Pembahasan Persamaan Garis UM UGM 2005 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Garis yang melalui titik potong garis $ x + 2y - 6 = 0 $ dan $ 3x + 2y - 2 = 0 $ serta tegak lurus garis $ x - 2y = 5 $ memotong sumbu-X di titik ....
A). $ (-5,0) \, $
B). $ (-2,0) \, $
C). $ (0,0) \, $
D). $ (2,0) \, $
E). $ (5,0) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan garis lurus melalui titik $ (x_1,y_1) $ dengan gradien $ m $ yaitu $ y - y_1 = m(x-x_1) $
*). Syarat dua garis tegak lurus : $ m_1.m_2 = -1 $.
*). Gradien garis $ ax + by = c $ adalah $ m = \frac{-a}{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan 
*). Menentukan titik potong :
$ \begin{array}{cc} 3x + 2y - 2 = 0 & \\ x + 2y - 6 = 0 & - \\ \hline 2x + 4 = 0 & \\ 2x = -4 & \\ x = -2 & \end{array} $
Pers(i): $ 3x + 2y - 2 = 0 \rightarrow 3. (-2) + 2y - 2 = 0 \rightarrow y = 4 $.
sehingga titik potongnya : $ ( -2, 4 ) $.
*). Gradien garis $ x - 2y = 5 \rightarrow m_1 = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} $
Karena garisnya tegak lurus, maka
$ m_1.m_2 = -1 \rightarrow \frac{1}{2}.m_2 = -1 \rightarrow m_2 = -2 $.
Artinya gradien garis yang mau kita cari adalah $ m = -2 $.
*). Persamaan garis melalui $ (x_1,y_1) = (-2,4) $ dan $ m = -2 $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x-x_1) \\ y - 4 & = -2(x-(-2)) \\ y - 4 & = -2(x+ 2) \end{align} $
*). Titik potong sumbu X, substitusi $ y = 0 $ :
$\begin{align} y - 4 & = -2(x+ 2) \\ 0 - 4 & = -2(x+ 2) \\ - 4 & = -2x - 4 \\ x & = 0 \end{align} $
Artinya titik potong sumbu X nya adalah $ (0,0) $ .
Jadi, titik potongnya adalah $ (0,0) . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma UM UGM 2005 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ {}^3 \log 5 = x $ dan $ {}^2 \log 3 = y $, maka $ {}^6 \log 15 \, $ sama dengan ....
A). $ \frac{y(x+1)}{y+1} $
B). $ \frac{x+1}{y+1} $
C). $ \frac{xy}{y+1} $
D). $ \frac{x}{y} $
E). $ xy $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat Logaritma :
$ {}^a \log b = \frac{{}^p \log b }{{}^p \log a} $
$ {}^a \log b = \frac{1 }{{}^b \log a} $
$ {}^a \log b.c = {}^a \log b + {}^a \log c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). DIketahu $ {}^3 \log 5 = x $ dan
$ {}^2 \log 3 = y \rightarrow {}^3 \log 2 = \frac{1}{y} $
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} {}^6 \log 15 & = \frac{{}^3 \log 15}{{}^3 \log 6} \\ & = \frac{{}^3 \log 15}{{}^3 \log 6} \\ & = \frac{{}^3 \log 5 . 3}{{}^3 \log 2.3} \\ & = \frac{{}^3 \log 5 + {}^3 \log 3}{{}^3 \log 3 + {}^3 \log 2} \\ & = \frac{x + 1}{1 + \frac{1}{y}} \\ & = \frac{x + 1}{1 + \frac{1}{y}} \times \frac{y}{y} \\ & = \frac{y(x + 1)}{y + 1} \end{align} $
Jadi, bentuk $ {}^6 \log 15 = \frac{y(x + 1)}{y + 1} . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2005 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x $ dan $ y $ memenuhi persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 14 \\ \frac{3}{x} + \frac{1}{y} = 20 \\ \end{array} \right. $
maka $ \frac{y}{x} = .... $
A). $ -4 \, $ B). $ -3 \, $ C). $ -2 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, bisa menggunakan eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ \frac{1}{x} = p $ dan $ \frac{1}{y} = q $, sistem persamaan menjadi :
$ \left\{ \begin{array}{c} p + 4q = 14 \\ 3p + q = 20 \\ \end{array} \right. $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \left\{ \begin{array}{c|c|cc} p + 4q = 14 & \times 3 & 3p + 12q = 42 & \\ 3p + q = 20 & \times 1 & 3p + q = 22 & - \\ \hline & & 11q = 22 & \\ & & q = 2 & \end{array} \right. $
pers(i): $ p + 4q = 14 \rightarrow p + 4. 2 = 14 \rightarrow p = 6 $
*). menentukan nilai $ x $ dan $ y $ :
$ p = 6 \rightarrow \frac{1}{x} = 6 \rightarrow x = \frac{1}{6} $
$ q = 2 \rightarrow \frac{1}{y} = 2 \rightarrow y = \frac{1}{2} $
*). Menentukan nilai $ \frac{y}{x} $ :
$\begin{align} \frac{y}{x} & = y : x \\ & = \frac{1}{2} : \frac{1}{6} \\ & = \frac{1}{2} \times \frac{6}{1} = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ \frac{y}{x} = 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2005 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai-nilai $ c $ agar salah satu akar persamaan $ x^2 + cx + 8 = 0 $ dua kali akar lainnya adalah ....
A). $ c = -10 \, $ atau $ c = 10 $
B). $ c = -8 \, $ atau $ c = 8 $
C). $ c = -6 \, $ atau $ c = 6 $
D). $ c = -4 \, $ atau $ c = 4 $
E). $ c = -2 \, $ atau $ c = 2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan Kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ dengan akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akarnya :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan kuadrat $ x^2 + cx + 8 = 0 $ :
Operasi akar-akarnya a;
$ x_1 + x_ 2 = - c \, $ atau $ c = -(x_1 + x_2) \, $ ....(i)
$ x_1.x_2 = 8 \, $ .....(ii)
*). Salah satu akar dua kali akar yang lainnya, dapat kita tulisnya : $ x_1 = 2x_2 \, $
*). Substitusi $ x_1 = 2x_2 $ ke pers(ii) :
$\begin{align} x_1.x_2 & = 8 \\ 2x_2.x_2 & = 8 \\ x_2^2 & = 4 \\ x_2 & = \pm \sqrt{4} = \pm 2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ c $ :
-). Untuk $ x_2 = 2 \rightarrow x_1 = 2x_2 = 2.2 = 4 $
pers(i): $ c = -(x_1 + x_2) = -(4 + 2) = -6 $
-). Untuk $ x_2 = - 2 \rightarrow x_1 = 2x_2 = 2.(-2) = -4 $
pers(i): $ c = -(x_1 + x_2) = -(-4 + - 2) = 6 $
Jadi, nilai $ c = -6 $ atau $ c = 6 . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks UM UGM 2005 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \left( \begin{matrix} x & y \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \sin \alpha & \cos \alpha \end{matrix} \right) $ dan $ \alpha $ konstanta, maka $ x + y $ sama dengan ....
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Invers matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
$ A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
*). Sifat invers :
$ A.B = C \rightarrow A = C.B^{-1} $
*). identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ x $ dan $ y $ :
$\begin{align} \left( \begin{matrix} x & y \end{matrix} \right) & \left( \begin{matrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \sin \alpha & \cos \alpha \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x & y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \sin \alpha & \cos \alpha \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{matrix} \right)^{-1} \\ & = \left( \begin{matrix} \sin \alpha & \cos \alpha \end{matrix} \right) \frac{1}{\sin ^2 x + \cos ^2 x } \left( \begin{matrix} \sin \alpha & - \cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \sin \alpha & \cos \alpha \end{matrix} \right) \frac{1}{1} \left( \begin{matrix} \sin \alpha & - \cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \sin \alpha & \cos \alpha \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} \sin \alpha & - \cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} \sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha & -\sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha \cos \alpha \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} x & y \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix} \right) \end{align} $
Artinya nilai $ x = 1 $ dan $ y = 0 $.
Sehingga $ x + y = 1 + 0 = 1 $.
Jadi, nilai $ x + y = 1 . \, \heartsuit $