Pembahasan Barisan Aritmetika UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui barisan aritmetika dengan $ U_n $ menyatakan suku ke-$n$. Jika $ U_{k+2} = U_2 + kU_{16} - 2 $ , maka nilai $ U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} = .... $
A). $ \frac{2}{k} \, $ B). $ \frac{3}{k} \, $ C). $ \frac{4}{k} \, $ D). $ \frac{6}{k} \, $ E). $ \frac{8}{k} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, U_n = a + (n-1) b $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ b = \, $ beda
$ U_n = \, $ suku ke-$n$

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ U_{k+2} = U_2 + kU_{16} - 2 $
*). Menyederhakan yang diketahui :
$\begin{align} U_{k+2} & = U_2 + kU_{16} - 2 \\ a + (k+2-1)b & = (a+b) + k(a + (16-1)b) - 2 \\ a + (k+1)b & = (a+b) + k(a + 15b) - 2 \\ a + kb + b & = a+b + ka + 15kb - 2 \\ ka + 14kb & = 2 \\ k(a + 14b) & = 2 \\ a + 14b & = \frac{2}{k} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} $ :
$\begin{align} & U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} \\ & = (a+5b) + (a+11b) + (a + 17b) + (a + 23b) \\ & = 4a + 56b = 4( a + 14b) \\ & = 4. \frac{2}{k} = \frac{8}{k} \end{align} $
Jadi, nilai $ U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} = \frac{8}{k} . \, \heartsuit $