Processing math: 75%

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 634 tahun 2012 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Vektor x dicerminkan terhadap garis y=0 . Kemudian hasilnya diputar terhadap titik asal O sebesar θ > 0 searah jarum jam, menghasilkan vektor y . Jika y=Ax , maka matriks A=...
Menentukan matriks transformasinya :
* Pertama, dicerminkan terhadap garis y=0 (sumbu X )
T1=(1001)
** Kedua, dirotasi dengan pusat (0,0) sebesar θ searah jarum jam (θ negatif )
T2=(cos(θ)sin(θ)sin(θ)cos(θ))=(cosθsinθsinθcosθ)
Ingat : cos(x)=cosx dan sin(x)=sinx
Matriks gabungannya (MT) :
MT = T2 . T1 = (cosθsinθsinθcosθ)(1001)
y=Ax artinya A adalah matriks gabungannya, sehingga A = MT
Jadi, nilai A=(cosθsinθsinθcosθ)(1001).
Nomor 12
Himpunan A memenuhi hubungan {1}A{1,2,3,4,5,6} . Jika 6 adalah anggota A , maka banyak himpunan A yang mungkin adalah ...
Karena 1 adalah himpunan bagian dari A ({1}A ), maka A harus memuat angka 1
Dari soal, A juga sudah memuat angka 6, artinya A sudah memuat 2 anggota yaitu 1 dan 6. Sehingga angka yang bisa dipilih tinggal angka-angka 2,3,4, dan 5.
Banyakknya himpunan A berdasarkan banyak anggotanya :
* 2 anggota ada 1 himpunan
* 3 anggota ada C41=4 himpunan, maksudnya A telah memuat 1 dan 6 sehingga satu anggota lagi dipilih dari angka-angka 2,3,4,5 yaitu menggunakan kombinasi 1 dari 4.
* 4 anggota ada C42=6 himpunan
* 5 anggota ada C43=4 himpunan
* 6 anggota ada C44=1 himpunan
total himpunan = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 himpunan.
Jadi, banyak himpunan A yang mungkin ada 16 himpunan.
Nomor 13
Diketahui suku banyak p(x)=x2+bx+c . Jika b dan c dipilih secara acak dari selang [0,2], maka peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah ...
Karena b dan c dipilih pada selang [0,2] artinya nilai 0b2 dan 0c2 , yang mana ada tak hingga banyaknya angka, maka nilai n(A) dan n(S) diwakili oleh luasan.
snmptn_mat_ipa_k634_8_2012.png
n(S)=Luas Persegi=2×2=4
Agar p(x)=x2+bx+c tidak punya akar, maka nilai D<0
D<0b24ac<0b24.1.c<0b24c<0
Artinya nilai b dan c pada selang [0,2] harus memenuhi b24c<0
gambar b24c=0c=b24
snmptn_mat_ipa_k634_9_2012.png
Cek titik (b,c) = (0,1) ke b24c<0
b24c<0024×1<04<0(benar)
Artinya daerah yang memenuhi b24c<0 ada di dalam parabola seperti pada gambar di atas dan ada dalam selang [0,2] .
Daerah yang diarsir (M dan N ) merupakan nilai b dan c agar P(x) tidak punya akar.
Luas M = 2 . 1 = 2
Luas N = 23.Luas persegi panjang=23.2.1=43
sehingga : n(A)= Luas M + Luas N = 2 + 43=103
P(A)=n(A)n(S)=1034=56
Jadi, peluangnya adalah 56.
Nomor 14
Nilai 3sinxcosx<0 , jika ...
Menyederhanakan soal :
3sinxcosx<03sinx<cosxsinxcosx<13tanx<133tanx=tanπ6
Konsep dasar : tanx=tanθx=θ+k.π
x=π6+kπk=0x=π6+0.π=π6k=1x=π6+1.π=7π6k=2x=π6+2.π=13π6
snmptn_mat_ipa_k634_10_2012.png
Bentuk ketaksamaannya < , sehingga yang diarsir yang bertanda negatif.
Dari opsi, yang memenuhi selang bertanda negatif di atas adalah 7π6<x<11π7 .
Jadi, solusinya adalah HP = 7π6<x<11π7.

Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai x dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
Pilihx=π3sinxcosx<03sinπcosπ<03.0(1)<01<0(salah)
yang ada x=π salah, opsi yang salah adalah B, C, D, dan E.
Jadi, opsi yang benar adalah A yaitu HP = 7π6<x<11π7.
Nomor 15
Diketahui |u|=1 dan |v|=2 . Jika u dan v membentuk sudut 30o , maka (u+v).v=...
Rumus dasar : u.v=|u|×|v|cosθ dan v.v=|v|2
(u+v).v=u.v+v.v=|u|×|v|cosθ+|v|2=1×2×cos30o+(2)2=2×123+4=3+4
Jadi, nilai (u+v).v=3+4.
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 634 tahun 2012 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Diketahui kubus ABCD.EFGH . Jika α adalah sudut antara bidang ACF dan alas ABCD, maka tanα=...
Gambar : misalkan panjangnya 2
snmptn_mat_ipa_k634_3_2012.png snmptn_mat_ipa_k634_4_2012.png
Menentukan nilai tanα
(ACF,ABCD) = (FP,PB)
tanα=FBBP=22=2
Jadi, nilai tanα=2.
Nomor 7
Lingkaran (x4)2+(y2)2=64 menyinggung garis x=4 di titik ...
Substitusi x=4 ke persamaan
(x4)2+(y2)2=64(44)2+(y2)2=64(8)2+(y2)2=6464+(y2)2=64(y2)2=0y2=0y=2
Jadi, bersinggungan di titik (-4,2) .
Nomor 8
Jika suku banyak 2x3x2+6x1 dibagi 2x1 , maka sisanya adalah ...
Menentukan sisa dengan cara Horner
2x3x2+6x1:2x1
122161103+2062
Jadi, sisanya adalah 2 .

Cara II
Bagi biasa
snmptn_mat_ipa_k634_5_2012.png
Jadi, sisanya adalah 2 .

Cara III
Teorema sisa
f(x)axbSisa=f(ba)
f(x)=2x3x2+6x1:2x1
Sisa=f(12)=2.(12)3(12)2+6.(12)1=1414+31=2
Jadi, sisanya adalah 2 .
Nomor 9
Grafik fungsi f(x)=ax3+bx2cx+20 turun, jika ...
Syarat fungsi turun : f(x)<0
f(x)=ax3+bx2cx+20f(x)=3ax2+2bxc
f(x)<03ax2+2bxc<0
ini definit negatif, syarat : a<0,D<0
Menyelesaikan syarat definit negatif
()a<03a<0a<0
()D<0b24ac<0(2b)24.(3a).(c)<04b2+12ac<0(bagi 4)b2+3ac<0
Jadi, f(x) turun jika a<0 dan b2+3ac<0.
Nomor 10
Diketahui segitiga dengan titik sudut (-4,0), (4,0), dan (4cosθ,4sinθ ) untuk 0θ2π . Banyak nilai θ yang mungkin agar luas segitiga tersebut 13 adalah ....
Titik (x,y) = (4cosθ,4sinθ ) terletak pada suatu lingkaran
x2+y2=(4cosθ)2+(4sinθ)2=16cos2θ+16sin2θ=16(cos2θ+16sin2θ)=16×1x2+y2=16
Pusat lingkaran (0,0) dan jari-jari r=4
snmptn_mat_ipa_k634_6_2012.png
Menghitung tinggi segitiga
LΔABC=12 .AB. t13=12.8.tt=314
Ada 4 kemungkinan yang tingginya t=314 yang ada di kuadran I, II, III, IV
snmptn_mat_ipa_k634_7_2012.png
Jadi, banyak nilai θ ada 4.
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 634 tahun 2012


Nomor 1
lim
\clubsuit \, Rumus dasar
\sin ^2x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow 1-\cos ^2x = \sin ^2x
\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}
\clubsuit \, Menentukan limitnya
\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1-\cos ^2 x}{x^2 \tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right)} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ^2x}{x^2 \tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin x}{x} . \frac{\sin x}{x} . \frac{1}{ \tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right) } \\ & = \frac{1}{1} . \frac{1}{1} . \frac{1}{ \tan \left( 0 +\frac{\pi }{3} \right) } = \frac{1}{ \tan 60^o } \\ & = \frac{1}{ \sqrt{3} } = \frac{1}{3}\sqrt{3} \end{align*}
Jadi, nilai \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1-\cos ^2 x}{x^2 \tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right)} = \frac{1}{3}\sqrt{3} .\heartsuit
Nomor 2
Di dalam kotak terdapat 1 bola biru, 6 bola merah, dan 2 bola putih. Jika diambil 7 bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil dua kali banyak bola putih yang terambil adalah ...
\spadesuit \, Ada bola : 1B6M2P . Akan diambil 7 bola
n(S) = C_7^9 = 36
\spadesuit \, Harapannya : M = 2 \times P (merah dua kali putih), dibagi dua kasus
Kasus 1 :
putih 1, maka merah 2 dan biru harus 4 (umlahnya harus 7 bola), ini tidak mungkin karena bola biru hanya ada 1.
Kasus 2 :
putih 2, merah 4 dan biru 1 (memenuhi)
n(A) = 2P4M1B = C_2^2.C_4^6.C_1^1 = 15
Sehingga peluangnya : P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}
Jadi, peluangnya adalah \frac{5}{12} . \, \heartsuit
Nomor 3
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^2 , y=1 , dan x=2 adalah ...
\clubsuit \, Gambarnya
snmptn_mat_ipa_k634_1_2012.png
\clubsuit \, Menentukan luas arsiran
L_\text{arsiran} = \int \limits_1^2 (y_1 - y_2) dx = \int \limits_1^2 (x^2 - 1) dx
Jadi, luasnya adalah \int \limits_1^2 (x^2 - 1) dx . \heartsuit
Nomor 4
\frac{(\cos x + \sin x )^2}{(\cos x - \sin x )^2} = ...
\spadesuit \, Rumus dasar :
\sin ^2x + \cos ^2 x = 1
\sin 2x = 2\sin x \cos x
\spadesuit \, Menyelesaikan soal
\begin{align} \frac{(\cos x + \sin x )^2}{(\cos x - \sin x )^2} & = \frac{\sin ^2x + \cos ^2 x + 2\sin x \cos x }{\sin ^2x + \cos ^2 x - 2\sin x \cos x} \\ & = \frac{1 + 2\sin x \cos x }{1 - 2\sin x \cos x} \\ & = \frac{1 + \sin 2x }{1 - \sin 2x } \end{align}
Jadi, \frac{(\cos x + \sin x )^2}{(\cos x - \sin x )^2} = \frac{1 + \sin 2x }{1 - \sin 2x } . \heartsuit
Nomor 5
Lingkaran (x-3)^2+(y-4)^2=25 memotong sumbu X di titik A dan B . Jika P adalah titik pusat lingkaran tersebut, maka \cos \angle APB = ...
\clubsuit \, Unsur-unsur lingkaran :
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 , pusat (a,b) dan jari-jari r
(x-3)^2+(y-4)^2=25 , pusat (3,4) dan jari-jari r=\sqrt{25} = 5
\clubsuit \, gambarnya
snmptn_mat_ipa_k634_2_2012.png
\clubsuit \, Aturan cosinus pada \Delta ABC
\begin{align} AB^2 & = AP^2+ BP^2 - 2.AP.BP \cos APB \\ \cos APB & = \frac{AP^2 + BP^2 - AB^2}{2.AP.BP} \\ & = \frac{5^2 + 5^2 - 6^2}{2.5.5} = \frac{25 + 25 - 36}{50} = \frac{14}{50} = \frac{7}{25} \end{align}
Jadi, nilai \cos APB = \frac{7}{25} . \heartsuit
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15