Pembahasan Turunan Trigonometri SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 142

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ f(x) = \sin (\sin (\sin x^2)) $ , maka $ f^\prime \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}} \right) = ...... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan dengan aturan Rantai :
Misalkan terdapat fungsi $ f, g, h, z , $ dan $ p $ memenuhi :
$ f = g(u), u = h(v), v = z(w) , $ dan $ w = p(x) $,
Turunan fungsi $ f(x) $ disimbolkan $ f^\prime (x) = \frac{df}{dx} $ yaitu
$ f^\prime (x) = \frac{df}{du}.\frac{du}{dv}.\frac{dv}{dw}.\frac{dw}{dx} $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsi $ f(x) = \sin (\sin (\sin x^2)) $ :
Misalkan : $ f = \sin u, u = \sin v, v = \sin w, w = x^2 $,
Turunan fungsi $ f(x) $ adalah
$\begin{align} f^\prime (x) & = \frac{df}{du}.\frac{du}{dv}.\frac{dv}{dw}.\frac{dw}{dx} \\ & = \cos u . \cos v . \cos w . 2x \\ & = 2x . \cos u . \cos v . \cos w \\ & = 2x . \cos (\sin (\sin x^2 ) ) . \cos (\sin x^2 ) . \cos x^2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ f^\prime \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}} \right) $ :
$\begin{align} f^\prime (x) & = 2x . \cos (\sin (\sin x^2 ) ) . \cos (\sin x^2 ) . \cos x^2 \\ f^\prime \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}} \right) & = 2\left( \sqrt{\frac{\pi}{2}} \right) . \cos (\sin (\sin \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}} \right)^2 ) ) . \cos (\sin \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}} \right)^2 ) . \cos \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}} \right)^2 \\ & = 2\left( \sqrt{\frac{\pi}{2}} \right) . \cos (\sin (\sin \left( \frac{\pi}{2} \right) ) ) . \cos (\sin \left( \frac{\pi}{2} \right) ) . \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) \\ & = 2 \sqrt{\frac{\pi}{2}} . \cos (\sin (1) ) . \cos (1 ) . 0 \\ & = 0 \end{align} $
Jadi, nilai $ f^\prime \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}} \right) = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Asimtot SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 142

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f(x) = \frac{x^2-2x+5}{x^2+x} $ dan $ g(x) = \frac{3x^2-4}{x^2+bx+c} $ , dengan $ b < 0 $. Jika asimtot-asimtot tegak grafik fungsi $ g $ berjarak 1 dan 2 satuan dari salah satu asimtot tegak grafik fungsi $ f $, maka $ (b + c) $ yang mungkin adalah ....
A). $ -5 \, $ B). $ -4 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Asimtot tegak $ x = a $ dan $ x = b $ pada kurva $ y = f(x) $ jika $ \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \infty $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to b } f(x) = \infty $ , artinya fungsi $ f(x) $ harus berbentuk pecahan dengan $ x = a $ dan $ x = b $ adalah akar-akar dari penyebutnya.
*). Operasi akar-akar persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
Sehingga bentuk $ x^2 + bx + c = 0 $ :
$ x_1 + x_2 = -b \rightarrow b = -(x_1 + x_2) $
$ x_1. x_2 = c \rightarrow c = x_1.x_2 $
$ b + c = -(x_1 + x_2) + x_1.x_2 $
Catatan : Pada soal ini, kita tidak menggunakan konsep SPLDV.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan persamaan asimtot $ f(x) = \frac{x^2-2x+5}{x^2+x} $ :
Perhatikan penyebutnya : $ x^2 + x $ , akar-akarnya
$ x^2 + x = 0 \rightarrow x(x+1) = 0 \rightarrow x = 0 \vee x = -1 $.
Artinya asimtot tegak dari $ f $ adalah $ x = -1 $ dan $ x = 0 $.
*). Perhatikan fungsi $ g(x) = \frac{3x^2-4}{x^2+bx+c} $ dengan $ b < 0 $.
Misalkan asimtot fungsi $ g $ adalah $ x = x_1 $ dan $ x = x_2 $, dengan $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah akar-akar dari $ x^2 + bx + c = 0 $. Karena $ b < 0 $ , maka $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-b}{1} = -b > 0 $. Artinya kita harus mencari $ x_1 + x_2 > 0 $.
*). Jarak asimtot-asimtot fungsi $ g $ berjarak 1 dan 2 satuan terhadap salah satu asimtot fungsi $ f $, sehingga kita bagi kasusnya menjadi dua untuk asimtot fungsi $ f $ yaitu $ x = -1 $ dan $ x = 0 $ :
-). Untuk asimtot fungsi $ f $ berbentuk $ x = -1 $, maka asimtot tegak fungsi $ g $ yang memiliki jarak 1 dan 2 satuan terhadap $ x = -1 $ dan $ x_1 + x_2 > 0 $ hanyalah $ x_1 = 0 $ dan $ x_2 = 1 $, artinya asimtot fungsi $ g $ adalah $ x = 0 $ dan $ x = 1 $, sehingga nilai :
$ b + c = -(x_1 + x_2) + x_1.x_2 = -(0+1) + 0.1 = -1 $
-). Untuk asimtot fungsi $ f $ berbentuk $ x = 0 $, maka asimtot tegak fungsi $ g $ yang memiliki jarak 1 dan 2 satuan terhadap $ x = 0 $ dan $ x_1 + x_2 > 0 $ ada dua kemungkinan yaitu :
i). asimtot $ g $ yaitu $ x = -1 $ dan $ x = 2 $ , sehingga :
$ b + c = -(x_1 + x_2) + x_1.x_2 = -(-1 + 2) + (-1).2 = -3 $
ii). asimtot $ g $ yaitu $ x = 1 $ dan $ x = 2 $ , sehingga :
$ b + c = -(x_1 + x_2) + x_1.x_2 = -(1 + 2) + 1.2 = -1 $
Jadi, nilai $ b + c $ yang mungkin adalah $ -3 $ atau $ - 1 . \, \heartsuit $
Jawabannya C atau E.

Pembahasan Hiperbola SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 142

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ y = \frac{2}{3}x - 5 $ adalah asimtot hiperbola $ \frac{x^2 - 2nx + n^2}{9} - \frac{y^2 + 2y + 1}{4} = 1 $ , maka salah satu nilai $ n $ yang mungkin adalah .....
A). $ 8 \, $ B). $ 7 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar pada Hiperbola
*). Persamaan hiperbola :
$ \frac{(x-p)^2}{a^2} - \frac{(y-q)^2}{b^2} = 1 $
Memiliki persamaan asimtot :
$ y-q = \pm \frac{b}{a} (x-p) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan hiperbolanya :
$\begin{align} \frac{x^2 - 2nx + n^2}{9} - \frac{y^2 + 2y + 1}{4} & = 1 \\ \frac{(x - n)^2}{3^2} - \frac{(y+1)^2}{2^2} & = 1 \\ p = n, \, q = -1 , \, a = 3 , \, b & = 2 \end{align} $
*). Menyusun persamaan asimtotnya :
$\begin{align} y-q & = \pm \frac{b}{a} (x-p) \\ y +1 & = \pm \frac{2}{3} (x-n) \\ y & = \pm \frac{2}{3} (x-n) - 1 \\ \end{align} $
persamaan asimtotnya yaitu :
$ y = \frac{2}{3} (x-n) - 1 $ atau $ y = - \frac{2}{3} (x-n) - 1 $.
$ y = \frac{2}{3} x - \frac{2}{3}n- 1 $ atau $ y = - \frac{2}{3}x + \frac{2}{3}n - 1 $.
*). Bentuk $ y = \frac{2}{3}x - 5 $ sama dengan $ y = \frac{2}{3} x - \frac{2}{3}n- 1 $ sehingga :
$\begin{align} -5 & = - \frac{2}{3}n- 1 \\ \frac{2}{3}n & = 5 - 1 \\ \frac{2}{3}n & = 4 \\ n & = 4 \times \frac{3}{2} = 6 \end{align} $
Jadi, salah satu nilai $ n $ adalah $ 6 . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor SBMPTN 2017 Matematika IPA kode 142

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $. Jika $ |\vec{a}+\vec{b}|^2 = \vec{a}.\vec{b} $ dan $ (|\vec{a}|+|\vec{b}|)^2 = \frac{5}{2}|\vec{a}||\vec{b}| $, maka sudut antara vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adalah ......
A). $ 30^\circ \, $ B). $ 45^\circ \, $ C). $ 60^\circ \, $ D). $ 90^\circ \, $ E). $ 120^\circ \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar pada vektor :
$ \vec{a}.\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \alpha $
$ |\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2 + 2\vec{a}.\vec{b} $
*). Rumus pangkat dua aljabar :
$ ( x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaan pertama :
$\begin{align} (|\vec{a}|+|\vec{b}|)^2 & = \frac{5}{2}|\vec{a}||\vec{b}| \\ |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| & = \frac{5}{2}|\vec{a}||\vec{b}| \\ |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2 & = \frac{5}{2}|\vec{a}||\vec{b}| - 2|\vec{a}||\vec{b}| \\ |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2 & = \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}| \, \, \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Mengubah persamaan kedua dan gunakan pers(i) :
$\begin{align} |\vec{a}+\vec{b}|^2 & = \vec{a}.\vec{b} \\ |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2 + 2\vec{a}.\vec{b} & = \vec{a}.\vec{b} \\ |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2 & = \vec{a}.\vec{b} - 2\vec{a}.\vec{b} \\ |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2 & = -\vec{a}.\vec{b} \\ |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2 & = -|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}| & = -|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \, \, \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ \frac{1}{2} & = - \cos \theta \\ -\frac{1}{2} & = \cos \theta \\ \theta & = 120^\circ \end{align} $
Jadi, sudutnya adalah $ 120^\circ . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan SBMPTN 2017 Matematika IPA Kode 142


Nomor 1
Jika $ x , y $ adalah solusi sistem
$ \left\{ \begin{array}{c} \frac{x}{y+1} + \frac{3y}{x+1} = 2 \\ -\frac{3x}{y+1} + \frac{6y}{x+1} = - 1 \\ \end{array} \right. $
maka $ x + 2y = .... $
A). $ \frac{5}{3} \, $ B). $ \frac{7}{3} \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
Nomor 2
Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang keuntungannya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungan menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun adalah ....
A). $ 2(\sqrt[10]{2}-1) \, $ B). $ 2(\sqrt[5]{2}-1) \, $
C). $2(\sqrt{2}) \, $ D). $ 2(\sqrt[5]{2}) \, $ E). $ 2(\sqrt[10]{2} ) $
Nomor 3
Himpunan $ S $ beranggotakan semua bilangan bulat tak negatif $ x $ yang memenuhi $ \frac{x^2-2ax+a^2}{(x+1)(x-4)} < 0 $. Berakah nilai $ a $ sehingga hasil penjumlahan semua anggota $ S $ minimum?
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 4
Diketahui vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $. Jika $ |\vec{a}+\vec{b}|^2 = \vec{a}.\vec{b} $ dan $ (|\vec{a}|+|\vec{b}|)^2 = \frac{5}{2}|\vec{a}||\vec{b}| $, maka sudut antara vektor $ \vec{a} $ dan $ \vec{b} $ adalah ......
A). $ 30^\circ \, $ B). $ 45^\circ \, $ C). $ 60^\circ \, $ D). $ 90^\circ \, $ E). $ 120^\circ \, $
Nomor 5
Jika $ \frac{2\tan x}{1 - \tan ^2 x} - 5 = 0 $, dengan $ 0 < x <\frac{\pi}{2} $, maka $ \cos ^2 x - \sin ^2 x = .... $
A). $ \frac{1}{\sqrt{26}} \, $ B). $ \frac{2}{\sqrt{26}} \, $ C). $ \frac{3}{\sqrt{26}} \, $ D). $ \frac{4}{\sqrt{26}} \, $ E). $ \frac{5}{\sqrt{26}} \, $

Nomor 6
Jika $ y = \frac{2}{3}x - 5 $ adalah asimtot hiperbola $ \frac{x^2 - 2nx + n^2}{9} - \frac{y^2 + 2y + 1}{4} = 1 $ , maka salah satu nilai $ n $ yang mungkin adalah .....
A). $ 8 \, $
B). $ 7 \, $
C). $ 6 \, $
D). $ 5 \, $
E). $ 4 \, $
Nomor 7
Jika $ ax^3 + 30x + 8b = (x-2)Q(x) + 20(a+b) $ dan $ 4a = b $ , maka $ Q(x) = .... $
A). $ x^2 - 2x - 34 \, $
B). $ x^2 + 2x + 34 \, $
C). $ x^2 - 4x + 60 \, $
D). $ 4x^2 + 2x + 34 \, $
E). $ 4x^2 + 4x - 60 $
Nomor 8
Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $ 3\sqrt{2} $ melaui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ....
A). $ 18\pi + 18 \, $ B). $ 18\pi - 18 \, $
C). $ 14\pi + 14 \, $ D). $ 14\pi - 15 \, $
E). $ 10\pi + 10 $
Nomor 9
Jika $ \int_{-4}^4 f(x) (\sin x + 1) dx = 8 $ , dengan $ f(x) $ fungsi genap dan $ \int_{-2}^4 f(x) dx = 4 $ , maka $ \int_{-2}^0 f(x) dx = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 10
$ \displaystyle \lim_{x \to -3} \frac{\tan (x+3)}{(x^2-2x-15)\sin \left(\frac{\pi}{2}x\right)} = .... $
A). $ -\frac{1}{8} \, $ B). $ -\frac{1}{4} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{4} \, $ E). $ \frac{1}{8} $

Nomor 11
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, x\left( \sec \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \right) = .... $
A). $ 1 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -\frac{1}{2} \, $ E). $ -1 $
Nomor 12
Diketahui fungsi $ f(x) = \frac{x^2-2x+5}{x^2+x} $ dan $ g(x) = \frac{3x^2-4}{x^2+bx+c} $ , dengan $ b < 0 $. Jika asimtot-asimtot tegak grafik fungsi $ g $ berjarak 1 dan 2 satuan dari salah satu asimtot tegak grafik fungsi $ f $, maka $ (b + c) $ yang mungkin adalah ....
A). $ -5 \, $ B). $ -4 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -1 $
Nomor 13
Misalkan $ f(x) = \sin (\sin (\sin x^2)) $ , maka $ f^\prime \left( \sqrt{\frac{\pi}{2}} \right) = ...... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 \, $
Nomor 14
Jika garis $ y = 7x - 16 $ menyinggung kurva $ y = px^3 + qx $ di $ x = 2 $, maka $ p - q = ..... $
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ 6 \, $ E). $ 8 \, $
Nomor 15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalia, maka peluang yang terambil adalah 1 bola merah adalah .....
A). $ 0,04 \, $ B). $ 0,10 \, $ C). $ 0,16 \, $ D). $ 0,32 \, $ E). $ 0,40 $