Pembahasan Lingkaran UM UNDIP 2018 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan lingkaran dengan titik pusat berada pada kurva $ x = y^2 $ dan menyinggung sumbu Y adalah ...
A). $ x^2 + y^2 - 2b^2x - 2by + b^2 = 0 $
B). $ x^2 + y^2 - 2b^2x - 2by - b^2 = 0 $
C). $ x^2 + y^2 - 2b^2x - 2by + b^4 = 0 $
D). $ x^2 + y^2 - 2b^2x - 2by - b^4 = 0 $
E). $ x^2 + y^2 - 2b^2x - 2by + b^2 + b^4 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan lingkaran dengan pusat $ (a,b) $ dan jari-jari $ r $ :
$ \, \, \, \, \, \, \, \, (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Lingkaran berpusat $ ( a,b) $ menyinggung sumbu Y, maka jari-jarinya $ r = a $ . Begitu juga sebaliknya, jika menyinggung sumbu X maka jari-jarinya $ r = b $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan pusat lingkarannya $ (a,b) $. Karena lingkaran menyinggung sumbu Y, maka jari-jarinya $ r = a $.
*). Substitusi pusat $ (a,b) $ ke kurva $ x = y^2 $ :
$ \begin{align} (x,y) = (a,b) \rightarrow a & = b^2 \end{align} $
Sehingga jari-jarinya :
$ r = a = b^2 $
*). Persamaan lingkaran dengan pusat $ (a,b) $ dan $ r = b^2 $ :
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-b^2)^2 + (y-b)^2 & = (b^2)^2 \\ x^2 - 2b^2x + b^4 + y^2 - 2by + b^2 & = b^4 \\ x^2 + y^2 - 2b^2x - 2by + b^2 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaannya $ x^2 + y^2 - 2b^2x - 2by + b^2 = 0 . \, \heartsuit $