Tampilkan postingan dengan label um ugm mat dasar. Tampilkan semua postingan
Tampilkan postingan dengan label um ugm mat dasar. Tampilkan semua postingan

Soal dan Pembahasan UM UGM Matematika Dasar tahun 2016 Kode 571


Nomor 1
Bentuk $ \, \sqrt{\frac{8}{15} - 2\sqrt{\frac{1}{15}}} = .... $
A). $ \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}} \, $ B). $ \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{5}} \, $
C). $ \sqrt{3} + \sqrt{5} \, $ D). $ \sqrt{\frac{5}{3}} + \sqrt{\frac{3}{5}} \, $
E). $ \sqrt{5} + \sqrt{3} $
Nomor 2
Jika $ {}^\sqrt{5} \log (x-3y) = {}^5 \log 2x + {}^5 \log 2y , $ maka $ \frac{x}{y} = .... $
A). $\frac{1}{9} \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 18 $
Nomor 3
Akar persamaan kuadrat $ (a+1) x^2 - 3ax + 4a = 0 \, $ mempunyai dua akar berbeda dan keduanya lebih besar daripada 1, maka nilai $ a \, $ yang memenuhi adalah ....
A). $ a < - 1 \, $ atau $ \, a > 2 \, $ B). $ a < -1 \, $ atau $ \, a > -\frac{1}{2} \, $
C). $ -\frac{16}{7} < a < 0 \, $ D). $ -\frac{16}{7} < a < -1 \, $
E). $ a < -\frac{16}{7} \, $ atau $ \, a > 2 $
Nomor 4
Diketahui ordinat titik puncak fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ adalah 2. Jika $ f(2) = f(4) = 0 \, $ maka $ a + b + c = .... $
A). $-10 \, $ B). $ -6 \, $ C). $ -4 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 6 $
Nomor 5
Harga karcis bis untuk anak Rp2.000,00 dan untuk dewasa Rp3.000,00. Terjual 180 karcis dalam suatu hari dengan hasil penjualan Rp420.000,00. Seandainya pada hari tersebut harga karcis untuk anak Rp2.500,00 dan untuk dewasa Rp4.000,00, maka hasil penjualannya adalah ....
A). Rp535.000,00 B). 537.000,00
C). 540.000,00 D). 550.000,00
E)
Nomor 6
Jika $ \{x \in R | a \leq x \leq b \} \, $ adalah himpunan semua bilangan real yang bukan penyelesaian
                  $ \frac{1}{x+1} < 1 + \sqrt{x^2} $
maka nilai $ a + b = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

Nomor 7
Agar nilai maksimum $ ax + \frac{4}{5}ay , \, $ dengan $ a > 0 \, $ yang memenuhi $ x + y \leq 200, \, $ $ 75 \leq x \leq 125 \, $ dan $ y \geq 50 , \, $ adalah 555, maka $ a = ... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
Nomor 8
Bila pembayaran pinjaman sebesar Rp8.800.000,00 diangsur berturut-turut tiap bulan sebesar Rp250.000,00 , Rp270.000,00 , Rp290.000,00, Rp310.000,00 , ...., dan seterusnya, maka pinjaman akan lunas pada pembayaran bulan ke- ....
A). $ 17 \, $ B). $ 18 \, $ C). $ 19 \, $ D). $ 20 \, $ E). $ 21 $
Nomor 9
Jumlah logaritma dari lima suku pertama suatu deret geometri adalah $ \, 5 \log 3 \, $ . Bila suku ke-4 deret tersebut adalaah 12, maka suku ke-6 deret tersebut adalah ....
A). $ 192 \, $ B). $ 96 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 2 $
Nomor 10
Jika matriks $ A = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & -4 \end{matrix} \right) \, $ dan $ B = \left( \begin{matrix} 57 & -15 \\ 15 & -3 \end{matrix} \right) \, $ serta $ A^{-1} \, $ menyatakan invers matriks $ A , \, $ maka $ (A^{-1})^3 + B = .... $
A). $ \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) \, $
C). $ \left( \begin{matrix} 61 & 0 \\ 0 & -59 \end{matrix} \right) \, $ D). $ \left( \begin{matrix} 61 & -30 \\ 30 & -59 \end{matrix} \right) \, $
E). $ \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix} \right) $
Nomor 11
Jika $ \cos A = \frac{3}{5} \, $ dan $ \pi < A < 2\pi , \, $ maka nilai $ \frac{\sin A }{\cos A } - \frac{1}{\sin A } = ..... $
A). $ -\frac{1}{2} \, $ B). $ -\frac{1}{12} \, $ C). $ \frac{1}{12} \, $ D). $ \frac{4}{5} \, $ E). $ 2 $
Nomor 12
Enam siswa putra dan lima siswa putri duduk berdampingan dalam satu baris. Peluang bahwa di kursi paling tepi (di kedua ujung) diduduki oleh siswa putra adalah ....
A). $ \frac{1}{11} \, $ B). $ \frac{2}{11} \, $ C). $ \frac{3}{11} \, $ D). $ \frac{4}{11} \, $ E). $ \frac{6}{11} $
Nomor 13
Nilai rata-rata Bahasa Inggris dalam suatu kelas yang terdiri dari 14 siswa adalah 6. Satu siswa memperoleh nilai tertinggi dan satu siswa lain memperoleh nilai terendah. Nilai rata-rata tanpa nilai tertinggi dan terendah juga sama dengan 6. Jika nilai terendahnya adalah $ b \, $ , maka selsish nilai tertinggi dan terendah adalah ....
A). $ 10 - b \, $ B). $ 12 - 2b \, $
C). $ 18-3b \, $ D). $ 20-4b \, $
E). $ 3b-4 $

Nomor 14
Jika $ f(x) = 2x - 6 \, $ dan $ g^{-1} (x) = \frac{x-5}{4} \, $ maka nilai $ (f \circ g)(2) = ..... $
A). $ 20 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 15 \, $ D). $ 10 \, $ E). $ -2 $
Nomor 15
$ \displaystyle \lim_{ x \to 8} \frac{(x-8)(\sqrt[3]{x} - 1 )}{\sqrt[3]{x} - 2 } = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{3}{ 2} \, $ C). $ 11 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ \infty $
Nomor 16
Jika garis singgung kurva $ f(x) = \frac{px-q}{(x-1)(x-2)} \, $ di titik $(3,1) \, $ sejajar sumbu-X, maka $ p+q = ..... $
A). $ 10 \, $ B). $ 11 \, $ C). $ 12 \, $ D). $ 13 \, $ E). $ 14 $
Nomor 17
Jika kurva fungsi $ f(x) = x^4 + 2x^3 \, $ mencapai minimum di titik $ (\alpha , \beta ) \, $ maka $ \alpha - \beta = .... $
A). $ \frac{1}{16} \, $ B). $ \frac{3}{16} \, $ C). $ \frac{5}{16} \, $ D). $ \frac{7}{16} \, $ E). $ \frac{9}{16} $
Nomor 18
Jika $ x \, $ dan $ y \, $ positif memenuhi persamaan $ {}^2 \log (xy-2y) = 1 + {}^2 \log 5 \, $ dan $ \frac{3^{3x}}{9} = 3^{2y} , \, $ maka $ x + y = ..... $
A). $ 10 \, $ B). $ 9 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 7 \, $ E). $ 6 $
Nomor 19
Akar-akar persamaan kuadrat $ x^2 - (3p-2)x + ( 2p+8) = 0 \, $ adalah $ x_1 \, $ dan $ x_2 . \, $ Jika $ p \, $ positif dan $ x_1, p , x_2 \, $ membentuk barisan geometri, maka $ x_1 + p + x_2 = .... $
A). $ -11 \, $ B). $ -10 \, $ C). $ 12 \, $ D). $ 13 \, $ E). $ 14 $
Nomor 20
Jika $ \{ x | a < x < b \} \, $ adalah himpunan penyelesaian $ 4^{x^2 + x} - 2^{5x + 2} < 0 \, $ maka $ ab = .... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 $

Untuk pembahasan soal-soal di atas masih dalam proses pengetikan. Semua pembahasannya akan dilengkapi secara berkala. Semoga bermanfaat. Terima kasih.



Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2010 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Jika $ x \, $ dan $ y \, $ memenuhi $ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{5}{2} \, $ dan $ x - 3y = 1 \, $ , maka $ 5x + 5y = .... $
$\spadesuit \, $ Persamaan pertama :
$ x - 3y = 1 \rightarrow x = 3y + 1 $
$\spadesuit \, $ Substitusi $ x = 3y + 1 \, $ ke persamaan kedua
$\begin{align} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} & = \frac{5}{2} \\ \frac{x^2 + y^2}{xy} & = \frac{5}{2} \\ 2(x^2 + y^2) & = 5xy \\ 2[(3y + 1)^2 + y^2] & = 5(3y + 1)y \\ 2[9y^2 + 6y + 1 + y^2] & = 15y^2 + 5y \\ 2[10y^2 + 6y + 1 ] & = 15y^2 + 5y \\ 20y^2 + 12y + 2 & = 15y^2 + 5y \\ 5y^2 + 7y + 2 & = 0 \\ (5y+2)(y+1) & = 0 \\ y = - \frac{2}{5} \vee y & = -1 \end{align} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x \, $ dan $ 5x+5y = 5(x+y) $
*). Untuk $ y = -1 $
$\begin{align} x & = 3y + 1 \\ & = 3. (-1) + 1 \\ & = -2 \end{align} $
Sehingga nilai $ 5x + 5y $ :
$\begin{align} 5x+5y & = 5(x+y) \\ & = 5(-2 + (-1)) \\ & = 5(-3) \\ & = -15 \end{align} $

*). Untuk $ y = -\frac{2}{5} $
$\begin{align} x & = 3y + 1 \\ & = 3. (-\frac{2}{5}) + 1 \\ & = -\frac{1}{5} \end{align} $
Sehingga nilai $ 5x + 5y $ :
$\begin{align} 5x+5y & = 5(x+y) \\ & = 5[-\frac{1}{5} + -\frac{2}{5}] \\ & = 5(-\frac{3}{5}) \\ & = -3 \end{align} $
Jadi, nilai $ 5x + 5y \, $ adalah $ \, -15 \, $ atau $ \, -3 . \, \heartsuit $
Nomor 7
Himpunan penyelesaian dari $ \sqrt{2x + 2} - \sqrt{6x - 8 } \geq 0 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Syarat bentuk akar
Jika ada bentuk $ \sqrt{f(x)} , \, $ maka harus terpenuhi syarat $ f(x) \geq 0 $.
$\clubsuit \, $ Syarat bentuk akarnya dari pertidaksamaan
*). Bentuk $ \sqrt{2x + 2} \, $ , syaratnya $ 2x + 2 \geq 0 \rightarrow x \geq -1 $.
*). Bentuk $ \sqrt{6x - 8 } \, $ , syaratnya $ 6x - 8 \geq 0 \rightarrow x \geq \frac{4}{3} $
Dari kedua syarat bentuk akar di atas, yang memenuhi keduanya adalah $ HP_1 = \{ x \geq \frac{4}{3} \} $.
$\clubsuit \, $ Solusi umum pertidaksamaan dengan dikuadratkan
$\begin{align} \sqrt{2x + 2} - \sqrt{6x - 8 } & \geq 0 \\ \sqrt{2x + 2} & \geq \sqrt{6x - 8 } \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ (\sqrt{2x + 2})^2 & \geq (\sqrt{6x - 8 })^2 \\ 2x + 2 & \geq 6x - 8 \\ -4x & \geq -10 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -4, tanda dibalik)} \\ x & \leq \frac{-10}{-4} \\ x & \leq \frac{5}{2} \end{align}$
Kita peroleh : $ HP_2 = \{ x \leq \frac{5}{2} \} $
$\clubsuit \, $ Solusi akhirnya adalah irisan dari HP1 dan HP2
$\begin{align} HP & = HP_1 \cap HP_2 \\ & = \{ x \geq \frac{4}{3} \} \cap \{ x \leq \frac{5}{2} \} \\ & = \{ \frac{4}{3} \leq x \leq \frac{5}{2} \} \end{align}$
Jadi, Himpunan penyelesaiannya : HP $ = \{ \frac{4}{3} \leq x \leq \frac{5}{2} \} . \, \heartsuit$

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow \sqrt{2x + 2} - \sqrt{6x - 8 } & \geq 0 \\ \sqrt{2.0 + 2} - \sqrt{6.0 - 8 } & \geq 0 \\ \sqrt{ 2} - \sqrt{ - 8 } & \geq 0 \, \, \, \, \text{(salah)} \end{align}$
yang ada $x=0$ salah, opsi yang salah adalah A dan C.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=2 \Rightarrow \sqrt{2x + 2} - \sqrt{6x - 8 } & \geq 0 \\ \sqrt{2.2 + 2} - \sqrt{6.2 - 8 } & \geq 0 \\ \sqrt{ 8} - \sqrt{ 4 } & \geq 0 \, \, \, \, \text{(benar)} \end{align}$
yang ada $x=2$ benar, opsi yang salah adalah D.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=3 \Rightarrow \sqrt{2x + 2} - \sqrt{6x - 8 } & \geq 0 \\ \sqrt{2.3 + 2} - \sqrt{6.3 - 8 } & \geq 0 \\ \sqrt{ 8} - \sqrt{ 10 } & \geq 0 \, \, \, \, \text{(salah)} \end{align}$
yang ada $x=3$ salah, opsi yang salah adalah B.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi E (yang tersisa).
Jadi, Himpunan penyelesaiannya : HP $ = \{ \frac{4}{3} \leq x \leq \frac{5}{2} \} . \, \heartsuit$
Nomor 8
Nilai minimum $ f(x,y) = 3 + 4x - 5y \, $ untuk $ x $ dan $ y $ yang memenuhi
$ -x + y \leq 1 $
$ x + 2y \geq 5 $
$ 2x + y \geq 10 $
adalah ....
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong garis terhadap sumbu-sumbu
Garis I : $ -x + y \leq 1 \rightarrow (0,1), \, (-1,0) $
Garis II : $ x + 2y \geq 5 \rightarrow (0,\frac{5}{2}), \, (5,0) $
Garis III : $ 2x + y \geq 10 \rightarrow (0,10), \, (5,0) $
$\spadesuit \, $ Gambar daerah penyelesaiannya (DHP) :
um_ugm_matdas_2010_8.png
$\spadesuit \, $ Menentukan titik-titik pojoknya (titik B, dan C)
*). Titik B , eliminasi pers(I) dan pers(III)
$ \begin{array}{cc} -x + y = 1 & \\ 2x + y = 10 & - \\ \hline -3x = -9 & \\ x = 3 & \end{array} $
pers(I) : $ -x + y = 1 \rightarrow -3 + y = 1 \rightarrow y = 4 $
Sehingga titik B(3,4).
*). Titik C , eliminasi pers(I) dan pers(II)
$ \begin{array}{cc} -x + y = 1 & \\ x + 2y = 5 & + \\ \hline 3y = 6 & \\ y = 2 & \end{array} $
pers(I) : $ -x + y = 1 \rightarrow -x + 2 = 1 \rightarrow x = 1 $
Sehingga titik C(1,2).
$\spadesuit \, $ Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuannya : $ f(x,y) = 3 + 4x - 5y $
$\begin{align} A(5,0) \rightarrow f & = 3 + 4.5 - 5.0 = 23 \\ B(3,4) \rightarrow f & = 3 + 4.3 - 5.4 = -5 \\ C(1,2) \rightarrow f & = 3 + 4.1 - 5.2 = -3 \end{align} $
Jadi, nilai minimumnya adalah $ - 5. \, \heartsuit $
Nomor 9
Tiga bilangan membentuk barisan geometri dengan rasio positif. Jika bilangan kedua ditambah 4, diperoleh barisan aritmetika. Jika bilangan pertama adalah 2, maka jumlah ketiga bilangan semula adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar
*). Barisan geometri : Rasio sama
*). Barisan artimatika : Selisih sama
$\clubsuit \, $ Misalkan barisannya : $ a, b, c $
Suku pertamanya 2, sehingga barisannya : $ 2, b, c $
$\clubsuit \, $ Barisan $ 2, b, c \, $ adalah barisan geometri sehingga rasio sama
$\begin{align} \frac{b}{2} & = \frac{c}{b} \\ b^2 & = 2c \\ c & = \frac{1}{2}b^2 \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Bilangan kedua ditambah 4, barisannya : $ 2, b+4, c $
sehingga terbentuk barisan aritmatika dengan selisih sama.
$\begin{align} (b+4) - 2 & = c - (b+4) \\ 2b - c + 6 & = 0 \, \, \, \, \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} c = \frac{1}{2}b^2 \rightarrow 2b - c + 6 & = 0 \\ 2b - \frac{1}{2}b^2 + 6 & = 0 \, \, \, \, \, \text{kali -2)} \\ -4b + b^2 -12 & = 0 \\ b^2 -4b -12 & = 0 \\ (b + 2)(b - 6) & = 0 \\ b = -2 \vee b & = 6 \end{align}$
*). Karena rasio positif, maka yang memenuhi adalah $ b = 6 $
Nilai $ c = \frac{1}{2}b^2 = \frac{1}{2}.6^2 = 18 $
Barisan awalnya : $ 2, b, c \rightarrow 2, 6, 18 $.
*). Jumlah ketiga sukunya : $ 2 + 6 + 18 = 26 $.
Jadi, jumlah ketiga bilangannya adalah 26. $ \, \heartsuit $
Nomor 10
Diketahui $ U_n \, $ adalah suku ke-$n $ suatu barisan aritmetika. Jika untuk setiap bilngan asli $ n $ , nilai $ U_n - U_{n-2} \, $ sama dengan tiga kali suku pertama dan $ \frac{U_3+U_{11}}{U_9 - U_5} = \frac{U_1 + U_3}{3} \, $ , maka $ U_{10} = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar
*). Barisan aritmetika : $ u_n = a + (n-1)b \, $
$\spadesuit \, $ Menentukan hubungan $ a \, $ dan $ b $
Karena berlaku untuk setiap $ n \, $ , maka $ n \, $ bisa kita ganti berapapun nilainya untuk persamaan $ U_n - U_{n-2} = 3U_1 $. Kita substitusi $ n = 3 $ :
$\begin{align} U_n - U_{n-2} & = 3U_1 \\ U_3 - U_{3-2} & = 3U_1 \\ U_3 - U_{1} & = 3U_1 \\ (a+2b) - a & = 3a \\ 2b & = 3a \\ b & = \frac{3}{2}a \, \, \, \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi bentuk $ b = \frac{3}{2}a \, $ ke persamaan lainnya
$\begin{align} \frac{U_3+U_{11}}{U_9 - U_5} & = \frac{U_1 + U_3}{3} \\ \frac{( a + 2b)+( a + 10b)}{(a + 8b) - ( a + 4b)} & = \frac{a + ( a + 2b) }{3} \\ \frac{2a + 12b}{ 4b} & = \frac{2a + 2b }{3} \\ \frac{2a + 12. \frac{3}{2}a}{ 4. \frac{3}{2}a} & = \frac{2a + 2. \frac{3}{2}a }{3} \\ \frac{2a + 18a}{ 6a} & = \frac{2a + 3a }{3} \\ \frac{20a}{ 6a} & = \frac{5a }{3} \\ 30a & = 60 \\ a & = 2 \end{align}$
Sehingga $ b = \frac{3}{2}a = \frac{3}{2}.2 = 3 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ U_{10} $
$\begin{align} U_{10} & = a + 9b \\ & = 2 + 9.3 \\ & = 2 + 27 \\ & = 29 \end{align}$
Jadi, nilai $ U_{10} = 29. \, \heartsuit $



Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2010


Nomor 1
Jika $ 2^x = 2 - \sqrt{3} , \, $ maka $ {}^{2+\sqrt{3}} \log 4^x = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log a = 1 \, $ dan $ {}^a \log b^n = n . \, {}^a \log b $
*). Sifat Eksponen :
$ \, (a^m)^n = (a^n)^m = a^{m.n} \, $ dan $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $
$\clubsuit \, $ Memodifikasi bentuk $ \, 2^x = 2 - \sqrt{3} \, $ dengan merasionalkan sehingga sama dengan basis pada logaritmanya.
$\begin{align} 2^x & = 2 - \sqrt{3} \\ 2^x & = 2 - \sqrt{3} \times \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \\ & = \frac{2 - \sqrt{3}}{1} \times \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \\ & = \frac{4 - 3}{2 + \sqrt{3}} \\ & = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \\ & = (2 + \sqrt{3})^{-1} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} {}^{2+\sqrt{3}} \log 4^x & = {}^{2+\sqrt{3}} \log (2^2)^x \\ & = {}^{2+\sqrt{3}} \log (2^x)^2 \\ & = {}^{2+\sqrt{3}} \log [(2 + \sqrt{3})^{-1}]^2 \\ & = {}^{2+\sqrt{3}} \log (2 + \sqrt{3})^{-2} \\ & = -2 . \, {}^{2+\sqrt{3}} \log (2 + \sqrt{3}) \\ & = -2 . \, 1 \\ & = -2 \end{align}$
Jadi, diperoleh $ {}^{2+\sqrt{3}} \log 4^x = -2 . \, \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ {}^{x+y} \log 2 = a \, $ dan $ \, {}^{x-y} \log 8 = b , \, $ dengan $ 0 < y < x, \, $ maka $ {}^4 \log (x^2 - y^2) = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
*). Sifat eksponen :
$ a^n = b \rightarrow a = b^\frac{1}{n} \, $ dan $ a^m . a^n = a^{m+n} $
*). Definisi dan sifat Logaritma :
$ {}^a \log b = c \leftrightarrow a^c = b $
$ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $
$\spadesuit \, $ Memodifikasi yang diketahui
Persamaan Pertama :
$\begin{align} {}^{x+y} \log 2 & = a \rightarrow (x+y)^a = 2 \rightarrow x + y = 2^\frac{1}{a} \\ {}^{x-y} \log 8 & = b \rightarrow (x-y)^b = 8 \rightarrow x - y = 8^\frac{1}{b} \\ \rightarrow x - y & = (2^3)^\frac{1}{b} \rightarrow x - y = 2^\frac{3}{b} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk $ (x^2 - y^2) $
$\begin{align} x^2 - y^2 & = (x+y)(x-y) \\ & = 2^\frac{1}{a} \times 2^\frac{3}{b} \\ & = 2^{ \frac{1}{a} + \frac{3}{b} } \\ & = 2^\frac{3a + b}{ab} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} {}^4 \log (x^2 - y^2) & = {}^4 \log 2^\frac{3a + b}{ab} \\ & = {{}^2}^2 \log 2^\frac{3a + b}{ab} \\ & = \frac{\frac{3a + b}{ab}}{2} \times {}^2 \log 2 \\ & = \frac{3a + b}{2ab} \times 1 \\ & = \frac{3a + b}{2ab} \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^4 \log (x^2 - y^2) = \frac{3a + b}{2ab} . \, \heartsuit $

Cara II :
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
*). Sifat-sifat Logaritma :
$ {}^a \log b = \frac{1}{{}^b \log a} $
$ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b $
$ {}^a \log (b.c)) = {}^a \log b + {}^a \log c $
$\spadesuit \, $ Memodifikasi yang diketahui
Persamaan Pertama :
$\begin{align} {}^{x+y} \log 2 & = a \rightarrow {}^2 \log (x+y) = \frac{1}{a} \end{align}$
Persamaan kedua :
$\begin{align} {}^{x-y} \log 8 & = b \rightarrow {}^8 \log (x-y) = \frac{1}{b} \\ \rightarrow {{}^2}^3 \log (x-y) & = \frac{1}{b} \rightarrow \frac{1}{3} {}^2 \log (x-y) = \frac{1}{b} \\ \rightarrow {}^2 \log (x-y) & = \frac{3}{b} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} {}^4 \log (x^2 - y^2) & = {{}^2}^2 \log (x+y)(x-y) \\ & = \frac{1}{2} {}^2 \log (x+y)(x-y) \\ & = \frac{1}{2} [{}^2 \log (x+y) + {}^2 \log (x-y) ] \\ & = \frac{1}{2} [ \frac{1}{a} + \frac{3}{b} ] \\ & = \frac{1}{2} [ \frac{3a + b}{ab} ] \\ & = \frac{3a + b}{2ab} \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^4 \log (x^2 - y^2) = \frac{3a + b}{2ab} . \, \heartsuit $

Nomor 3
Jika akar-akar persamaan $ \frac{x^2 + ax}{bx-2} = \frac{m+2}{m-2} \, $ berlawanan dan $ a \neq b \, $ maka nilai $ m \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar pada persamaan kuadrat (PK),
Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ memiliki akar-akar berlawanan dengan syarat $ b = 0 $
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan kuadratnya dengan kali silang
$\begin{align} & \frac{x^2 + ax}{bx-2} = \frac{m+2}{m-2} \\ & (x^2 + ax).(m-2) = (m+2).(bx - 2) \\ & (m-2)x^2 + (m-2)ax = (m+2)bx - 2(m+2) \\ & (m-2)x^2 + (m-2)ax - (m+2)bx + 2(m+2) = 0 \\ & (m-2)x^2 + [(m-2)a - (m+2)b]x + 2(m+2) = 0 \end{align}$
artinya $ a = m - 2 , \, b = [(m-2)a - (m+2)b] \, \, \, \, $ dan $ c = 2(m+2) $
$\clubsuit \, $ Syarat akar-akar berlawanan : $ b = 0 $
$\begin{align} b & = 0 \\ [(m-2)a - (m+2)b] & = 0 \\ ma - 2a - mb - 2b & = 0 \\ m(a - b) - 2(a+b) & = 0 \\ m(a - b) & = 2(a+b) \\ m & = \frac{2(a+b)}{(a - b)} \end{align}$
Jadi, kita peroleh $ m = \frac{2(a+b)}{(a - b)} . \, \heartsuit $
Nomor 4
Grafik fungsi kuadrat $ y = f(x) \, $ mempunyai titik puncak $(-1,8) $ dan memotong sumbu X di $(x_1,0) $ dan $ (x_2,0) $ . Jika $ x_1.x_2 = -3 \, $ , maka grafik tersebut memotong sumbu Y di ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar pada fungsi kuadrat (FK)
*). Fungsi kuadrat diketahui titik puncak $(x_p,y_p) $ :
FK : $ y = a(x-x_p)^2 + y_p $
*). Fungsi $ y = ax^2 + bx + c \, $ memotong sumbu X di $(x_1,0) \, $ dan $ (x_2 , 0 ) \, $ , maka $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $ .
$\spadesuit \, $ FK dengan titik puncak $(x_p,y_p) = (-1,8) $
$\begin{align} y & = a(x-x_p)^2 + y_p \\ y & = a(x-(-1))^2 + 8 \\ y & = a(x+1)^2 + 8 \\ y & = a(x^2 + 2x + 1) + 8 \\ y & = ax^2 + 2ax + a + 8 \\ y & = ax^2 + 2ax + (a + 8) \end{align}$
$\spadesuit \, $ FK $ \, \, y = ax^2 + 2ax + (a + 8) \, $ memotong sumbu X ,
maka $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} \rightarrow x_1.x_2 = \frac{a+8}{a} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} x_1.x_2 & = -3 \\ \frac{a+8}{a} & = -3 \\ a + 8 & = -3a \\ 4a & = -8 \\ a & = -2 \end{align}$
Sehingga FK nya menjadi :
$ y = ax^2 + 2ax + (a + 8) \rightarrow y = -2x^2 + 2.(-2)x + (-2 + 8) $
$ y = -2x^2 - 4x + 6 $
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong sumbu Y dengan substitusi $ x = 0 $
$\begin{align} x = 0 \rightarrow y & = -2x^2 - 4x + 6 \\ y & = -2.0^2 - 4.0 + 6 \\ y & = 0 - 0 + 6 \\ y & = 6 \end{align}$
Jadi, titik potong sumbu Y adalah $ \, (0,6) . \, \heartsuit $
Nomor 5
Salah satu nilai $ x \, $ yang memenuhi sistem persamaan $ xy+y^2 = 0 \, $ dan $ x-2y = 3 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Memodifikasi Persamaan pertama :
$ x-2y = 3 \rightarrow y = \frac{x-3}{2} \, $ ....pers(i)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{align} xy+y^2 & = 0 \\ x . (\frac{x-3}{2} ) + (\frac{x-3}{2} )^2 & = 0 \\ \frac{x^2-3x}{2} + \frac{x^2 - 6x + 9}{4} & = 0 \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 2(x^2-3x) + (x^2 - 6x + 9) & = 0 \\ 2x^2- 6x + (x^2 - 6x + 9) & = 0 \\ 3x^2 - 12x + 9 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x^2 - 4x + 3 & = 0 \\ (x - 1)(x - 3) & = 0 \\ x = 1 \vee x & = 3 \end{align}$
Jadi, salah satu nilai $ x \, $ adalah 1. $ \, \heartsuit$

Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2015


Nomor 1
Jika $ x = \left( p^{-\frac{1}{2}} - q^{-\frac{1}{2}} \right) \left( p^{-1} + q^{-1} + 2(pq)^{-\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{2}} \, $ dan $ \, y = \left( p+q \right)^{-2} \left( p^{-1} - q^{-1} \right) \, $ dengan $ p,q > 0 , p \neq q , \, $ maka $ \frac{x}{y} = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar
*). Bentuk Pemfaktoran
$ a^2 + b^2 + 2ab = (a+b)^2 $
$ (a^n-b^n)(a^n + b^n ) = (a^{n})^2 - (b^{n})^2 $
Sehingga bentuk :
$\begin{align} p^{-1} + q^{-1} + 2(pq)^{-\frac{1}{2}} & = \left( p^{-\frac{1}{2}} \right)^2 + \left( q^{-\frac{1}{2}} \right)^2 + 2\left( p^{-\frac{1}{2}} .q^{-\frac{1}{2}} \right) \\ & = \left( p^{-\frac{1}{2}} + q^{-\frac{1}{2}} \right)^2 \end{align}$
*). Sifat Eksponen : $ \, a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan bentuk $ x $
$\begin{align} x & = \left( p^{-\frac{1}{2}} - q^{-\frac{1}{2}} \right) \left( p^{-1} + q^{-1} + 2(pq)^{-\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{2}} \\ & = \left( p^{-\frac{1}{2}} - q^{-\frac{1}{2}} \right) \left( \left( p^{-\frac{1}{2}} + q^{-\frac{1}{2}} \right)^2 \right)^{\frac{1}{2}} \\ & = \left( p^{-\frac{1}{2}} - q^{-\frac{1}{2}} \right) \left( p^{-\frac{1}{2}} + q^{-\frac{1}{2}} \right) \\ & = \left( p^{-\frac{1}{2}} \right)^2 - \left( q^{-\frac{1}{2}} \right)^2 \\ & = p^{-1} - q^{-1} \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan bentuk $ \frac{x}{y} $
$\begin{align} \frac{x}{y} & = \frac{ \left( p^{-1} - q^{-1} \right) }{ \left( p+q \right)^{-2} \left( p^{-1} - q^{-1} \right) } \\ & = \frac{ 1 }{ \left( p+q \right)^{-2} } \\ & = (p+q)^2 \end{align}$
Jadi, diperoleh $ \frac{x}{y} = (p+q)^2 . \, \heartsuit $
Nomor 2
Jika $ \sqrt[3]{4.2^{3-x}} = 2^{y-3} \, $ dan $ \, {}^3 \log (2x +y) = -\frac{5}{2} {}^9 \log \left( \frac{1}{4} \right) . {}^{32} \log 64 $ , maka nilai $ x^2 - y + 1 = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep Eksponen dan Logaritma
*). Eksponen :
$ a^m . a^n = a^{m+n} , \, \, \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} $
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $.
*). Logaritma :
$ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} {}^a \log b , \, \, {}^a \log b^n = n. {}^a \log b $
$ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan Persamaan
Persamaan Pertama :
$\begin{align} \sqrt[3]{4.2^{3-x}} & = 2^{y-3} \\ (2^2.2^{3-x})^\frac{1}{3} & = 2^{y-3} \\ 2^\frac{5-x}{3} & = 2^{y-3} \\ \not{2}^\frac{5-x}{3} & = \not{2}^{y-3} \\ \frac{5-x}{3} & = {y-3} \\ 5 - x & = 3y - 9 \\ x + 3y & = 14 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
Persamaan Kedua :
$\begin{align} {}^3 \log (2x +y) & = -\frac{5}{2} . {}^9 \log \left( \frac{1}{4} \right) . {}^{32} \log 64 \\ {}^3 \log (2x +y) & = -\frac{5}{2} . {}^{3^2} \log 2^{-2} . {}^{2^5} \log 2^6 \\ {}^3 \log (2x +y) & = -\frac{5}{2} . \frac{-2}{2} . \frac{6}{5} . {}^{3 } \log 2 . {}^{2 } \log 2 \\ {}^3 \log (2x +y) & = 3 . {}^{3 } \log 2 . 1 \\ {}^3 \log (2x +y) & = 3 . {}^{3 } \log 2 \\ {}^3 \log (2x +y) & = {}^{3 } \log 2^3 \, \, \, \, \, \, \text{(coret log nya)} \\ (2x +y) & = 2^3 \\ 2x +y & = 8 \, \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} x + 3y = 14 & \text{ kali 2 } & 2x + 6y = 28 & \\ 2x +y = 8 & \text{ kali 1 } & 2x +y = 8 & - \\ \hline & & 5y = 20 & \\ & & y = 4 & \end{array}$
Pers(i) : $ x + 3y = 14 \rightarrow x + 3.4 = 14 \rightarrow x = 2 $
Sehingga nilai $ x^2 - y + 1 = 2^2 - 4 + 1 = 1 $
Jadi, nilai $ x^2 - y + 1 = 1. \, \heartsuit $
Nomor 3
Jika persamaan kuadrat $ 3x^2 + x - 3 = 0 \, $ mempunyai akar-akar $ \alpha \, $ dan $ \beta $, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya $ 2 + \frac{1}{\alpha + 1} \, $ dan $ 2 + \frac{1}{\beta + 1} \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar pada persamaan kuadrat (PK),
*). Menyusun Persamaan Kuadrat Baru (PKB)
Rumus dasar menyusun PKB : $ x^2 - (HJ)x + (HK) = 0 $
Dengan HJ = Hasil Jumlah dan HK = Hasil Kali.
*). PK : $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ memiliki akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 $
Operasi akar-akarnya : $ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
$\clubsuit \, $ PK : $ 3x^2 + x - 3 = 0 \, $ akar-akarnya $ \alpha \, $ dan $ \beta $
Operasi akar-akarnya :
$ \alpha + \beta = \frac{-1}{3} \, $ dan $ \alpha . \beta = \frac{-3}{3} = -1 $
$\clubsuit \, $ Menghitung beberapa operasi,
$\begin{align} (\alpha + 1)(\beta + 1) & = \alpha . \beta + (\alpha + \beta ) + 1 \\ & = -1 + \frac{-1}{3} + 1 = \frac{-1}{3} \\ (\alpha + 1) + (\beta + 1) & = (\alpha + \beta ) + 2 \\ & = \frac{-1}{3} + 2 = \frac{5}{3} \\ \frac{1}{\alpha + 1} + \frac{1}{\beta + 1} & = \frac{(\alpha + 1) + (\beta + 1)}{(\alpha + 1)(\beta + 1)} \\ & = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{-1}{3}} = -5 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai HJ dan HK dengan akar-akar $ 2 + \frac{1}{\alpha + 1} \, $ dan $ 2 + \frac{1}{\beta + 1} $
$\begin{align} HJ & = \left( 2 + \frac{1}{\alpha + 1} \right) + \left( 2 + \frac{1}{\beta + 1} \right) \\ & = 4 + \left( \frac{1}{\alpha + 1} + \frac{1}{\beta + 1} \right) \\ & = 4 + (-5) \\ & = -1 \\ HK & = \left( 2 + \frac{1}{\alpha + 1} \right) \left( 2 + \frac{1}{\beta + 1} \right) \\ & = 4 + \left( \frac{2}{\alpha + 1} + \frac{2}{\beta + 1} \right) + \left( \frac{1}{\alpha + 1} . \frac{1}{\beta + 1} \right) \\ & = 4 + 2 \left( \frac{1}{\alpha + 1} + \frac{1}{\beta + 1} \right) + \frac{1}{(\alpha + 1)(\beta + 1)} \\ & = 4 + 2 \left( -5 \right) + \frac{1}{\frac{-1}{3}} \\ & = 4 + (-10) + (-3) \\ & = -9 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaan kuadratnya dengan HJ = $ -1 $ dan HK = $ -9 $
$\begin{align} x^2 - (HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 - (-1)x + (-9) & = 0 \\ x^2 + x - 9 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah $ x^2 + x - 9 = 0 . \, \heartsuit $
Nomor 4
Parabola $ y = ax^2 + bx + c , \, a > 0 \, $ memotong sumbu X pada $ x = p \, $ dan $ x = 2p, \, p \neq 0 . \, $ Nilai $ c - b > 0 \, $ terpenuhi apabila ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar pada fungsi kuadrat (FK)
Menyusun fungsi kuadrat (fk) yang diketahui memotong sumbu X di $ x_1 \, $ dan $ x_2 \, $ adalah $ y = a(x-x_1)(x-x_2) $
$\spadesuit \, $ FK : $ y = ax^2 + bx + c \, $ dengan $ x_1 = p \, $ dan $ x_2 = 2p $
Menyusun FK nya :
$\begin{align} y & = a(x-x_1)(x-x_2) \\ y & = a(x-p)(x-2p) \\ & = a(x^2 -3px + 2p^2) \\ & = ax^2 -3pax + 2p^2a \end{align}$
Bentuk $ y = ax^2 -3pax + 2p^2a \, $ sama dengan bentuk $ y = ax^2 + bx + c $
Sehingga $ b = -3ap \, $ dan $ c = 2p^2 a $
$\spadesuit \, $ Menentukan interval $ p \, $ dengan $ b = -3ap \, $ dan $ c = 2p^2 a $
$\begin{align} c - b & > 0 \\ 2p^2 a - (-3ap) & > 0 \\ 2p^2 a + 3ap & > 0 \\ ap(2p + 3) & > 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi } a) \\ p(2p + 3) & > 0 \\ p = 0 \vee p & = -\frac{3}{2} \end{align}$
gambar garis bilangannya :
um_ugm_matdas_2015_1baru.png
Karena yang diminta lebih besar dari nol ($ > 0$) maka intervalnya adalah yang positif yaitu interval $ x < -\frac{3}{2} \vee x > 0 . $
Jadi, interval nilai $ p \, $ adalah $ x < -\frac{3}{2} \vee x > 0 . \, \heartsuit $
Nomor 5
Jika $ \{ (x,y,z)\} \, $ adalah himpunan penyelesaian sistem persamaan
      $ \left\{ \begin{array}{c} 2x + 2y = 6 \\ x - 3z = -8 \\ x + 5y = 11 \end{array} \right. $
maka nilai $ x + y + z = ... . $
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
pers(i) : $ 2x + 2y = 6 \rightarrow x + y = 3 $
$\begin{array}{cc} x + y = 3 & \\ x + 5y = 11 & - \\ \hline -4y = - 8 & \\ y = 2 & \end{array}$
Pers(i) : $ x + y = 3 \rightarrow x + 2 = 3 \rightarrow x = 1 $
Pers(ii) : $ x - 3z = -8 \rightarrow 1 - 3z = -8 \rightarrow z = 3 $
Sehingga nilai $ x + y + z = 1 + 2 + 3 = 6 $.
Jadi, nilai $ x + y + z = 6. \, \heartsuit$ 
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2013 nomor 16 sampai 20


Nomor 16
Jika $ A = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) , \, B = \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \, $ dan $ I \, $ matriks identitas, maka $ AB^{-1} + BA^{-1} = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep Matriks
invers : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{a.d-b.c} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
$\spadesuit \, $ Menentukan invers dan hasil $ AB^{-1} + BA^{-1} $
$\begin{align} A & = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right) \rightarrow A^{-1} = \frac{1}{0.2 - (-1).1} \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right) \\ A & = \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right) \\ B & = \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \rightarrow B^{-1} = \frac{1}{1.1 - 0.(-1)} \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ B & = \left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ AB^{-1} + BA^{-1} & = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right) \\ AB^{-1} + BA^{-1} & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} \right) \\ AB^{-1} + BA^{-1} & = \left( \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix} \right) = 3 \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) = 3 I \end{align}$
Jadi, nilai $ AB^{-1} + BA^{-1} = 3I . \heartsuit$
Nomor 17
Jika $ x \, $ dan $ y \, $ memenuhi sistem persamaan
$\begin{align} \frac{2}{x-1} - \frac{1}{y+2} & = 10 \\ \frac{3}{y+2} + \frac{1}{x-1} & = -9 \end{align} $
maka $ x + y = .... $
$\clubsuit \,$ Misalkan $ a = \frac{1}{x-1} \, \, $ dan $ \, b = \frac{1}{y+2} $
Sehingga persamaannya menjadi :
$ \frac{2}{x-1} - \frac{1}{y+2} = 10 \rightarrow 2a - b = 10 \, $ ....pers(i)
$ \frac{3}{y+2} + \frac{1}{x-1} = -9 \rightarrow 3b + a = -9 \, $ ....pers(ii)
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ a \, $ dan $ b $
$\begin{array}{c|c|cc} 2a - b = 10 & \text{kali 1} & 2a - b = 10 & \\ 3b + a = -9 & \text{kali 1} & 6b + 2a = -18 & - \\ \hline & & -7b = 28 & \\ & & b = -4 & \end{array}$
Pers(i) : $ 2a - b = 10 \rightarrow 2a - (-4) = 10 \rightarrow a = 3 $
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $ x \, $ dan $ y $
$\begin{align} a=3 \rightarrow a & = \frac{1}{x-1} \\ 3 & = \frac{1}{x-1} \\ x-1 & = \frac{1}{3} \\ x & = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} \\ b=-4 \rightarrow b & = \frac{1}{y+2} \\ -4 & = \frac{1}{y+2} \\ y+2 & = -\frac{1}{4} \\ y & = - \frac{1}{4} - 2 = -\frac{9}{4} \end{align}$
Sehingga nilai : $ x + y = \frac{4}{3} + (-\frac{9}{4}) = \frac{16 - 27}{12} = -\frac{11}{12} $
Jadi, nilai $ x + y = -\frac{11}{12} . \heartsuit $
Nomor 18
Jika ($b+c, \, b, \, c $) memenuhi sistem persamaan
$\begin{align} 3x-y+2z & = -1 \\ -2x+y+3z & = -3 \end{align}$
maka $ b+ c = .... $
$\spadesuit \, $ Bentuk ($b+c, \, b, \, c $) , artinya $ x = b+c, \, y = b, \, z = c $
$\spadesuit \, $ Substitusi ke sistem persamaan
persamaan pertama :
$\begin{align} 3x-y+2z = -1 \rightarrow 3(b+c)-b+2c & = -1 \\ 2b + 5c & = -1 \, \, \, \text{...peris(i)} \end{align}$
persamaan kedua :
$\begin{align} -2x+y+3z = -3 \rightarrow -2(b+c)+b+3c & = -3 \\ -b + c & = -3 \, \, \, \text{...peris(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} 2b + 5c = -1 & \text{(kali 1)} & 2b + 5c = -1 & \\ -b + c = -3 & \text{(kali 2)} & -2b + 2c & = -36 & + \\ \hline & & 7c = -7 & \\ & & c = -1 & \end{array}$
Pers(ii) : $ -b + c = -3 \rightarrow -b + c(-1) = -3 \rightarrow b = 2 $
Sehingga nilai $ b + c = 2 + (-1) = 1 $
Jadi, nilai $ b + c = 1 . \heartsuit $
Nomor 19
Jika $ m > 0 , \, $ maka himpunan semua penyelesaian pertidaksamaan $ \sqrt{m^2 - x^2} \leq x \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Syarat bentuk akar :
*). Dalam akar positif : $ \sqrt{m^2 - x^2} $
$ m^2 - x^2 \geq 0 \rightarrow (m-x)(m+x) \geq 0 \rightarrow x = m \vee x = -m $
um_ugm_matdas_4_2013.png
HP1 = $ \{ -m \leq x \leq m \} $
*). Karena $ x \geq \sqrt{m^2 - x^2} \, $ yang mana $ \sqrt{m^2 - x^2} \geq 0 \, $ , maka haruslah nilai $ x \geq 0 \, $ (nilai $ x \, $ juga positif). Sehingga HP2 = $ \{ x \geq 0 \} $
$\clubsuit \, $ Kuadratkan pertidaksamaannya
$\begin{align} \sqrt{m^2 - x^2} & \leq x \\ (\sqrt{m^2 - x^2})^2 & \leq x^2 \\ m^2 - x^2 & \leq x^2 \\ m^2 - 2x^2 & \leq 0 \\ m^2 - 2x^2 & = 0 \rightarrow 2x^2 = m^2 \rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{m^2}{2}} = \pm \frac{m}{\sqrt{2}} \end{align}$
um_ugm_matdas_5_2013.png
HP3 = $ \{ x \leq -\frac{m}{\sqrt{2}} \vee x \geq \frac{m}{\sqrt{2}} \} $
Sehingga solusi totalnya :
HP = $ HP1 \cap HP2 \cap HP3 = \{ \frac{m}{\sqrt{2}} \leq x \leq m \} $
Jadi, penyelesaiannya adalah $ HP = \{ \frac{m}{\sqrt{2}} \leq x \leq m \} . \heartsuit$
Nomor 20
Semua nilai $ x \, $ yang memenuhi $ \frac{3\sqrt{2-x}}{x-1} < 2 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Syarat bentuk akar dan pecahan : $ \frac{3\sqrt{2-x}}{x-1} $
*). $ 2-x \geq 0 \rightarrow -x \geq -2 \rightarrow x \leq 2 \, $
*). Penyebut : $ x - 1 \neq 0 \rightarrow x \neq 1 $
dari kedua syarat, diperoleh : HP1 = $ \{ x \leq 2 , \, \, x \neq 1 \} $
$\spadesuit \, $ Menyelesaiakan pertidaksamaan :
$\begin{align} \frac{3\sqrt{2-x}}{x-1} & < 2 \\ \frac{3\sqrt{2-x}}{x-1} -2 & < 0 \\ \frac{3\sqrt{2-x} - 2(x-1) }{x-1} & < 0 \\ \text{akar-akarnya : } & \\ x-1 = 0 \vee & \, \, \, 3\sqrt{2-x} - 2(x-1) = 0 \\ x-1=0 \rightarrow x & = 1 \\ 3\sqrt{2-x} - 2(x-1) & = 0 \\ 3\sqrt{2-x} & = 2(x-1) \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 9(2-x) & = 4(x^2-2x+1) \\ 4x^2 + x - 14 & = 0 \\ (4x-7)(x+2) & = 0 \\ x = \frac{7}{4} \vee x = -2 \end{align}$
untuk $ x = -2 \, $ tidak memenuhi karena $ 3\sqrt{2-(-2)} - 2((-2)-1) \neq 0 $
sehingga yang memenuhi $ x = \frac{7}{4} $
um_ugm_matdas_6_2013.png
HP2 = $\{ x < 1 \vee x > \frac{7}{4} \} $
Sehingga solusinya :
HP = $ HP1 \cap HP2 = \{ x < 1 \vee \frac{7}{4} < x \leq 2 \} $
Jadi, solusinya $ HP = \{ x < 1 \vee \frac{7}{4} < x \leq 2 \} . \heartsuit $  
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2013 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Parabola $ y=-x^2+2ax+a-2 \, $ dan garis $ y = ax + a-2 \, $ berpotongan di titik ($x_1,y_1$) dan ($x_2,y_2$). Jika $ x_1 + x_2 = 2 , \, $ maka $ y_1 + y_2 = .... $
$\spadesuit \, $ Samakan kedua persamaan
$\begin{align} y \, \text{ (garis) } & = y \, \text{ (parabola)} \\ ax + a-2 & = -x^2+2ax+a-2 \\ x^2 -ax & = 0 \\ x(x-a) & = 0 \\ x=0 \vee x & = a \end{align}$
artinya $ x_1 = 0 \, \, \, $ dan $ \, \, x_2 = a $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a \, $ dari $ x_1 + x_2 = 2 $
$\begin{align} x_1 + x_2 & = 2 \\ 0 + a & = 2 \\ a & = 2 \end{align}$
Sehingga diperoleh : $ x_1 = 0 \, \, $ dan $ \, x_2 = a = 2 $
$\spadesuit \, $ Substitusi nilai $ a \, $ ke garis, dan menentukan nilai $ y $
$\begin{align} a = 2 \rightarrow y & = ax + a-2 \\ y & = 2x + 2-2 \\ y & = 2x \\ x_1 = 0 \rightarrow y & = 2x \\ y_1 & = 2.0 = 0 \\ x_2 = 2 \rightarrow y & = 2x \\ y_2 & = 2.2 = 4 \end{align} $
Sehingga nilai $ y_1 + y_2 = 0 + 4 = 4 $
Jadi, nilai $ y_1 + y_2 = 4 . \heartsuit $
Nomor 12
Jika $ \alpha + 2\beta = 5 \, $ dan $ \alpha \beta = -2 \, $ maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya $ \frac{\alpha}{\alpha + 1} \, $ dan $ \frac{2\beta}{2\beta + 1} \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep Menyusun PK : $ x^2 - (HJ)x + (HK) = 0 $
Keterangan : HJ = Hasil Jumlah dan HK = Hasil Kali.
$\clubsuit \, $ Menentukan HJ dan HK dari $ \frac{\alpha}{\alpha + 1} \, \, $ dan $ \frac{2\beta}{2\beta + 1} $
$\begin{align} HJ & = (\frac{\alpha}{\alpha + 1} ) + (\frac{2\beta}{2\beta + 1}) \\ & = \frac{\alpha (2\beta + 1) + (\alpha + 1)(2\beta) }{(\alpha + 1)(2\beta + 1)} \\ & = \frac{2\alpha \beta + \alpha + 2\alpha \beta + 2\beta}{2\alpha \beta + (\alpha + 2\beta) + 1 } \\ & = \frac{4\alpha \beta + (\alpha + 2\beta) }{2\alpha \beta + (\alpha + 2\beta) + 1 } \\ & = \frac{4.(-2) + (5) }{2.(-2) + (5) + 1 } \\ HJ & = \frac{-3 }{2} \\ HK & = (\frac{\alpha}{\alpha + 1} ) . (\frac{2\beta}{2\beta + 1}) \\ & = \frac{2\alpha \beta}{2\alpha \beta + (\alpha + 2\beta) + 1} \\ & = \frac{2.(-2)}{2.(-2) + (5) + 1} \\ HK & = \frac{-4}{2} = -2 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Menyusun PK
$\begin{align} x^2 - (HJ)x + (HK) & = 0 \\ x^2 - (\frac{-3 }{2})x + (-2) & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 2x^2 + 3x - 4 & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan kuadratnya adalah $ 2x^2 + 3x - 4 = 0 . \heartsuit $
Nomor 13
Daerah penyelesaian sistem pertaksamaan linear $ y \geq 0, \, x+y \leq 2, \, 3x-2y \leq 3 \, $ dan $ -2x+3y \leq 3 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep menentukan arsiran pada ketaksamaan :
Biasanya untuk menentukan daerah yang benar, kita mencoba substitusi satu titik sembarang ke pertidaksamaan, akan tetapi kali ini berbeda caranya, yaitu menggunakan perkalian tanda koefisien variabelnya ( x atau y ).
Konsep : Misal bentuk $ ax + by T_1 c \, $ dengan $ T_1 = \geq = + \, $ (positif) atau $ T_1 = \leq = - \, $ (negatif) dan $T_x \, $ menyatakan nilai koefisien variabel $x \, $ (bisa positif atau negatif) serta $T_y \, $ menyatakan nilai koefisien variabel $y \, $ (bisa positif atau negatif)
Caranya : Tentukan hasil perkalian $T_x.T_1 \, $ atau $ T_y.T_1 \, $ (salah satu saja yang dikalikan) yang hasilnya bisa positif atau negatif .
$T_x.T_1 = \, $ positif artinya yang benar daerah kanannya
$T_x.T_1 = \, $ negatif artinya yang benar daerah kirinya
$T_y.T_1 = \, $ positif artinya yang benar daerah atasnya
$T_y.T_1 = \, $ negatif artinya yang benar daerah bawahnya
$\spadesuit \, $ Menentukan titik potong sumbu-sumbu
I). $ y \geq 0 \, $ adalah garis sumbu X
II). $ x+y \leq 2 \, $ tipotnya : (0,2) dan (2,0)
III). $ 3x-2y \leq 3 \, $ tipotnya : ($0,\frac{-3}{2}$) dan (1,0)
IV). $ -2x+3y \leq 3 \, $ tipotnya : (0,1) dan ($\frac{-3}{2},0$)
Gambarnya :
um_ugm_matdas_3_2013.png
Arsir daerah yang salah, sehingga daerah himpunan penyelesaiannya (DHP) adalah daerah yang tidak terkena arsir sama sekali.
contoh perhitungan pada garis II : $ x+y \leq 2 \, $ dengan $ T_x = + \, $ dan $ T_1 = \leq = - \, $ sehingga hasil $ T_x.T_1 = + . - = - \, $ (negatif) . karena hasil kali $ T_x.T_1 \, $ negatif, maka daerah yang benar adalah sebelah kiri, sehingga yang salah daerah sebelah kanan, terlihat seperti gambar di atas. Untuk garis yang lain, coba sendiri ya sobat.
Jadi, daerah penyelesaiannya adalah yang tengah ( ada DHP-nya) yaitu opsi B. $ \heartsuit $
Nomor 14
Jika jumlah empat suku pertama dan jumlah tujuh suku pertama suatu barisan aritmetika beturut-turut 30 dan 84 maka jumlah ke limabelas suku pertama barisan itu adalah ....
$\spadesuit \, $ Deret aritmetika : $ s_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b) $
$\spadesuit \, $ Menentukan persamaan dengan $ s_4 = 30 \, $ dan $ s_7 = 84 $
$\begin{align} s_4 = 30 \rightarrow s_n & = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b) \\ \frac{4}{2} (2a + (4-1)b) & = 30 \\ 2 (2a + 3b) & = 30 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 2a + 3b & = 15 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ s_7 = 84 \rightarrow s_n & = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b) \\ \frac{7}{2} (2a + (7-1)b) & = 84 \\ \frac{7}{2} (2a + 6b) & = 84 \\ 7 (a + 3b) & = 84 \, \, \, \, \text{(bagi7)} \\ a + 3b & = 12 \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{cc} 2a + 3b = 15 & \\ a + 3b = 12 & - \\ \hline a = 3 & \end{array}$
pers(ii) : $a + 3b = 12 \rightarrow 3 + 3b = 12 \rightarrow b = 3 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ s_{15} $
$\begin{align} s_n & = \frac{n}{2} (2a + (n-1)b) \\ s_{15} & = \frac{15}{2} (2a + (51-1)b) \\ s_{15} & = \frac{15}{\not{2}} (\not{2}.3 + \not{14}.3) \\ s_{15} & = 15 . (3 + 7.3) \\ s_{15} & = 15 .(24) = 360 \end{align}$
Jadi, jumlah ke limabelas suku pertama barisan itu adalah 360. $ \heartsuit $
Nomor 15
Suku ke 3, 5, dan 8 suatu deret aritmetika berturut-turut adalah $ \frac{3x+1}{2}, \, 2x+2 , \, 4x-7. \, $ Jika $ u_n \, $ menyatakan suku ke $ n \, $ barisan tersebut, maka suku ke $ 2n \, $ adalah ....
(A). $ 5 + 3n $
(B). $ 2 + 6n $
(C). $ 2u_n $
(D). $ 3 + 2u_n $
(E). $ 3n + u_n $
$\clubsuit \, $ Barisan aritmetika : $ u_n = a+(n-1)b $
$\clubsuit \, $ Menyusun persamaannya
$ u_3 = \frac{3x+1}{2} \rightarrow a + 2b = \frac{3x+1}{2} \, $ ....pers(i)
$ u_5 = 2x+2 \rightarrow a + 4b = 2x+2 \, $ ....pers(ii)
$ u_8 = 4x-7 \rightarrow a + 7b = 4x-7 \, $ ....pers(iii)
$\clubsuit \, $ Eliminasi pers(ii) dan pers(iii)
$\begin{array}{cc} a + 7b = 4x-7 & \\ a + 4b = 2x+2 & - \\ \hline 3b = 2x - 9 & \\ b = \frac{2}{3}x - 3 & \end{array}$
dari Pers(ii) :
$ a + 4b = 2x+2 \rightarrow a + 4(\frac{2}{3}x - 3) = 2x+2 $
$ \rightarrow a = -\frac{2}{3}x + 14 $
$\clubsuit \, $ Substitusi nilai $ a \, $ dan $ b \, $ ke pers(i)
$\begin{align} a + 2b & = \frac{3x+1}{2} \\ (-\frac{2}{3}x + 14) + 2.( \frac{2}{3}x - 3) & = \frac{3x+1}{2} \\ x & = 9 \, \, \, \, \text{(hitung dengan sabar)} \end{align}$
Sehingga nilai $ a \, $ dan $ b \, $ :
$ a = -\frac{2}{3}x + 14 = -\frac{2}{3}.9 + 14 = -6 + 14 = 8 $
$ b = \frac{2}{3}x - 3 = \frac{2}{3}.9 - 3 = 6 - 3 = 3 $
$\clubsuit \, $ Menentukan rumus $ u_n \, $ dan $ u_{2n} \, $ dengan modifikasi
$\begin{align} u_n & = a+(n-1)b \\ u_n & = 8+(n-1).3 \\ u_n & = 8+ 3n - 3 \\ u_n & = 5+ 3n \\ & \text{(Menentukan } u_{2n} \, ) \\ u_n & = 5+ 3n \\ u_{2n} & = 5+ 3.(2n) \\ u_{2n} & = 5 + 6n \, \, \, \, \text{(modifikasi sesuai pilihannya)} \\ u_{2n} & = 5 + 3n + 3n \\ u_{2n} & = 3n + (5 + 3n) \, \, \, \, \text{(subst. } \, 5 + 3n = u_n ) \\ u_{2n} & = 3n + u_n \end{align}$
Jadi, diperoleh rumus $ u_{2n} = 3n + u_n . \heartsuit $
Catatan : Bentuk $ u_{2n} = 5 + 6n \, $ sebenarnya sudah benar, hanya saja belum ada di pilihan gandanya sehingga harus dimodifikasi lagi agar mengarah dan sama dengan yang ada pada pilihan ganda.  
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2013 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Hasil penjumlahan semua penyelesaian $ \sin ^2 \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \, $ untuk $ 0 \leq x < 2\pi \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x $
$ \sin ^2 \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \rightarrow \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{2} \sqrt{2} $
Nilai $ \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \pm \frac{1}{2} \sqrt{2} \, $ dibagi menjadi dua :
$\begin{align} \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \sqrt{2} \Leftrightarrow x - \frac{\pi}{6} & = 45^\circ \rightarrow x = 75^\circ \\ x - \frac{\pi}{6} & = 135^\circ \rightarrow x = 165^\circ \\ \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = - \frac{1}{2} \sqrt{2} \Leftrightarrow x - \frac{\pi}{6} & = 225^\circ \rightarrow x = 255^\circ \\ x - \frac{\pi}{6} & = 315^\circ \rightarrow x = 345^\circ \end{align}$
Sehingga jumlah semua nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah
jumlah = $ 75^\circ + 165^\circ + 255^\circ + 345^\circ = 840^\circ = \frac{14}{3} \pi $
Jadi, jumlah semua nilai $ x \, $ yang memenuhi adalah $ \frac{14}{3} \pi . \heartsuit $
Nomor 7
Misalkan ada 2 jalan dari kota A ke kota B, 4 jalan dari kota A ke kota C, 2 jalan dari kota B ke kota C. Dari kota B dan C masing-masing ada 3 jalan ke kota D. Jika seseorang dari kota A pergi ke kota D melalui kota B atau C atau kota B dan C, maka banyaknya cara yang dapat ia tempuh adalah ....
$\clubsuit \, $ Gambar Rute perjalanannya
um_ugm_matdas_2_2013.png
Untuk menyelesaiakan soal ini, kita menggunakan kaidah pecacahan yaitu aturan perkalian.
$\clubsuit \, $ Rute Perjalanan yang ditempuh dari A ke D :
1). Melalui B saja : A - B - D = 2 $ \times \, $ 3 = 6 cara
2). Melalui C saja : A - C - D = 4 $ \times \, $ 3 = 12 cara
3). Melalui B dan C : $ \left\{ \begin{array}{cc} \text{A - B - C - D} & = 2 \times 2 \times 3 = 12 \, \text{cara} \\ \text{A - C - B - D} & = 4 \times 2 \times 3 = 24 \, \text{cara} \end{array} \right. $
Sehingga total cara rute yang ditempuh adalah
total = 6 + 12 + 12 + 24 = 54
Jadi, total cara yang ditempuh ada 54 rute perjalan. $ \heartsuit$
Nomor 8
Nilai rata-rata tes matematika di suatu kelas adalah 72. Nilai rata-rata siswa putra adalah 75 dan nilai rata-rata siswa putri adalah 70. Jika banyaknya siswa putri 6 lebih banyak dari siswa putra, maka banyaknya siswa di kelas tersebut adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Rata-rata gabungan :
$ \overline{X}_\text{gb} = \frac{n_p.\overline{X}_p + n_l . \overline{X}_l}{n_p + n_l} $
Keterangan :
$ \overline{X}_\text{gb} \, $ = Rata-rata gabungan = 72
$ \overline{X}_p \, $ = Rata-rata kelompok perempuan = 70
$ \overline{X}_l \, $ = Rata-rata kelompok laki-laki = 75
$ n_p \, $ = banyaknya anggota kelompok perempuan
$ n_l \, $ = banyaknya anggota kelompok laki-laki
Pada soal diketahui banyak siswa perempuan 6 lebih banyak siswa laki-laki, artinya $ n_p = n_l + 6 $
$\spadesuit \, $ Menentukan banyak siswa laki-laki ($n_l$)
$\begin{align} \overline{X}_\text{gb} & = \frac{n_p.\overline{X}_p + n_l . \overline{X}_l}{n_p + n_l} \\ 72 & = \frac{(n_l+6).70 + n_l . 75}{(n_l+6) + n_l} \\ 72 & = \frac{70n_l + 420 + 75n_l}{2n_l+6} \, \, \, \, \text{(kalikan silang)} \\ 72.(2n_l +6) & = 145n_l + 420 \\ 144n_l + 432 & = 145n_l + 420 \\ n_l & = 12 \end{align}$
Sehingga banyak siswa perempuan :
$ n_p = n_l + 6 = 12 + 6 = 18 $
Total siswa = $ n_p+n_l \, $ = 18 + 12 = 30 siswa
Jadi, total siswa ada 30 siswa. $ \heartsuit$
Nomor 9
$ \frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}+\sqrt{12}} + \frac{5}{1 + \sqrt{6}} = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep dasar :
$ (p+q)(p-q) = p^2 - q^2 \, $ dan $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
$\clubsuit \, $ Rasionalkan masing-masing pecahan
$\begin{align} & \frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}+\sqrt{12}} + \frac{5}{1 + \sqrt{6}} \\ & = \frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}+\sqrt{12}} . \frac{\sqrt{18}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}-\sqrt{12}} + \frac{5}{1 + \sqrt{6}} . \frac{1 - \sqrt{6}}{1 - \sqrt{6}} \\ & = \frac{ 18 - 2\sqrt{18}.\sqrt{12} + 12 }{18-12} + \frac{ 5(1 - \sqrt{6}) }{1 - 6} \\ & = \frac{ 30 - 2\sqrt{18.12} }{6} + \frac{ 5(1 - \sqrt{6}) }{-5} \\ & = \frac{ 30 - 2\sqrt{216} }{6} + [ -(1 - \sqrt{6}) ] \\ & = \frac{ 30 - 2 . 6 . \sqrt{6} }{6} + \sqrt{6} - 1 \\ & = 5 - 2 \sqrt{6} + \sqrt{6} - 1 \\ & = 4 - \sqrt{6} \end{align}$
Jadi, bentuk sederhananya adalah $ 4 - \sqrt{6} . \heartsuit $
Nomor 10
Nilai $ 1-x \, $ yang memenuhi persamaan $ \sqrt{8^{3-x}} = 4.2^{1-2x} \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar eksponen
Persamaan : $ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
Sifat-sifat eksponen :
$ a^m . a^n = a^{m+n} \, \, ; \, \, (a^m)^n = a^{m.n} \, $ dan $ \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ x $
$\begin{align} \sqrt{8^{3-x}} & = 4.2^{1-2x} \\ (2^3)^\frac{3-x}{2} & = 2^2.2^{1-2x} \\ 2^{3.\frac{3-x}{2}} & = 2^{2+(1-2x)} \\ 2^{\frac{9-3x}{2}} & = 2^{3-2x} \\ \frac{9-3x}{2} & = 3-2x \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 9-3x & = 6 - 4x \\ x & = -3 \end{align}$
Sehingga nilai $ 1 - x = 1 - (-3) = 4 $
Jadi, nilai $ 1 - x = 4 . \heartsuit $  
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20

Pembahasan Soal UM UGM Matematika Dasar tahun 2013 nomor 1 sampai 5


Nomor 1
Jika $ 1 - \cot \alpha = - \frac{1}{3} \, $ , maka nilai $ \sin 2 \alpha + \cos 2\alpha = .... $
$\clubsuit \, $ Kosep dasar trigonometri
$ \cot \alpha = \frac{\text{samping}}{\text{depan}} , \sin \alpha = \frac{\text{depan}}{\text{miring}} , \, \cos \alpha = \frac{\text{samping}}{\text{miring}}$
$ \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha $
$ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin ^2 \alpha $
$\clubsuit \, $ Menentukan nilai $ \cot \alpha \, $ dan gambarnya
$\begin{align} 1 - \cot \alpha = - \frac{1}{3} \rightarrow \cot \alpha = \frac{4}{3} = \frac{\text{samping}}{\text{depan}} \end{align}$
um_ugm_matdas_1_2013.png
sehingga : $ \sin \alpha = \frac{3}{5} \, $ dan $ \cos \alpha = \frac{4}{5} $
$\clubsuit \,$ Menyelesaikan soal
$\begin{align} \sin 2 \alpha + \cos 2\alpha & = (2\sin \alpha \cos \alpha) + (1 - 2\sin ^2 \alpha) \\ & = (2\sin \alpha \cos \alpha) + (1 - 2 (\sin \alpha)^2) \\ & = (2 . \frac{3}{5} . \frac{4}{5}) + (1 - 2 (\frac{3}{5})^2) \\ & = \frac{24}{25} + (1 - \frac{18}{25}) \\ & = \frac{24}{25} + \frac{7}{25} \\ \sin 2 \alpha + \cos 2\alpha & = \frac{31}{25} \end{align}$
Jadi, nilai $ \sin 2 \alpha + \cos 2\alpha = \frac{31}{25} . \heartsuit $
Nomor 2
Persamaan kuadrat $ x^2 - (3- {}^2 \log m )x - {}^2 \log 16m = 0 \, $ mempunyai akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2\, $ . Jika $ x_1x_2^2 + x_1^2x_2 = -6 \, $ maka $ {}^m \log 8 = .... $
$\spadesuit \, $ Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log bc = {}^a \log b + {}^a \log c \, ; \, {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
dan $ {}^a \log b = c \rightarrow {}^b \log a = \frac{1}{c} $
$\spadesuit \, $ PK : $ x^2 - (3- {}^2 \log m )x - {}^2 \log 16m = 0 $
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-[- (3- {}^2 \log m )]}{1} = 3- {}^2 \log m \\ x_1 . x_2 & = \frac{c}{a} = \frac{- {}^2 \log 16m}{1} = - {}^2 \log 16m \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ m \, $ , misalkan $ p = {}^2 \log m $
$\begin{align} x_1x_2^2 + x_1^2x_2 & = -6 \\ x_1.x_2(x_1 + x_2) & = -6 \\ (- {}^2 \log 16m)(3- {}^2 \log m) & = -6 \\ (- [{}^2 \log 16 + {}^2 \log m])&(3- {}^2 \log m) = -6 \\ (- [4 + {}^2 \log m])(3- {}^2 \log m) & = -6 \\ (- 4 - {}^2 \log m)(3- {}^2 \log m) & = -6 \, \, \, \text{ (subs. } p = {}^2 \log m ) \\ (- 4 - p)(3- p) & = -6 \\ p^2 + p -12 & = -6 \\ p^2 + p -6 & = 0 \\ (p-2)(p+3) & = 0 \\ p=2 \vee p & = -3 \\ p=2 \rightarrow {}^2 \log m & = 2 \rightarrow {}^m \log 2 = \frac{1}{2} \\ p=-3 \rightarrow {}^2 \log m & = -3 \rightarrow {}^m \log 2 = - \frac{1}{3} \\ \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ {}^m \log 8 $
$\begin{align} {}^m \log 8 & = {}^m \log 2^3 = 3. {}^m \log 2 \\ {}^m \log 2 & = \frac{1}{2} \rightarrow {}^m \log 8 = 3.{}^m \log 2 = 3.\frac{1}{2} = \frac{3}{2} \\ {}^m \log 2 & = - \frac{1}{3} \rightarrow {}^m \log 8 = 3.{}^m \log 2 = 3.(- \frac{1}{3}) = -1 \end{align}$
Jadi, nilai $ {}^m \log 8 \, $ adalah $ \frac{3}{2} \, $ atau -1 . $ \heartsuit $
Nomor 3
Sebuah garis menyinggung grafik $ f(x) = x^2 + 3x - 1 \, $ di titik ($2a-1,b$) dan menyinggung grafik $ g(x) = \frac{1}{3}x^3 + 4x + 1 \, $ di titik ($a,c$). Nilai $ a + b = .... $
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar gradien garis singgung
Gradien garis singgung di ($x_1,y_1$) pada kurva $ y = f(x) \, $ adalah $ m = f^\prime (x_1) $
$\clubsuit \, $ Fungsi : $ f(x) = x^2 + 3x - 1 \rightarrow f^\prime ( x ) = 2x + 3 $
gradien di titik ($2a-1,b$)
$\begin{align} m_1 & = f^\prime ( 2a-1 ) \\ & = 2.(2a-1) + 3 \\ m_1 & = 4a + 1 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Fungsi : $ g(x) = \frac{1}{3}x^3 + 4x + 1 \rightarrow g^\prime ( x ) = x^2 + 4 $
gradien di titik ($a,c$)
$\begin{align} m_2 & = g^\prime ( a) \\ m_2 & = a^2 + 4 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Karena garisnya cuma satu, maka gradien garis singgungnya sama
$\begin{align} m_2 & = m_1 \\ a^2 + 4 & = 4a + 1 \\ a^2 -4a + 3 & = 0 \\ (a-1)(a-3) & = 0 \\ a=1 \vee a & = 3 \end{align}$
$\clubsuit \, $ Substitusi titik ($2a-1,b$) ke fungsi $ f(x) $
$\begin{align} (2a-1,b) \rightarrow f(x) & = x^2 + 3x - 1 \\ b & = (2a-1)^2 + 3(2a-1) - 1 \\ a = 1 \rightarrow b & = (2a-1)^2 + 3(2a-1) - 1 \\ b & = (2.1-1)^2 + 3(2.1-1) - 1 \\ b & = 1 + 3 - 1 = 3 \\ \text{sehingga } \, a+b & = 1 + 3 = 4 \\ a = 3 \rightarrow b & = (2a-1)^2 + 3(2a-1) - 1 \\ b & = (2.3-1)^2 + 3(2.3-1) - 1 \\ b & = 25 + 15 - 1 = 39 \\ \text{sehingga } \, a+b & = 3 + 39 = 42 \end{align}$
Jadi, nilai $ a + b \, $ adalah 4 atau 42. $ \heartsuit $
Nomor 4
Jika $ a = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^2-4}{2-\sqrt{x+2}} \, $ maka nilai $ 4 - a \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep Dasar
Turunan : $ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2 \sqrt{f(x)} } $
sehingga turunan dari : $ y = \sqrt{x+2} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x+2}} $
Penerapan turunan pada Limit :
$ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \, $ maka solusinya $ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f ^\prime (x)}{g^\prime (x)} \, $
sampai hasilnya tidak $ \frac{0}{0} \, $ lagi.
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $ a $
$\begin{align} a & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{x^2-4}{2-\sqrt{x+2}} = \frac{0}{0} \, \, \, \, \text{(diturunkan)} \\ a & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } \frac{2x}{- \frac{1}{2\sqrt{x+2}}} \\ a & = \displaystyle \lim_{x \to 2 } - 4x \sqrt{x+2} \\ a & = - 4.2 \sqrt{2+2} = -16 \end{align}$
Sehingga nilai : $ 4 - a = 4 - (-16) = 20 $
Jadi, $ 4 - a = 20 . \heartsuit $
Nomor 5
Jika matriks $ P = \left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix} \right) \, $ dan $ Q = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right) \, $ serta $ P^{-1} \, $ invers matriks $ P \, $ , maka determinan untuk matriks $ QP^{-1} \, $ adalah ....
Untuk penyelesaian soal determinan ini, kita tidak perlu mencari invers dan hasil perkaliannya terlebih dahulu karena akan memakan waktu yang cukup lama, sehingga penyelesaiannya langsung menggunakan sifat-sifat determinan.
$\clubsuit \, $ Konsep Matriks
Determinan : $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow \text{Det}(A) = |A| = a.d - b.c $
Sifat-sifat Determinan : $ |A.B| = |A|.|B| \, \, \, $ dan $ \, |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} $
$\clubsuit \, $ Menentukan determinan kedua matriks
$ P = \left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{matrix} \right) \rightarrow |P| = 3.2 - 4.1 = 6-4=2 $
$ Q = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & 3 \end{matrix} \right) \rightarrow |Q| = 1.3 - (-2.0) = 3-0=3 $
$\clubsuit \, $ Menentukan determinan soal dengan sifatnya
$\begin{align} |QP^{-1}| & = |Q| . |P^{-1}| \\ & = |Q| . \frac{1}{|P|} \\ & = 3 . \frac{1}{2} \\ |QP^{-1}| & = \frac{3}{2} \end{align}$
Jadi, determinan untuk matriks $ QP^{-1} \, $ adalah $ \frac{3}{2} . \heartsuit$
 
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20