Tampilkan postingan dengan label spmk UB mat ipa. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label spmk UB mat ipa. Tampilkan semua postingan

Soal dan Pembahasan Matematika IPA SPMK UB tahun 2012 Kode 14


Nomor 1
Jika A dan B himpunan bagian dari himpunan semesta S dan diketahui bahwa $ A \cup B = s \, $ dan $ A \cap B = \{ \, \} $ , maka pernyataan berikut yang benar adalah ....
A). $ A = B $
B). $ B - A = A $
C). $ B - A = B $
D). $ (B - A)^c = A^c $
E). $ (A - B )^c = A $
Nomor 2
Untuk semua bilangan real $ x , \, y \, $ dan $ z \, $ , diketahui bahwa pernyataan "jika $ x \geq y \, $ maka $ x \geq z \, $ dan $ y < z $" adalah salah. Pernyataan yang betul adalah ....
A). $ x \geq y \, $ dan $ x < z \, $ atau $ y \geq z $
B). $ x > y \, $ dan $ x \leq z \, $ atau $ y \geq z $
C). $ x > y \, $ dan $ x \geq z \, $ atau $ y \leq z $
D). $ x \geq y \, $ dan $ x \leq z \, $ atau $ y > z $
E). $ x \leq y \, $ dan $ x < z \, $ atau $ y > z $
Nomor 3
Garis lurus $ 10x + y + 3k = 0 \, $ tidak memotong parabola $ y = x^2 + 2k \, $ jika
A). $ k < - 5 $
B). $ k > - 5 $
C). $ k > 0 $
D). $ k < 5 $
E). $ k > 5 $
Nomor 4
Jika $ A = 3^x + \frac{1}{3^x} \, $ dan $ B = 3^x - \frac{1}{3^x} \, $ maka $ \sqrt{A^2 - B^2 } \, $ adalah ....
A). $ \frac{1}{2} $
B). $ \frac{1}{4} $
C). 1
D). 2
E). 4
Nomor 5
Diketahui $ a = {}^p \log x \, $ dan $ b = {}^q \log x $ . Jika $ \frac{a}{b} = 5 \, $ dan $ p^k = q \, $ maka $ k = .... $
A). 1
B). 2
C). 3
D). 4
E). 5
Nomor 6
Jika $ A = \left( \begin{matrix} 0 & x \\ x & x+1 \end{matrix} \right) $ dan $ B = \left( \begin{matrix} y & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \, $ maka $ x - y = .... $
A). 1
B). 2
C). 3
D). 4
E). 5
Nomor 7
$ \displaystyle \lim_{x \to 16 } \frac{(x-16)}{\sqrt{x} - 4 } = .... $
A). $ \frac{1}{8} $
B). 0
C). 4
D). 8
E). $ \infty $
Nomor 8
Dalam suatu kantong terdapat 5 kelereng hijau dan 4 kelereng merah. Jika diambil 3 kelereng secara acak, peluang terambil 1 kelereng hijau dan 2 kelereng merah adalah ....
A). $ \frac{1}{10} $
B). $ \frac{5}{14} $
C). $ \frac{5}{21} $
D). $ \frac{13}{10} $
E). $ \frac{10}{21} $
Nomor 9
Dalam segitiga siku-siku ABC berlaku $ \cos (A-B) = \frac{1}{2} \, $ maka $ \sin A \sin B = .... $
A). $ 0 $
B). $ \frac{1}{2} $
C). $ \frac{1}{3} $
D). $ \frac{1}{4} $
E). $ \frac{2}{3} $
Nomor 10
Jika $ k - 1, k+4 , k+10 \, $ membentuk barisan geometri, maka rasio barisan geometri tersebut adalah ....
A). $ \frac{1}{8} $
B). 0
C). 4
D). 8
E). $ \infty $
Nomor 11
Jika suku banyak $ f(x) = 2x^4 + px^3 - 3x^2 + 5x + q \, $ dibagi $ (x^2 - 1) \, $ menghasilkan sisa $ (8x + 4 ) \, $ maka nilai $ p + q = .... $
A). 2
B). 3
C). 5
D). 7
E). 8
Nomor 12
Diketahui $ f(x) = x^2 + 1 \, $ dan $ g(x) = x - 2 \, $ . Jika $ (g \circ f)(x) = 3 \, $ maka $ x = .... $
A). - 2 atau 2
B). - 1 atau 2
C). - 2 atau 1
D). - 2 atau 5
E). - 5 atau 5
Nomor 13
Grafik $ f(x) = x(x-1)^2 \, $ naik dalam interval ....
A). $ x < 0 \, $ atau $ x > 1 $
B). $ 0 < x < 1 $
C). $ x < \frac{1}{3} \, $ atau $ x > 1 $
D). $ \frac{1}{3} < x < 1 $
E). $ x > 1 $
Nomor 14
$ \int \limits_{-\pi}^\pi \cos ^2 x \sin x dx = .... $
A). $ -\frac{2}{3} $
B). $ -\frac{1}{3} $
C). 0
D). $ \frac{1}{3} $
E). $ \frac{2}{3} $
Nomor 15
Misalkan $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ adalah akar-akar persamaan $ x^2 + x + p = 0 $ . Persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah $ x_1 + x_2 \, $ dan $ x_1x_2 \, $ adalah ....
A). $ x^2 + x - p = 0 $
B). $ x^2 + (1-p)x - p = 0 $
C). $ x^2 - (1+p)x + p = 0 $
D). $ x^2 + (1+p)x - p = 0 $
E). $ x^2 - (1+p)x - p = 0 $

Untuk pemebahasan soal-soalnya akan diupload secara berkala karena dalam proses pengetikan. Semoga bisa bermanfaat dan semangat belajar soal-soal SPMK UB nya, pasti bisa.



Soal dan Pembahasan Kimia SPMK UB tahun 2012 Kode 14


Nomor 1
Unsur-unsur di bawah ini yang mempunyai enam elektron valensi adalah ....
A). $ _8O $
B). $_{14}Si $
C). $ _{29}Cu $
D). $ _{11}Na $
E). $ _6C $
Nomor 2
Rumus kecepatan reaksi dari reaksi :
$ 2H_{2(\text{g})} + SO_{2(\text{g})} \rightarrow 2H_2O{(\text{g})} + S_{(\text{s})} $
adalah $ v = k[H_2][SO_2] $ . Reaksi tersebut di atas memiliki orde reaksi ....
A). 0
B). 1
C). 2
D). 3
E). 4
Nomor 3
Esterifikasi merupakan reaksi ....
A). adisi
B). subtitusi
C). eliminasi
D). reduksi
E). oksidasi
Nomor 4
Bila 45 g C$_6$H$_{12}$O$_6$ (BM = 180) dilarutkan sehingga menjadi 500 g larutan, maka kemolalan larutan tersebut sama dengan ....
A). 0,50
B). 0,65
C). 0,25
D). 0,45
E). 0,11
Nomor 5
Larutan jenuh senyawa hidroksida dari suatu logam M(OH)$_3$ , mempunyai pH = 9,00. Harga Ksp (hasil kali kelarutan) dari senyawa tersebut adalah ....
A). $ 3,3 \times 10^{-21} $
B). $ 3,0 \times 10^{-20} $
C). $ 1,0 \times 10^{-10} $
D). $ 3,0 \times 10^{-36} $
E). $ 3,3 \times 10^{-37} $
Nomor 6
Elektrolisa larutan KCl dengan elektroda Pt, pada katoda akan terjadi ....
A). gas Cl$_2$
B). logam K
C). hidrolisa kalium
D). gas H$_2$
E). gas O$_2$
Nomor 7
Waktu paruh suatu radio isotop adalah 20 hari. Setelah disimpan 60 hari, radio isotop tersebut masih tersisa ....
A). 1/2 bagian
B). 1/3 bagian
C). 1/4 bagian
D). 1/6 bagian
E). 1/8 bagian

Petunjuk B dipergunakan untuk mengerjakan soal nomor 8 sampai dengan 10.
Nomor 8
Logam Al lebih sulit mengalami korosi dibandingkan dengan Fe.
                  SEBAB
Pada permukaan logam Al terbentuk lapisan AL$_2$O$_3$.
Nomor 9
Degradasi (peruraian) selulase dapat dipercepat oleh enzim selulosa.
                  SEBAB
Enzim merupakan protein yang dapat berperan sebagai katalis.
Nomor 10
Minyak tanah dan air dapat bercampur dengan adanya sabun atau deterjen.
                  SEBAB
Minyak tanah bersifat non polar dan air bersifat polar.

Petunjuk C dipergunakan untuk mengerjakan soal nomor 11 sampai dengan 15.
Nomor 11
Unsur Z dan A masing-masing memiliki konfigurasi elektronik.
$ Z = 1s^22s^22p^63s^2 $
$ A = 1s^22s^22p^5 $
Pernyataan yang benar mengenai Z dan A adalah ....
(1). A merupakan unsur golongan nitrogen
(2). ikatan antara Z dan A merupakan ikatan ionik
(3). senyawa yang dibentuk mempunyai rumus $Z_2A_5$
(4). Z merupakan unsur alkali tanah
Nomor 12
Alkohol yang dapat memutar bidang cahaya terpolarisasi adalah ....
(1). 3-heksanol
(2). 3-pentanol
(3). 2-pentanol
(4). 2-propanol
Nomor 13
Dari data suatu reaksi berikut, pasangan yang menyatakan reaksi berlangsung spontan terdapat pada ....
(1). $\Delta$H positif, $\Delta$S positif dan $ \Delta H = T\Delta S $
(2). $\Delta$H negatif, $\Delta$S negatif dan $ \Delta H > T\Delta S $
(3). $\Delta$H negatif, $\Delta$S positif dan $ \Delta H > T\Delta S $
(4). $\Delta$H negatif, $\Delta$S positif dan $ \Delta H < T\Delta S $
Nomor 14
Dari reaksi :
$ N_{2(\text{g})} + 3H_{2(\text{g})} \leftrightharpoons 2NH_{3(\text{g})} \, \Delta$H = -224 kkal
Pernyataan di bawah ini yang tidak mempengaruhi kesetimbangan di atas adalah ....
(1). kenaikan suhu
(2). penambahan (N$_2$) dan (H$_2$)
(3). pengecilan volume
(4). penambahan jumlah katalis
Nomor 15
Campuran larutan berikut ini yang membentuk larutan penyangga adalah ....
(1). 50 mL CH$_3$COOH 0,2 M dan 50 mL NaOH 0,1 M
(2). 50 mL CH$_3$COOH 0,2 M dan 100 mL NaOH 0,1 M
(3). 100 mL CH$_3$COOH 0,2 M dan 100 mL NaOH 0,1 M
(4). 50 mL HCl 0,2 M dan 50 mL NaOH 0,1 M

Untuk pemebahasan soal-soalnya akan diupload secara berkala karena dalam proses pengetikan. Semoga bisa bermanfaat dan semangat belajar soal-soal SPMK UB nya, pasti bisa.



Soal dan Pembahasan Kimia SPMK UB tahun 2013 Kode 21


Nomor 1
Rumus kimia berikut ini yang merupakan rumus emiris adalah ....
A). $ C_6H_{14} $
B). $ CH_2O $
C). $ C_4H_8 $
D). $ P_4H_{10} \, $
E). $ C_6H_{12}O_6 $
Nomor 2
Nomor atom salah satu unsur yang terletak pada golongan VIA adalah .....
A). 26
B). 20
C). 16
D). 10
E). 6
Nomor 3
Diantara senyawa-senyawa berikut yang memiliki sifat ionik paling besar adalah ....
A). NaBr
B). KF
C). MgCl$_2$
D). KI
E). NaF
Nomor 4
Reaksi kimia C $ \, \rightarrow \, $ D, jika dalam waktu 330 detik konsenetrasi zat C berkurang dari 1,25 M menjadi 1,00 M, berapakah kecepatan reaksi pembentukan zat D?
A). 0,025 mol/menit.L
B). 0,030 mol/menit.L
C). 0,045 mol/menit.L
D). 0,050 mol/menit.L
E). 0,090 mol/menit.L
Nomor 5
Berapakah hasil kali kelarutan PbCl$_2$ , jika harga kelarutan dari PbCl$_2 \, $ adalah $ 2,0 \times 10^{-2} \, $ mol/L ?
A). $ 4,0 \times 10^{-4} $
B). $ 8,0 \times 10^{-4} $
C). $ 3,2 \times 10^{-5} $
D). $ 8,0 \times 10^{-6} $
E). $ 16,0 \times 10^{-6} $
Nomor 6
Pada proses pembuatan baterai kering, senyawaan mangan manakah yang banyak digunakan?
A). $ Mn_3O_4 $
B). $ MnCO_3 $
C). $ MnSO_4 $
D). $ Mn_2O_3 $
E). $ MnO_2 $
Nomor 7
Senyawa 1,3-butadiena dengan 1-butana merupakan contoh isomer ....
A). fungsi
B). geometri
C). optis
D). posisi
E). rantai

Petunjuk B dipergunakan untuk mengerjakan soal nomor 8 sampai dengan 10.
Nomor 8
Unsur Y yang mempunyai nomor atom 26 digolongkan sebagai unsur transisi.
                  SEBAB
Konfigurasi elektronik kulit terluar dari unsur Y tersebut adalah 4s$^2 \, $ 4p$^6$.
Nomor 9
PCl$_5 \, $ merupakan salah satu contoh senyawa yang mengikuti aturan oktet.
                  SEBAB
Dalam senyawa PCl$_5 \, $ jumlah elektron terluar ada 8.
Nomor 10
Asam butanoat dikelompokkan sebagai asam karboksilat jenuh.
                  SEBAB
Asam butanoat akan membentuk endapan berwarna merah Cu$_2$O bila ditetesi dengan reagen Fehling.

Petunjuk C dipergunakan untuk mengerjakan soal nomor 11 sampai dengan 15.
Nomor 11
Beberapa sifat dari logam aluminium yang benar adalah ....
(1). dapat bereaksi dengan asam kuat.
(2). larut dalam larutan NaOH
(3). dengan larutan basa kuat menghasilkan H$_2$
(4). merupakan oksidator kuat
Nomor 12
Beberapa pencemar berikut yang dapat menyebabkan terjadinya hujan asam adalah ....
(1). karbon monoksida
(2). oksida nitrogen
(3). hidrokarbon
(4). oksida belerang
Nomor 13
Penggunaan arus listrik untuk menghasilkan reaksi redoks terjadi pada sel ....
(1). Galvani
(2). elektroda
(3). Volta
(4). elektrolisis
Nomor 14
Unsur radioaktif merupakan unsur yang dapat memancarkan radiasi sinar ....
(1). gamma yang tidak bermuatan
(2). beta yang memiliki sifat seperti elektron
(3). alfa
(4). X
Nomor 15
Dalam reaksi : $ HBr + H_2O \leftrightharpoons H_3O^+ + Br^- \, $ yang merupakan pasangan asam dan basa konjugasi adalah ....
(1). HBr dan H$_3$O$^+$
(2). HBr dan Br$^-$
(3). H$_2$O dan Br$^-$
(4). H$_2$O dan H$_3$O$^+$

Untuk pemebahasan soal-soalnya akan diupload secara berkala karena dalam proses pengetikan. Semoga bisa bermanfaat dan semangat belajar soal-soal SPMK UB nya, pasti bisa.



Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 12 tahun 2015


Nomor 1
Jika A = {semua faktor dari 15} dan B = {bilangan asli kelipatan 4 yang kurang dari 20}, maka pernyataan berikut yang benar adalah .....
A). $ A - B = A $
B). $ A - B = \{1,5\} $
C). $ B - A = A $
D). $ A \cap B \neq \{ \, \} $
E). $ A \cup B = \{ 1,3,4,5,8,12,15 \} $
$ \spadesuit \, $ Konsep dasar dari $ A - B $ dan $ B - A $ :
$ A - B = \{ x | x \in A \text{ dan } x \not \in A\cap B \} $
$ B - A = \{ x | x \in B \text{ dan } x \not \in A\cap B \} $
$ \spadesuit \, $ Menentukan anggota himpunan A dan B
A = { semua faktor dari 15 } = { 1, 3, 5, 15 }
B = {bilangan asli kelipatan 4 kurang dari 20}
B = { 4 , 8 , 12, 16 }
Sehingga :
Irisan keduanya : $ A \cap B = \{ \, \} \, $ (kosong).
Gabungan : $ A \cup B = \{ 1, 3, 4, 5, 8, 12, 15, 16 \} $.
$ \spadesuit \, $ Menentukan hasil $ A - B \, $ dan $ B - A $ :
karena hasil $ A \cap B = \{ \, \} \, $ adalah himpunan kosong, maka sesuai definisi dari $ A - B \, $ kita peroleh hasil : $ A - B = A \, $ dan $ B - A = B $ .
Jadi, yang benar adalah $ A - B = A \, $ sesuai pilihan A. $ \, \heartsuit $
Nomor 2
Diketahui $ f(x) = 6x^2 - 5ax + 2b \, $ dengan $ f(0) = 10 \, $ dan $ f^\prime (2) = - 4. \, $ Nilai $ b - a = .... $
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan fungsi dan substitusi $ f^\prime (2) = -4 $
$\begin{align} f(x) &= 6x^2 - 5ax + 2b \\ f^\prime (x) & = 12x - 5a \\ f^\prime (2) & = -4 \\ 12. 2 - 5a & = -4 \\ 24 - 5a & = -4 \\ 5a & = 28 \\ a & =\frac{28}{5} \end{align}$
Sehingga fungsinya menjadi :
$ f(x) = 6x^2 - 5ax + 2b $
$ f(x) = 6x^2 - 5. \frac{28}{5} x + 2b = 6x^2 - 28x + 2b $
$\clubsuit \, $ Susbstitusi $ f(0) = 10 \, $ ke $ f(x) = 6x^2 - 28x + 2b $
$\begin{align} f(x) & = 6x^2 - 28x + 2b \\ f(0) & = 10 \\ 6.0^2 - 28.0 + 2b & = 10 \\ 2b & = 10 \\ b & = 5 \end{align}$
Sehingga nilai $ b - a = 5 - \frac{28}{5} = -\frac{3}{5} $
Jadi nilai $ b - a = -\frac{3}{5}. \, \heartsuit $
Nomor 3
Lima bilangan bulat positif $ a_1,a_2,a_3,a_4, \, $ dan $ a_5 \, $ yang berurutan jika dijumlahkan hasilnya 500. Pernyataan berikut ini yang benar adalah ....
A). $ a_4 - a_2 = 3 $
B). Bilangan terkecil adalah 97
C). Bilangan terbesar adalah 102
D). $ a_1 + a_5 = 198 $
E). $ a_5 - a_1 = 5 $
$ \spadesuit \, $ Barisan artimetika : $ u_n = a + (n-1)b \, \, $ dan $ s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $
$ \spadesuit \, $ Analisa soal :
Bilangan $ a_1,a_2,a_3,a_4, \, $ dan $ a_5 \, $ berurutan sehingga barisan tersebut merupakan barisan aritmetika dengan suku pertama $ a \, $ dan beda $ b = 1 $.
$ \spadesuit \, $ Jumlah lima bilangan $(s_5)$ = 500 :
$\begin{align} s_5 & = 500 \\ \frac{5}{2}(2a + (5-1).1) & = 500 \\ \frac{5}{2}(2a + 4) & = 500 \\ 2a + 4 & = 500 \times \frac{2}{5} \\ 2a + 4 & = 200 \\ 2a & = 196 \\ a & = 98 \end{align}$
$ \spadesuit \, $ Menentukan besar suku masing-masing
$\begin{align} a_1 & = u_1 = a = 98 \\ a_2 & = u_2 = a + b = 98 + 1 = 99 \\ a_3 & = u_3 = a + 2b = 98 + 2.1 = 100 \\ a_4 & = u_4 = a + 3b = 98 + 3.1 = 101 \\ a_5 & = u_5 = a + 4b = 98 + 4.1 = 102 \end{align}$
Sehingga yang benar adalah nilai bilangan terbesarnya 102.
Jadi, yang benar opsi C. $ \heartsuit $
Nomor 4
Jika $ 3 \, {}^y \log x^3 - 2 \, {}^y \log x^2 + {}^y \log x = 1 \, $ maka $ {}^x \log y \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} \, $ dan $ {}^a \log b^n = n \, {}^a \log b $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ {}^y \log x $
$ \begin{align} 3 \, {}^y \log x^3 - 2 \, {}^y \log x^2 + {}^y \log x & = 1 \\ 3 . 3 \, {}^y \log x - 2 . 2 \, {}^y \log x + {}^y \log x & = 1 \\ 9 \, {}^y \log x - 4 \, {}^y \log x + {}^y \log x & = 1 \\ (9 - 4 + 1) \, {}^y \log x & = 1 \\ 6 \, {}^y \log x & = 1 \\ {}^y \log x & = \frac{1}{6} \end{align} $
Sehingga nilai $ {}^x \log y = \frac{1}{{}^y \log x} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6 $
Jadi, nilai $ {}^x \log y = 6. \, \heartsuit $
Nomor 5
Jika $ \Delta ABC \, $ siku-siku di C dan $ \cos (A+C) = \frac{x}{2}, \, $ maka nilai $ \sin A + \cos B = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep Trigonometri : $ \cos (90^\circ + A ) = -\sin A $
$\spadesuit \, $ Diketahui $ \cos (A + C ) = \frac{x}{2} \, $ dan $ \angle C = 90^\circ $
$\begin{align} \cos (A + C ) & = \frac{x}{2} \\ \cos (A + 90^\circ ) & = \frac{x}{2} \\ -\sin A & = \frac{x}{2} \\ \sin A & = - \frac{x}{2} \end{align}$
Karena jumlah semua sudut segitga $ 180^\circ \, $ dan $ \angle C = 90^\circ , \, $ maka sudut A pasti ada di kuadran I sehingga nilainya positif. Agar nilai $ \sin A = - \frac{x}{2} \, $ positif, maka haruslah nilai $ x \, $ negatif.
$\spadesuit \, $ Membuat segitiga ABC nya
Nilai $ \sin A = - \frac{x}{2} \, $ dengan $ x < 0 $.
spmk_ub_mat_2015_kode_12_nomor_5
Sehingga nilai $ \cos B = \frac{samping}{miring} = \frac{x}{2} \, $
*). Karena nilai $ x < 0 \, $ dan nilai $ \cos B \, $ dikuadran positif, maka kita beri tanda negatif agar nilainya positif. Artinya nilai $ \cos B = - \frac{x}{2} \, $ dengan $ x < 0 $.
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya :
$\begin{align} \sin A + \cos B & = - \frac{x}{2} + (- \frac{x}{2}) = -x \end{align}$
Jadi, nilai $ \sin A + \cos B = -x . \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 81 tahun 2008


Nomor 1
Siswa kelas A mempunyai nilai rata-rata 65. 25 siswa kelas B mempunyai nilai rata-rata 70. Jika nilai dari 35 siswa kelas C digabung dengan siswa kelas A dan siswa kelas B maka nilai rata-rata dari 100 siswa adalah 68. Nilai rata-rata 35 siswa kelas C adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep rata-rata gabungan
$ \overline{X}_\text{gb} = \frac{n_A.\overline{X}_\text{A}+n_B.\overline{X}_\text{B}+n_C.\overline{X}_\text{C}}{n_A+n_B+n_C} $
Keterangan :
$ \overline{X}_\text{gb} \, $ = rata-rata gabungan semua kelompok
$ \overline{X}_\text{A} \, $ = rata-rata kelompok A (siswa kelas A)
$ n_A \, $ = banyak anggota kelompok A (banyak siswa kelas A)
yang lainnya sejenis dengan keterangan di atas.
$\spadesuit \, $ Pada soal diketahui :
$ n_B = 25, \, \overline{X}_\text{B} = 70, \, n_C = 35 , \, \overline{X}_\text{C} = p , $
$ \overline{X}_\text{A}=65, \, \overline{X}_\text{gb} = 68 $
$ n_A+n_B+n_C = 100 \rightarrow n_A+25+35=100 \rightarrow n_A=40 $
$\spadesuit \, $ Menentukan rata-rata kelas C ( $ \overline{X}_\text{C} $ )
$\begin{align} \overline{X}_\text{gb} & = \frac{n_A.\overline{X}_\text{A}+n_B.\overline{X}_\text{B}+n_C.\overline{X}_\text{C}}{n_A+n_B+n_C} \\ 68 & = \frac{40.65+25.70+35.p}{100} \\ 6800 & = 2600+1750+35p \\ 6800 & = 4350+35p \\ 35p & = 6800-4350 = 2450 \\ p & = \frac{2450}{35} = 70 \end{align}$
Jadi, rata-rata kelas C adalah 70. $ \heartsuit $
Nomor 2
Diketahui $ f(x) = 2x+1 \, $ dan $ (g \circ f)(x)=4x-5 \, $ , maka $ g(x-1) = .... $
$\clubsuit \,$ Menentukan fungsi $ g(x) $
$\begin{align} (g \circ f)(x) & =4x-5 \\ g ( f(x) ) & =4x-5 \\ g ( 2x+1 ) & =4x-5 \\ \text{misalkan : } & p = 2x+1 \rightarrow x = \frac{p-1}{2} \\ g ( 2x+1 ) & =4x-5 \\ g ( p) & =4\left( \frac{p-1}{2} \right) -5 \\ g ( p) & =2p-2-5 \\ g ( p) & =2p-7 \end{align}$
sehingga fungsinya : $ g(x) = 2x-7 $
$\clubsuit \,$ Menentukan fungsi $ g(x-1) $
$\begin{align} g(x) & = 2x-7 \\ g(x-1) & = 2(x-1)-7 \\ g(x-1) & = 2x-2-7 \\ g(x-1) & = 2x-9 \end{align}$
Jadi, diperoleh $ g(x-1) = 2x-9 . \heartsuit $

Cara II :
$\clubsuit \,$ Menentukan fungsi $ g(x-1) $
$\begin{align} (g \circ f)(x) & =4x-5 \\ g ( f(x) ) & =4x-5 \\ g ( 2x+1 ) & =4x-5 \\ \text{ substi. } x= \frac{1}{2}p-1 \rightarrow g ( 2x+1 ) & =4x-5 \\ g ( 2(\frac{1}{2}p-1)+1 ) & =4(\frac{1}{2}p-1)-5 \\ g ( p-2+1 ) & =2p-4-5 \\ g ( p-1 ) & =2p-9 \end{align}$
sehingga fungsinya : $ g(x-1) = 2x-9 $
Jadi, diperoleh $ g(x-1) = 2x-9 . \heartsuit $
Nomor 3
Nilai maksimum dari fungsi $ {}^4 \log (x+5) + {}^4 \log (3-x) \, $ adalah .....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
Logaritma : $ {}^a \log b + {}^a \log c = {}^a \log (bc) $
FK : $ g(x) = ax^2 + bx + c \rightarrow g_\text{maks} = \frac{D}{-4a} = \frac{b^2-4ac}{-4a} $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} y & = {}^4 \log (x+5) + {}^4 \log (3-x) \\ y & = {}^4 \log [(x+5).(3-x) ] \\ y & = {}^4 \log (-x^2-2x+15) \end{align}$
$\spadesuit \, $ Agar nilai $ y = {}^4 \log (-x^2-2x+15) \, $ maksimum, maka nilai $ (-x^2-2x+15) \, $ juga harus maksimum. Misal $ g(x) = -x^2-2x+15 \rightarrow a = -1, \, b = -2, \, c = 15 $
$\begin{align} g_\text{maks} & = \frac{b^2-4ac}{-4a} \\ g_\text{maks} & = \frac{(-2)^2-4.(-1).15}{-4.(-1)} = \frac{4+60}{4}= \frac{64}{4} =16 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai maksimum soalnya
$\begin{align} y & = {}^4 \log (-x^2-2x+15) \\ y_\text{maks} & = {}^4 \log g_\text{maks} \\ y_\text{maks} & = {}^4 \log 16 \\ y_\text{maks} & = 2 \end{align}$
Jadi, nilai maksimumnya adalah 2. $ \heartsuit $
Nomor 4
Dengan kenaikan harga BBM 30% sedangkan semua yang lain dianggap harganya tetap, pengeluaran bensin adalah 13% dari pendapatan. Pengeluaran bensin sebelum kenaikan adalah ..... dari pendapatan
$\clubsuit \,$ Permisalan
$ p \, $ = pendapatan total.
$ a \, $ = persentase pengeluaran bensin awal dari pendapatan
$ y \, $ = besarnya pengeluaran bensin awal = $ a.p = ap $
$ y_b \, $ = besarnya pengeluaran bensin setelah adanya kenaikkan
$\clubsuit \,$ BBM naik 30%
$\begin{align} y_b & = y + 30\% y \\ y_b & = 100\% y + 30\% y \\ y_b & = 130\% y \\ y_b & = 130\% ap \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align}$
$\clubsuit \,$ Pengeluaran bensin setelah adanya kenaikkan 13% dari pendapatan
$ y_b = 13\% p \, \, \, \, \text{....(ii)} $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ a \, $ dari bentuk (i) dan (ii)
$\begin{align} \text{pers(i)} & = \text{pers(ii)} \\ 130\% ap & = 13\% p \\ a & = \frac{13\% p}{130\% p} \\ a & = \frac{1}{10} \\ a & = \frac{1}{10} . 100\% = 10\% \end{align}$
diperoleh nilai $ a = 10 \% \, $ , artinya persentase pengeluaran bensin awal dari pendapatan adalah 10% .
Jadi, pengeluaran bensil awal 10% dari pendapatan . $ \heartsuit $
Nomor 5
Garis singgung kurva $ f(x)=x+2\sqrt{x} \, $ di titik (4,8) memotong sumbu X dan sumbu Y masing-masing di titik $ (a,0) \, $ dan $ (0,b) \, $ . Nilai $ a + b = ..... $
$\spadesuit \, $ Konsep persamaan garis singgung (PGS)
PGS di titik $(x_1,y_1) \, $ adalah $ y-y_1 = m(x-x_1) \, $ ,
dengan $ m =f^\prime (x_1) $
$\spadesuit \, $ Menentukan turunan dan gradien di titik $ (x_1,y_1) = (4,8) $
$\begin{align} f(x) & = x+2\sqrt{x} = x + 2 x^\frac{1}{2} \\ f^\prime (x) & = 1 + \frac{1}{2}. 2 . x^{-\frac{1}{2}} \\ f^\prime (x) & = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \\ m & = f^\prime (x_1) = f^\prime (4) \\ m & = 1 + \frac{1}{\sqrt{4}} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan PGS di $ (x_1,y_1) = (4,8) \, $ dan $ m = \frac{3}{2} $
$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-8 & = \frac{3}{2}(x-4) \\ y-8 & = \frac{3}{2}x-6 \\ y & = \frac{3}{2}x +2 \end{align}$
diperoleh PGS nya : $ y = \frac{3}{2}x +2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong (tipot) sumbu-sumbu
*) tipot sumbu X : substitusi $ y = 0 $
$ y = \frac{3}{2}x +2 \rightarrow 0 = \frac{3}{2}x +2 \rightarrow x = -\frac{4}{3} $
sehingga titik $ (a,0) = (-\frac{4}{3},0) \, $ , artinya $ a = -\frac{4}{3} $
*) tipot sumbu Y : substitusi $ x = 0 $
$ y = \frac{3}{2}x +2 \rightarrow y = \frac{3}{2}.0 +2 \rightarrow y = 2 $
sehingga titik $ (0,b) = (0,2) \, $ , artinya $ b = 2 $
Nilai $ a + b = -\frac{4}{3} + 2 = \frac{3}{2} $
Jadi, nilai $ a + b = \frac{3}{2} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 91 tahun 2009


Nomor 1
Matriks $ \left[ \begin{matrix} 2x & 2x+y \\ 2x-y & 2x \end{matrix} \right] \, \, $ tidak memiliki invers jika ....
A. $ x=y $
B. $ x = -y $
C. $ x = 0 \, $ dan $ y \, $ sembarang
D. $ y = 0 \, $ dan $ x \, $ sembarang
E. $ x \, $ dan $ y \, $ sembarang
$\spadesuit \, $ Konsep matriks
*) Determinan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
Det(A)= $ ad-bc $
*) Matriks tidak punya invers, syaratnya Det = 0
$\spadesuit \, $ Menentukan Determinan matriks A
$\begin{align} A & = \left[ \begin{matrix} 2x & 2x+y \\ 2x-y & 2x \end{matrix} \right] \\ Det(A) & = 2x.2x - (2x-y)(2x+y) \\ & = 4x^2 - (4x^2 - y^2) \\ Det(A) & = y^2 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Syarat tidak mempunyai invers
$\begin{align} Det(A) & = 0 \\ y^2 & = 0 \\ y & = 0 \end{align}$
Artinya matriks A tidak mempunyai invers jika $ y = 0 \, $ dan $ x \, $ sembarang.
Jadi, syaratnya $ y = 0 \, $ dan $ x \, $ sembarang. $ \heartsuit $
Nomor 2
Diketahui $ f(x) = x+5 \, $ dan $ g(x) = x^\frac{1}{3} \, $ , maka $ (f^{-1} \circ g^{-1} ) (3) \, $ adalah ....
$\clubsuit \,$ Konsep dasar
*) inves : $ y = f(x) \rightarrow x = f^{-1} (y) $
*) eksponen : $ b = a^\frac{1}{n} \rightarrow a = b^n $
$\clubsuit \,$ Menentukan invers kedua fungsi
*) fungsi $ f(x) = x + 5 $
$ y = x + 5 \rightarrow x = y-5 $
artinya invernya : $ f^{-1} (x) = x-5 $
*) fungsi $ g(x) = x^\frac{1}{3} $
$ y = x^\frac{1}{3} \rightarrow x = y^3 $
artinya inversnya : $ g^{-1} (x) = x^3 $
$\clubsuit \,$ Menentukan hasilnya
$\begin{align} (f^{-1} \circ g^{-1} ) (3) & = f^{-1} (g^{-1}(3)) \\ & = f^{-1} (3^3) \\ & = f^{-1} (27) \\ & = 27 - 5 \\ & = 22 \end{align}$
Jadi, nilai $ (f^{-1} \circ g^{-1} ) (3) = 22. \heartsuit $
Nomor 3
Jika $ 0 < x < \frac{\pi}{2} \, $ dan $ \cos x = \tan x \, $ , maka nilai dari $ \sin x \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar trigonometri
$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \, $ dan $ \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \sin x $
Diketahui : $ \cos x = \tan x \, $ dan misalkan $ p = \sin x $
$\begin{align} \cos x & = \tan x \\ \cos x & = \frac{\sin x}{\cos x} \\ \cos ^2 x & = \sin x \\ 1 - \sin ^2 x & = \sin x \\ \sin ^2 x + \sin x - 1 & = 0 \, \, \, \, \text{(substitusi } \, p = \sin x ) \\ p^2 + p - 1 & = 0 \rightarrow a = 1, b = 1, c = -1 \\ \text{Gunakan } \, & \, \text{ rumus ABC} & \\ p & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ p & = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4.1.(-1)}}{2.1} \\ p & = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \end{align}$
sehingga nilai $ \sin x = p = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} $
Karena $ x \, $ pada interval $ 0 < x < \frac{\pi}{2} \, $ (kuadran I), maka nilai $ \sin x \, $ positif, dan yang memenuhi adalah $ \sin x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} $
Jadi, nilai $ \sin x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} . \heartsuit $
Nomor 4
Sebuah persegipanjang yang terbuat dari kawat besi mengalami pemuaian sehingga panjangnya bertambah 25% dari panjang mula-mula dan lebarnya bertambah sebesar 40% dari lebarnya semula. Berapa persen pertambahan luas persegipanjang tersebut dengan adanya pemuaian?
$\clubsuit \,$ Permisalan
$ p_a \, $ = panjang awal , $ \, l_a \, $ = lebar awal
$ L_a \, $ = Luas awal = $ p_a.l_a $
$ p_p \, $ = panjang adanya pemuaian , $ \, l_p \, $ = lebar adanya pemuaian
$ L_p \, $ = Luas adanya pemuaian = $ p_p.l_p $
$\clubsuit \,$ Menentukan panjang dan lebar ada pemuaiannya
*) panjang bertambah 25%
$ p_p = p_a + 25\% p_a = p_a + 0,25p_a $
$ p_p = 1,25p_a \, $ ....(i)
*) lebar bertambah 40%
$ l_p = l_a + 40\% l_a = l_a + 0,4l_a $
$ l_p = 1,4l_a \, $ ....(ii)
$\clubsuit \,$ Luas adanya pemuaian dari bentuk (i) dan (ii)
$\begin{align} L_p & = p_p . l_p \\ & = (1,25p_a).(1,4l_a ) \\ & = 1,75 p_a.l_a \\ & = 1,75L_a \\ & = L_a + 0,75L_a = L_a + 0,75 \times 100\% L_a\\ & = L_a + 75\% L_a \end{align}$
artinya luas bertambah 75% setelah adanya pemuaian.
Jadi, luasnya bertambah 75% . $ \heartsuit $
Nomor 5
Diketahui $ {}^2 \log a > 1 \, $ dan $ {}^3 \log b > 1 \, $ dengan $ a,b > 0 \, $ dan $ a \neq b \, $ . Hubungan antara $ a \, $ dan $ b \, $ yang berlaku adalah .....
$\spadesuit \, $ Konsep pertidaksamaan logaritma
$ {}^c \log f(x) > {}^c \log g(x) \rightarrow f(x) > g(x) $
dengan syarat : $ c > 1 \, $ (basisnya > 1)
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b $
$\begin{align} {}^2 \log a > 1 \rightarrow {}^2 \log a & > {}^2 \log 2 \\ a & > 2 \, \, \, \, \text{...(i)} \\ {}^3 \log b > 1 \rightarrow {}^3 \log b & > {}^3 \log 3 \\ b & > 3 \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align}$
Dari (i) dan (ii) diperoleh :
$ a.b > 2.3 \rightarrow a.b > 6 $
Jadi, hubungannya adalah $ ab > 6 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SPMK UB atau SELMA UB Matematika IPA Kode 26 tahun 2014


Nomor 1
Jika $n$ memenuhi
$\underbrace{27^{0,2}\times 27^{0,2}\times ...\times 27^{0,2}}_{n \text{ faktor}}=729$
maka $(n-5)(n-2)= ...$
$\begin{align*} \underbrace{27^{0,2}\times 27^{0,2}\times ...\times 27^{0,2}}_{n \text{faktor}}&=729\\ 27^{\underbrace{0,2+0,2+...+0,2}_{\text{sebanyak } \ n}}&=729\\ (27)^{0,2n}&=(27)^{2}\\ 0,2n&=2\\ n&=\frac{2}{0,2}=10\\ \end{align*}$
Sehingga, $(n-5)(n-2)=(10-5)(10-2)=5.8=40 \, \heartsuit $
Nomor 2
Jika matriks $A$ memenuhi $\left( \begin{matrix} -q+s & q \\ -p+r & p \end{matrix} \right).A =\left( \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right)$ , maka determinan matriks $A$ adalah ...
Sifat determinan : $|AB|=|A|.|B|$
$\begin{align*} AB = C \Leftrightarrow |AB|&=|C|\\ |A|.|B|&=|C|\\ |A|&=\frac{|C|}{|B|} \end{align*}$
$\begin{align*} \left( \begin{matrix} -q+s & q \\ -p+r & p \end{matrix} \right).A &=\left( \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right) \ \text{ (kedua ruas diberi determinan)}\\ \left| \left( \begin{matrix} -q+s & q \\ -p+r & p \end{matrix} \right).A \right| &=\left| \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right| \ \text{ (Berdasarkan sifat determinan)}\\ \left| \begin{matrix} -q+s & q \\ -p+r & p \end{matrix} \right| . \left| A \right| &=\left| \begin{matrix} p & q \\ r & s \end{matrix} \right| \\ (ps-qr).\left| A \right| &=(ps-qr)\\ \left| A \right| &= \frac{(ps-qr)}{(ps-qr)}\\ \left| A \right| &= 1 \end{align*}$
Jadi determinan matriks $A$ adalah 1 . $\heartsuit $
Nomor 3
Jika $a, 2, b, c, d, e, 27$ adalah deret aritmatika, maka $a+c+e = ...$
Barisan Aritmatika , Suku ke-$n$ : $ U_n = a + (n-1)b$
Barisannya: $\underbrace{a}_{U_1} , \underbrace{2}_{U_2} ,\underbrace{b}_{U_3} ,\underbrace{c}_{U_4} ,\underbrace{d}_{U_5} ,\underbrace{e}_{U_6} ,\underbrace{27}_{U_7}$
$U_2 = 2 \Rightarrow a + b = 2 \Rightarrow a = 2 - b \text{ ...Persmaan (i)}\\ U_7 = 27 \Rightarrow a + 6b = 27 \text{ ...Persmaan (ii)}$
Substitusi persamaan (i) ke (ii) untuk memperoleh nilai $a$ dan $b$:
$a + 6b = 27 \Leftrightarrow (2 - b) + 6b = 27 \Leftrightarrow 5b = 25 \Leftrightarrow b = 5$
Substitusi $b=5$ ke persamaan (i):
$a+b=2 \Leftrightarrow a+5=2 \Leftrightarrow a=-3$
Seingga :
$\begin{align*} a+c+e&=a+U_4 + U_6 \\ &=a+(a+3b)+(a+5b)\\ &=3a+8b\\ &=3(-3)+8(5)\\ &=31 \end{align*}$
Jadi, nilai $a+c+e=31 . \heartsuit $
Nomor 4
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $3x^2 + ax + b = 0$ adalah 2 dan -3 . Nilai $ - \frac{b}{2a} = ...$
PK : $3x^2 + ax + b =0$ dengan akar - akar 2 dan -3
Substitusi akar-akar nya ke PK
$x=2 \Rightarrow 3(2)^2 + a(2) + b =0 \Rightarrow b=-12 - 2a \text{ ....pers (i)}\\ x=-3 \Rightarrow 3(-3)^2 + a(-3) + b =0 \Rightarrow -3a+b=-27 \text{ ....pers (ii)}$
Substitusi pers (i) ke pers (ii);
$-3a+b=-27 \Leftrightarrow -3a+(-12-2a)=-27 \Leftrightarrow a=3$
pers (i) : $b=-12-2a \Leftrightarrow b=-12-2(3) \Leftrightarrow b=-18$
Sehingga: Nilai $ - \frac{b}{2a} =- \frac{-18}{2.3}=\frac{18}{6}=3 $
Jadi, Nilai $ - \frac{b}{2a} = 3 \, \heartsuit $

Cara II :
PK : $3x^2 + ax + b =0$ dengan akar - akar $x_1=2$ dan $x_2=-3$
Manggunakan operasi akar-akar:
$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \Leftrightarrow 2 + (-3) = \frac{-a}{3} \Leftrightarrow a=3 \\ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} \Leftrightarrow 2 . (-3) = \frac{b}{3} \Leftrightarrow b=-18$
Sehingga: Nilai $ - \frac{b}{2a} =- \frac{-18}{2.3}=\frac{18}{6}=3 $
Jadi, Nilai $ - \frac{b}{2a} = 3 \, \heartsuit $
Nomor 5
Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar - akar dari $x^2 + (2k + 1)x + (4k+2) = 0$ dan $x_1 = 2$ , maka $x_1x_2 = ...$
PK : $x^2 + (2k + 1)x + (4k+2) = 0 \, \, $ akar-akarnya $x_1$ dan $x_2$ dengan $x_1=2$
Substitusi $x_1=2$ ke PK :
$\begin{align*} x^2 + (2k + 1)x + (4k+2) &= 0\\ 2^2 + (2k + 1)2 + (4k+2) &= 0\\ 4 + 4k +2 + 4k +2 &= 0 \\ 8k &= -8\\ k&= -1 \end{align*}$
Substitusi $k=-1$ ke PK:
$\begin{align*} x^2 + (2k + 1)x + (4k+2) &= 0\\ x^2 + (2(-1) + 1)x + (4(-1)+2) &= 0\\ x^2 - x - 2 &=0 \end{align*}$
Sehingga $x_1x_2 =\frac{c}{a}=\frac{-2}{1}=-2 \, \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SPMK UB Matematika IPA Kode 96 tahun 2010


Nomor 1
Diketahui matriks $ A = \left( \begin{matrix} x+5 & x+3 & -2 \\ 4 & x-4 & -4 \\ 1 & 1 & -1 \end{matrix} \right) $
Jika $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ merupakan solusi agar det(A) = 0 , maka nilai $ x_1 + x_2 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar determinan matriks 3 $ \times \, $ 3
Misal : $ A = \left( \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} \right) $
Determinan matriks A ditentukan dengan cara memindahkan dua kolom pertama ke sebelah kanan.
spmk_ub_2_2010
Det(A)= $ (aei+bfg+cdh)-(ceg+afh+bdi) $
keterangan : $ aei = a \times e \times i $
$\spadesuit \, $ Menentukan Determinan matriks A
spmk_ub_2a_2010
$\begin{align} det(A) & = \left[ (x+5)(x-4).(-1) + (x+3).(-4).(1) + -2.4.1 \right] \\ & - \left[ -2.(x-4).1 + (x+5).(-4).1 + (x+3).4.(-1) \right] \\ det(A) & = -x^2 + 5x +24 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x_1 + x_2 $
$\begin{align} det(A) & = 0 \\ -x^2 + 5x +24 & = 0 x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} & = \frac{-5}{-1} = 5 \end{align}$
Jadi, nilai $ x_1 + x_2 = 5. \heartsuit $
Nomor 2
Diantara 10 orang wakil siswa yang terdiri dari 3 perempuan dan 7 laki-laki akan dibentuk kepanitiaan yang tediri atas 4 orang. Banyaknya susunan kepanitiaan yang dapat dibentuk jika disyaratkan paling banyak 2 perempuan dalam susunan panitia, adalah ....
$\clubsuit \,$ Ada 3P dan 7L, akan dipilih 4 orang.
Pada kasus ini, urutan tidak diperhatikan (AB sama dengan BA) karena tidak melibatkan jabatan, sehingga menggunakan kombinasi.
Konsep : $ C_r^n = \frac{n!}{(n-r)!.r!} $
$\clubsuit \,$ Kasus paling banyak 2P, akan dibagi menjadi beberapa kemungkinan
*). kemungkinan I : semuanya laki-laki
0P4L $ \rightarrow \, $ cara I = $ C_0^3.C_4^7 = 1. 35 = 35 \, $ cara
*). kemungkinan II : 1 perempuan 3 laki-laki
1P3L $ \rightarrow \, $ cara II = $ C_1^3.C_3^7 = 3. 35 = 105 \, $ cara
*). kemungkinan III : 2 perempuan 2 laki-laki
2P2L $ \rightarrow \, $ cara III = $ C_2^3.C_2^7 = 3.21 = 63 \, $ cara
Sehingga total cara :
total = cara I + cara II + cara III = 35 + 105 + 63 = 203
Jadi, banyak susunan kepanitiaan ada 203 cara. $ \heartsuit $
Nomor 3
Persamaan kuadrat $ 9x^2 - m = 5 \, $ memiliki akar persamaan $ x_1 \, $ dan $ x_2 . \, $ Jika $ x_1 = \frac{1}{3} , \, $ maka $ 2m(x_1^2 + x_2^2) \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Subatitusi $ x_1 = \frac{1}{3} \, $ ke persamaan kuadrat (PK)
$\begin{align} x_1 = \frac{1}{3} \rightarrow 9x^2 - m & = 5 \\ 9\left( \frac{1}{3} \right)^2 - m & = 5 \\ 9\left( \frac{1}{9} \right) - m & = 5 \\ 1 - m & = 5 \\ m & = -4 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan $ x_2 $ dengan substitusi nilai $ m $
$\begin{align} m = -4 \rightarrow 9x^2 - m & = 5 \\ 9x^2 & = m + 5 \\ 9x^2 & = -4 + 5 \\ 9x^2 & = 1 \\ x^2 & = \frac{1}{9} \\ x & = \pm \sqrt{\frac{1}{9}} = \pm \frac{1}{3} \end{align}$
sehingga nilai $ x_1 = \frac{1}{3} \, $ dan $ x_2 = - \frac{1}{3} $
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} 2m(x_1^2 + x_2^2) & = 2.(-4).\left[ \left( \frac{1}{3} \right)^2 + \left( -\frac{1}{3} \right)^2 \right] \\ & = (-8).\left[ \frac{1}{9} + \frac{1}{9} \right] \\ & = (-8).\left[ \frac{2}{9} \right] \\ 2m(x_1^2 + x_2^2) & = - \frac{16}{9} \end{align}$
Jadi, nilai $ 2m(x_1^2 + x_2^2) = - \frac{16}{9} . \heartsuit $
Nomor 4
Dalam sebuah ruang pesta terdapat sepuluh pasangan suami istri. Secara acak dipilih dua orang untuk berdansa. Peluang terpilihnya dua orang tersebut bukan suami istri adalah ....
$\clubsuit \,$ Peluang komplemen : $ P(A^c) = 1 - P(A) $
$\clubsuit \,$ Ada 10 Pasutri sehingga total ada 20 orang, dipilih 2 orang secara acak.
$ n(S) = C_2^{20} = 190 $
$\clubsuit \,$ Untuk memudahkan penyelesaian, kita gunakan peluang komplemen
Misal : A = kejadian terpilihnya pasutri dan
$ A^c \, $ = kejadian terpilihnya bukan pasutri.
keterangan : Pasutri = pasangan suami istri.
$\clubsuit \,$ Menentukan peluangnya
ada 10 pasutri, sehingga $ n(A) = 10 \, $ artinya kemungkinan ada 10 cara yang terpilih mereka adalah pasutri.
$ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{10}{190} = \frac{1}{19} $
Peluang komplemennya :
$ P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{19} = \frac{18}{19} $
artinya peluang terpilihnya bukan pasutri ($ A^c \, $) adalah $ \frac{18}{19} $
Jadi, peluang terpilihnya bukan pasutri adalah $ \frac{18}{19} . \heartsuit $
Nomor 5
Jika A dan B sudut lancip, dengan $ \cos (A-B) = \frac{1}{2} \, $ dan $ \sin A \sin B = \frac{1}{2}\sqrt{3} , \, $ maka $ \frac{\cos (A-B)}{\cos (A+B)} \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep trigonometri
$ \cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $
$ \cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ \cos A \cos B $
$\begin{align} \cos (A-B) & = \frac{1}{2} \\ \cos A \cos B + \sin A \sin B & = \frac{1}{2} \\ \cos A \cos B + \frac{1}{2}\sqrt{3} & = \frac{1}{2} \\ \cos A \cos B & = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan hasilnya
$\begin{align} \frac{\cos (A-B)}{\cos (A+B)} & = \frac{\frac{1}{2}}{\cos A \cos B - \sin A \sin B} \\ & = \frac{\frac{1}{2}}{(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3}) - \frac{1}{2}\sqrt{3} } \\ & = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} - \sqrt{3} } = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} - \sqrt{3} } . \frac{2}{2} \\ & = \frac{1}{1 - 2\sqrt{3} } = \frac{1}{1 - 2\sqrt{3} } . \frac{1 + 2\sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{3} } \\ & = \frac{1 + 2\sqrt{3}}{1 - 12} = - \frac{1}{11} (1 + 2\sqrt{3}) = - \frac{1}{11} [2(\frac{1}{2} + \sqrt{3})] \\ \frac{\cos (A-B)}{\cos (A+B)} & = \frac{-2}{11} (\frac{1}{2} + \sqrt{3}) \end{align}$
Jadi, nilai $ \frac{\cos (A-B)}{\cos (A+B)} = \frac{-2}{11} (\frac{1}{2} + \sqrt{3}) . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SPMK UB atau SELMA UB Matematika IPA Kode 21 tahun 2013


Nomor 1
Misalkan $A^c$ menyatakan komplemen $A$ terhadap $U$ . Jika $U = \{ a, b, c, ... , j \} $ , $A= \{a,e,i\} $ dan $B = \{ b, d, g, j \} $ maka $(A-B)^c = ...$
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : $A - B = \{ x | x \in A \, \, \text{dan} \, \, x \not \in (A \cap B ) \} $
Penjelasan :
$A-B$ hasilnya di himpunan $A$ tanpa mengikutkan anggota irisan $A$ dan $B$ .
$\spadesuit \, $ Menentukan irisannya
$A\cap B = \{ \} $ (tidak ada irisannya) .
Sehingga, $A-B = \{a,e,i\} = A $ .
diperoleh : $(A-B)^c = A^c $
Jadi, $(A-B)^c = A^c . \heartsuit $
Nomor 2
Jika diketahui $f(x-1)=2x $ dan $g(x)=x^2-2 $ , maka $(fog)(x+1) = ... $
$\clubsuit \,$ Menentukan fungsi $f(x)$
misal : $x-1 = p \rightarrow x= p + 1 $ , lalu substitusi ke $f(x-1)$
$\begin{align} f(x-1) & = 2x \\ f(p) & = 2(p+1) \\ f(x) & = 2(x+1) \\ f(x) & = 2x + 2 \end{align}$
$\clubsuit \,$ Menentukan komposisi
$\begin{align*} (fog)(x) & = f (g(x)) \\ & = f ( x^2-2 ) \\ & = 2( x^2-2 ) + 2 \\ (fog)(x) & = 2x^2 - 2 \end{align*}$
$\clubsuit \,$ Substitusi $x+1 $ ke komposisi
$\begin{align*} (fog)(x) & = 2x^2 - 2 \\ (fog)(x+1) & = 2(x+1)^2 - 2 \\ & = 2(x^2+2x+1) - 2 \\ & = 2x^2 + 4x + 2 - 2 \\ (fog)(x+1) & = 2x^2 + 4x \end{align*}$
Jadi, diperoleh $ (fog)(x+1) = 2x^2 + 4x . \heartsuit $
Nomor 3
Jika himpunan bilangan real merupakan penyelesaian pertidaksamaan $x^2-4x+a > 2 $ maka ...
$\spadesuit \, $ Pertidaksamaan $x^2-4x+a > 2 \rightarrow x^2-4x+a-2 > 0 \, \, $ terpenuhi untuk semua $x$ , artinya nilainya selalu positif untuk sembarang nilai $x$ yang disebut definit positif.
Syarat definit positif : $D < 0 $ dan $ a > 0 $
$\spadesuit \, $ Bentuk $ x^2-4x+a-2 \rightarrow a = 1, b = -4 , c = a-2 $
$\begin{align*} a=1 & > 0 \, \, \, \text{(memenuhi syarat definit positif)} \\ D < 0 \rightarrow b^2 - 4ac & < 0 \\ (-4)^2 - 4.1.(a-2) & < 0 \\ 16 -4a + 8 & < 0 \\ -4a & < -24 \, \, \, \text{(dibagi -4 , tanda dibalik)} \\ a & > 6 \end{align*}$
Jadi, nilai $a$ yang memenuhi adalah $a > 6 . \heartsuit $
Nomor 4
Diketahui $ A = \left[ \begin{matrix} x^2 & 2+\frac{9}{x} \\ x & 2 \end{matrix} \right] $ dan $ B = \left[ \begin{matrix} x-1 & 4 \\ 1 & x+2 \end{matrix} \right] $ . Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah penyelesaian det($A$)-det($B$) = 0 , maka $x_1+x_2 = ... $
$\clubsuit \,$ Rumus dasar : $A = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right] \rightarrow \text{det}(A) = |A| = a.d - b.c $
$\clubsuit \,$ Menentukan determinan :
$|A| = x^2 . 2 - x \left( 2+\frac{9}{x} \right) = 2x^2 - 2x - 9 $
$|B| = (x-1)(x+2) - 1. 4 = x^2 + x -6 $
$\clubsuit \,$ Menentukan jumlah nilai $x$
$\begin{align*} \text{det}(A)-\text{det}(B) & = 0 \\ |A| - |B| & = 0 \\ (2x^2 - 2x - 9) - (x^2 + x -6) & = 0 \\ x^2 - 3x - 3 & = 0 \\ x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-(-3)}{1} = 3 \end{align*}$
Jadi, nilai $ x_1+x_2 = 3 . \heartsuit $
Nomor 5
Penyelesaian $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin (2x) - \sin ^2 x = 0 $ , dengan $ 0 < x < \frac{\pi }{2} $ adalah ...
$\spadesuit \, $ Rumus dasar : $\sin 2x = 2 \sin x \cos x $
$\spadesuit \, $ Interval nilai $x$ harus : $ 0 < x < \frac{\pi }{2} $
$\spadesuit \, $ Menyelesaiakan persamaan
$\begin{align*} \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (2x) - \sin ^2 x & = 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} (2 \sin x \cos x ) - \sin ^2 x & = 0 \\ \sqrt{3}\sin x \cos x - \sin x \sin x & = 0 \\ \sin x (\sqrt{3} \cos x - \sin x ) & = 0 \\ \sin x = 0 & \vee \sqrt{3} \cos x - \sin x = 0 \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $x$
$\begin{align*} \sin x = 0 \rightarrow x = 0 & \vee x = \pi \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ \sqrt{3} \cos x - \sin x = 0 \rightarrow & \sqrt{3} \cos x = \sin x \\ \rightarrow & \frac{\sin x }{\cos x } = \sqrt{3} \\ \rightarrow & \tan x = \sqrt{3} \rightarrow x = 60^o = \frac{\pi }{3} \end{align*}$
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi adalah $ x = \frac{\pi }{3} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15