & = \frac{- (-a+2014)}{(-a+2014)} \\ x & = -1 \end{align}$
Jadi, banyaknya penyelesaian ada satu solusi nilai $ x $ yaitu $ x = -1 . \heartsuit $
Nomor 2
Nilai $a$ yang memenuhi $\frac{1}{{}^{10}\log a}+\frac{1}{{}^{\sqrt{10}}\log a}+\frac{1}{{}^{\sqrt{\sqrt{10}}}\log a}+...=200$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
Sifat : ${}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} \, $ dan $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
Definisi : $ {}^a \log b = c \leftrightarrow a^c = b $
Geometri tak hingga : $ s_\infty = \frac{a}{1-r} $
eksponen : $ a^m . a^n = a^{m+n} \, $ dan $ a^m = b \rightarrow a = b^\frac{1}{m} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} \frac{1}{{}^{10}log a}+\frac{1}{{}^{\sqrt{10}}log a}+\frac{1}{{}^{\sqrt{\sqrt{10}}}log a}+... & = 200 \\ {}^a \log 10 + {}^a \log \sqrt{10} + {}^a \log \sqrt{\sqrt{10}} + ... & = 200 \\ {}^a \log 10^1 + {}^a \log 10^\frac{1}{2} + {}^a \log 10^\frac{1}{4} + ... & = 200 \\ {}^a \log (10^1.10^\frac{1}{2}.10^\frac{1}{4}....) & = 200 \\ {}^a \log 10^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+....} & = 200 \\ {}^a \log 10^{s_\infty} & = 200 \\ {}^a \log 10^{\frac{1}{1-\frac{1}{2}}} & = 200 \\ {}^a \log 10^2 & = 200 \\ 2.{}^a \log 10 & = 200 \\ {}^a \log 10 & = 100 \\ a^{100} & = 10 \\ a & = 10^\frac{1}{100} \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 10^\frac{1}{100} . \heartsuit $
Nomor 3
Malik dan Ali melakukan permainan lempar anak panah. Malik melempar tepat sasaran dengan peluang 0,65 , sedangkan Ali melempar tepat sasaran dengan peluang 0,45. Malik memenangkan permainan jika Malik melempar tepat sasaran dan Ali tidak mengenai sasaran. Sebaliknya, Ali menang jika Ali melempar tepat sasaran dan Malik tidak mengenai sasaran. Kondisi lainnya adalah permainan seri. Peluang bahwa permainan akan berakhir seri adalah ...
$\clubsuit \, $ Peluang komplemen : $P(X^c)=1-P(X)$
Permisalan :
$P(M)$ : Peluang Malik tepat sasaran , $P(M^c)$ : Peluang Malik tidak tepat sasaran.
$P(A)$ : Peluang Ali tepat sasaran , $P(A^c)$ : Peluang Ali tidak tepat sasaran .
$\clubsuit \, $ Peluang masing-masing:
$P(M)=0,65 \Rightarrow P(M^c)=1-P(M)=1-0,65=0,35 $
$P(A)=0,45 \Rightarrow P(A^c)=1-P(A)=1-0,4=0,55 $
$\clubsuit \, $ Ada empat kemungkinan permainan :
i). Malik menang dan Ali kalah ($P(M).P(A^c)$)
ii). Malik kalah dan Ali menang ($P(M^c).P(A)$)
iii). Seri : keduanya tepat sasaran ($P(M).P(A)$)
iv). Seri : keduanya tidak tepat sasaran ($P(M^c).P(A^c)$)
Sehingga peluang seri adalah
$P(Seri) = P(M).P(A) + P(M^c).P(A^2) $
$ P(Seri) = 0,65 \times 0,45 + 0,35 \times 0,55 = 0,4850 $
Jadi, peluang permainan seri adalah 0,4850. $ \heartsuit $
Nomor 4
Parabola $y=ax^2+bx+c$ mempunyai titik puncak di $(p,p)$ dan titik potong terhadap sumbu $y$ di $(0,-p)$ . Jika $p\neq 0$, maka $b$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Substitusi titik ($0,-p$) ke $ y=ax^2+bx+c$
$ y=ax^2+bx+c \rightarrow -p = a.0^2 + b.0 + c \rightarrow c = -p $
Sehingga parabolanya menjadi : $ y=ax^2+bx+-p \, $ ....(i)
$\spadesuit \, $ Substitusi titik ($p,p$) ke bentuk (i)
$\begin{align} (p,p) \rightarrow y & =ax^2+bx+-p \\ p & =a.p^2+b.p+-p \\ ap^2+bp & = 2p \\ ap^2+bp - 2p & = 0 \\ p(ap+b-2) & = 0 \\ p = 0 \vee ap + b -2 & = 0 \end{align}$
karena $ p \neq 0, \, $ maka yang memenuhi adalah $ ap+b-2 =0 \, $
atau $ ap + b = 2 \, $ ...(ii)
$\spadesuit \, $ Titik puncak $ (x_p, y_p ) = (p,p) \, $ dengan $ x_p = \frac{-b}{2a} $
$\begin{align} y=ax^2+bx+-p \rightarrow x_p & = \frac{-b}{2a} \\ p & = \frac{-b}{2a} \\ ap & = \frac{-b}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi $ ap = \frac{-b}{2} \, $ ke bentuk (ii)
$\begin{align} ap + b & = 2 \\ \frac{-b}{2} + b & = 2 \\ \frac{b}{2} & = 2 \\ b & = 4 \end{align}$
Jadi, nilai $ b = 4. \heartsuit $
Nomor 5
Misalkan $a=\sqrt[3]{\sqrt{124}+\sqrt{65}} , b=\sqrt{\sqrt[3]{124}+\sqrt{65}}\, $ dan $c=\sqrt{\sqrt{124}+\sqrt[3]{65}}$. Hubungan yang benar antara $a, b$ dan $c$ adalah ...
Cara I : Menentukan nilai pendekatan masing-masing
$\sqrt{124} = 11,... \, \, \sqrt{65} = 8,... $
$\sqrt[3]{124} = 4,... \, \, \sqrt[3]{65}= 4,... $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai ketiga bilangan
$a=\sqrt[3]{\sqrt{124}+\sqrt{65}} = \sqrt[3]{11,...+8,...}= \sqrt[3]{19,...} = 2,... $
$b=\sqrt{\sqrt[3]{124}+\sqrt{65}} = \sqrt{4,...+8,...}= \sqrt{12,...} = 3,... $
$c=\sqrt{\sqrt{124}+\sqrt[3]{65}} = \sqrt{11,...+4,...} = \sqrt{15,...} $
Dari nilai ketiga bilangan, diperoleh hubungan : $ a < b < c $
Jadi, hubungan ketiga bilangan adalah $ a < b < c . \heartsuit$

Cara II : Dengan konsep perpangkatan
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $
$(a+b)^3=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2 $
$\clubsuit \, $ Ketiga bilangan dipangkatkan 6
$\begin{align} a^6 & =(\sqrt[3]{\sqrt{124}+\sqrt{65}})^6 = (\sqrt{124}+\sqrt{65})^2 \\ & = 124 + 65 + 2.\sqrt{124}.\sqrt{65} \end{align}$
$\begin{align} b^6 & =(\sqrt{\sqrt[3]{124}+\sqrt{65}})^6 = (\sqrt[3]{124}+\sqrt{65})^3 \\ & = 124 + 65\sqrt{65} + 3\sqrt[3]{124}\sqrt[3]{124}\sqrt{65} + 3\sqrt{124}\sqrt{65} \end{align}$
$\begin{align} c^6 & =(\sqrt{\sqrt{124}+\sqrt[3]{65}})^6 = (\sqrt{124}+\sqrt[3]{65})^6 \\ & = 124\sqrt{124}+65+3.124.\sqrt[3]{65} + 3\sqrt{124}\sqrt[3]{65}\sqrt[3]{65} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan hubungan ketiga bilangan
Hubungan $ a^6 $ dan $ b^6 $ :
$ 124 + 65\sqrt{65} > 124 + 65 \, $ dan $ 3\sqrt[3]{124}\sqrt[3]{124}\sqrt{65} > 2.\sqrt{124}.\sqrt{65} \, $ artinya nilai $ b^6 > a^6 \, $ sehingga nilai $ b > a \, $ ....(i)
Hubungan $ c^6 $ dan $ b^6 $ :
$ 124\sqrt{124}+65+3.124.\sqrt[3]{65} > 124 + 65\sqrt{65} $
$ 3.124.\sqrt[3]{65} + 3\sqrt{124}\sqrt[3]{65}\sqrt[3]{65} > 3\sqrt[3]{124}\sqrt[3]{124}\sqrt{65} + 3\sqrt{124}\sqrt{65} \, $ artinya nilai $ c^6 > b^6 \, $ sehingga nilai $ c > b \, $ ....(ii)
Dari (i) dan (ii) diperoleh hubungan : $ c > b > a \, $ atau $ a < b < c $
Jadi, hubungan ketiga bilangan adalah $ a < b < c . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Pembahasan Soal Simak UI Matematika Dasar KD1 tahun 2014



Hallow sobat, bagaimana kabarnya hari ini? Semoga baik-baik saja.

Pada kali ini saya akan sharing pembmahasan soal SIMAK UI Matematika Dasar KD1 tahun 2014. Seperti biasa, soal simak ui itu menurut saya sangat menantang, sehingga ada guyonan dari temen bahwa untuk mengerjakan soal simak ui itu cukup di simak saja dan ditinggalkan, hahahahaha!!!. Tapi tenang saja, di sini saya akan share alternatif pembahasan yang bisa menambah referensi dan wawasan untuk mengerjakan soal-soal simak ui tahun-tahun mendatang.

Soal nomor 1 simak ui matematika dasar KD1 tahun 2014 tergolong mudah karena hanya menggunakan konsep turunan pecahan, sehingga saya yakin setiap peserta bisa mengerjakan soal ini. Untuk nomor 2 menggunakan konsep fungsi komposisi, untuk mengerjakannya butuh ketelitian dan trik. Konsep peluang juga dipakai untuk soal nomor 3 dan 4, akan tetapi soal nomor 4 lebih sulit dan menurut saya ide soalnya bagus sekali, sehingga mengerjakannya pun harus butuh pemikiran yang ekstra dan pemahaman konsep dasar yang kuat. Kemudian untuk nomor 5, sebenarnya soalnya tergolong mudah karena hanya menggunakan konsep statistika, hanya saja penyelesaiannya (yang bisa saya kerjakan di sini) menggunakan teknik mendata satu-satu sehingga agak lama dan butuh ketelitian.

Untuk pembahasan lengkap soal simak ui matematika dasar kd1 tahun 2014, langsung saja bisa dilihat berikut ini untuk nomor 1 sampai nomor 5. selamat belajar.

Nomor 1
Jika $f(2)=3 , \, f^\prime (2)=6, \, g(2)=1 , \, g^\prime(2)=4, \,$ dan $\, h(x)=\frac{f(x)g(x)}{f(x)-g(x)}, \,$ maka $h^\prime(2)=...$
$\clubsuit \, $ Turunan pecahan : $y=\frac{u}{v} \Rightarrow y^\prime = \frac{u^\prime . v - u. v^\prime}{v^2} $
$\clubsuit \, $ Turunan perkalian : $y=u.v \Rightarrow y^\prime = u^\prime . v + u.v^\prime $
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan $h(x)=\frac{f(x)g(x)}{f(x)-g(x)} $
$\begin{align} &h(x)=\frac{f(x)g(x)}{f(x)-g(x)} \\ &h^\prime (x) =\frac{[f(x)g(x)]^\prime .[f(x)-g(x)] - [f(x)g(x)] . [f(x)-g(x)]^\prime }{[f(x)-g(x)]^2} \\ &= \frac{[f^\prime(x)g(x) + f(x)g^\prime(x)] .[f(x)-g(x)] - [f(x)g(x)] . [f^\prime(x)-g^\prime(x)] }{[f(x)-g(x)]^2} \\ &\text{Sehingga : } \\ &h^\prime (2)= \frac{[f^\prime(2)g(2) + f(2)g^\prime(2)] .[f(2)-g(2)] - [f(2)g(2)] . [f^\prime(2)-g^\prime(2)] }{[f(2)-g(2)]^2} \\ &= \frac{[6.1 + 3.4] .[3-1] - [3.1] . [6-4] }{[3-1]^2} \\ &= \frac{[18] .[2] - [3] . [2] }{4} \\ &= \frac{36 - 6 }{4} = \frac{30}{4} = \frac{15}{2} \\ &h^\prime (2)=\frac{15}{2} \end{align}$
Jadi, nilai $h^\prime (2)=\frac{15}{2}. \heartsuit $
Nomor 2
Misalkan $f(x)$ menunjukkan jumlah angka-angka dalam bilangan positif $x$. Sebagai contoh, $f(9)=9$ dan $f(78)=7+8=15$. Banyaknya bilangan $x$ yang terdiri dari 2 angka dan memenuhi $(f\circ f)(x)=3$ adalah ...
$\spadesuit \, $ Misalkan : $ p = f(x) $
$(f\circ f)(x)=3 \leftrightarrow f(f(x)) = 3 \leftrightarrow f(p) = 3 $
$\spadesuit \, $ Agar $ f(p) = 3 \, $ , nilai $ p \, $ yang mungkin :
$ p =\{ 3, 30, 12, 21, 111, 300, 120, .... \} $
Akan tetapi $ x $ adalah dua angka dengan nilai terbesar 99, sehingga nilai terbesar $ \, p = f(x) = f(99) = 9 + 9 =18 $ . Ini artinya nilai terbesar $ p = f(x) \, $ adalah 18, sehingga nilai $ p $ yang mungkin dan memenuhi hanya 3 dan 12 saja.
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x \, $ dua angka dari nilai $p$
* untuk $ p = 3 \rightarrow f(x) = 3 \, $ terpenuhi untuk $ \, x = \{ 30, 12, 21 \} $
* untuk $ p = 12 \rightarrow f(x) = 12 \, $ terpenuhi untuk
$ \, x = \{ 39,93,48,84,57,75,66 \} $
sehingga semua nilai $x$ adalah $ x = \{12,21,30,39,93,48,84,57,75,66 \} $
Jadi, banyaknya bilangan $ x \, $ dua angka yang memenuhi ada 10 bilangan. $ \heartsuit $
Nomor 3
Malik dan Ali melakukan permainan lempar anak panah. Malik melempar tepat sasaran dengan peluang 0,65 , sedangkan Ali melempar tepat sasaran dengan peluang 0,45. Malik memenangkan permainan jika Malik melempar tepat sasaran dan Ali tidak mengenai sasaran. Sebaliknya, Ali menang jika Ali melempar tepat sasaran dan Malik tidak mengenai sasaran. Kondisi lainnya adalah permainan seri. Peluang bahwa permainan akan berakhir seri adalah ...
$\clubsuit \, $ Peluang komplemen : $P(X^c)=1-P(X)$
Permisalan :
$P(M)$ : Peluang Malik tepat sasaran , $P(M^c)$ : Peluang Malik tidak tepat sasaran.
$P(A)$ : Peluang Ali tepat sasaran , $P(A^c)$ : Peluang Ali tidak tepat sasaran .
$\clubsuit \, $ Peluang masing-masing:
$P(M)=0,65 \Rightarrow P(M^c)=1-P(M)=1-0,65=0,35 $
$P(A)=0,45 \Rightarrow P(A^c)=1-P(A)=1-0,4=0,55 $
$\clubsuit \, $ Ada empat kemungkinan permainan :
i). Malik menang dan Ali kalah ($P(M).P(A^c)$)
ii). Malik kalah dan Ali menang ($P(M^c).P(A)$)
i). Seri : keduanya tepat sasaran ($P(M).P(A)$)
i). Seri : keduanya tidak tepat sasaran ($P(M^c).P(A^c)$)
Sehingga peluang seri adalah
$P(Seri) = P(M).P(A) + P(M^c).P(A^2) $
$ P(Seri) = 0,65 \times 0,45 + 0,35 \times 0,55 = 0,4850 $
Jadi, peluang permainan seri adalah 0,4850. $ \heartsuit $
Nomor 4
Terdapat 2 kotak yang masing-masing berisi bola hitam dan bola putih, dan banyaknya bola pada kedua kotak adalah 20. Sebuah bola diambil dari masing-masing kotak dan peluang bahwa kedua bola berwarna hitam adalah $\frac{5}{12}$, dan peluang bahwa kedua bola berwarna putih adalah $\frac{m}{n}$ dengan $m$ dan $n$ adalah bilangan bulat positif terkecil yang mungkin. Nilai $m+n$ adalah ...
A). 13
B).14
C). 15
D). 16
E). 22
$\spadesuit \, $ Peluang komplemen : $P(X^c)=1-P(X)$
Permisalan :
$P(H_1)$ : Peluang hitam kotak satu , $P(H_2)$ : Peluang hitam kotak dua.
$P(p_1)$ : Peluang putih kotak satu , $P(p_2)$ : Peluang putih kotak dua.

Pada soal ini ada sedikit kejanggalan dari kalimat "banyaknya bola pada kedua kotak adalah 20". Untuk itu kita bagi menjadi dua penafsiran yaitu pertama : kita anggap masing-masing kotak berisi 20 bola, dan kedua : jumlah kedua kotak ada 20 bola.

Pertama : masing-masing kotak berisi 20 bola,
$\spadesuit \, $ Menentukan peluang masing-masing:
Peluang bola hitam dari kedua kotak adalah $ \frac{5}{12} $
$ P(H_1) . P(H_2) = \frac{5}{12} \rightarrow P(H_1) . P(H_2) = \frac{5}{6} . \frac{1}{2} $
artinya $ P(H_1) = \frac{5}{6} \, $ dan $ \, P(H_2) = \frac{1}{2} \, $ atau sebaliknya.
Sehingga diperoleh :
Kotak I : $P(H_1)=\frac{5}{6} \Rightarrow P(p_1)=1-P(H_1)=1-\frac{5}{6} =\frac{1}{6} $
Kotak II : $P(H_2)=\frac{1}{2} \Rightarrow P(p_2)=1-P(H_2)=1-\frac{1}{2} =\frac{1}{2} $
$\spadesuit \, $ Peluang bola putih kedua kotak
$P(putih) = P(p_1).P(p_1) = \frac{1}{6} . \frac{1}{2} = \frac{1}{12} $
Karena peluang putih sama dengan $ \frac{m}{n} $ , maka nilai $ \frac{m}{n} \, $ adalah
$ \frac{m}{n} = \frac{1}{12} \, $ atau bentuk perbandingan yang senilai lainnya
$ \frac{m}{n} = \frac{1}{12} = \frac{2}{24} = \frac{3}{36} = \frac{...}{...} $
Sehingga nilai terkecilnya : $ m + n = 1 + 12 = 13 $


Kedua : Jumlah bola kedua kotak adalah 20 buah ,
untuk memudahkan dalam menentukan banyaknya bola hitam dan putih setiap kotak, kita buat kedua penyebut berjumlah 20.
$\spadesuit \, $ Modifikasi pertama :
Peluang bola hitam dari kedua kotak adalah $ \frac{5}{12} $
$\begin{align} P(H_1) . P(H_2) & = \frac{5}{12} \\ & = \frac{5}{6} \times \frac{1}{2} \\ & = \frac{5}{6} \times \frac{1\times 7}{2\times 7} \\ & = \frac{5}{6} \times \frac{ 7}{14} \end{align} $
Artinya $ P(H_1) = \frac{5}{6} \Rightarrow P(p_1)=1-P(H_1)=1-\frac{5}{6} =\frac{1}{6} $
$ P(H_2) = \frac{7}{14} \Rightarrow P(p_2)=1-P(H_2)=1-\frac{7}{14} =\frac{7}{14} $
sehingga peluang kedua putih :
$P(putih) = P(p_1).P(p_1) = \frac{1}{6} . \frac{7}{14} = \frac{1}{12} $
nilai $ m + n = 1 + 12 = 13. $
dengan kotak satu ada 5 bola hitam 1 bola putih dan kotak dua ada 7 bola hitam 7 bola putih.
$\spadesuit \, $ Modifikasi kedua :
Peluang bola hitam dari kedua kotak adalah $ \frac{5}{12} $
$\begin{align} P(H_1) . P(H_2) & = \frac{5}{12} \\ & = \frac{5}{12} \times \frac{8}{8} \\ & = \frac{5}{8} \times \frac{8}{12} \end{align} $
Artinya $ P(H_1) = \frac{5}{8} \Rightarrow P(p_1)=1-P(H_1)=1-\frac{5}{8} =\frac{3}{8} $
$ P(H_2) = \frac{8}{12} \Rightarrow P(p_2)=1-P(H_2)=1-\frac{8}{12} =\frac{4}{12} $
sehingga peluang kedua putih :
$P(putih) = P(p_1).P(p_1) = \frac{3}{8} . \frac{4}{12} = \frac{1}{8} $
nilai $ m + n = 1 + 8 = 9. $
dengan kotak satu ada 5 bola hitam 3 bola putih dan kotak dua ada 8 bola hitam 4 bola putih.
Dari kemungkinan kedua yaitu jumlah kotak satu dan kotak dua ada 20 bola, nilai terkecil dari $ m + n \, $ adalah 9.

Namun, ketika kita cek jawaban pada pilihannya, yang terkecil adalah 13 pada pilihan A, ini artinya kemungkinan besar yang dimaksud oleh soal nomor 4 ini adalah jumlah masing-masing bola pada kotak adalah 20 buah.

Jadi, nilai terkecil $ m+ n \, $ adalah 13. $ \heartsuit $
Nomor 5
Sebuah himpunan yang terdiri atas 10 anggota yang semuanya bilangan bulat mempunyai rata-rata, median, modus, serta jangkauan yang sama, yaitu 9. Hasil kali antara bilangan terkecil dan terbesar yang masuk dalam himpunan tersebut adalah ...
$\clubsuit \, $ Misalkan himpunannya : $ x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9,x_{10} $
rata-rata = median = modus = jangkauan = 9
rata-rata = 9 $\, \rightarrow \frac{x_1+ ... + x_{10}}{10} = 9 \rightarrow x_1 + ... + x_{10} = 90 \, $ ...pers(i)
median = 9 $ \, \rightarrow \frac{x_5+x_6}{2} = 9 \rightarrow x_5+x_6 = 18 $
karena modusnya 9, maka haruslah $ \, x_5 = x_6 = 9 $
jangkauan = 9 $ \, \rightarrow x_{10} - x_1 = 9 \rightarrow x_{10} = x_1 + 9 \, $
$\clubsuit \, $ Karena $ \, x_5 = x_6 = 9 \, $ , maka nilai $ x_1 $ adalah $ 0 \leq x_1 \leq 9 $ dan yang memenuhi $ 2 \leq x_1 \leq 7 $. Dengan ketekunan dan kesabaran, kita daftar bilangan-bilangan tersebut berdasarkan nilai $ x_1 $ dan menentukan nilai $ x_{10} $ dengan $ x_{10} = x_1 + 9 $
* $x_1 = 2 \rightarrow x_{10} = 2 + 9 = 11 \, \, $ hasil kali : $ x_1.x_{10} = 2.11 = 22 $
bilangannya : 2, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 11, 11
* $x_1 = 3 \rightarrow x_{10} = 3 + 9 = 12 \, \, $ hasil kali : $ x_1.x_{10} = 3.12 = 36 $
bilangannya : 3, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 12, 12
* $x_1 = 4 \rightarrow x_{10} = 4 + 9 = 13 \, \, $ hasil kali : $ x_1.x_{10} = 4.13 = 52 $
bilangannya : 4, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 13
* $x_1 = 5 \rightarrow x_{10} = 5 + 9 = 14 \, \, $ hasil kali : $ x_1.x_{10} = 5.14 = 70 $
bilangannya : 5, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 14
* $x_1 = 6 \rightarrow x_{10} = 6 + 9 = 15 \, \, $ hasil kali : $ x_1.x_{10} = 6.15 = 90 $
bilangannya : 6, 6, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 15
* $x_1 = 7 \rightarrow x_{10} = 7 + 9 = 16 \, \, $ hasil kali : $ x_1.x_{10} = 7.16 = 112 $
bilangannya : 7, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 16
Sehingga himpunan hasil kali terkecil dan terbesar adalah {22, 36, 52, 70, 90, 112}
Jadi, himpunan hasil kali terkecil dan terbesar adalah {22, 36, 52, 70, 90, 112}. $\heartsuit$
Catatan :
*). untuk $ x_1 = 0 \rightarrow x_{10} = 0 + 9 = 9, \, $ maka jumlah kesepuluh bilangannya kurang dari 90 (jumlah maksimalnya 81 saat : 0,9,9,9,9,9,9,9,9,9).
*). untuk $ x_1 = 1 \rightarrow x_{10} = 1 + 9 = 10, \, $ maka jumlah kesepuluh bilangannya kurang dari 90 (jumlah maksimalnya 86 saat : 1,9,9,9,9,9,10,10,10,10).
*). dan untuk $ x_1 > 7 , \, $ maka jumlah kesepuluh bilangannya akan lebih dari 90 (jumlah minimalnya 94 saat : 8,8,8,8,9,9,9,9,9,17).


Jika ada masukan, saran, kritikan, alternatif penyelesaian lain yang lebih mudah, atau apapun yang berhubungan dengan halaman ini, silahkan kirim ke email : d.4rm.408@gmail.com , atau langsung isi komentar pada kotak komentar di bawah ini. Semoga bermanfaat, terima kasih.
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20