Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Semua nilai $ x $ yang memenuhi $|x|+|x-2| > 3 $ adalah ....
A). $ x < -1 \, $ atau $ x > \frac{5}{2} $
B). $ x < -\frac{1}{2} \, $ atau $ x > 3 $
C). $ x < -\frac{1}{2} \, $ atau $ x > \frac{5}{2} $
D). $ x < -1 \, $ atau $ x > 3 $
E). $ x < -\frac{3}{2} \, $ atau $ x > \frac{5}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=3 \Rightarrow |x|+|x-2| & > 3 \\ |3|+|3-2| & > 3 \\ 3+1 & > 3 \\ 4 & > 3 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=3$ BENAR, opsi yang salah B dan D.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x= -1 \Rightarrow |x|+|x-2| & > 3 \\ |-1|+|-1-2| & > 3 \\ 1+3 & > 3 \\ 4 & > 3 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=-1$ BENAR, opsi yang salah A dan E.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi C (yang tersisia).
Jadi, solusinya adalah $ \{ x < -\frac{1}{2} \} \, $ atau $ \{ x > \frac{5}{2} \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Semua nilai $ x $ yang memenuhi $|x|+|x-2| > 3 $ adalah ....
A). $ x < -1 \, $ atau $ x > \frac{5}{2} $
B). $ x < -\frac{1}{2} \, $ atau $ x > 3 $
C). $ x < -\frac{1}{2} \, $ atau $ x > \frac{5}{2} $
D). $ x < -1 \, $ atau $ x > 3 $
E). $ x < -\frac{3}{2} \, $ atau $ x > \frac{5}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Pertidaksamaan Bentuk Mutlak :
*). Menyelesaikan pertidaksamaan bentuk mutlak salah satu caranya menggunakan definisi bentuk mutlak.
*). Definisi bentuk mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{ untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{ untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Definisi nilai mutlak masing-masing :
$ |x| = \left\{ \begin{array}{cc} x & , \text{ untuk } x \geq 0 \\ -x & , \text{ untuk } x < 0 \end{array} \right. $
$ |x-2| = \left\{ \begin{array}{cc} x-2 & , \text{ untuk } x \geq 2 \\ -(x-2) & , \text{ untuk } x < 2 \end{array} \right. $
*). Untuk memudahkan menyelesaikan pertidaksamaannya, kita bagi menjadi tiga batasan (daerah) berdasarkan definisi nilai mutlak di atas.
 

*). Menyelesaikan pertidaksamaan berdasarkan daerahnya :
-). daerah I : $ x < 0 $
Berlaku $ |x| = -x \, $ dan $ |x-2| = -(x-2) = -x + 2 $
$\begin{align} |x|+|x-2| & > 3 \\ -x+ (-x + 2) & > 3 \\ -2x & > 1 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi -1, tanda dibalik)} \\ x & < -\frac{1}{2} \end{align} $
$ HP1 = \{ x < 0 \} \cap \{ x < -\frac{1}{2} \} = \{ x < -\frac{1}{2} \} $
-). daerah II : $ 0 \leq x < 2 $
Berlaku $ |x| = x \, $ dan $ |x-2| = -(x-2) = -x + 2 $
$\begin{align} |x|+|x-2| & > 3 \\ x+ (-x + 2) & > 3 \\ 2 & > 3 \, \, \, \, \, \, \text{(SALAH)} \end{align} $
Artinya tidak ada $ x $ yang memenuhi daerah II ini.
-). daerah III : $ x \geq 2 $
Berlaku $ |x| = x \, $ dan $ |x-2| = x - 2 $
$\begin{align} |x|+|x-2| & > 3 \\ x+ (x - 2) & > 3 \\ 2x & > 5 \\ x & > \frac{5}{2} \end{align} $
$ HP2 = \{ x \geq 2 \} \cap \{ x > \frac{5}{2} \} = \{ x > \frac{5}{2} \} $
*). Solusi totalnya adalah gabungan dari solusi ketiga daerah :
$\begin{align} HP & = HP1 \cup HP2 \\ & = \{ x < -\frac{1}{2} \} \cap \{ x > \frac{5}{2} \} \end{align} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ x < -\frac{1}{2} \} \, $ atau $ \{ x > \frac{5}{2} \} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Lingkaran UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan lingkaran yang melalui perpotongan dua lingkaran $ L_1 \equiv x^2+y^2 - 2x - 2y - 2 = 0 $ dan $ L_2 \equiv x^2+y^2 + 2x - 6y +6 = 0 $ serta berpusat di garis $ g \equiv x - 2y = 5 $ adalah ....
A). $ x^2 + y^2 - 6x + 2y - 5 = 0 \, $
B). $ x^2 + y^2 - 6x + 2y - 10 = 0 \, $
C). $ x^2 + y^2 + 6x + 8y - 5 = 0 \, $
D). $ x^2 + y^2 + 6x + 8y - 10 = 0 \, $
E). $ x^2 + y^2 + 6x + 8y = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Berkas Lingkaran:
*). Persamaan lingkaran yang melalui titik potong lingkaran $L_1 $ dan $ L_2 $ adalah $ L_1 + \lambda L_2 $ atau $ L_2 + \lambda L_1 $
(bentuk seperti ini disebut berkas lingkaran).
*). Persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
dengan pusat lingkaran : $(a,b) = (-\frac{1}{2}A, -\frac{1}{2}B) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan lingkaran yang melalui perpotongan dua lingkaran $ L_1 \equiv x^2+y^2 - 2x - 2y - 2 = 0 $ dan $ L_2 \equiv x^2+y^2 + 2x - 6y +6 = 0 $
$ \begin{align} L_2 + \lambda L_1 & = 0 \\ (x^2+y^2 + 2x - 6y +6) + \lambda (x^2+y^2 - 2x - 2y - 2 ) & = 0 \\ (1+\lambda)x^2 + (1 + \lambda)y^2 + (2-2\lambda)x - (6 + 2\lambda)y + (6 - 2\lambda) & = 0 \\ x^2 + y^2 + \frac{2-2\lambda}{1+\lambda}x - \frac{6 + 2\lambda}{1+\lambda}y + \frac{6 - 2\lambda}{1+\lambda} & = 0 \end{align} $
Artinya titik pusat lingkarannya :
$ a = -\frac{1}{2}A = -\frac{1}{2} \frac{(2-2\lambda)}{(1+\lambda)} = \frac{-1+\lambda}{1+\lambda} $
$ b = -\frac{1}{2}B = -\frac{1}{2}. - \frac{(6 + 2\lambda)}{(1+\lambda)} = \frac{3 + \lambda}{1+\lambda} $
*). Substitusi titik pusat ke garis $ x - 2y = 5 $ (pusat ada di garis)
$\begin{align} x - 2y & = 5 \\ \frac{-1+\lambda}{1+\lambda} - 2. \frac{3 + \lambda}{1+\lambda} & = 5 \\ -1+\lambda - 2(3 + \lambda) & = 5(1+\lambda) \\ -1+\lambda - 6 - 2\lambda & = 5+ 5\lambda \\ \lambda & = -2 \end{align} $
*). Substitusi $ \lambda = -2 $ ke berkas lingkaran :
$\begin{align} (x^2+y^2 + 2x - 6y +6) + \lambda (x^2+y^2 - 2x - 2y - 2 ) & = 0 \\ (x^2+y^2 + 2x - 6y +6) + (-2). (x^2+y^2 - 2x - 2y - 2 ) & = 0 \\ -x^2 -y^2 + 6x - 2y + 10 & = 0 \\ x^2 +y^2 - 6x + 2y - 10 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaannya adalah $ x^2 + y^2 - 6x + 2y -10 = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Lingkaran UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan lingkaran yang melalui perpotongan dua lingkaran $ L_1 \equiv x^2+y^2 - 2x - 2y - 2 = 0 $ dan $ L_2 \equiv x^2+y^2 + 2x - 6y +6 = 0 $ serta berpusat di garis $ g \equiv x - 2y = 5 $ adalah ....
A). $ x^2 + y^2 - 6x + 2y - 5 = 0 \, $
B). $ x^2 + y^2 - 6x + 2y - 10 = 0 \, $
C). $ x^2 + y^2 + 6x + 8y - 5 = 0 \, $
D). $ x^2 + y^2 + 6x + 8y - 10 = 0 \, $
E). $ x^2 + y^2 + 6x + 8y = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
dengan pusat lingkaran : $(a,b) = (-\frac{1}{2}A, -\frac{1}{2}B) $
*). Langkah-langkah menentukan titik potong dua lingkaran :
1). Kurangkan kedua persamaan, kita peroleh persamaan garis
2). Substitusikan garis yang diperoleh ke salah satu lingkaran, kita dapatkan salah satu nilai variabelnya
3). Substitusikan nilai variabel ke garis, kita peroleh kedua titik potong kedua lingkaran.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Titik pusat ada di garis $ x - 2y = 5 $, substitusikan titik pusatnya :
$\begin{align} (x,y) = (-\frac{1}{2}A, -\frac{1}{2}B) \rightarrow x - 2y & = 5 \\ \text{(kali 2 ) } \, \, \, -\frac{1}{2}A - 2.(-\frac{1}{2}B) & = 5 \\ -A +2B & = 10 \, \, \, \, \, \, \, ...(i) \end{align} $
*). Menentukan titik potong kedua lingkaran, eliminasi :
$\begin{array}{cc} x^2+y^2 + 2x - 6y +6 = 0 & \\ x^2+y^2 - 2x - 2y - 2 = 0 & - \\ \hline 4x - 4y + 8 = 0 & \\ x - y + 2 = 0 & \end{array} $
Persamaan garisnya : $ x - y + 2 = 0 \rightarrow y = x + 2 $
-). Substitusi garis ke $ L_1 $ :
$ \begin{align} x^2+y^2 - 2x - 2y - 2 & = 0 \\ x^2+(x+2)^2 - 2x - 2(x+2) - 2 & = 0 \\ 2x^2 - 2 & = 0 \\ x^2 & = 1 \\ x & = \pm 1 \\ x = 1 \rightarrow y & = x + 2 \\ y & = 1 + 2 = 3 \\ x = -1 \rightarrow y & = x + 2 \\ y & = -1 + 2 = 1 \end{align} $
Sehingga titik potong kedua lingkaran adalah $(1,3) $ dan $ (-1,1) $.
*). Lingkaran $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $ melalui dua titik $(1,3) $ dan $ (-1,1) $
$\begin{align} (1,3) \rightarrow x^2 + y^2 + Ax + By + C & = 0 \\ 1^2 + 3^2 + A.1 + B.3 + C & = 0 \\ A + 3B + C & = -10 \, \, \, \, ...(ii) \\ (-1,1) \rightarrow x^2 + y^2 + Ax + By + C & = 0 \\ (-1)^2 + 1^2 + A.(-1) + B.1 + C & = 0 \\ -A + B + C & = -2 \, \, \, \, ...(iii) \end{align} $
*). Eliminasi pers(ii) dan pers(iii) :
$\begin{array}{cc} A + 3B + C = -10 & \\ -A + B + C = -2 & - \\ \hline 2A + 2B = -8 & \\ A + B = -4 & (iv) \end{array} $
*). Eliminasi pers(iv) dan pers(i) :
$\begin{array}{cc} -A +2B = 10 & \\ A + B = -4 & + \\ \hline 3B = 6 & \\ B = 2 & \end{array} $
Pers(iv) : $ A + B = -4 \rightarrow A + 2 = -4 \rightarrow A = -6 $
Pers(iii): $ -A + B + C = -2 \rightarrow -(-6) + 2 + C = -2 \rightarrow C = -10 $
Sehingga persamaan lingkarannya adalah :
$ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
yaitu $ x^2 + y^2 - 6x + 2y -10 = 0 $.
Jadi, persamaannya adalah $ x^2 + y^2 - 6x + 2y -10 = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
DIberikan bilangan-bilangan positif $ x_1 $ dan $ x_2 $. Jika $ 12, x_1, x_2 $ membentuk barisan aritmetika dan $ x_1, x_2, 4 $ membentuk barisan geometri, maka $ x_1 + x_2 = .... $
A). $ 6 \, $ B). $ 8 \, $ C). $ 10 \, $ D). $ 13 \, $ E). $ 15 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan Aritmetika dan Geometri :
*). Barisan artimetika memiliki selisih sama antara dua suku berdekatan.
Jika $ x , y , z \, $ barisan aritmetika, maka $ 2y = x + z $.
*). Barisan geometri memiliki perbandingan sama antara dua suku berdekatan.
Jika $ x , y , z \, $ barisan geometri, maka $ y^2 = x.z $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
-). $ 12, x_1, x_2 $ membentuk barisan aritmetika
maka $ 2x_1 = 12 + x_2 \rightarrow x_1 = 6 + \frac{1}{2}x_2 \, $ ....(i)
-). $ x_1, x_2, 4 $ membentuk barisan geometri
maka $ x_2^2 = 4.x_1 \, $ ....(ii)
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} x_2^2 & = 4.x_1 \\ x_2^2 & = 4.(6 + \frac{1}{2}x_2) \\ x_2^2 & = 24 + 2x_2 \\ x_2^2 - 2x_2 - 24 & = 0 \\ (x_2 + 4)(x_2 - 6) & = 0 \\ x_2 = -4 \vee x_2 & = 6 \end{align} $
Karena $ x_2 $ positif, $ x_2 = 6 $ yang memenuhi.
Pers(i) : $ x_1 = 6 + \frac{1}{2}x_2 = 6 + \frac{1}{2} . 6 = 6 + 3 = 9 $
Sehingga nilai $ x_1 + x_2 = 9 + 6 = 15 $.
Jadi, nilai $ x_1 + x_2 = 15 . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \tan A = \frac{4}{3} $ , dan $ \tan B = 7 $ , maka $ A + B = .... $
A). $ 45^\circ \, $ B). $ 135^\circ \, $ C). $ 150^\circ \, $ D). $ 225^\circ \, $ E). $ 330^\circ $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus dasar trigonometri :
$ \tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A . \tan B} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan $ A + B $ :
$\begin{align} \tan (A + B) & = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A . \tan B} \\ & = \frac{\frac{4}{3} + 7}{1 - \frac{4}{3} . 7} \\ & = \frac{\frac{4}{3} + 7}{1 - \frac{4}{3} . 7} \times \frac{3}{3} \\ & = \frac{4 + 21}{3 - 28} \\ & = \frac{25}{-25} \\ \tan (A + B) & = -1 \\ A + B & = 135^\circ \end{align} $
Jadi, nilai $ A + B = 135^\circ . \, \heartsuit $

Pembahasan Terapan Turunan UTUL UGM 2017 Matematika Ipa Kode 814

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui dua bilangan real positif $ x $ dan $ y $. Jika $ x + 2y = 20 $, maka nilai maksimum dari $ x^2y $ adalah .....
A). $ \frac{16000}{9} \, $ B). $ \frac{16000}{27} \, $ C). $ \frac{4000}{27} \, $ D). $ \frac{1600}{27} \, $ E). $ \frac{400}{9} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Terapan Turunan
*). Fungsi $ f(x) $ akan mencapai maksimum atau minimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun fungsinya :
$ x + 2y = 20 \rightarrow y = 10 - \frac{1}{2}x \, $ ....(i)
Substitusi pers(i) ke $ x^2y $ :
$\begin{align} x^2y & = x^2 (10 - \frac{1}{2}x) \\ f(x) & = 10x^2 - \frac{1}{2}x^3 \\ f^\prime (x) & = 20x - \frac{3}{2}x^2 \end{align} $
*). Syarat nilai maks/min : $ f^\prime (x) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 20x - \frac{3}{2}x^2 & = 0 \\ x(20 - \frac{3}{2}x) & = 0 \\ x = 0 \vee 20 - \frac{3}{2}x & = 0 \\ x = 0 \vee x & = \frac{40}{3} \end{align} $
Bentuk $ x^2y $ akan maksimum saat $ x = \frac{40}{3} $,
Sehingga $ y = 10 - \frac{1}{2}x = 10 - \frac{1}{2} \times \frac{40}{3} = \frac{10}{3} $.
*). Menentukan Nilai maksimum bentuk $ x^2y $ :
$\begin{align} x^2y & = \left( \frac{40}{3} \right)^2 . \frac{10}{3} \\ & = \frac{16000}{27} \end{align} $
Jadi, nilai maksimumnya adalah $ \frac{16000}{27} . \, \heartsuit $