Pembahasan Pertidaksamaan Logaritma UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi $ \frac{2x^{\log 4x}}{x^{\log 2x}} < \frac{1}{2} $ adalah ....
A). $ x < - 100 \, $
B). $ x < -10 \, $
C). $ 0 < x < \frac{1}{100} \, $
D). $ \frac{1}{100} < x < \frac{1}{10} \, $
E). $ 2 < x < 10 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat bentuk logaritma $ {}^a \log f(x) $ :
$ a > 0, a \neq 1 $ , dan $ f(x) > 0 $
*). Sifat logaritma :
1). $ {}^a \log a = 1 $
2). $ {}^a \log b. {}^b \log c = {}^a \log c $
3). $ {}^a \log (bc) = {}^a \log b + {}^a \log c $
4). $ n. {}^a \log b = {}^a \log b^n $
5). $ (a )^{ {}^a \log b } = b $
*). Bentuk $ \log b = {}^{10} \log b $
*). Sifat eksponen :
$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, $ (a^m)^n = a^{m.n} $ dan $ a^{m+n} = a^m.a^n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dari bentuk $ \frac{2x^{\log 4x}}{x^{\log 2x}} $ , syarat logaritmanya :
$ 4x > 0 \rightarrow x > 0 $ dan $ 2x > 0 \rightarrow x > 0 $ ,
dari kedua syarat, maka nilai $ x > 0 \, $ ....(HP1)
*). Menyederhanakan dan menyelesaikan soal
$ \begin{align} \frac{2x^{\log 4x}}{x^{\log 2x}} & < \frac{1}{2} \\ \frac{2x^{\log (2x . 2)}}{x^{\log 2x}} & < \frac{1}{2} \\ \frac{2x^{\log 2x + \log 2}}{x^{\log 2x}} & < \frac{1}{2} \\ \frac{2x^{\log 2x}.x^{ \log 2}}{x^{\log 2x}} & < \frac{1}{2} \\ \frac{2 x^{ \log 2}}{1} & < \frac{1}{2} \\ 2 x^{ \log 2} & < \frac{1}{2} \\ x^{ \log 2} & < \frac{1}{4} \\ x^{ {}^{10} \log 2} & < 2^{-2} \, \, \, \, \, \text{pangkatkan)} \\ (x^{ {}^{10} \log 2})^{{}^2 \log 10} & < (2^{-2})^{{}^2 \log 10} \\ x^{ {}^{10} \log 2. {}^2 \log 10} & < 2^{ -2. {}^2 \log 10} \\ x^{ {}^{10} \log 10} & < 2^{{}^2 \log 10 ^ {-2} } \\ x^{ 1} & < 10 ^ {-2} \\ x & < \frac{1}{100} \, \, \, \, \, \, \, \text{....(HP2)} \end{align} $
*). Solusi totalnya adalah irisan dari HP1 dan HP2
$ \begin{align} HP & = HP1 \cap HP2 \\ & = \{ x > 0 \} \cap \{ x < \frac{1}{100} \} \\ & = 0 < x < \frac{1}{100} \end{align} $
Jadi, nilai $ x $ yang memenuhi adalah $ 0 < x < \frac{1}{100} . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Fungsi Kuadrat UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Garis $ y = 2x + k $ memotong parabola $ y = x^2 - x + 3 $ di titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $. Jika $ x_1^2 + x_2^2 = 7 $ , maka nilai $ k = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menentukan titik potong dua buah kurva, bisa dengan cara substitusi.
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
-). Rumus bantu :
$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusi atau samakan persamaan garis dan parabola :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - x + 3 & = 2x + k \\ x^2 - 3x + (3 - k) & = 0 \\ a = 1 , b = -3 , c & = 3 - k \\ x_1 + x_2 & = \frac{-(-3)}{1} = 3 \\ x_1 . x_2 & = \frac{3-k}{1} = 3 - k \end{align} $
*). Menentukan nilai $ k $
$ \begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = 7 \\ (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 & = 7 \\ (3)^2 - 2( 3 - k) & = 7 \\ 9 - 6 + 2k & = 7 \\ 2k & = 4 \\ k & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ k = 2 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Suku Banyak UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Fungsi $ f(x) $ dibagi $ (x-1) $ sisanya 3, sedangkan jika dibagi $ (x-2) $ sisanya 4. Jika $ f(x) $ dibagi dengan $ x^2 - 3x + 2 $ , maka sisanya adalah ....
A). $ -x-2 \, $ B). $ x + 1 \, $
C). $ x + 2 \, $ D). $ 2x + 1 \, $
E). $ 4x - 1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Teorema sisa pada pembagian suku banyak :
Jika $ f(x) $ dibagi $ (x-a) $ maka sisa $ = f(a) $
Jika $ f(x) $ dibagi $ (x-a)(x-b) $ maka sisa $ = f(a) $ dan sisa $ = f(b) $
(substitusi akar pembaginya ke suku banyaknya)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Fungsi $ f(x) $ dibagi $ (x-1) $ sisanya 3
artinya sisa $ = f(1) \rightarrow f(1) = 3 $
*). Fungsi $ f(x) $ dibagi $ (x-2) $ sisanya 4
artinya sisa $ = f(2) \rightarrow f(2) = 4 $
*). Fungsi $ f(x) $ dibagi $ x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) $ memiliki sisa $ = f(1) $ dan sisa $ = f(2) $ serta kita misalkan sisanya $ s(x) = ax+b $, sehingga dapat kita susun persamaan :
$ \begin{align} \text{sisa } = f(1) \rightarrow s(1) & = f(1) \\ a.1+b & = 3 \\ a+b & = 3 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \\ \text{sisa } = f(2) \rightarrow s(2) & = f(2) \\ a.2+b & = 4 \\ 2a+b & = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} 2a + b = 4 & \\ a + b = 3 & - \\ \hline a = 1 & \end{array} $
Pers(i): $ a + b = 3 \rightarrow 1 + b = 3 \rightarrow b = 2 $.
Sehingga sisanya $ s(x) = ax+ b = 1.x + 2 = x+ 2 $
Jadi, sisa pembagiannya adalah $ x + 2 . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Transformasi UM UGM 2005 Matipa kode 612

Soal yang Akan Dibahas
Jika matriks $ \left( \begin{matrix} a & -3 \\ -4 & b \end{matrix} \right) $ mentransformasikan titik $(5,1) $ ke titik $ (7,-12)$ dan invernya mentransformasikan titik P ke titik $ (1,0) $, maka koordinat titik P adalah ....
A). $ (2,-4) \, $ B). $ (2,4) \, $ C). $ (-2,4) \, $ D). $ (-2,-4) \, $ E). $ (1,-3) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Menentukan bayangan transformasi :
$ \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) = (MT).\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) $
dengan MT = matriks transformasi.
*). Sifat invers matriks :
$ A = B^{-1}.C \rightarrow B.A = C $
*). Perkalian matriks = baris $ \times $ kolom

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada soal diketahui $ (x,y) = (5,1) $ dan $ (x^\prime , y^\prime ) = (7, -12) $, serta $ MT = \left( \begin{matrix} a & -3 \\ -4 & b \end{matrix} \right) $
*). Menentukan nilai $ a $ dan $ b $ dari transformasinya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT).\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 7 \\ -12 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a & -3 \\ -4 & b \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 5 \\ 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 7 \\ -12 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 5a - 3 \\ -20 + b \end{matrix} \right) \\ 7 & = 5a - 3 \rightarrow a = 2 \\ -12 & = -20 + b \rightarrow b = 8 \end{align} $
Sehingga matriks trasformasinya : $ MT = \left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ -4 & 8 \end{matrix} \right) $
*). Diketahui titik $ P(x,y) $ ditrasformasi oleh $ (MT)^{-1} $ menghasilkana $ P^\prime (1,0) $ :
dengan menggunakan sifat invers matriks dan transformasi :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = (MT)^{-1}.\left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ (MT). \left( \begin{matrix} x^\prime \\ y^\prime \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ -4 & 8 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2 \\ -4 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right) \end{align} $
Artinya titik $ P (2,-4) $.
Jadi, titik $ P (2,-4) . \, \heartsuit $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Soal dan Pembahasan UM UGM 2005 Matipa Kode 612


Nomor 1
Jika matriks $ \left( \begin{matrix} a & -3 \\ -4 & b \end{matrix} \right) $ mentransformasikan titik $(5,1) $ ke titik $ (6,-12)$ dan invernya mentransformasikan titik P ke titik $ (1,0) $, maka koordinat titik P adalah ....
A). $ (2,-4) \, $ B). $ (2,4) \, $ C). $ (-2,4) \, $ D). $ (-2,-4) \, $ E). $ (1,-3) $
Nomor 2
Fungsi $ f(x) $ dibagi $ (x-1) $ sisanya 3, sedangkan jika dibagi $ (x-2) $ sisanya 4. Jika $ f(x) $ dibagi dengan $ x^2 - 3x + 2 $ , maka sisanya adalah ....
A). $ -x-2 \, $ B). $ x + 1 \, $
C). $ x + 2 \, $ D). $ 2x + 1 \, $
E). $ 4x - 1 \, $
Nomor 3
Garis $ y = 2x + k $ memotong parabola $ y = x^2 - x + 3 $ di titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $. Jika $ x_1^2 + x_2^2 = 7 $ , maka nilai $ k = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 1 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $
Nomor 4
Penyelesaian pertidaksamaan $ 3 \sin 2x - \sqrt{3}\cos 2x < 3 $ , $ 0 \leq x \leq \pi $ , adalah ....
A). $ 0 \leq x < \frac{\pi}{4} \, $ atau $ \frac{5\pi}{12} < x < \leq \pi $
B). $ 0 \leq x < \frac{\pi}{3} \, $ atau $ \frac{7\pi}{12} < x < \leq \pi $
C). $ 0 \leq x < \frac{\pi}{4} \, $ atau $ \frac{\pi}{3} < x < \leq \pi $
D). $ 0 \leq x < \frac{\pi}{6} \, $ atau $ \frac{5\pi}{12} < x < \leq \pi $
E). $ 0 \leq x < \frac{\pi}{4} \, $ atau $ \frac{7\pi}{12} < x < \leq \pi $
Nomor 5
Nilai $ x $ yang memenuhi $ \frac{2x^{\log 4x}}{x^{\log 2x}} < \frac{1}{2} $ adalah ....
A). $ x < - 100 \, $
B). $ x < -10 \, $
C). $ 0 < x < \frac{1}{100} \, $
D). $ \frac{1}{100} < x < \frac{1}{10} \, $
E). $ 2 < x < 10 \, $

Nomor 6
$ \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\left(x - \frac{\pi}{4} \right) \tan \left(3x - \frac{3\pi}{4} \right)}{2(1 - \sin 2x)} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ -\frac{3}{2} \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ -\frac{3}{4} \, $ E). $ \frac{3}{4} \, $
Nomor 7
Sebuah segitiga siku-siku kelilingnya $ 3\sqrt{2} $. Nilai minimum panjang sisi miringnya adalah ....
A). $ 7\frac{1}{2} - 3\sqrt{2} \, $
B). $ 7 - 3\sqrt{2} \, $
C). $ 7 - 4\sqrt{2} \, $
D). $ 6 - 3\sqrt{2} \, $
E). $ 6 - 4\sqrt{2} $
Nomor 8
Jika jumlah empat suku pertama dan jumlah enam suku pertama suatu deret aritmetika berturut-turut adalah 56 dan 108, maka jumlah ke sepuluh suku pertama deret itu adalah ....
A). $ 164 \, $ B). $ 176 \, $ C). $ 200 \, $ D). $ 216 \, $ E). $ 260 $
Nomor 9
DIketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk $ a $. P adalah titik pada perpanjangan AE sehingga $ PE = \frac{1}{2}a $. Jika bidang PBD memotong bidang atas EFGH sepanjang QR, maka $ QR = .... $
A). $ \frac{1}{3}a \, $ B). $ \frac{1}{2}a \, $ C). $ \frac{1}{3}a\sqrt{2} \, $
D). $ \frac{1}{2}a\sqrt{2} \, $ E). $ \frac{2}{3}a\sqrt{2} \, $
Nomor 10
Nilai $ x $ diantara $ 0^\circ $ dan $ 360^\circ $ yang memenuhi persamaan $ \sqrt{3}\cos x - \sin x = \sqrt{2} $ adalah ....
A). $ 15^\circ \, $ dan $ 285^\circ $
B). $ 75^\circ \, $ dan $ 285^\circ $
C). $ 15^\circ \, $ dan $ 315^\circ $
D). $ 75^\circ \, $ dan $ 315^\circ $
E). $ 15^\circ \, $ dan $ 75^\circ $

Nomor 11
Pertidaksamaan $ |x^2 - 3 | < 2x $ mempunyai penyelesaian ....
A). $ -1 < x < 3 \, $
B). $ -3 < x < 1 \, $
C). $ 1 < x < 3 \, $
D). $ -3 < x < -1 \, $ atau $ 1 < x < 3 $
E). $ x > 1 $
Nomor 12
Jika $ f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2 + 1} $ , maka fungsi $ f $ naik pada selang ....
A). $ \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} , 0 \right) \, $
B). $ \left( 0, \frac{\sqrt{3}}{3} \right) \, $
C). $ \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} , \frac{\sqrt{3}}{3} \right) \, $
D). $ \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} , \infty \right) \, $
E). $ \left( \frac{\sqrt{3}}{3} , \infty \right) \, $
Nomor 13
Dua orang pergi nonton sepak bola. Stadion itu mempunyai 4 pintu dan mereka lewat pintu yang sama, tetapi keluar lewat puntu yang berlainan. Maka banyaknya cara yang dapat terjadi adalah ....
A). $ 4 \, $ B). $ 16 \, $ C). $ 24 \, $ D). $ 48 \, $ E). $ 12 \, $
Nomor 14
Anton membuat setigia sama-sisi dari segitiga-segitiga sama-sisi satuan (panjang sisi 1 satuan). Pada langkah pertama diperlukan 1 buah segitiga sama-sisi satuan. Pada langkah ke-2, dia menambahkan 3 buah segitiga satuan untuk mendapat segitiga sama-sisi 2 satuan. Pada langkah ke-3 ditambahkan 5 segitiga sama-sisi satuan untuk mendapat segitiga sama-sisi 3 satuan. Sampai dengan langkah ke-9, diperoleh segitiga sama-sisi satuan sebanyak ....
A). $ 13 \, $ B). $ 25 \, $ C). $ 36 \, $ D). $ 75 \, $ E). $ 81 \, $
Nomor 15
Nilai-nilai $ x $ yang memenuhi $ 0 \leq x \leq \pi $ dan $ {}^2 \log ^2 (\sin x) - {}^2 \log (\sin ^3 x) \leq 4 $ adalah ....
A). $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{6} \, $
B). $ \frac{\pi}{6} \leq x \leq \pi \, $
C). $ \frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{5\pi}{6} \, $
D). $ \frac{5\pi}{6} \leq x \leq \pi \, $
E). $ \frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{3} \, $

Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)