Pembahasan Fungsi Kuadrat UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan fungsi kuadrat $ f(x) = 9x^2 + ax - b $ yang melalui titik $ (a,-b) $ dan $ (b, -a) $ dengan $ a \neq b $. Nilai minimum $ f(x) $ adalah ....
A). $ 9 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ -\frac{1}{9} \, $ D). $ -\frac{1}{3} \, $ E). $ -1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Fungsi kuadrat $ y = ax^2 + bx + c $
Nilai maksimum/minimum :
$ \, \, \, \, y_{maks/min} = \frac{D}{-4a} $
dengan $ D = b^2 - 4ac $
Jika $ a > 0 $ , maka diperoleh nilai minimum
Jika $ a < 0 $ , maka diperoleh nilai maksimum.
*). Setiap titik yang dilalui oleh kurva, titik tersebut boleh disubstitusikan ke persamaan kurvanya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusikan titik $ (a,-b) $ dan $ (b, -a) $ ke fungsi $ y = 9x^2 + ax - b $ :
$\begin{align} (x,y)= & (a,-b) \rightarrow \text{substitusi} \\ -b & = 9.a^2 + a.a - b \\ -b & = 9a^2 + a^2 -b \\ 10a^2 & = 0 \\ a & = 0 \\ (x,y)= & (b,-a) \rightarrow \text{substitusi} \\ -a & = 9.b^2 + a.b - b \\ 0 & = 9b^2 + 0 - b \\ 9b^2 - b & = 0 \\ b(9b - 1) & = 0 \\ b = 0 \vee b & = \frac{1}{9} \end{align} $
-). Karena $ a \neq b $ , sementara kita sudah memperoleh $ a = 0 $ , maka $ b \neq 0 $ , sehingga $ b = \frac{1}{9} $ yang memenuhi. Fungsinya menjadi $ f(x) = 9x^2 - \frac{1}{9} $
*). Menentukan nilai minimum dari $ f(x) = 9x^2 - \frac{1}{9} $ dengan $ a = 9, b = 0 , c = -\frac{1}{9} $ :
$\begin{align} f_{min} & = \frac{b^2 - 4ac}{-4a} \\ & = \frac{0^2 - 4.9. -\frac{1}{9}}{-4.9} \\ & = \frac{4}{-36} = -\frac{1}{9} \end{align} $
Jadi, nilai minimum fungsinya adalah $ -\frac{1}{9} . \, \heartsuit $

Catatan :
-). Untuk menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi kuadrat, bisa juga mencari nilai $ x_p = \frac{-b}{2a} $, sehingga $ f_{maks/min} = f(x_p) $
$ f(x) = 9x^2 - \frac{1}{9} \rightarrow x_p = \frac{-0}{2.9} = 0 $
$ f_{min} = f(x_p) = f(0) = 9.0^2 - \frac{1}{9} = 0 - \frac{1}{9} = -\frac{1}{9} $
-). Bisa juga menggunakan konsep turunan untuk menentukan nilai $ x $ yaitu $ f^\prime (x) = 0 $.

Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2019 Matematika Dasar Kode 633

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ p $ dan $ q $ merupakan akar-akar persamaan kuadrat $ x^2-7x+1=0$ , maka persamaan yang akar-akarnya $ \sqrt{p} + \sqrt{q} $ dan $ p^2+q^2 $ adalah ....
A). $ x^2 - 50x + 131 = 0 \, $ B). $ x^2 - 50x + 138 = 0 \, $
C). $ x^2 - 50x + 141 = 0 \, $ D). $ x^2 - 51x + 141 = 0 \, $
E). $ x^2 - 51x + 148 = 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Menyusun persamaan kuadrat baru (PKB) :
$ x^2 - (HJ)x + HK = 0 $
dengan
HJ = Hasil Jumlah dan HK = Hasil Kali
*). Rumus bantu :
$ p^2 + q^2 = (p+q)^2 - 2pq $
$ (\sqrt{p} + \sqrt{q})^2 = (p+q) + 2\sqrt{pq} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). PK : $ $ x^2-7x+1=0$ $ akar-akarnya $ p $ dan $ q $
Operasi akar-akarnya : $ a = 1, b = -7, c = 1 $
$ p + q = \frac{-b}{a} = \frac{-(-7)}{1} = 7 $
$ p.q = \frac{c}{a} = \frac{7}{1} = 7 $
*). Menentukan nilai $ \sqrt{p} + \sqrt{q} $ dan $ p^2 + q^2 $ dengan rumus bantu :
$\begin{align} p^2 + q^2 & = (p+q)^2 - 2pq \\ & = (7)^2 - 2.1 \\ & = 49 - 2 = 47 \\ (\sqrt{p} + \sqrt{q})^2 & = (p+q) + 2\sqrt{pq} \\ (\sqrt{p} + \sqrt{q})^2 & = (7) + 2\sqrt{1} \\ (\sqrt{p} + \sqrt{q})^2 & = 9 \\ \sqrt{p} + \sqrt{q} & = \sqrt{9} = 3 \end{align} $
*). Menyusun PKB yang akar-akarnya $ \sqrt{p} + \sqrt{q} $ dan $ p^2 + q^2 $ :
$\begin{align} HJ & = (\sqrt{p} + \sqrt{q}) + (p^2+q^2) \\ & = 3 + 47 = 50 \\ HK & = (\sqrt{p} + \sqrt{q}) . (p^2+q^2) \\ & = 3 . 47 = 141 \\ \text{PKB : } x^2 & - (HJ)x + HK = 0 \\ x^2 & -50x + 141 = 0 \end{align} $
Jadi, PKB nya adalah $ x^2-50x + 141 = 0 . \, \heartsuit $