Pembahasan Deret Geometri UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Suatu tali dibagi menjadi tujuh bagian dengan panjang yang membentuk suatu barisan geometri. Jika yang paling pendek adalah 3 cm dan yang paling panjang 192 cm, maka panjang tali semula sama dengan ....
A). $ 379 \, $ B). $ 381 \, $ C). $ 383 \, $ D). $ 385 \, $ E). $ 387 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Geometri
*). Rumus suku ke-$n$ : $ U_n = a.r^{n-1} $
*). Rumus jumlah $ n $ suku pertama ($S_n$) :
$ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1 } $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal diketahui :
-). Tali dibagi menjadi 7 bagian, artinya ada 7 suku.
-). Tali terpendek : $ a = U_1 = 3 $
-). Bagian terpanjang : $ U_7 = 192 $.
*). Menentukan nilai $ r $ (rasio) :
$ \begin{align} U_7 & = 192 \\ ar^6 & = 192 \\ 3r^6 & = 192 \\ r^6 & = 64 \\ r & = 2 \end{align} $
*). Panjang tali semula, artinya jumlah dari ketujuh suku yang terbentuk atau jumlah dari 7 suku pertama $(S_7)$ :
$ \begin{align} S_n & = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1 } \\ S_7 & = \frac{3.(2^7 - 1)}{2 - 1 } \\ & = \frac{3.(128 - 1)}{1 } \\ & = 3.(127) = 381 \end{align} $
Jadi, panjang tali semua adalah 381 cm $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Eksponen UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Nilai $ x $ yang memenuhi persamaan $ 3.2^{4x} + 2^{2x} - 10 = 0 $ adalah ....
A). $ {}^2 \log 5 - {}^2 \log 3 \, $
B). $ \frac{1}{2}( {}^2 \log 5 - {}^2 \log 3) \, $
C). $ \frac{1}{2} {}^2 \log 5 - {}^2 \log 3 \, $
D). $ {}^2 \log 5 - \frac{1}{2} {}^2 \log 3 \, $
E). $ 2({}^2 \log 5 - {}^2 \log 3 ) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Eksponen : $ (a^m)^n = a^{m.n} = (a^n)^m $
*). Sifat logaritma :
$ {}^a \log \frac{b}{c} = {}^a \log b - {}^a \log c $
$ {}^a \log b = \frac{{}^p \log b}{{}^p \log a} $
*). Definisi logaritma :
$ a^c = b \rightarrow c = {}^a \log b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = 2^{2x} $ :
$ \begin{align} 3.2^{4x} + 2^{2x} - 10 & = 0 \\ 3.(2^{2x})^2 + 2^{2x} - 10 & = 0 \\ 3.(p)^2 + p - 10 & = 0 \\ (p+2)(3p-5) & = 0 \\ p = -2 \vee p & = \frac{5}{3} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ x $ :
$ \begin{align} p = -2 \rightarrow 2^{2x} & = -2 \\ \text{(tidak } & \text{ memenuhi)} \\ p = \frac{5}{3} \rightarrow 2^{2x} & = \frac{5}{3} \\ 2x & = {}^2 \log \frac{5}{3} \\ 2x & = {}^2 \log 5 - {}^2 \log 3 \\ x & = \frac{1}{2}\left( {}^2 \log 5 - {}^2 \log 3 \right) \end{align} $
Jadi, nilai $ x = \frac{1}{2}\left( {}^2 \log 5 - {}^2 \log 3 \right) . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Suku banyak $ f(x) = x^3 + ax^2 - bx - 5 $ dibagi dengan $ (x-2) $ memberikan hasil bagi $ x^2 + 4x + 11 $ dan sisa 17. Nilai $ a + b = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pembagian suku banyak :
$ \, \, \, \, \, \, f(x) = P(x).H(x) + S(x) $
Keterangan :
$ f(x) = \, $ suku banyak yang dibagi,
$ P(x) = \, $ pembaginya,
$ H(x) = \, $ hasilnya,
$ S(x) = \, $ sisa pembagiannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal diketahui :
$ f(x) = x^3 + ax^2 - bx - 5 , P(x) = x-2, $
$ H(x) = x^2 + 4x + 11 , S(x) = 17 $.
*). Menyusun pembagian suku banyaknya :
$ \begin{align} f(x) & = P(x).H(x) + S(x) \\ x^3 + ax^2 - bx - 5 & = (x-2)(x^2 + 4x + 11) + 17 \\ x^3 + ax^2 - bx - 5 & = x^3 + 4x^2 + 11x - 2x^2 - 8x - 22 + 17 \\ x^3 + ax^2 - bx - 5 & = x^3 + 2x^2 + 3x - 5 \end{align} $
Dari kesamaan di atas, kita peroleh :
$ a = 2 $ dan $ b = -3 $
Sehingga nilai $ a + b = 2 + (-3) = -1 $.
Jadi, nilai $ a + b = -1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Trigonometri UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Untuk $ 0 \leq x \leq \pi $ , penyelesaian pertaksamaan $ \cos 4x + 3\cos 2x - 1 < 0 $ adalah ....
A). $ \frac{\pi}{3} < x < \frac{2\pi}{3} \, $
B). $ \frac{\pi}{3} < x < \frac{5\pi}{6} \, $
C). $ \frac{\pi}{6} < x < \frac{2\pi}{3} \, $
D). $ \frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6} \, $
E). $ \frac{\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{6} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus sudut ganda :
$ \, \, \, \, \, \, \cos 2A = 2\cos ^2 A - 1 $
*). Bentuk $ \cos f(x) $ mempunyai nilai berkisar :
$ \, \, \, \, -1 \leq \cos f(x) \leq 1 $
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
1). Tentukan akar-akar (pembuat nol),
2). Buat garis bilangan dan tandanya (+ atau $ - $),
3). Arsir daerah diminta :
Jika ketaksamaannya $ < 0 $ , maka arsir negatif
Jika ketaksamaannya $ > 0 $ , maka arsir positif.
4). Buat himpunan penyelesaiannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar :
$ \begin{align} \cos 4x + 3\cos 2x - 1 & < 0 \\ \cos 2(2x) + 3\cos 2x - 1 & < 0 \\ (2\cos ^2 2x - 1) + 3\cos 2x - 1 & < 0 \\ \cos ^2 2x + 3\cos 2x - 2 & < 0 \\ (\cos 2x + 2)(2\cos 2x - 1) & < 0 \end{align} $
$ ( \cos 2x + 2 ) = 0 \rightarrow \cos 2x = -2 \, $ (tidak memenuhi)
$ (2\cos 2x - 1 ) = 0 \rightarrow \cos 2x = \frac{1}{2} $
Untuk $ 0 \leq x \leq \pi $ , maka
$ \cos 2x = \cos 60^\circ \rightarrow 2x = 60^\circ \rightarrow x = 30^\circ = \frac{\pi}{6} $
$ \cos 2x = \cos 300^\circ \rightarrow 2x = 300^\circ \rightarrow x = 150^\circ = \frac{5\pi}{6} $
Garis bilangannya :
 
Karena yang diminta $ < 0 $ , maka solusinya $ \frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6} $
Jadi, solusinya adalah $ \frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6} . \, \heartsuit $

Cara 3 Pembahasan Mutlak UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Himpunan jawab pertidaksamaan : $ |x-2|^2 - 4|x-2| < 12 $ adalah ....
A). $ \emptyset \, $
B). $ \{ x | x < 8 \} \, $
C). $ \{ x | -8 < x < 4 \} \, $
D). $ \{ x | -4 < x < 8 \} \, $
E). $ \{ x | x \text{ bilangan real} \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.

$\clubsuit \, $ Cara III : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=-9 \Rightarrow |x-2|^2 - 4|x-2| & < 12 \\ |-9-2|^2 - 4|-9-2| & < 12 \\ |-11|^2 - 4|-11| & < 12 \\ 121 - 44 & < 12 \\ 77 & < 12 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=-9$ BENAR, opsi yang salah B dan E.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=5 \Rightarrow |x-2|^2 - 4|x-2| & < 12 \\ |5-2|^2 - 4|5-2| & < 12 \\ |3|^2 - 4|3| & < 12 \\ 9 - 12 & < 12 \\ -3 & < 12 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=5$ BENAR, opsi yang salah A dan C.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi D (yang tersisia).
Jadi, solusinya adalah $ -4 < x < 8 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Mutlak UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Himpunan jawab pertidaksamaan : $ |x-2|^2 - 4|x-2| < 12 $ adalah ....
A). $ \emptyset \, $
B). $ \{ x | x < 8 \} \, $
C). $ \{ x | -8 < x < 4 \} \, $
D). $ \{ x | -4 < x < 8 \} \, $
E). $ \{ x | x \text{ bilangan real} \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat bentuk mutlak :
|f(x)|^2 = (f(x))^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ p = | x - 2| $ ($p$ positif).
*). Memfaktorkan :
$ \begin{align} |x-2|^2 - 4|x-2| & < 12 \\ |x-2|^2 - 4|x-2| - 12 & < 0 \\ p^2 - 4p - 12 & < 0 \\ (p + 2)(p-6) & < 0 \\ p = -2 \vee p & = 6 \end{align} $
*). Karena bentuk $ p = |x-2| $ selalu positif, maka $ p = 6 $ yang memenuhi, sehingga nilai $ x $ nya :
$ \begin{align} |x-2| & = p \\ |x-2| & = 6 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ |x-2|^2 & = 6^2 \\ (x-2)^2 & = 36 \\ x^2 - 4x + 4 & = 36 \\ x^2 - 4x -32 & = 0 \\ (x + 4)(x-8) & = 0 \\ x = -4 \vee x & = 8 \end{align} $
Garis bilangannya :
 
karena pada soal yang diminta $ < 0 $ , maka solusinya $ -4 < x < 8 $.
Jadi, solusinya adalah $ -4 < x < 8 . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Mutlak UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas

Himpunan jawab pertidaksamaan : $ |x-2|^2 - 4|x-2| < 12 $ adalah ....
A). $ \emptyset \, $
B). $ \{ x | x < 8 \} \, $
C). $ \{ x | -8 < x < 4 \} \, $
D). $ \{ x | -4 < x < 8 \} \, $
E). $ \{ x | x \text{ bilangan real} \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat pertidaksamaan mutlak :
$ |f(x)| < k \rightarrow -k < f(x) < k $
*). Bentuk $ A.B < 0 $ dan jika $ B > 0 $ ,
maka memiliki penyelesaian untuk $ A < 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Memfaktorkan :
$ \begin{align} |x-2|^2 - 4|x-2| & < 12 \\ |x-2|^2 - 4|x-2| - 12 & < 0 \\ (|x-2| + 2)(|x-2| - 6) & < 0 \end{align} $
*). Karena bentuk $ |x-2|+2 $ selalu positif, maka pertidaksamaan $ (|x-2| + 2)(|x-2| - 6) < 0 $ tergantung dari $ (|x-2|-6) < 0 $ yang memiliki penyelesaian :
$ \begin{align} (|x-2|-6)& < 0 \\ |x-2| & < 6 \, \, \, \, \, \, \text{(sifat mutlak)} \\ -6 < x & - 2 < 6 \, \, \, \, \, \, \text{(tambahkan 2)} \\ -6 + 2 < x & - 2 + 2 < 6 + 2 \\ -4 < & x < 8 \end{align} $
Jadi, solusinya adalah $ -4 < x < 8 . \, \heartsuit $