dunia informa

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 634 tahun 2012 nomor 11 sampai 15

Nomor 11

Vektor

$\vec{x}$ dicerminkan terhadap garis

$y=0$ . Kemudian hasilnya diputar terhadap titik asal O sebesar

$\theta$ > 0 searah jarum jam, menghasilkan vektor

$\vec{y}$ . Jika

$\vec{y} = A\vec{x}$ , maka matriks

$A = ...$

$\clubsuit \,$ Menentukan matriks transformasinya :
* Pertama, dicerminkan terhadap garis

$y=0$ (sumbu X )
T

$_1=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)$
** Kedua, dirotasi dengan pusat (0,0) sebesar

$\theta$ searah jarum jam (

$\theta$ negatif )
T

$_2=\left( \begin{matrix} \cos (-\theta ) & -\sin (-\theta ) \\ \sin (-\theta ) & \cos (-\theta ) \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right)$
Ingat :

$\cos (-x) = \cos x$ dan

$\sin (-x) = -\sin x$

$\clubsuit \,$ Matriks gabungannya (MT) :
MT = T

$_2$ . T

$_1$ =

$\left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right)$

$\vec{y} = A\vec{x}$ artinya A adalah matriks gabungannya, sehingga A = MT
Jadi, nilai

$A = \left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right) . \heartsuit$

Nomor 12

Himpunan

$A$ memenuhi hubungan

$\{1\} \subset A \subset \{1,2,3,4,5,6\}$ . Jika 6 adalah anggota

$A$ , maka banyak himpunan

$A$ yang mungkin adalah ...

$\spadesuit \,$ Karena 1 adalah himpunan bagian dari A (

$\{1\} \subset A$ ), maka A harus memuat angka 1
Dari soal, A juga sudah memuat angka 6, artinya A sudah memuat 2 anggota yaitu 1 dan 6. Sehingga angka yang bisa dipilih tinggal angka-angka 2,3,4, dan 5.

$\spadesuit \,$ Banyakknya himpunan A berdasarkan banyak anggotanya :
* 2 anggota ada 1 himpunan
* 3 anggota ada

$C_1^4 = 4$ himpunan, maksudnya A telah memuat 1 dan 6 sehingga satu anggota lagi dipilih dari angka-angka 2,3,4,5 yaitu menggunakan kombinasi 1 dari 4.
* 4 anggota ada

$C_2^4 = 6$ himpunan
* 5 anggota ada

$C_3^4 = 4$ himpunan
* 6 anggota ada

$C_4^4 = 1$ himpunan
total himpunan = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 himpunan.
Jadi, banyak himpunan A yang mungkin ada 16 himpunan.

$\heartsuit$

Nomor 13

Diketahui suku banyak

$p(x) = x^2+bx+c$ . Jika

$b$ dan

$c$ dipilih secara acak dari selang [0,2], maka peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah ...

$\spadesuit \,$ Karena

$b$ dan

$c$ dipilih pada selang [0,2] artinya nilai

$0 \leq b \leq 2$ dan

$0 \leq c \leq 2$ , yang mana ada tak hingga banyaknya angka, maka nilai

$n(A)$ dan

$n(S)$ diwakili oleh luasan.

$n(S) = \text{Luas Persegi} = 2\times 2 = 4$

$\spadesuit \,$ Agar

$p(x) = x^2+bx+c \, \,$ tidak punya akar, maka nilai

$D < 0$

$\begin{align} D < 0 \rightarrow b^2 - 4ac & < 0 \\ b^2 - 4.1.c & < 0 \\ b^2 - 4c & < 0 \end{align}$
Artinya nilai

$b$ dan

$c$ pada selang [0,2] harus memenuhi

$b^2 - 4c < 0$

$\spadesuit \,$ gambar

$b^2 - 4c = 0 \rightarrow c = \frac{b^2}{4}$

$\spadesuit \,$ Cek titik (b,c) = (0,1) ke

$b^2 - 4c < 0$

$\begin{align} b^2 - 4c & < 0 \\ 0^2-4\times 1 & < 0 \\ -4 & < 0 \, \, \, \text{(benar)} \end{align}$
Artinya daerah yang memenuhi

$b^2 - 4c < 0 \, \,$ ada di dalam parabola seperti pada gambar di atas dan ada dalam selang [0,2] .

$\spadesuit \,$ Daerah yang diarsir (M dan N ) merupakan nilai

$b$ dan

$c$ agar

$P(x)$ tidak punya akar.
Luas M = 2 . 1 = 2
Luas N =

$\frac{2}{3}. \text{Luas persegi panjang} = \frac{2}{3} . 2 . 1 = \frac{4}{3}$
sehingga :

$n(A) =$ Luas M + Luas N = 2 +

$\frac{4}{3} = \frac{10}{3}$

$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{\frac{10}{3}}{4}= \frac{5}{6}$
Jadi, peluangnya adalah

$\frac{5}{6} . \heartsuit$

Nomor 14

Nilai

$\sqrt{3} \sin x - \cos x < 0$ , jika ...

$\spadesuit \,$ Menyederhanakan soal :

$\begin{align*} \sqrt{3} \sin x - \cos x & < 0 \\ \sqrt{3} \sin x < \cos x \\ \frac{\sin x }{\cos x } & < \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \tan x & < \frac{1}{3} \sqrt{3} \\ \tan x & = \tan \frac{\pi}{6} \end{align*}$

$\spadesuit \,$ Konsep dasar :

$\tan x = \tan \theta \rightarrow x = \theta + k.\pi$

$\begin{align*} x & = \frac{\pi}{6} + k\pi \\ k=0 \rightarrow x & = \frac{\pi}{6} + 0.\pi = \frac{\pi}{6} \\ k=1 \rightarrow x & = \frac{\pi}{6} + 1.\pi = \frac{7\pi}{6} \\ k=2 \rightarrow x & = \frac{\pi}{6} + 2.\pi = \frac{13\pi}{6} \end{align*}$

Bentuk ketaksamaannya

$<$ , sehingga yang diarsir yang bertanda negatif.
Dari opsi, yang memenuhi selang bertanda negatif di atas adalah

$\frac{7\pi}{6} < x < \frac{11\pi}{7} \,$ .
Jadi, solusinya adalah HP =

$\frac{7\pi}{6} < x < \frac{11\pi}{7} . \heartsuit$

Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai

$x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.

$\begin{align*} \text{Pilih} \, x=\pi \Rightarrow \sqrt{3} \sin x - \cos x & < 0 \\ \sqrt{3} \sin \pi - \cos \pi & < 0 \\ \sqrt{3} . 0 - (-1) & < 0 \\ 1 & < 0 \, \, \text{(salah)} \end{align*}$
yang ada

$x=\pi$ salah, opsi yang salah adalah B, C, D, dan E.
Jadi, opsi yang benar adalah A yaitu HP =

$\frac{7\pi}{6} < x < \frac{11\pi}{7} . \heartsuit$

Nomor 15

Diketahui

$|\vec{u}|=1$ dan

$|\vec{v}|=2$ . Jika

$\vec{u}$ dan

$\vec{v}$ membentuk sudut 30

$^o$ , maka (

$\vec{u}+\vec{v} ) . \vec{v} = ...$

$\clubsuit \,$ Rumus dasar :

$\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}|\times |\vec{v}| \cos \theta \, \, \,$ dan

$\, \, \, \vec{v} . \vec{v} = |\vec{v}|^2$

$\begin{align*} (\vec{u}+\vec{v} ) . \vec{v} & = \vec{u} . \vec{v} + \vec{v} . \vec{v} \\ & = |\vec{u}|\times |\vec{v}| \cos \theta + |\vec{v}|^2 \\ & = 1 \times 2 \times \cos 30^o + (2)^2 \\ & = 2 \times \frac{1}{2} \sqrt{3} + 4 \\ & = \sqrt{3} + 4 \end{align*}$
Jadi, nilai

$(\vec{u}+\vec{v} ) . \vec{v} = \sqrt{3} + 4 . \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 634 tahun 2012 nomor 6 sampai 10

Nomor 6

Diketahui kubus ABCD.EFGH . Jika

$\alpha$ adalah sudut antara bidang ACF dan alas ABCD, maka

$\tan \alpha = ...$

$\spadesuit \,$ Gambar : misalkan panjangnya 2

$\spadesuit \,$ Menentukan nilai

$\tan \alpha$

$\angle$ (ACF,ABCD) =

$\angle$ (FP,PB)

$\tan \alpha = \frac{FB}{BP} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
Jadi, nilai

$\tan \alpha = \sqrt{2} . \heartsuit$

Nomor 7

Lingkaran

$(x-4)^2 + (y-2)^2 = 64$ menyinggung garis

$x=-4$ di titik ...

$\clubsuit \,$ Substitusi

$x=-4$ ke persamaan

$\begin{align} (x-4)^2 + (y-2)^2 & = 64 \\ (-4-4)^2 + (y-2)^2 & = 64 \\ (-8)^2 + (y-2)^2 & = 64 \\ 64 + (y-2)^2 & = 64 \\ (y-2)^2 & = 0 \\ y-2 & = 0 \\ y & = 2 \end{align}$
Jadi, bersinggungan di titik (-4,2) .

$\heartsuit$

Nomor 8

Jika suku banyak

$2x^3-x^2+6x-1$ dibagi

$2x-1$ , maka sisanya adalah ...

$\spadesuit \,$ Menentukan sisa dengan cara Horner

$2x^3-x^2+6x-1 : 2x-1$

$\begin{array}{c|ccccc} \frac{1}{2} & 2 & -1 & 6 & -1 & \\ & & 1 & 0 & 3 & + \\ \hline & 2 & 0 & 6 & 2 & \end{array}$
Jadi, sisanya adalah 2 .

$\heartsuit$

Cara II

$\spadesuit \,$ Bagi biasa

Jadi, sisanya adalah 2 .

$\heartsuit$

Cara III

$\spadesuit \,$ Teorema sisa

$\frac{f(x)}{ax-b} \rightarrow \text{Sisa} \, = f\left( \frac{b}{a} \right)$

$f(x) = 2x^3-x^2+6x-1 : 2x-1$

$\begin{align*} \text{Sisa} \, & = f\left( \frac{1}{2} \right) \\ & = 2.\left( \frac{1}{2} \right)^3-\left( \frac{1}{2} \right)^2+6.\left( \frac{1}{2} \right)-1 \\ & = \frac{1}{4}-\frac{1}{4}+3-1 \\ & = 2 \end{align*}$
Jadi, sisanya adalah 2 .

$\heartsuit$

Nomor 9

Grafik fungsi

$f(x)=ax^3+bx^2-cx+20$ turun, jika ...

$\clubsuit \,$ Syarat fungsi turun :

$f^\prime (x) < 0$

$f(x)=ax^3+bx^2-cx+20 \rightarrow f^\prime (x) = 3ax^2+2bx-c$

$f^\prime (x) < 0 \rightarrow 3ax^2+2bx-c < 0$
ini definit negatif, syarat :

$a < 0 , \, D < 0$

$\clubsuit \,$ Menyelesaikan syarat definit negatif

$(*) \, a < 0 \rightarrow 3a < 0 \rightarrow a < 0$

$\begin{align*} (**) \, D < 0 \rightarrow b^2-4ac & < 0 \\ (2b)^2-4.(3a).(-c) & < 0 \\ 4b^2 + 12ac & < 0 \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ b^2 + 3ac & < 0 \end{align*}$
Jadi,

$f(x)$ turun jika

$a < 0$ dan

$b^2 + 3ac < 0 . \heartsuit$

Nomor 10

Diketahui segitiga dengan titik sudut (-4,0), (4,0), dan (

$4\cos \theta , \, 4\sin \theta$ ) untuk

$0 \leq \theta \leq 2\pi$ . Banyak nilai

$\theta$ yang mungkin agar luas segitiga tersebut 13 adalah ....

$\spadesuit \,$ Titik (

$x,y$ ) = (

$4\cos \theta , \, 4\sin \theta$ ) terletak pada suatu lingkaran

$\begin{align*} x^2+y^2 & = (4\cos \theta)^2+(4\sin \theta)^2 \\ & = 16 \cos ^2 \theta + 16 \sin ^2 \theta \\ & = 16 (\cos ^2 \theta + 16 \sin ^2 \theta) \\ & = 16 \times 1 \\ x^2+y^2 & = 16 \end{align*}$
Pusat lingkaran (0,0) dan jari-jari

$r=4$

$\spadesuit \,$ Menghitung tinggi segitiga
L

$\Delta ABC = \frac{1}{2}$ .AB.

$t \rightarrow 13 = \frac{1}{2}.8.t \rightarrow t=3\frac{1}{4}$
Ada 4 kemungkinan yang tingginya

$t= 3\frac{1}{4}$ yang ada di kuadran I, II, III, IV

Jadi, banyak nilai

$\theta$ ada 4.

$\heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 634 tahun 2012

Nomor 1

$\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1-\cos ^2 x}{x^2 \tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right)} = ...$

$\clubsuit \,$ Rumus dasar

$\sin ^2x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow 1-\cos ^2x = \sin ^2x$

$\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}$

$\clubsuit \,$ Menentukan limitnya

$\begin{align*} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1-\cos ^2 x}{x^2 \tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right)} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ^2x}{x^2 \tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin x}{x} . \frac{\sin x}{x} . \frac{1}{ \tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right) } \\ & = \frac{1}{1} . \frac{1}{1} . \frac{1}{ \tan \left( 0 +\frac{\pi }{3} \right) } = \frac{1}{ \tan 60^o } \\ & = \frac{1}{ \sqrt{3} } = \frac{1}{3}\sqrt{3} \end{align*}$
Jadi, nilai

$\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1-\cos ^2 x}{x^2 \tan \left( x+\frac{\pi }{3} \right)} = \frac{1}{3}\sqrt{3} .\heartsuit$

Nomor 2

Di dalam kotak terdapat 1 bola biru, 6 bola merah, dan 2 bola putih. Jika diambil 7 bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola merah yang terambil dua kali banyak bola putih yang terambil adalah ...

$\spadesuit \,$ Ada bola : 1B6M2P . Akan diambil 7 bola

$n(S) = C_7^9 = 36$

$\spadesuit \,$ Harapannya : M = 2

$\times$ P (merah dua kali putih), dibagi dua kasus
Kasus 1 :
putih 1, maka merah 2 dan biru harus 4 (umlahnya harus 7 bola), ini tidak mungkin karena bola biru hanya ada 1.
Kasus 2 :
putih 2, merah 4 dan biru 1 (memenuhi)

$n(A) =$ 2P4M1B =

$C_2^2.C_4^6.C_1^1 = 15$
Sehingga peluangnya :

$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$
Jadi, peluangnya adalah

$\frac{5}{12} . \, \heartsuit$

Nomor 3

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

$y=x^2$ ,

$y=1$ , dan

$x=2$ adalah ...

$\clubsuit \,$ Gambarnya

$\clubsuit \,$ Menentukan luas arsiran

$L_\text{arsiran} = \int \limits_1^2 (y_1 - y_2) dx = \int \limits_1^2 (x^2 - 1) dx$
Jadi, luasnya adalah

$\int \limits_1^2 (x^2 - 1) dx . \heartsuit$

Nomor 4

$\frac{(\cos x + \sin x )^2}{(\cos x - \sin x )^2} = ...$

$\spadesuit \,$ Rumus dasar :

$\sin ^2x + \cos ^2 x = 1$

$\sin 2x = 2\sin x \cos x$

$\spadesuit \,$ Menyelesaikan soal

$\begin{align} \frac{(\cos x + \sin x )^2}{(\cos x - \sin x )^2} & = \frac{\sin ^2x + \cos ^2 x + 2\sin x \cos x }{\sin ^2x + \cos ^2 x - 2\sin x \cos x} \\ & = \frac{1 + 2\sin x \cos x }{1 - 2\sin x \cos x} \\ & = \frac{1 + \sin 2x }{1 - \sin 2x } \end{align}$
Jadi,

$\frac{(\cos x + \sin x )^2}{(\cos x - \sin x )^2} = \frac{1 + \sin 2x }{1 - \sin 2x } . \heartsuit$

Nomor 5

Lingkaran

$(x-3)^2+(y-4)^2=25$ memotong sumbu X di titik

$A$ dan

$B$ . Jika

$P$ adalah titik pusat lingkaran tersebut, maka

$\cos \angle APB = ...$

$\clubsuit \,$ Unsur-unsur lingkaran :

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ , pusat (

$a,b$ ) dan jari-jari

$r$

$(x-3)^2+(y-4)^2=25$ , pusat (

$3,4$ ) dan jari-jari

$r=\sqrt{25} = 5$

$\clubsuit \,$ gambarnya

$\clubsuit \,$ Aturan cosinus pada

$\Delta ABC$

$\begin{align} AB^2 & = AP^2+ BP^2 - 2.AP.BP \cos APB \\ \cos APB & = \frac{AP^2 + BP^2 - AB^2}{2.AP.BP} \\ & = \frac{5^2 + 5^2 - 6^2}{2.5.5} = \frac{25 + 25 - 36}{50} = \frac{14}{50} = \frac{7}{25} \end{align}$
Jadi, nilai

$\cos APB = \frac{7}{25} . \heartsuit$

Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15

Pages - Menu

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 634 tahun 2012 nomor 11 sampai 15

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 634 tahun 2012 nomor 6 sampai 10

Pembahasan Soal SNMPTN Matematika IPA kode 634 tahun 2012