Soal yang Akan Dibahas
Luas daerah yang dibatasi oleh setengah lingkaran atas $ x^2 + y^2 = 4 $ dan parabola
$ y = x^2 - 4 $ sama dengan .... satuan luas.
A). $ 2\pi + 10\frac{2}{3} \, $ B). $ 2\pi + 9\frac{2}{3} \, $
C). $ 2\pi + 8\frac{2}{3} \, $ D). $ 2\pi + 7\frac{2}{3} \, $
E). $ 2\pi + 6\frac{2}{3} $
A). $ 2\pi + 10\frac{2}{3} \, $ B). $ 2\pi + 9\frac{2}{3} \, $
C). $ 2\pi + 8\frac{2}{3} \, $ D). $ 2\pi + 7\frac{2}{3} \, $
E). $ 2\pi + 6\frac{2}{3} $
$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran $ x^2+r^2 = r^2 $ berjari-jari $ r $ dengan
luas lingkaran $ = \pi r^2 $
*). Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = f(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ yang ada di bawah sumbu X :
Luas $ = -\int \limits_a^b f(x) dx $
*). Persamaan lingkaran $ x^2+r^2 = r^2 $ berjari-jari $ r $ dengan
luas lingkaran $ = \pi r^2 $
*). Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = f(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ yang ada di bawah sumbu X :
Luas $ = -\int \limits_a^b f(x) dx $
$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
-). Luas daerah arsiran diatas adalah daerah yang mau kita hitung luasnya yang kita bagi menjadi dua yaitu daerah pertama di atas sumbu X berupa setengah lingkaran dan daerah kedua di bawah sumbu X yang dibatasi oleh parabola.
*). Lingkaran $ x^2 + y^2 = 4 $ memiliki jari-jari $ r^2 = 4 \rightarrow r = 2 $ ,
Luas lingkaran $ = \pi r^2 = \pi .2^2 = 4\pi $
-). Luas daerah I $ = \frac{1}{2} \, $ luas lingkaran $ = \frac{1}{2}. 4\pi = 2\pi $
-). Luas daerah II : dibatasai oleh kurva $ y = x^2 - 4 $ dari $ -2 \leq x \leq 2 $
$ \begin{align} \text{Luas II } & = - \int \limits_{-2}^2 (x^2 - 4) dx \\ & = - [\frac{1}{3}x^3 - 4x]_{-2}^2 \\ & = -([\frac{1}{3}.2^3 - 4.2]- [\frac{1}{3}.(-2)^3 - 4.(-2)]) \\ & = -(\frac{8}{3} - 8 + \frac{8}{3} - 8 ) \\ & = -(\frac{16}{3} - \frac{24}{3} - \frac{24}{3} ) \\ & = -(- \frac{32}{3} ) = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} \end{align} $
*). Menentukan Luas total :
Luas total = Luas I + Luas II = $ 2\pi + 10\frac{2}{3} $
Jadi, luasnya adalah $ 2\pi + 10\frac{2}{3} . \, \heartsuit $
*). Ilustrasi gambar :
-). Luas daerah arsiran diatas adalah daerah yang mau kita hitung luasnya yang kita bagi menjadi dua yaitu daerah pertama di atas sumbu X berupa setengah lingkaran dan daerah kedua di bawah sumbu X yang dibatasi oleh parabola.
*). Lingkaran $ x^2 + y^2 = 4 $ memiliki jari-jari $ r^2 = 4 \rightarrow r = 2 $ ,
Luas lingkaran $ = \pi r^2 = \pi .2^2 = 4\pi $
-). Luas daerah I $ = \frac{1}{2} \, $ luas lingkaran $ = \frac{1}{2}. 4\pi = 2\pi $
-). Luas daerah II : dibatasai oleh kurva $ y = x^2 - 4 $ dari $ -2 \leq x \leq 2 $
$ \begin{align} \text{Luas II } & = - \int \limits_{-2}^2 (x^2 - 4) dx \\ & = - [\frac{1}{3}x^3 - 4x]_{-2}^2 \\ & = -([\frac{1}{3}.2^3 - 4.2]- [\frac{1}{3}.(-2)^3 - 4.(-2)]) \\ & = -(\frac{8}{3} - 8 + \frac{8}{3} - 8 ) \\ & = -(\frac{16}{3} - \frac{24}{3} - \frac{24}{3} ) \\ & = -(- \frac{32}{3} ) = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3} \end{align} $
*). Menentukan Luas total :
Luas total = Luas I + Luas II = $ 2\pi + 10\frac{2}{3} $
Jadi, luasnya adalah $ 2\pi + 10\frac{2}{3} . \, \heartsuit $
