Pembahasan Matriks Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan $ B = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & b \end{matrix} \right) $. Jika $ B^{-1} = B^T $ , maka $ b = ... $
A). $ \sin \theta \, $ B). $ -\sin \theta \, $ C). $ \cos \theta \, $
D). $ -\cos \theta \, $ E). $ \tan \theta $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
-). Transpose matriks A :
$ A^T = \left( \begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix} \right) $
-). Perkalian matriks = baris kali kolom
-). Kesamaan dua matriks yaitu unsur seletak nilainya sama.
*). Sifat invers matriks : $ A . A^{-1} = I $
dengan $ I = \, $ matriks identitas.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ B = \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & b \end{matrix} \right) $ dan $ B^{-1} = B^T $ :
*). Menentukan transpose matriks B :
$\begin{align} B^{T} & = \left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & b \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Menusun persamaan matriks , substitusi $ B^{-1} = B^T $ :
$\begin{align} B.B^{-1} & = I \\ B.B^T & = I \\ \left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & b \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & b \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} \cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta & \cos \theta \sin \theta - b \sin \theta \\ \sin \theta \cos \theta - b \sin \theta & \sin ^2 \theta + b^2 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \end{align} $
*). Dari persamaan matriks di atas kita peroleh kesamaan :
$\begin{align} \sin \theta \cos \theta - b \sin \theta & = 0 \\ b \sin \theta & = \sin \theta \cos \theta \\ b & = \frac{\sin \theta \cos \theta }{ \sin \theta} \\ b & = \cos \theta \end{align} $
Jadi, nilai $ b = \cos \theta . \, \heartsuit $

Cara 4 Pembahasan Barisan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Sembilan buah bilangan membentuk deret aritmetika dan mempunyai jumlah 153. Jika pada setiap 2 suku yang berurutan pada deret tersebut disisipkan rata-rata dari 2 suku tersebut, jumlah deret yang baru adalah ...
A). $ 267 \, $ B). $ 279 \, $ C). $ 289 \, $ D). $ 315 \, $ E). $ 349 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jumlah $ n \, $ suku pertama barisan aritmetika:
$ \, \, \, \, S_n = \frac{n}{2} (u_1 + u_n) $
Keterangan :
$ S_n = \, $ jumlah $ n $ suku pertama
$ u_1 = \, $ suku pertama
$ u_n = \, $ suku terakhirnya.

$\clubsuit $ Pembahasan
(belum di edit)
*). Jumlah 9 bilangan pertama adalah 153 :
$\begin{align} S_9 & = 153 \\ \frac{9}{2} (u_1 + u_9) & = 153 \\ u_1 + u_9 & = 153 \times \frac{2}{9} \\ u_1 + u_9 & = 34 \, \, \, \, \, \, \, \, \text{....(i)} \end{align} $
*). Barisan awalnya :
$ u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_7, u_8, u_9 $
*). setiap 2 suku yang berurutan pada deret tersebut disisipkan rata-rata dari 2 suku tersebut, barisannya yaitu :
$ u_1 $ , $ \frac{u_1 + u_2}{2} $ , $ u_2 $ , $ \frac{u_2 + u_3}{2} $ , $ u_3 $ , $ \frac{u_3 + u_4}{2} $ , $ u_4 $ , $ \frac{u_4 + u_5}{2} $ , $ u_5 $ , $ \frac{u_5 + u_6}{2} $ , $ u_6 $ , $ \frac{u_6 + u_7}{2} $ , $ u_7 $ , $ \frac{u_7 + u_8}{2} $ , $ u_8 $ , $ \frac{u_8 + u_9}{2} $ , $ u_9 $.
-). Pada barisan baru ini, suku pertamanya adalah $ u_1 $ dan suku terakhirnya adalah $ u_{9} $ juga. Sebenarnya suku terakhirnya adalah suku ke-17 dimana $ u_{17} = u_9 $
*). Total jumlah barisan barunya adalah jumlah 17 suku dengan $ u_{17} = u_9 $ dan $ u_1 + u_9 = 34 $ :
$\begin{align} \text{Total } & = S_{17} \\ & = \frac{17}{2} (u_1 + u_{17}) \\ & = \frac{17}{2} (u_1 + u_9) \\ & = \frac{17}{2} \times 34 \\ & = 17 \times 17 \\ & = 289 \end{align} $
Jadi, jumlah deret yang baru adalah $ 289 . \, \heartsuit $

Cara 3 Pembahasan Barisan Simak UI 2018 Matematika Dasar kode 632

Soal yang Akan Dibahas
Sembilan buah bilangan membentuk deret aritmetika dan mempunyai jumlah 153. Jika pada setiap 2 suku yang berurutan pada deret tersebut disisipkan rata-rata dari 2 suku tersebut, jumlah deret yang baru adalah ...
A). $ 267 \, $ B). $ 279 \, $ C). $ 289 \, $ D). $ 315 \, $ E). $ 349 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jumlah $ n \, $ suku pertama barisan aritmetika yang diketahui suku tengah : $ s_n = n . u_t \, $ , dengan $ n \ $ menyatakan banyak suku dan $ u_t \, $ adalah suku tengah.
*). Suatu barisan memiliki suku tengah jika banyak suku ganjil.

$\clubsuit $ Pembahasan
(belum di edit)
*). Barisan awalnya :
$ u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_7, u_8, u_9 $
suku tengahnya adalah $ u_t = u_5 $.
*). Jumlah 9 bilangan pertama adalah 153 :
$\begin{align} S_n & = n . u_t \\ S_9 & = 9 . u_5 \\ 153 & = 9. u_5 \\ u_5 & = 17 \end{align} $
*). setiap 2 suku yang berurutan pada deret tersebut disisipkan rata-rata dari 2 suku tersebut, barisannya yaitu :
$ u_1 $ , $ \frac{u_1 + u_2}{2} $ , $ u_2 $ , $ \frac{u_2 + u_3}{2} $ , $ u_3 $ , $ \frac{u_3 + u_4}{2} $ , $ u_4 $ , $ \frac{u_4 + u_5}{2} $ , $ u_5 $ , $ \frac{u_5 + u_6}{2} $ , $ u_6 $ , $ \frac{u_6 + u_7}{2} $ , $ u_7 $ , $ \frac{u_7 + u_8}{2} $ , $ u_8 $ , $ \frac{u_8 + u_9}{2} $ , $ u_9 $.
-). Sekarang ada 17 suku baru yang membentuk barisan aritmetika juga dengan suku tengahnya adalah $ u_t = u_5 $ juga yaitu $ u_t = u_5 = 17 $.
*). Total jumlah barisan barunya adalah jumlah 17 suku dengan $ u_t = 17 $ :
$\begin{align} S_n & = n \times U_t \\ S_{17} & = 17 \times 17 \\ & = 289 \end{align} $
*). Catatan : Cara ini hanya berlaku untuk banyak suku ganjil sesuai syarat suku tengah.
Jadi, jumlah deret yang baru adalah $ 289 . \, \heartsuit $