Nomor 11
Vektor →x dicerminkan terhadap garis y=0 . Kemudian hasilnya diputar terhadap titik asal O sebesar θ > 0
searah jarum jam, menghasilkan vektor →y . Jika →y=A→x , maka matriks A=...
♣ Menentukan matriks transformasinya :
* Pertama, dicerminkan terhadap garis y=0 (sumbu X )
T1=(100−1)
** Kedua, dirotasi dengan pusat (0,0) sebesar θ searah jarum jam (θ negatif )
T2=(cos(−θ)−sin(−θ)sin(−θ)cos(−θ))=(cosθsinθ−sinθcosθ)
Ingat : cos(−x)=cosx dan sin(−x)=−sinx
♣ Matriks gabungannya (MT) :
MT = T2 . T1 = (cosθsinθ−sinθcosθ)(100−1)
→y=A→x artinya A adalah matriks gabungannya, sehingga A = MT
Jadi, nilai A=(cosθsinθ−sinθcosθ)(100−1).♡
* Pertama, dicerminkan terhadap garis y=0 (sumbu X )
T1=(100−1)
** Kedua, dirotasi dengan pusat (0,0) sebesar θ searah jarum jam (θ negatif )
T2=(cos(−θ)−sin(−θ)sin(−θ)cos(−θ))=(cosθsinθ−sinθcosθ)
Ingat : cos(−x)=cosx dan sin(−x)=−sinx
♣ Matriks gabungannya (MT) :
MT = T2 . T1 = (cosθsinθ−sinθcosθ)(100−1)
→y=A→x artinya A adalah matriks gabungannya, sehingga A = MT
Jadi, nilai A=(cosθsinθ−sinθcosθ)(100−1).♡
Nomor 12
Himpunan A memenuhi hubungan {1}⊂A⊂{1,2,3,4,5,6} . Jika 6 adalah anggota A , maka banyak himpunan
A yang mungkin adalah ...
♠ Karena 1 adalah himpunan bagian dari A ({1}⊂A ), maka A harus memuat angka 1
Dari soal, A juga sudah memuat angka 6, artinya A sudah memuat 2 anggota yaitu 1 dan 6. Sehingga angka yang bisa dipilih tinggal angka-angka 2,3,4, dan 5.
♠ Banyakknya himpunan A berdasarkan banyak anggotanya :
* 2 anggota ada 1 himpunan
* 3 anggota ada C41=4 himpunan, maksudnya A telah memuat 1 dan 6 sehingga satu anggota lagi dipilih dari angka-angka 2,3,4,5 yaitu menggunakan kombinasi 1 dari 4.
* 4 anggota ada C42=6 himpunan
* 5 anggota ada C43=4 himpunan
* 6 anggota ada C44=1 himpunan
total himpunan = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 himpunan.
Jadi, banyak himpunan A yang mungkin ada 16 himpunan. ♡
Dari soal, A juga sudah memuat angka 6, artinya A sudah memuat 2 anggota yaitu 1 dan 6. Sehingga angka yang bisa dipilih tinggal angka-angka 2,3,4, dan 5.
♠ Banyakknya himpunan A berdasarkan banyak anggotanya :
* 2 anggota ada 1 himpunan
* 3 anggota ada C41=4 himpunan, maksudnya A telah memuat 1 dan 6 sehingga satu anggota lagi dipilih dari angka-angka 2,3,4,5 yaitu menggunakan kombinasi 1 dari 4.
* 4 anggota ada C42=6 himpunan
* 5 anggota ada C43=4 himpunan
* 6 anggota ada C44=1 himpunan
total himpunan = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 himpunan.
Jadi, banyak himpunan A yang mungkin ada 16 himpunan. ♡
Nomor 13
Diketahui suku banyak p(x)=x2+bx+c . Jika b dan c dipilih secara acak dari selang [0,2], maka peluang suku
banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah ...
♠ Karena b dan c dipilih pada selang [0,2] artinya nilai 0≤b≤2
dan 0≤c≤2 , yang mana ada tak hingga banyaknya angka,
maka nilai n(A) dan n(S) diwakili oleh luasan.
n(S)=Luas Persegi=2×2=4
♠ Agar p(x)=x2+bx+c tidak punya akar, maka nilai D<0
D<0→b2−4ac<0b2−4.1.c<0b2−4c<0
Artinya nilai b dan c pada selang [0,2] harus memenuhi b2−4c<0
♠ gambar b2−4c=0→c=b24
♠ Cek titik (b,c) = (0,1) ke b2−4c<0
b2−4c<002−4×1<0−4<0(benar)
Artinya daerah yang memenuhi b2−4c<0 ada di dalam parabola seperti pada gambar di atas dan ada dalam selang [0,2] .
♠ Daerah yang diarsir (M dan N ) merupakan nilai b dan c agar P(x) tidak punya akar.
Luas M = 2 . 1 = 2
Luas N = 23.Luas persegi panjang=23.2.1=43
sehingga : n(A)= Luas M + Luas N = 2 + 43=103
P(A)=n(A)n(S)=1034=56
Jadi, peluangnya adalah 56.♡
n(S)=Luas Persegi=2×2=4
♠ Agar p(x)=x2+bx+c tidak punya akar, maka nilai D<0
D<0→b2−4ac<0b2−4.1.c<0b2−4c<0
Artinya nilai b dan c pada selang [0,2] harus memenuhi b2−4c<0
♠ gambar b2−4c=0→c=b24
♠ Cek titik (b,c) = (0,1) ke b2−4c<0
b2−4c<002−4×1<0−4<0(benar)
Artinya daerah yang memenuhi b2−4c<0 ada di dalam parabola seperti pada gambar di atas dan ada dalam selang [0,2] .
♠ Daerah yang diarsir (M dan N ) merupakan nilai b dan c agar P(x) tidak punya akar.
Luas M = 2 . 1 = 2
Luas N = 23.Luas persegi panjang=23.2.1=43
sehingga : n(A)= Luas M + Luas N = 2 + 43=103
P(A)=n(A)n(S)=1034=56
Jadi, peluangnya adalah 56.♡
Nomor 14
Nilai √3sinx−cosx<0 , jika ...
♠ Menyederhanakan soal :
√3sinx−cosx<0√3sinx<cosxsinxcosx<1√3tanx<13√3tanx=tanπ6
♠ Konsep dasar : tanx=tanθ→x=θ+k.π
x=π6+kπk=0→x=π6+0.π=π6k=1→x=π6+1.π=7π6k=2→x=π6+2.π=13π6
Bentuk ketaksamaannya < , sehingga yang diarsir yang bertanda negatif.
Dari opsi, yang memenuhi selang bertanda negatif di atas adalah 7π6<x<11π7 .
Jadi, solusinya adalah HP = 7π6<x<11π7.♡
√3sinx−cosx<0√3sinx<cosxsinxcosx<1√3tanx<13√3tanx=tanπ6
♠ Konsep dasar : tanx=tanθ→x=θ+k.π
x=π6+kπk=0→x=π6+0.π=π6k=1→x=π6+1.π=7π6k=2→x=π6+2.π=13π6
Bentuk ketaksamaannya < , sehingga yang diarsir yang bertanda negatif.
Dari opsi, yang memenuhi selang bertanda negatif di atas adalah 7π6<x<11π7 .
Jadi, solusinya adalah HP = 7π6<x<11π7.♡
Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai x dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
Pilihx=π⇒√3sinx−cosx<0√3sinπ−cosπ<0√3.0−(−1)<01<0(salah)
yang ada x=π salah, opsi yang salah adalah B, C, D, dan E.
Jadi, opsi yang benar adalah A yaitu HP = 7π6<x<11π7.♡
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai x dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
Pilihx=π⇒√3sinx−cosx<0√3sinπ−cosπ<0√3.0−(−1)<01<0(salah)
yang ada x=π salah, opsi yang salah adalah B, C, D, dan E.
Jadi, opsi yang benar adalah A yaitu HP = 7π6<x<11π7.♡
Nomor 15
Diketahui |→u|=1 dan |→v|=2 . Jika →u dan →v membentuk sudut 30o , maka (→u+→v).→v=...
♣ Rumus dasar :
→u.→v=|→u|×|→v|cosθ dan →v.→v=|→v|2
(→u+→v).→v=→u.→v+→v.→v=|→u|×|→v|cosθ+|→v|2=1×2×cos30o+(2)2=2×12√3+4=√3+4
Jadi, nilai (→u+→v).→v=√3+4.♡
(→u+→v).→v=→u.→v+→v.→v=|→u|×|→v|cosθ+|→v|2=1×2×cos30o+(2)2=2×12√3+4=√3+4
Jadi, nilai (→u+→v).→v=√3+4.♡