Pembahasan Garis Singgung UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Jika garis singgung kurva $ y = x^3 - 3x^2 - 9x $ di titik $ (a,b) $ mempunyai gradien 15, maka nilai $ a + b $ yang mungkin adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -4 \, $ D). $ -6 \, $ E). $ -8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1,y_1) $ :
-).Gradien garis singgungnya : $ m = f^\prime (x_1) $ atau $ f^\prime (x_1) = m $
-). Titik singgung $ (x_1,y_1) $ dapat disubstitusikan ke fungsi kurvanya.
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = cx \rightarrow y^\prime = c $
$ y = cx^n \rightarrow y^\prime = n.cx^{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Garis singgung kurva $ y = x^3 - 3x^2 - 9x $ di titik $ (a,b) $. Substitusi titik $(x,y)=(a,b) $ ke kurvanya :
$ b = a^3 - 3a^2 - 9a \, $ ......(i)
*). Turunan fungsi kurvanya :
$ f^\prime (x) = 3x^2 - 6x - 9 $
*). Gradien garis singgung = 15 di titik $ (a,b) $
$\begin{align} f^\prime (a) & = m \\ 3a^2 - 6a - 9 & = 15 \\ 3a^2 - 6a - 24 & = 0 \\ a^2 - 2a - 8 & = 0 \\ (a+2)(a-4) & = 0 \\ a = -2 \vee a & = 4 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ b $ dari pers(i) dan $ a + b $ :
Persamaan (i) : $ b = a^3 - 3a^2 - 9a $
$\begin{align} a = -2 \rightarrow b & = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) \\ b & = -8 - 12 + 18 \\ b & = -2 \\ a + b & = -2 + (-2) = -4 \\ a = 4 \rightarrow b & = 4^3 - 3(4)^2 - 9(4) \\ b & = -20 \\ a + b & = 4 + (-20) = -16 \end{align} $
Sehingga nilai $ a + b = -4 $ atau $ a + b = -16 $
Yang ada di option adalah $ a + b = -4 $.
Jadi, nilai $ a + b = -4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Mutlak UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Banyaknya bilangan real $ x $ yang memenuhi persamaan $ |x^2-4|=x+|x-2| $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi nilai mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & \text{untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & \text{untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $
*). Untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak, kita hilangkan dulu tanda mutlaknya dengan definisi nilai mutlak di atas.
*). Persamaan kuadrat : $ ax^2 + bx + c = 0 $
Rumus ABC : $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). DIketahui persamaan : $ |x^2-4|=x+|x-2| $
*). Definisi nilai mutlak :
-). Pertama untuk $ |x-2| $
$ x - 2 $ positif untuk $ x - 2 \geq 0 \rightarrow x \geq 0 $
$ x - 2 $ negatif untuk $ x - 2 < 0 \rightarrow x < 2 $
$ |x-2| = \left\{ \begin{array}{cc} x-2 & \text{untuk } x \geq 2 \\ -(x-2) & \text{untuk } x < 2 \end{array} \right. $
-). Kedua untuk $ |x^2-4| $ :
$ x^2-4 $ positif untuk $ x^2-4\geq 0 \rightarrow x \leq -2 \vee x \geq 0 $
$ x^2-4 $ negatif untuk $ x^2-4 < 0 \rightarrow -2 < x < 2 $
$ |x^2-4| = \left\{ \begin{array}{cc} x^2-4 & \text{untuk } x \leq -2 \vee x \geq 2 \\ -(x^2-4) & \text{untuk } -2 < x < 2 \end{array} \right. $
*). Sesuai dengan definisi di atas, bentuk mutlaknya dibatasi oleh $ x = -2 $ dan $ x = 2 $. Artinya terbentuk tiga kemungkinan (daerah) nilai $ x $ yaitu
Daerah I: $ x < -2 $
$ |x - 2 | = -(x-2) = -x + 2 $ dan $ |x^2-4| = x^2-4 $
Daerah II : $ -2 \leq x < 2 $
$ |x - 2 | = -(x-2) = -x + 2 $ dan $ |x^2-4| = -(x^2-4) = -x^2+4 $
Daerah III : $ x \geq 2 $
$ |x - 2 | = x-2 $ dan $ |x^2-4| = x^2-4 $
*). Menyelesaikan $ |x^2-4|=x+|x-2| $ berdasarkan nilai $ x $ (daerah $x$) :
-). Daerah I: $ x < -2 $
$\begin{align} |x^2-4|& =x+|x-2| \\ x^2-4 & =x+ (-x+2) \\ x^2 & = 6 \\ x & = \pm \sqrt{6} \end{align} $
Karena daerah I $ x < -2 $ , maka $ x_1 = -\sqrt{6} $ yang memenuhi.
-). Daerah II: $ -2 \leq x < 2 $
$\begin{align} |x^2-4|& =x+|x-2| \\ -x^2+4 & =x+ (-x+2) \\ x^2 & = 2 \\ x & = \sqrt{2} \end{align} $
$ x_2 = -\sqrt{2} \, $ dan $ x_3 = \sqrt{2} $ memenuhi daerah II.
-). Daerah III : $ x \geq 2 $
$\begin{align} |x^2-4|& =x+|x-2| \\ x^2-4 & =x+ x - 2 \\ x^2 - 2x - 2 & = 0 \end{align} $
Dengan Rumus ABC :
$\begin{align} x & = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4.1.(-2)}}{2.1} \\ & = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} \\ & = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} \\ & = 1 \pm \sqrt{3} \end{align} $
Karena daerah III $ x \geq 2 $ , maka $ x_4 = 1 + \sqrt{3} $ yang memenuhi.
Sehingga himpunan penyelesaiannya yaitu :
Hp $ = \{ -\sqrt{6}, -\sqrt{2} , \sqrt{2} , 1 +\sqrt{3} \} $
Artinya ada 4 nilai $ x $ yang memenuhi.
Jadi, ada 4 solusi nilai $ x . \, \heartsuit $

Pembahasan Lingkaran UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Bilangan $ A > 0 $ sehingga lingkaran $ x^2+y^2+2x-4Ay+40=0 $ mempunyai jari-jari $ A + 1 $ adalah ....
A). $ 5 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $ mempunyai jari-jari :
$ r = \sqrt{\frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C} $
atau $ r^2 = \frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C $ atau $ \frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C = r^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan lingkarannya $ x^2+y^2+2x-4Ay+40=0 $
-). pada pembahasan ini, sementara kita ganti $ A + 1 $ dengan $ k + 1 $ agar tidak bingung dengan nilai $ A $ pada persamaan lingkarannya, sehingga pesamaannya menjadi : $ x^2+y^2+2x-4ky+40=0 $
$ A = 2 , B = -4k \, $ , dan $ C = 40 $
Diketahui jari-jarinya : $ r = k + 1 $ dengan $ k > 0 $.
*). Menentukan nilai $ k $ :
$\begin{align} \frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C & = r^2 \\ \frac{1}{4}.2^2 + \frac{1}{4}.(-4k)^2 - 40 & = (k+1)^2 \\ 1 + \frac{1}{4}.(16k^2) - 40 & = k^2 + 2k + 1 \\ 1 + 4k^2 - 40 & = k^2 + 2k + 1 \\ 3k^2 - 2k - 40 & = 0 \\ (3k+10)(k-4) & = 0 \\ k = -\frac{10}{3} \vee k & = 4 \end{align} $
karena $ k > 0 $ , nilai $ k = 4 $ yang memenuhi.
Sehingga nilai $ A = k = 4 $.
Jadi, nilai $ A = 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Suku banyak $ p(x) $ bersisa 2 jika dibagi $ x - 1 $ dan tak bersisa jika dibagi $ x+1 $. Suku banyak $ q(x) $ bersisa $ 2x $ jika dibagi $ x^2 - 1 $. Jika suku banyak $ p(x)+q(x) $ dibagi $ x^2 - 1 $ , maka sisanya adalah ....
A). $ 3x - 1 \, $ B). $ 3x + 1 \, $
C). $ -3x+2 \, $ D). $ -3x-2 \, $
E). $ 3x+2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Teorema SISA :
Misalkan ada suku banyak $ f(x) $ jika dibagi $ x + a $ bersisa b, maka dapat ditulis $ f(-a) = b $. (Substitusikan akar dari pembaginya dan hasilnya adalah sisanya).
*). Derajat sisa pembagian selalu lebih kecil dari derajat pembaginya.
Contoh:
$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $ dibagi $ g(x) = px^2 + qx + r $ memberikan sisa $ mx + n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
-). $ p(x) $ bersisa 2 jika dibagi $ x - 1 $ , akarnya $ x - 1 = 0 \rightarrow x = 1 $. Persamaannya $ p(1) = 2 $
-). $ p(x) $ tak bersisa (sisa = 0) jika dibagi $ x+1 $, akarnya $ x + 1 = 0 \rightarrow x = -1 $. Persamaannya $ p(-1) = 0 $
-). $ q(x) $ bersisa $ 2x $ jika dibagi $ x^2 - 1 $
akarnya : $ x^2 -1 = 0 \rightarrow (x+1)(x-1) = 0 \rightarrow x = - 1 \vee x = 1 $
$ x = -1 \rightarrow q(-1) = 2(-1) \rightarrow q(-1) = -2 $
$ x = 1 \rightarrow q(1) = 2(1) \rightarrow q(1) = 2 $
*). $ p(x) + q(x) $ dibagi $ x^2 - 1 $, kita misalkan sisanya $ s(x) = mx+n $.
Akar-akar pembaginya : $ x^2 - 1 = 0 \rightarrow x = -1 \vee x = 1 $
Substitusi akar-akar ke $ p(x) + q(x) $ dan sisa $ s(x) = mx + n $ :
$\begin{align} x = 1 \rightarrow p(1) + q(1) & = s(1) \\ 2 + 2 & = m. 1 + n \\ m + n & = 4 \, \, \, \, \text{...(i)} \\ x = -1 \rightarrow p(-1) + q(-1) & = s(-1) \\ 0 + (-2) & = m. (-1) + n \\ -m + n & = -2 \\ m & = n + 2 \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(ii) ke (i) :
$\begin{align} m + n & = 4 \\ (n+2) + n & = 4 \\ 2n & = 2 \\ n & = 1 \end{align} $
Pers(ii): $ m = n + 2 = 1 + 2 = 3 $
Sehingga sisanya :
$ s(x) = mx + n = 3x + 1 $
Jadi, sisanya adalah $ 3x + 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Geometri UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ U_n $ menyatakan suku ke-$n$ dari barisan geometri. Jika $ U_3-U_2=6 $ dan $ U_4-U_2=18 $, maka $ U_5 + U_3 = .... $
A). $ 40 \, $ B). $ 50 \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 70 \, $ E). $ 80 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan geometri :
$ u_n = a.r^{n-1} $
Contoh penjabarannya :
$ u_1 = a, u_2 = ar , u_3 = ar^2, u_4 = ar^3 , .... $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ r = \, $ rasio

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
-). Persamaan pertama : $ U_3-U_2=6 $
$\begin{align} U_3-U_2 & =6 \\ ar^2-ar & =6 \\ a(r^2 - r) & = 6 \\ ar(r-1) & = 6 \\ a & = \frac{6}{r(r-1)} \, \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \end{align} $
-). Persamaan kedua : $ U_4-U_2=18 $
$\begin{align} U_4-U_2 & =18 \\ ar^3-ar & =18 \\ ar(r^2 - 1) & = 18 \\ ar(r+1)(r - 1) & = 18 \, \, \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} ar(r+1)(r - 1) & = 18 \\ \frac{6}{r(r-1)} . r(r+1)(r - 1) & = 18 \\ 6(r+1) & = 18 \\ (r+1) & = 3 \\ r & = 2 \end{align} $
Pers(i): $ a = \frac{6}{r(r-1)} = \frac{6}{2.(2-1)} = \frac{6}{2} = 3 $
*). Menentukan nilai $ U_5 + U_3 $ :
$\begin{align} U_5 + U_3 & = ar^4 + ar^2 \\ & = 3. 2^4 + 3. 2^2 \\ & = 48 + 12 = 60 \end{align} $
Jadi, nilai $ U_5 + U_3 = 60 . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan kubus ABCD.EFGH. Jika O titik tengah DH dan P adalah titik tengah BF, maka perbandingan luas $\Delta$AOP dan $ \Delta$HFC adalah ....
A). $ 1 : 2 \, $ B). $ \sqrt{2} : 1 \, $ C). $ 1 : 3 \, $ D). $ 2 : 1 \, $ E). $ \sqrt{2} : 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas Segitiga $ = \frac{1}{2}.a.t $
*). Untuk menentukan panjang sisi pada segitiga siku-siku bisa menggunakan pythagoras.
*). Sifat bentuk akar : $ \sqrt{a}.\sqrt{b} = \sqrt{ab} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Untuk memudahkan perhitungan, kita pilih panjang rusuk kubus 2 satuan.
 

-). Panjang AO pada $\Delta AOD $:
$ AO = \sqrt{AD^2+DO^2} = \sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5} $
$ AP = AO = \sqrt{5} $
-). Panjang HF pada $\Delta FGH $:
$ HF = \sqrt{FG^2+GH^2} = \sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8} = 2 \sqrt{2} $
$ OP = HF = 2\sqrt{2} $
$ HC = CF = HF = 2\sqrt{2} $
-). Panjang AM pada $\Delta APM $:
$ AM = \sqrt{AP^2-MP^2} = \sqrt{\sqrt{5}^2- \sqrt{2}^2}=\sqrt{3} $
-). Panjang HN pada $\Delta HCN $:
$ HN = \sqrt{HC^2-CN^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2- \sqrt{2}^2}=\sqrt{6} $
*). Menentukan luas $ \Delta AOP $ :
$\begin{align} \text{Luas } \Delta AOP & = \frac{1}{2}. OP. AM \\ & = \frac{1}{2}. 2\sqrt{2} . \sqrt{3} = \sqrt{6} \end{align} $
*). Menentukan luas $ \Delta HCF $ :
$\begin{align} \text{Luas } \Delta HCF & = \frac{1}{2}. CF. HN \\ & = \frac{1}{2}. 2\sqrt{2} . \sqrt{6} = \sqrt{2} . \sqrt{6} \end{align} $
*). Menentukan perbandingan luas segitiganya :
$\begin{align} \text{Luas } \Delta HCF : \text{Luas } \Delta AOP & = \sqrt{2} . \sqrt{6} : \sqrt{6} \\ & = \sqrt{2} : 1 \end{align} $
Jadi, perbandingan luas $\Delta$AOP dan $ \Delta$HFC adalah $ \sqrt{2} : 1 . \, \heartsuit $