Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2004 nomor 21 sampai 25


Nomor 21
Pada saat awal diamati 8 virus jenis tertentu. Setiap 24 jam masing-masing virus membelah diri menjadi dua. Jika setiap 96 jam seperempat dari seluruh virus dibunuh, maka banyaknya virus pada hari ke-6 adalah ....
$\spadesuit \, $ Kita kerjakan secara manual :
Hari ke-1 : 8 virus
Hari ke-2 : $ 8 \times 2 = 16 $ virus
Hari ke-3 : $ 16 \times 2 = 32 $ virus
Hari ke-4 : $ 32 \times 2 = 64 $ virus
-). Pada hari ke-4 telah berjalan 96 jam, sehingga virus terbunuh $ \frac{1}{4} $ yaitu $ \frac{1}{4} \times 64 = 16 $ , sehingga pada hari ke-4 tersisa : $ 64 - 16 = 48 $ virus.
Hari ke-5 : $ 48 \times 2 = 96 $ virus
Hari ke-6 : $ 96 \times 2 = 192 $ virus
Jadi, banyak virus pada hari keenam adalah 192. $ \heartsuit $
Nomor 22
Penyelesaiaan pertidaksamaan $ 9^{-x+1} + 8.3^{-x} - 1 > 0 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Misalkan $p = 3^{-x} \, \, $ denan $ p > 0 $
$\begin{align} 9^{-x+1} + 8.3^{-x} - 1 & > 0 \\ 9^1.9^{-x} + 8.3^{-x} - 1 & > 0 \\ 9.(3^2)^{-x} + 8.3^{-x} - 1 & > 0 \\ 9.(3^{-x})^2 + 8.3^{-x} - 1 & > 0 \\ 9p^2 + 8p - 1 & > 0 \\ (p+1)(9p-1) & > 0 \\ p=-1 \rightarrow & \, \, \text{(tidak memenuhi)} \\ p=\frac{1}{9} \rightarrow & \, \, 3^{-x} = 3^{-2} \rightarrow x = 2 \end{align}$
spmb_matdas_8_2004.png
Jadi, solusinya adalah $ x < 2 . \heartsuit $
Nomor 23
Jika P dan Q adalah matriks berordo 2 $\times \, $ 2 yang memenuhi $ PQ = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) , \, $ maka $ Q^{-1} \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Sifat invers : $(AB)^{-1} = B^{-1}. A^{-1} \, \, $ dan $ \, (A^{-1})^{-1} = A $
serta $ AB = C \rightarrow B = A^{-1}.C $
$\spadesuit \, $ Menentukan $ \, \, Q^{-1} $
$\begin{align} PQ & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \\ Q & = P^{-1} . \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \, \, \text{(inverskan kedua ruas)} \\ Q^{-1} & = \left( P^{-1} . \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \right)^{-1} \\ Q^{-1} & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right)^{-1} . \left( P^{-1} \right)^{-1} \\ Q^{-1} & = \frac{1}{2}\left( \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right)^{-1} . P \\ Q^{-1} & = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} \right)^{-1} P \end{align}$
Jadi, diperoleh $ Q^{-1} = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} \right)^{-1} P . \heartsuit $
Nomor 24
Nilai ujian dari peserta seleksi pegawai di suatu instansi diperlihatkan dalam tabel berikut :
spmb_matdas_2_2004.png
Seorang calon dinyatakan lulus jika nilainya sama dengan atau di atas rata-rata. Banyaknya calon yang lulus adalah ....
$\clubsuit \,$ Menentukan rata - rata
$\begin{align} \overline{x} & = \frac{\sum f_i.x_i}{\sum f_i} \\ & = \frac{2.3+4.4+6.5+20.6+10.7+5.8+2.9+1.10}{2+4+6+20+10+5+2+1} \\ & = 6,2 \end{align}$
Nilai lulus $\geq 6,2 $
banyak yang lulus = 10 + 5 + 2 + 1 = 18
Jadi, banyak yang lulus ada 18 orang. $ \heartsuit $
Nomor 25
Akar-akar persamaan kuadrat : $x^2+px+q=0, \, p\neq 0 \, $ dan $q\neq 0 \, $ adalah $x_1 \, $ dan $x_2 \, $. Jika $x_1, \, x_2, \, x_1+x_2 \, $ dan $x_1x_2 \, $ merupakan empat suku berurutan dari deret aritmetika, maka nilai $ p+q = .... $
$\spadesuit \, $ Operasi akar-akar
$x_1+x_2 = \frac{-b}{a} \rightarrow x_1+x_2 = -p \, \, $ ...pers(i)
$x_1.x_2 = \frac{c}{a} \rightarrow x_1.x_2 = q \, \, $ ...pers(ii)
$\spadesuit \, $ Barisan aritmatika : $x_1, \, x_2, \, x_1+x_2, \, x_1x_2 $
Selisih sama :
Pertama : $x_1, \, x_2, \, x_1+x_2 \rightarrow x_2 - x_1 = (x_1+x_2) - x_2 \rightarrow x_2 = 2x_1 $
Kedua : $x_2, \, x_1+x_2, \, x_1x_2 \rightarrow (x_1+x_2) - x_2 = x_1x_2 - (x_1+x_2) $
$ \rightarrow x_1 = x_1x_2 - (x_1+x_2) $
Substitusi $ x_2 = 2x_1 \, \, $ ke kedua
$\begin{align} x_1 & = x_1x_2 - (x_1+x_2) \\ x_1 & = x_1.(2x_1) - (x_1+2x_1) \\ x_1 & = 2x_1^2 - 3x_1 \\ 2x_1^2 - 4x_1 & = 0 \\ 2x_1(x_1 - 2) & = 0 \\ x_1 = 0 \rightarrow & \, \, \text{(tidak memenuhi)} \\ x_1 = 2 \rightarrow & x_2 = 2x_1 = 2.2 = 4 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $p \, $ dan $q$
pers(i) : $ x_1+x_2 = -p \rightarrow 2 + 4 = -p \rightarrow p= -6 $
pers(ii) : $ x_1.x_2 = q \rightarrow 2 . 4 = q \rightarrow q= 8 $
sehingga $ p+q = -6+8 = 2 $
Jadi, nilai $p+q = 2 . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2004 nomor 16 sampai 20


Nomor 16
Jika $ u = x^2 \, $ dan $ {}^x \log 10 = {}^u \log (5u-40), \, $ maka nilai $u \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Sifat logaritma : $ {{}^a}^n \log b^ n = {}^a \log b $
$\spadesuit \, $ Substitusi $u = x^2 \rightarrow x =\sqrt{u} $
$\begin{align} {}^x \log 10 & = {}^u \log (5u-40) \\ {}^\sqrt{u} \log 10 & = {}^u \log (5u-40) \\ {{}^\sqrt{u}}^2 \log 10^2 & = {}^u \log (5u-40) \\ {}^u \log 100 & = {}^u \log (5u-40) \\ 100 & = 5u-40 \\ 5u & = 140 \\ u & = 28 \end{align}$
Jadi, nilai $ u = 28 .\heartsuit $
Nomor 17
Jumlah suatu deret aritmetika adalah 20. Suku pertama deret tersebut adalah 8 dan bedanya $-2 \, $. Jika banyaknya suku deret tersebut adalah $n $ , maka $n $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Deret aritmetika : $S_n = \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) $
Diketahui : $a = 8 \, \, \, $ dan $\, \, b = -2 $
$\begin{align} S_n & = 20 \\ \frac{n}{2}(2a+(n-1)b) & = 20 \\ \frac{n}{\not{2}}(\not{2}.8+(n-1).(-\not{2})) & = 20 \\ n(8 + 1 - n ) & = 20 \\ n(9-n) & = 20 \\ 9n-n^2 & = 20 \\ n^2 - 9n + 20 & = 0 \\ (n-4)(n-5) & = 0 \\ n = 4 & \vee n = 5 \end{align}$
Jadi, nilai $n \, $ adalah 4 atau 5. $ \heartsuit $
Nomor 18
Suku ke-1 suatu deret geometri adalah $a^{-2} \, $ , $ a > 0 \, $ dan suku ke-2 adalah $a^p \, $. Jika suku ke-10 deret tersebut adalah $a^{70} \, $ , maka $p \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $U_n=ar^{n-1} $
Dik : $a=U_1 = a^{-2} , \, U_2 = a^p , \, \, U_{10} = a^{70} $
$r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{a^p}{a^{-2}} \rightarrow r = a^{p+2} $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $p$
$\begin{align} U_{10} & = a^{70} \\ U_1.r^9 & = a^{70} \\ a^{-2}. (a^{p+2})^9 & = a^{70} \\ a^{-2+9p+18} & = a^{70} \\ a^{9p+16} & = a^{70} \\ 9p+16 & = 70 \\ 9p & = 54 \\ p & = 6 \end{align}$
Jadi, nilai $ p = 6 . \heartsuit $
Nomor 19
Nilai $p \, $ yang memenuhi persamaan matriks $2\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right)+ \left( \begin{matrix} -6 & 2p \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) $ adalah ....
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $p$
$\begin{align} 2\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{matrix} \right)+ \left( \begin{matrix} -6 & 2p \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 4 & 2 \\ -2 & 6 \end{matrix} \right)+ \left( \begin{matrix} -6 & 2p \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 & -2 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} -2 & 2p+2 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -2 & -2 \\ 2 & 5 \end{matrix} \right) \end{align}$
sehingga : $2p+2 = -2 \rightarrow 2p = -4 \rightarrow p = -2 $
Jadi, nilai $ p = -2 . \heartsuit $
Nomor 20
Nilai rata-rata tes matematika dari kelompok siswa dan kelompok siswi di suatu kelas berturut-turut adalah 5 dan 7. Jika nilai rata-rata di kelas tersebut adalah 6,2 , maka perbandingan banyaknya siswa dan siswi adalah ....
$\spadesuit \, $ Data dibagi menjadi dua kelompok
banyak siswa = $n_a \, $ , rata - rata siswa : $ \overline{x}_a = 5 $
banyak siswi = $n_i \, $ , rata - rata siswi : $ \overline{x}_i = 7 $
rata - rata gabungan : $\overline{x}_{gb} = 6,2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan perbandingan dengan rata - rata gabungan
$\begin{align} \overline{x}_{gb} & = \frac{n_a. \overline{x}_a + n_i.\overline{x}_i}{n_a + n_i} \\ 6,2 & = \frac{5n_a + 7n_i}{n_a + n_i} \\ 6,2n_a+6,2n_i & = 5n_a + 7n_i \\ 6,2n_a-5n_a & = 7n_i - 6,2n_i \\ 1,2n_a & = 0,8n_i \\ \frac{n_a}{n_i} & = \frac{0,8}{1,2} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \end{align}$
Jadi, perbandingan banyaknya siswa dan siswi adalah 2 : 3 $ \heartsuit $
$\spadesuit \, $ Data dibagi menjadi dua kelompok
banyak siswa = $n_a \, $ , rata - rata siswa : $ \overline{x}_a = 5 $
banyak siswi = $n_i \, $ , rata - rata siswi : $ \overline{x}_i = 7 $
rata - rata gabungan : $\overline{x}_{gb} = 6,2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan perbandingan
$\begin{align} \frac{n_a}{n_i} & = \left| \frac{\overline{x}_{gb} - \overline{x}_i}{\overline{x}_{gb} - \overline{x}_a} \right| \\ & = \left| \frac{6,2 - 7}{6,2 - 5} \right| \\ & = \frac{0,8}{1,2} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \end{align}$
Jadi, perbandingan banyaknya siswa dan siswi adalah 2 : 3 $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2004 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
$\displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{\sin x}{\sqrt{1-x}-1} = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar : $ \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b} $
$\spadesuit \, $ Merasionalkan penyebutnya
$\begin{align} \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{\sin x}{\sqrt{1-x}-1} & = \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{\sin x}{\sqrt{1-x}-1} . \frac{\sqrt{1-x}+1}{\sqrt{1-x}+1} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{\sin x}{(1-x)-1} . (\sqrt{1-x}+1) \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to 0} \frac{\sin x}{-x} . (\sqrt{1-x}+1) \\ & = \frac{1}{-1} . (\sqrt{1-0}+1) \\ & = -2 \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah -2. $ \heartsuit $
Nomor 12
Kurva $y = x^3+6x^2-16 \, $ naik untuk nilai $x \, $ yang memenuhi ....
$\clubsuit \, $ Fungsi naik , syarat : $f^\prime {x} > 0 $
$y = x^3+6x^2-16 \rightarrow y^\prime = 3x^2+12x $
$\begin{align} \text{Fungsi naik} \, \rightarrow y^\prime & > 0 \\ 3x^2+12x & > 0 \\ 3x(x+4) & > 0 \\ x=0 & \vee x = -4 \end{align}$
spmb_matdas_7_2004.png
Jadi, fungsi naik saat $ \{ x < -4 \vee x > 0 \} . \heartsuit $
Nomor 13
Jika kurva $y=2x^5-5x^4+20 \, $ mencapai minimum di titik $(x_0, \, y_0) \, $ , maka $x_0 = ....$
$\spadesuit \, $ Nilai maks/min , syarat : $f^\prime (x) = 0 \, \, $ (turunan = 0 )
$y=2x^5-5x^4+20 \rightarrow y^\prime = 10x^4 - 20x^3 \, \, $ dan $ y^\prime {}^\prime = 40x^3-60x^2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $x \, $ dengan $ y \, $ minimum
$\begin{align} y^\prime & = 0 \\ 10x^4 - 20x^3 & = 0 \\ 10x^3(x-2) & = 0 \\ x=0 & \vee x = 2 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Cek turunan kedua : $ y^\prime {}^\prime = 40x^3-60x^2 $
$x=0 \rightarrow y^\prime {}^\prime = 40.0^3-60.0^2 = 0 \, \, $ (titik belok)
$x=2 \rightarrow y^\prime {}^\prime = 40.2^3-60.2^2 = 320 - 240 = 80 > 0 \, \, $ (minimum)
artinya fungsi minimum saat $x=2 \, \, $ sehingga $x_0 = 2 $
Jadi, nilai $x_0 = 2 . \heartsuit $
Nomor 14
Jika garis $g \, $ menyinggung kurva $y=3\sqrt{x} \, $ di titik yang berabsis 1, maka garis $g \, $ akan memotong sumbu X di titik ....
$\clubsuit \,$ Menentukan titik singgung, substitusi $ x = 1 \, \, $ (absis)
$x=1 \rightarrow y=3\sqrt{x} = 3\sqrt{1} = 3 $
titik singgungnya $(x_1,y_1) = (1,3) $
$\clubsuit \,$ Gradien garis singgung di titik (1,3) : $m=f^\prime (1) $
$ y=3\sqrt{x} \rightarrow y^\prime = \frac{3}{2\sqrt{x}} $
$m=f^\prime (1) \rightarrow m = \frac{3}{2\sqrt{1}} \rightarrow m = \frac{3}{2} $
$\clubsuit \,$ Persamaan garis singgung
$y-y_1 = m (x-x_1) \rightarrow y-3 = \frac{3}{2} ( x-1) \rightarrow 2y=3x+3 $
$\clubsuit \,$ Titik potong sumbu X, substitusi $y = 0 $
$ 2y=3x+3 \rightarrow 2.0=3x+3 \rightarrow 3x=-3 \rightarrow x=-1 $
Jadi, titik potong sumbu X adalah $ (-1,0) . \heartsuit $
Nomor 15
$\frac{\left( {}^5 \log 10 \right)^2 - \left( {}^5 \log 2 \right)^2}{{}^5 \log \sqrt{20}} = .... $
$\spadesuit \, $ Sifat logaritma
$ {}^a \log bc = {}^a \log b + {}^a \log c $
$ {}^a \log \frac{b}{c} = {}^a \log b - {}^a \log c $
$ {}^a \log b^n = n. {}^a \log b $
$p^2-q^2 = (p-q)(p+q) $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan bentuk log
$\begin{align} & \frac{\left( {}^5 \log 10 \right)^2 - \left( {}^5 \log 2 \right)^2}{{}^5 \log \sqrt{20}} \\ & = \frac{\left( {}^5 \log 10 - {}^5 \log 2 \right).\left( {}^5 \log 10 + {}^5 \log 2 \right)}{{}^5 \log 20^\frac{1}{2}} \\ & = \frac{\left( {}^5 \log \frac{10}{2} \right).\left( {}^5 \log 10.2 \right)}{\frac{1}{2}.{}^5 \log 20} \\ & = \frac{\left( {}^5 \log 5 \right).\left( {}^5 \log 20 \right)}{\frac{1}{2}.{}^5 \log 20} \\ & = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \end{align}$
Jadi, nilainya adalah 2. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2004 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Nilai maksimum dari $f(x,y) = 10x+20y \, $ dengan kendala $x \geq 0, y \geq 0, x+4y \leq 120, x+y \leq 60 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Gambar daerah penyelesaian dan titik potong kedua garis
$ x+4y \leq 120 \rightarrow (0,30), \, (120,0) $
$ x+y \leq 60 \rightarrow (0,60), \, (60,0) $
titik potong kedua garis dengan eliminasi
$\begin{array}{cc} x+4y = 120 & \\ x+y = 60 & - \\ \hline 3y = 60 \rightarrow y=20 \end{array} $
$x+y=60 \rightarrow x+20 = 60 \rightarrow x = 40 $
sehingga titik potong kedua garis : (40, 20)
spmb_matdas_4_2004.png
$\spadesuit \, $ Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan : $f(x,y) = 10x+20y $
A(60,0) $\rightarrow \, f = 10.60 + 20.0 = 600 $
B(40,20) $\rightarrow \, f = 10.40 + 20.20 = 800 $
C(0,30) $\rightarrow \, f = 10.0 + 20.30 = 600 $
Jadi, nilai maksimumnya adalah 800. $ \heartsuit $
Nomor 7
spmb_matdas_1_2004.png
Jika $\Delta$ABC siku-siku samakaki, AC = BC = 4, dan AD = CE, maka luas minimum dari segiempat ABED adalah ....
$\clubsuit \, $ Misalkan : CE = $x $ , maka AD = $x $ , dan CD = $4-x$
$\begin{align} L_{ABED} \, & = L_{ABC} - L_{CDE} \\ L & = \frac{1}{2}.4.4 - \frac{1}{2}.x.(4-x) \\ L & = 8-2x+\frac{1}{2}x^2 \\ L^\prime & = -2+x \end{align} $
$\clubsuit \, $ Luas minimum : $L^\prime = 0 \, \, $ (turunan = 0 )
$L^\prime = 0 \rightarrow -2+x = 0 \rightarrow x = 2 $
sehingga : $ L = 8-2x+\frac{1}{2}x^2 = 8-2.2+\frac{1}{2}.2^2 = 8-4+2 = 6 $
Jadi, luas minimumnya adalah 6 . $ \heartsuit$

Cara II
$\clubsuit \, $ Untuk keadaan seperti gambar
Luas minimumnya : $L_{ABED} = \frac{3}{4}. L_{ABC} $
$L = \frac{3}{4}. L_{ABC} = \frac{3}{4}. \frac{1}{2} . 4. 4 = 6 $
Jadi, luas minimumnya adalah 6 . $ \heartsuit$
Nomor 8
Jika $2\tan ^2 x + 3 \tan x - 2 = 0, \, \frac{1}{2}\pi < x < \pi, \, $ maka $\sin x + \cos x = .... $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $\tan x $
$\begin{align*} 2\tan ^2 x + 3 \tan x - 2 & = 0 \\ (2\tan x -1)(\tan x + 2) & = 0 \\ \tan x = \frac{1}{2} & \vee \tan x = -2 \end{align*}$
Karena $x \, $ dikuadran II , maka nilai $\tan x \, \, $ harus negatif, sehingga yang memenuhi adalah $\tan x = -2 \, \, \, $ atau $ \tan x = -\frac{2}{1} $
spmb_matdas_5_2004.png
Sehingga nilai :
$\sin x + \cos x = \frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{5} \sqrt{5} $
Jadi, nilai $\sin x + \cos x = \frac{1}{5} \sqrt{5} . \heartsuit$
Nomor 9
Pada $\Delta$ ABC diketahui D adalah titik tengah AC. Jika BC = $a $ , AC = $b $ , dan BD = $d $ , maka $d^2 = ....$
$\clubsuit \, $ Gambar
spmb_matdas_6_2004.png
$\clubsuit \, $ Aturan cosinus pada segitiga ABD
$\begin{align*} d^2 & = c^2+(\frac{1}{2}b)^2 - 2. c.(\frac{1}{2}b) . \cos A \\ d^2 & = c^2+\frac{1}{4}b^2 - bc \cos A \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Aturan cosinus pada segitiga ABC
$\begin{align*} a^2 & = b^2+c^2 - 2. b.c . \cos A \\ \cos A & = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(ii) ke pers(i)
$\begin{align*} d^2 & = c^2+\frac{1}{4}b^2 - bc \cos A \, \, \, \text{...pers(i)} \\ d^2 & = c^2+\frac{1}{4}b^2 - bc .\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\ d^2 & = c^2+\frac{1}{4}b^2 - \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}c^2 + \frac{1}{2}a^2 \\ d^2 & = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}c^2 - \frac{1}{4}b^2 \end{align*}$
Jadi, nilai $ d^2 = \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}c^2 - \frac{1}{4}b^2 . \heartsuit$
Nomor 10
$\displaystyle \lim_{ x \to -2} \frac{x^2+5x+6}{x^2-4} = .... $
$\spadesuit \, $ Memfaktorkan
$\begin{align} \displaystyle \lim_{ x \to -2} \frac{x^2+5x+6}{x^2-4} & = \displaystyle \lim_{ x \to -2} \frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)(x-2)} \\ & = \displaystyle \lim_{ x \to -2} \frac{x+3}{x-2} \\ & = \frac{-2+3}{-2-2} \\ \displaystyle \lim_{ x \to -2} \frac{x^2+5x+6}{x^2-4} & = -\frac{1}{4} \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah $ -\frac{1}{4} . \heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, $ Menggunakan turunan
$\begin{align} \displaystyle \lim_{ x \to -2} \frac{x^2+5x+6}{x^2-4} & = \displaystyle \lim_{ x \to -2} \frac{2x+5}{2x} \\ & = \frac{2.(-2)+5}{2.(-2)} \\ \displaystyle \lim_{ x \to -2} \frac{x^2+5x+6}{x^2-4} & = -\frac{1}{4} \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah $ -\frac{1}{4} . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2004


Nomor 1
Nilai $x $ yang memenuhi persamaan $ \frac{0,09^{\frac{1}{2}(x-3)}}{0,3^{(3x+1)}} = 1 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Konsep Dasar
$ (a^n)^m = a^{n.m} \, \, $ dan $ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} \frac{0,09^{\frac{1}{2}(x-3)}}{0,3^{(3x+1)}} & = 1 \\ 0,09^{\frac{1}{2}(x-3)} & = 0,3^{(3x+1)} \\ ((0,3)^2)^{\frac{1}{2}(x-3)} & = 0,3^{(3x+1)} \\ 0,3^{(x-3)} & = 0,3^{(3x+1)} \\ x-3 & = 3x+1 \\ 2x & = -4 \\ x & = -2 \end{align}$
Jadi, nilai $ x = -2. \heartsuit $
Nomor 2
Jika $n \, $ bilangan bulat, maka : $\frac{2^{n+2}.6^{n-4}}{12^{n-1}} = .... $
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
$ (ab)^n = a^n . b^n , \, \, a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} \, \, $ dan $ a^{m+n}=a^m.a^n $
$\spadesuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} \frac{2^{n+2}.6^{n-4}}{12^{n-1}} & = \frac{2^n.2^2.\frac{6^n}{6^4}}{\frac{12^n}{12^1}} \\ & = \frac{2^n.2^2.6^n.12^1}{12^n.6^4} \\ & = \frac{2^n.4.6^n.12^1}{(2.6)^n.6^4} \\ & = \frac{2^n.4.6^n.12}{2^n.6^n.6^4} \, \, \text{(coret } \, \, 2^n.6^n ) \\ & = \frac{4 \times 12}{6^4} = \frac{1}{27} \end{align}$
Jadi, bentuk sederhananya adalah $ \frac{1}{27}. \heartsuit $
Nomor 3
Agar kurva $y=mx^2-2mx+m \, $ seluruhnya terletak di atas kurva $y=2x^2-3 \, $ , maka konstanta $m \, $ memenuhi ....
$\clubsuit \, $ Kurva $y_1=mx^2-2mx+m \, $ terletak di atas kurva $y_2=2x^2-3 \, $
Berlaku :
$\begin{align*} y_1 & > y_2 \\ mx^2-2mx+m & > 2x^2-3 \\ (m-2)x^2-2mx+(m+3) & > 0 \\ a=m-2 , \, b = -2m , \, & c= m+3 \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Bentuk $ (m-2)x^2-2mx+(m+3) > 0 \, \, \, $ adalah definit positif syarat : $a>0 \, $ dan $ D < 0$
Syarat I : $a>0 \rightarrow m-2>0 \rightarrow m>2 \, \, $ ... HP1
$\begin{align*} \text{syarat II : } \, D < 0 \rightarrow b^2-4ac & < 0 \\ (-2m)^2-4.(m-2)(m+3) & < 0 \\ 4m^2 - 4m^2-4m+24 & < 0 \\ -4m & < -24 \\ m & > 6 \, \, \, \text{...(HP2)} \end{align*}$
Sehingga, solusinya : HP = HP1 $\cap $ HP2 = $\{ m > 6 \} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ m > 6 \} . \heartsuit $
Nomor 4
Persamaan garis dengan gradien 2 dan menyinggung parabol $ y = (x-1)^2 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Gradien garis singgung : $m = f^\prime (x) \, \, \, $ dengan $ m = 2 $
$ y = (x-1)^2 \rightarrow y^\prime = 2(x-1) $
$ m = f^\prime (x) \rightarrow 2 = 2(x-1) \rightarrow x = 2 $
$\spadesuit \, $ Menentukan titik singgung dengan substiusi $x=2$
$x=2 \rightarrow y = (x-1)^2 = (2-1)^2 = 1 $
sehingga titik singgungnya : $(x_1,y_1) = (2,1) $
$\spadesuit \, $ Menentukan persamaan garis singgung
$\begin{align} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y- 1 & = 2(x-2) \\ y-1 & = 2x - 4 \\ 2x - y -3 & = 0 \end{align}$
Jadi, PGS nya adalah $ 2x - y -3 = 0 . \heartsuit $
Nomor 5
Penyelesaian pertidaksamaan : $ \frac{2x^2-x-3}{x^2-x-6} < 0 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan akar-akar pecahan
$\begin{align*} \frac{2x^2-x-3}{x^2-x-6} & < 0 \\ \frac{(2x-3)(x+1)}{(x+2)(x-3)} & < 0 \\ x=\frac{3}{2}, \, x = -1, \, x= -2 , & x= 3 \end{align*}$
spmb_matdas_3_2004.png
Jadi, solusinya adalah $ \{ -2 < x < -1 \vee \frac{3}{2} < x < 3 \} . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2005 nomor 21 sampai 25


Nomor 21
Nilai $x \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $\frac{x^2-4x+4}{x^2+x-12} \leq 0 \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan pertidaksamaan
$\begin{align} \frac{x^2-4x+4}{x^2+x-12} \leq 0 \\ \frac{(x-2)^2}{(x-3)(x+4)} \leq 0 \\ x=2, \, x= 3, \, x = -4 \end{align}$
spmb_matdas_3_2005.png
Jadi, solusinya adalah $ HP = \{ -4 < x < 3 \} . \heartsuit $
Nomor 22
Nilai maksimum dari $20x+8 \, $ untuk $x \, $ dan $y \, $ yang memenuhi $x+y \geq 20 , \, 0 \leq x \leq 20 \, $ dan $ 0 \leq y \leq 48 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Gambar
spmb_matdas_4_2005.png
$\clubsuit \, $ Substitusi semua titik pojok ke fungsi tujuan : $z = 20x+8 $
$A(20,0) \rightarrow z=20.20 + 8 = 408 $
$B(20,48) \rightarrow z=20.20 + 8 = 408 $
$C(0,48) \rightarrow z=20.0 + 8 = 8 $
$D(0,20) \rightarrow z=20.0 + 8 = 8 $
Jadi, nilai maksimumnya adalah 408. $ \heartsuit $
Nomor 23
Jika sudut $\theta \, $ di kuadran IV dan $\cos \theta = \frac{1}{a} \, $ , maka $\sin \theta = .... $
$\spadesuit \, \theta \, \, $ dikuadran IV artinya nilai $\cos \, $ positif, sehingga untuk $\cos \theta = \frac{1}{a} \, $ , maka nilai $ a > 0 \, $ (positif)
spmb_matdas_5_2005.png
$\spadesuit \, $ Nilai $\sin \theta \, $ negatif karena di kuadran IV
$ \sin \theta = -\frac{\sqrt{a^2-1}}{a} $
Jadi, nilai $ \sin \theta = -\frac{\sqrt{a^2-1}}{a} . \heartsuit $
Nomor 24
Bilangan bulat terkecil $n \, $ yang memenuhi $n \cos \frac{1}{6} \pi > 30 \, $ adalah ....
$\clubsuit \,$ Menentukan nilai $n$
$\begin{align} n \cos \frac{1}{6} \pi & > 30 \\ n \cos 30^\circ & > 30 \\ n . \frac{1}{2} \sqrt{3} & > 30 \\ n & > \frac{30}{\sqrt{3}} . 2 \\ n & > 20\sqrt{3} \\ n & > 34,64 \end{align}$
Jadi, nilai $n \, $ bulat terkecil adalah 35. $ \heartsuit $
Nomor 25
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{-x+ \tan x }{x} = .... $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai limitnya
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{-x+ \tan x }{x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{-x }{x} + \frac{ \tan x }{x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0} -1 + \frac{ \tan x }{x} \\ & = -1 + \frac{1}{1} = -1 + 1 = 0 \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah 0. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2005 nomor 16 sampai 20


Nomor 16
Jika $f(n) = 2^{n+2}6^{n-4} \, \, $ dan $g(n) = 12^{n-1} \, \, $ , $n \, $ bilangan asli, maka $\frac{f(n)}{g(n)} = .... $
$\spadesuit \, $ Sifat-sifat eksponen (perpangkatan)
$a^{m+n} = a^m.a^m , \, \, \, a^n.b^n = (a.b)^n , \, \, \, a^{-n} = \frac{1}{a^n} $
$\spadesuit \, $ Mederhanakan pecahannya
$\begin{align} \frac{f(n)}{g(n)} & = \frac{2^{n+2}6^{n-4}}{12^{n-1}} \\ & = \frac{2^n.2^2.6^n.6^{-4}}{12^n.12^{-1}} \\ & = \frac{(2.6)^n.4.\frac{1}{6^{4}}}{12^n.\frac{1}{12^{1}}} = \frac{12^n. \frac{4}{6^4}}{12^n.\frac{1}{12}} = \frac{4}{6^4} . 12 \\ \frac{f(n)}{g(n)} & = \frac{1}{27} \end{align}$
Jadi, nilai $ \frac{f(n)}{g(n)} = \frac{1}{27} .\heartsuit $
Nomor 17
Nilai $x$ yang memenuhi persamaan $ \frac{\sqrt[3]{(0,008)^{7-2x}}}{(0,2)^{-4x+5}} = 1 \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Sifat-sifat eksponen (perpangkatan)
$\sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n}, \, \, \, (a^n)^m = a^{a.m}, \, \, \, a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
$\clubsuit \, $ Menyederhanakan soal
$\begin{align} \frac{\sqrt[3]{(0,008)^{7-2x}}}{(0,2)^{-4x+5}} & = 1 \, \, \, \text{(kalikan silang)} \\ \sqrt[3]{(0,008)^{7-2x}} & = (0,2)^{-4x+5} \\ (0,008)^{\frac{7-2x}{3}} & = (0,2)^{-4x+5} \\ (([0,2]^3)^{\frac{7-2x}{3}} & = (0,2)^{-4x+5} \\ (0,2)^{7-2x} & = (0,2)^{-4x+5} \\ 7-2x & = -4x+5 \\ 2x & = -2 \rightarrow x =-1 \end{align}$
Jadi, nilai $ x = -1. \heartsuit $
Nomor 18
Garis $x+y=4 \, $ memotong parabola $y=4x-x^2 \, $ di titik A dan B. Panjang ruas AB adalah ....
$\spadesuit \, $ Substitusi parabola ke garis
$\begin{align} x+ (4x-x^2) & =4 \\ x+ (4x-x^2) & =4 \\ x^2-5x+4 & = 0 \\ (x-1)(x-4) & = 0 \\ x=1 \vee x=4 \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi nilai $x\, $ ke garis
$x=1 \rightarrow x+y=4 \rightarrow 1 + y = 4 \rightarrow y=3 $
sehingga titik A(1,3)
$x=4 \rightarrow x+y=4 \rightarrow 4 + y = 4 \rightarrow y=0 $
sehingga titik B(4,0)
$\spadesuit \, $ Jarak AB :
$|AB| = \sqrt{(4-1)^2+(0-3)^2} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $
Jadi, Panjang ruas AB adalah $ 3\sqrt{2}. \heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, $ Substitusi parabola ke garis
$\begin{align} x+ (4x-x^2) & =4 \\ x+ (4x-x^2) & =4 \\ x^2-5x+4 & = 0 \end{align}$
$D=b^2-4ac = (-5)^2-4.1.4 = 9 \, \, \, $ dan nilai $ a =1 $
Garis : $ x + y = 4 \rightarrow y=-x+4 \, \, $ gradiennya $m = -1 $
$\spadesuit \, $ Jarak perpotongan kedua titik : $|AB| = \left| \frac{m}{a} \sqrt{2D} \right| $
sehingga : jarak $|AB| = \left| \frac{-1}{1} \sqrt{2.9} \right| = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $
Jadi, Panjang ruas AB adalah $ 3\sqrt{2}. \heartsuit $
Nomor 19
Parabola $y=ax^2+bx+c \, $ melalui titik (0,1) , (1,0) , dan (3,0). Jika titik minimum parabola tersebut adalah ($p, \, q $ ) , maka $q = ....$
$\clubsuit \,$ Substitusi semua titik ke parabola
$(0,1) \rightarrow 1 = a.0^2+b.0+c \rightarrow c = 1 $
sehingga fungsi parabola menjadi : $y=ax^2+bx+1 $
$(1,0) \rightarrow 0 = a.1^2+b.1+1 \rightarrow a+b = -1 \, \, \, $ ...pers(i)
$(3,0) \rightarrow 0 = a.3^2+b.3+1 \rightarrow 9a+3b = -1 \, \, \, $ ...pers(ii)
$\clubsuit \,$ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{array}{c|c|cc} 9a+3b = -1 & \text{kali 1 } & 9a+3b = -1 & \\ a+b = -1 & \text{kali 3 } & 3a+3b = -3 & - \\ \hline & & 6a = 2 \rightarrow a = \frac{1}{3} & \end{array} $
$a+b = -1 \rightarrow \frac{1}{3} + b = -1 \rightarrow b = -\frac{4}{3} $
sehingga fungsi parabola menjadi : $y=\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+1 $
$\clubsuit \,$ Menentukan titik puncak ($x_p , \, y_p $ )
$ x_p = \frac{-b}{2a} = \frac{\frac{4}{3}}{2.\frac{1}{3}} = 2 $
$y_p = f(x_p) = f(2) = \frac{1}{3}.2^2-\frac{4}{3}.2+1 = -\frac{1}{3} $
titik puncaknya : ($p, \, q ) = (2, \, -\frac{1}{3} ) $
Jadi, nilai $q = -\frac{1}{3}. \heartsuit $
Nomor 20
Akar-akar persamaan kuadrat $x^2+5x+k=0 \, $ adalah $x_1 \, $ dan $x_2 \, $. Jika $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} = -\frac{73}{24} \, \, $ , maka nilai $k \, $ adalah ....
$\spadesuit \, $ Operasi akar-akar pada persamaan kuadrat
$ x_1+x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-5}{1} \rightarrow x_1+x_2 = -5 $
$ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{k}{1} \rightarrow x_1.x_2 = k $
$x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2(x_1.x_2) = (-5)^2-2(k) \rightarrow x_1^2+x_2^2 = 25-2k $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $k$
$\begin{align} \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} & = -\frac{73}{24} \\ \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1.x_2} & = -\frac{73}{24} \\ \frac{25-2k}{k} & = -\frac{73}{24} \\ 24.(25-2k) & = -73k \\ 600 - 48k & = -73k \\ 73k-48k & = -600 \\ 25k & = -600 \rightarrow k = -24 \end{align}$
Jadi, nilai $k = -24. \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2005 nomor 11 sampai 15


Nomor 11
Jika $A = \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) \, \, $ dan $B = \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) \, \, $ , maka $(A+B)(A-B)-(A-B)(A+B) \, \, $ adalah matriks ....
$\spadesuit \, $ Menentukan operasi matriks
$A + B = \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
$A - B = \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan soalnya
$\begin{align} & (A+B)(A-B)-(A-B)(A+B) \\ & = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) .\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -3 & 2 \\ -2 & 1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ -2 & -3 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -4 & 0 \\ 0 & 4 \end{matrix} \right) = 4\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \end{align}$
Jadi, nilainya adalah $ 4\left( \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right). \heartsuit $
Nomor 12
Nilai rata-rata suatu ulangan adalah 5,9. Empat anak dari kelas lain mempunyai nilai rata-rata 7. Jika nilai rata-rata mereka setelah digabung menjadi 6, maka banyaknya anak sebelum digabung dengan empat anak tadi adalah ....
$\clubsuit \, $ Misalkan banyak orang pada kelas yang rata-ratanya 5,9 sebanyak $n$
Kelas dibagi menjadi dua kelompok :
Kelompok I : $n_1= n \, $ dan $\overline{x}_1=5,9 $
Kelompok II : $n_2= 4 \, $ dan $\overline{x}_2=7 $
Rata-rata gabungannya : $\overline{x}_{gb} = 6 $
$\clubsuit \, $ Menentukan $n \, $ dengan rata-rata gabungan
$\begin{align} \overline{x}_{gb} & = \frac{n_1.\overline{x}_1+n_2.\overline{x}_2}{n_1+n_2} \\ 6 & = \frac{n.(5,9)+4.7}{n+4} \\ 6n+24 & = 5,9n + 28 \\ 0,1n & = 4 \\ n & = \frac{4}{0,1} = 40 \end{align}$
Jadi, banyaknya anak sebelum digabung adalah 40 orang. $ \heartsuit $
Nomor 13
Nilai rata-rata ulangan kelas A adalah $\overline{X}_A \, \, $ dan kelas B adalah $\overline{X}_B $ . Setelah kedua kelas digabung, nilai rata-ratanya adalah $\overline{X} $ . Jika $\overline{X}_A : \overline{X}_B = 10 : 9 \, \, $ dan $\overline{X} : \overline{X}_B = 85:81 \, \, $ maka perbandingan banyaknya siswa dikelas A dan B adalah ....
$\spadesuit \, $ Mengubah persamaan
$\frac{\overline{x}_A}{\overline{x}_B} = \frac{10}{9} \rightarrow \overline{x}_A = \frac{10}{9}\overline{x}_B $
$\frac{\overline{x}}{\overline{x}_B} = \frac{85}{81} \rightarrow \overline{x} = \frac{85}{81}\overline{x}_B = \overline{x}_{gb} $
$\spadesuit \, $ Menentukan perbandingan dengan rata-rata gabungan
$\begin{align} \overline{x}_{gb} & = \frac{n_A.\overline{x}_A+n_B.\overline{x}_B}{n_A+n_B} \\ \frac{85}{81}\overline{x}_B & = \frac{n_A. \frac{10}{9}\overline{x}_B +n_B.\overline{x}_B}{n_A+n_B} \, \, \, \text{(coret } \, \overline{x}_B ) \\ \frac{85}{81} & = \frac{n_A. \frac{10}{9} +n_B}{n_A+n_B} \\ \frac{85}{81}n_A + \frac{85}{81}n_B & = \frac{10}{9}n_A + n_B \\ \frac{85}{81}n_B - n_B & = \frac{10}{9}n_A - \frac{85}{81}n_A \\ \frac{4}{81}n_B & = \frac{5}{81}n_A \, \, \, \text{(coret 81)} \\ 4n_B & = 5n_A \\ \frac{n_A}{n_B} & = \frac{4}{5} \end{align}$
Jadi, perbandingan siswa kelas A dan Kelas B adalah 4 : 5. $ \heartsuit $
Nomor 14
Parabola $y=kx^2-\frac{4}{9}x+1 \, \, $ memotong sumbu Y di titik (0, $p$ ), serta memotong sumbu X di titik ($q$ , 0) dan ($r$ , 0). Jika $p, \, q, \, \, $ dan $r \, \, $ membentuk barisan geometri yang jumlahnya 13, maka $k = ....$
$\clubsuit \,$ Substitusi titik (0, $p$ ) ke fungsi parabola
$y=kx^2-\frac{4}{9}x+1 \rightarrow p=k.0^2-\frac{4}{9}.0+1 \rightarrow p =1 $
$\clubsuit \,$ Parabola memotong titik ($q$ , 0) dan ($r$ , 0) artinya $q\, $ dan $r \, $ adalah akar-akar dari persamaan $ kx^2-\frac{4}{9}x+1 = 0 $
Sehingga : $q.r = \frac{c}{a} \rightarrow q.r = \frac{1}{k} \rightarrow k = \frac{1}{q.r} \, \, $ ...pers(i)
$\clubsuit \,$ Barisan geometri : $p,q,r \, \, $ atau $\, 1, q,r $
Rasio sama : $\frac{q}{1} = \frac{r}{q} \rightarrow r = q^2 \, \, $ ...pers(ii)
Jumlahnya : $1+q+r=13 \rightarrow q+r = 12 \, \, $ ...pers(iii)
$\clubsuit \,$ Substitusi pers(ii) ke pers(iii)
$\begin{align} q+r & = 12 \\ q+q^2 & = 12 \\ q^2+q-12 & = 0 \\ (q-3)(q+4) & = 0 \\ q=3 \rightarrow r & =q^2 = 3^2 = 9 \\ k & = \frac{1}{q.r} = \frac{1}{3.9} = \frac{1}{27} \\ q=-4 \rightarrow r & =q^2 = (-4)^2 = 16 \\ k & = \frac{1}{q.r} = \frac{1}{(-4).16} = -\frac{1}{64} \end{align}$
Jadi, nilai $k \, $ yang memenuhi adalah $\frac{1}{27} \, $ atau $ \, -\frac{1}{64}. \heartsuit $
Nomor 15
Garis $g \, $ melalui titik (4,3) memotong sumbu X positif di A dan sumbu Y positif di B. Agar luas $\Delta$AOB minimum, maka panjang ruas garis AB adalah ....
$\spadesuit \, $ Gambar
spmb_matdas_2_2005.png
Persamaan garis AB : $tx+ay=at $
Substitusi titik (4,3) ke persamaan garis, diperoleh:
$tx+ay=at \rightarrow 4t+3a=at \rightarrow at-3a = 4t $
$ a(t-3) = 4t \rightarrow a=\frac{4t}{t-3} $
$\spadesuit \, $ Luas segitiga AOB
$L_\Delta = \frac{1}{2}a.t = \frac{1}{2}\frac{4t}{t-3}.t \rightarrow L_\Delta = 2\frac{t^2}{t-3} $
$L^\prime = 2.\frac{2t(t-3)-t^2}{(t-3)^2} = 2.\frac{t^2-6t}{(t-3)^2} $
$\spadesuit \, $ Luas segitiga minimum : $ L^\prime = 0 \, \, $ (turunannya)
$\begin{align} L^\prime & = 0 \\ 2.\frac{t^2-6t}{(t-3)^2} & = 0 \\ t^2-6t & = 0 \\ t(t-6) & = 0 \\ t = 0 & \vee t=6 \end{align}$
Yang memenuhi $t=6$
Sehinnga : $a=\frac{4t}{t-3} = \frac{4.6}{6-3} = 8 $
Panjang AB : $|AB| = \sqrt{OA^2+OB^2} = \sqrt{8^2+6^2} = 10 $
Jadi, panajang AB adalah 10. $ \heartsuit $

Cara II
$\spadesuit \, $ Gambar
spmb_matdas_2a_2005.png
$\spadesuit \, $ Agar luas segitiga minimum, haruslah :
$a = 2\times p \, \, $ dan $ t= 2 \times l $
Sehingga : $a = 2\times 4 = 8 \, \, $ dan $t= 2\times 3 = 6 $
Panjang AB : $|AB| = \sqrt{OA^2+OB^2} = \sqrt{8^2+6^2} = 10 $
Jadi, panajang AB adalah 10. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2005 nomor 6 sampai 10


Nomor 6
Jika grafik fungsi $y=N\left( 3^{-ax} \right) \, \, $ melalui titik (1, $\frac{1}{27} $ ) dan $(\frac{1}{2}, \, \frac{1}{9} ) $ , maka nilai $a \, $ yang memenuhi adalah ....
$\begin{align} \spadesuit \, \text{Substitusi} \, & \, \text{titik pertama} \\ (1,\frac{1}{27}) \rightarrow y & = N\left( 3^{-ax} \right) \\ \frac{1}{27} & = N\left( 3^{-a.1} \right) \\ \frac{1}{27} & = \frac{N}{3^a} \\ 3^a & = 27 N \, \, \, \text{...pers(i)} \end{align}$ $\begin{align} \spadesuit \, \text{Substitusi} \, & \, \text{titik kedua} \\ (\frac{1}{2}, \, \frac{1}{9}) \rightarrow y & = N\left( 3^{-ax} \right) \\ \frac{1}{9} & = N\left( 3^{-a.\frac{1}{2}} \right) \\ \frac{1}{9} & = \frac{N}{3^{\frac{1}{2}a}} \\ 3^{\frac{1}{2}a} & = 9 N \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align}$
$\spadesuit \, $ Bagi pers(i) dan pers(ii)
$\begin{align} \frac{3^a}{3^{\frac{1}{2}a}} & = \frac{27N}{9N} \\ 3^{\frac{1}{2}a} & = 3^1 \\ \frac{1}{2}a & = 1 \rightarrow a = 2 \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 2 . \heartsuit $
Nomor 7
Pada suatu hari Andi, Bayu, dan Jodi panen jeruk. Hasil kebun Jodi 10 kg lebih sedikit dari hasil kebun Andi dan lebih banyak 10 kg dari hasil kebun Bayu. Jika jumlah hasil panen dari ketiga kebun itu 195 kg, maka hasil panen Andi adalah ....
$\clubsuit \, $ Jodi 10 kg lebih sedikit dari Andi
$J = A -10 \, \, $ ...pers(i)
$\clubsuit \, $ Jodi 10 kg lebih banyak dari Bayu
$J = B + 10 \, \, $ ...pers(ii)
$\clubsuit \, $ Jumlah total
$A+B+J = 195 \, \, $ ...pers(iii)
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(i) ke pers(ii)
$ J = B + 10 \rightarrow A-10 = B + 10 \rightarrow B = A - 20 \, \, \, $ ...pers(iv)
$\clubsuit \, $ Substitusi pers(i) dan pers(iv) ke pers(iii)
$\begin{align} A+B+J & = 195 \\ A+(A-20)+(A-10) & = 195 \\ 3A & = 195 + 30 \\ 3A & = 225 \\ A & = 75 \end{align} $
Jadi, hasil panen Andi sebanyak 75. $ \heartsuit$
Nomor 8
Suku kedua dari suatu deret aritmetika adalah 5. Jika jumlah suku ke-4 dan ke-6 sama dengan 28, maka suku ke-9 adalah ....
$\spadesuit \, $ Barisan aritmetika : $U_n = a+(n-1)b $
$U_2=5 \rightarrow a+b = 5 \, \, \, $ ...pers(i)
$\begin{align*} U_4 + U_6 = 28 \rightarrow (a+3b)+(a+5b) & = 28 \\ 2a+8b & = 28 \\ a+4b & = 14 \, \, \, \text{...pers(ii)} \end{align*}$
$\spadesuit \, $ Eliminasi pers(i) dan pers(ii)
diperoleh : $b=3 \, $ dan $ a=2 $
Sehingga :
$U_9 = a+ 8b = 2 + 8. 3 = 2 + 24 = 26 $
Jadi, suku ke-9 adalah 26. $ \heartsuit$
Nomor 9
Juka suku pertama suatu barisan geometri adalah 3 dan suku ke-6 adalah 96, maka 3072 merupakan suku ke ....
$\clubsuit \, $ Barisan geometri : $U_n = ar^{n-1} $
$a = 3$
$U_6 = 96 \rightarrow ar^5 = 96 \rightarrow 3.r^5 = 96 \rightarrow r^5 = 32 \rightarrow r =2 $
$\clubsuit \, $ Menentukan sukunya
$\begin{align*} U_n & = 3072 \\ ar^{n-1} & = 3072 \\ 3. 2^{n-1} & = 3072 \\ 2^{n-1} & = 1024 \\ 2^{n-1} & = 2^{10} \\ n-1 & = 10 \rightarrow n = 11 \end{align*}$
Jadi, 3072 adalah suku ke 11. $ \heartsuit$
Nomor 10
Jika sistem persamaan linear $ \left\{ \begin{array}{c} 2x-3y=p \\ 3x+2y=q \end{array} \right. \, $
dan $x=\frac{a}{\text{det} \left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right) } \, $ maka $ a = .... $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $x \, $ dengan eliminasi
$\begin{array}{c|c|cc} 2x-3y=p & \text{kali 2} & 4x-6y = 2p & \\ 3x+2y=q & \text{kali 3} & 9x+6y = 3q & + \\ \hline & & 13x = 2p+3q & \end{array} $
Sehingga : $\, x = \frac{1}{13}(2p+3q) $
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $a$
$\begin{align} x & =\frac{a}{\text{det} \left( \begin{matrix} 2 & -3 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right) } \\ \frac{1}{13}(2p+3q) & =\frac{a}{ 2.2 - (-3).3 } \\ \frac{1}{13}(2p+3q) & =\frac{a}{ 13 } \\ 13.\frac{1}{13}(2p+3q) & =a \\ a & = 2p+3q \end{align}$
Jadi, nilai $ a = 2p+3q . \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2005


Nomor 1
$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{9-x^2}{2\sqrt{x^2+3}-4\sqrt{3}} = .... $
$\clubsuit \, $ Merasionalkan penyebut
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{9-x^2}{2\sqrt{x^2+3}-4\sqrt{3}} & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{9-x^2}{2\sqrt{x^2+3}-4\sqrt{3}} . \frac{2\sqrt{x^2+3}+4\sqrt{3}}{2\sqrt{x^2+3}+4\sqrt{3}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{(9-x^2).(2\sqrt{x^2+3}+4\sqrt{3})}{4(x^2+3) - 48} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{-(x^2-9).(2\sqrt{x^2+3}+4\sqrt{3})}{4(x^2+3-12)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{-(x^2-9).(2\sqrt{x^2+3}+4\sqrt{3})}{4(x^2-9)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{-(2\sqrt{x^2+3}+4\sqrt{3})}{4} \\ & = \frac{-(2\sqrt{3^2+3}+4\sqrt{3})}{4} \\ & = \frac{-8\sqrt{3}}{4} = -2\sqrt{3} \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah $ -2\sqrt{3}. \heartsuit $

Cara II
$\clubsuit \, $ Menggunakan turunan
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{9-x^2}{2\sqrt{x^2+3}-4\sqrt{3}} & = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{-2x}{2.\frac{2x}{2\sqrt{x^2+3}}} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3} - \sqrt{x^2+3} = - \sqrt{3^2+3} \\ & = - \sqrt{12} = -2\sqrt{3} \end{align}$
Jadi, nilai limitnya adalah $ -2\sqrt{3}. \heartsuit $
Nomor 2
Jumlah dua bilangan $p \, $ dan $q \, $ adalah 6. Nilai minimum dari $p^2+q^2 = ..... $
$p+q = 6 \rightarrow p = 6-q \, \, $
$\spadesuit \, $ Nilai maks/min : $f^\prime (q) = 0 \, \, $ (turunan = 0)
$\begin{align} p^2 + q^2 & = (6-q)^2 + q^2 \\ & = 36 -12q + q^2 + q^2 \\ f(q) & = 2q^2 - 12q + 36 \rightarrow f^\prime (q) = 4q -12 \\ f^\prime (q) & = 0 \\ 4q -12 & = 0 \rightarrow q = 3 \\ p & = 6-q \rightarrow p = 6-3 = 3 \end{align}$
Sehingga : $ p^2+q^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 $
Jadi, nilai minimum $p^2+q^2 \, $ adalah 18 . $ \heartsuit $
Nomor 3
Garis singgung pada kurva $y=\frac{2x+1}{2-3x} \, \, $ di titik (1, -3) adalah ....
$\clubsuit \, $ Menentukan turunan
$\begin{align*} y & = \frac{U}{V} \rightarrow y^\prime = \frac{U^\prime . V - U . V^\prime }{V^2} \\ y & =\frac{2x+1}{2-3x} \\ y^\prime & = \frac{2(2-3x) - (2x+1).(-3)}{(2-3x)^2} \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Menentukan gradien : $m = f^\prime (1) $
$\begin{align*} m & = f^\prime (1) = \frac{2(2-3.1) - (2.1+1).(-3)}{(2-3.1)^2} \\ & = \frac{-2+9}{1} = 7 \end{align*}$
$\clubsuit \, $ Persamaan garis singgung di (1, -3)
$\begin{align*} y-y_1 & = m(x-x_1) \\ y-(-3) & = 7 (x-1) \\ y-7x+10 & = 0 \end{align*}$
Jadi, PGS nya adalah $ y-7x+10 = 0 . \heartsuit $
Nomor 4
Jika fungsi $f(x)=\sin ax + \cos bx \, $ memenuhi $f^\prime (0) = b \, \, $ dan $ f^\prime \left( \frac{\pi}{2a} \right) = -1 \, \, $ , maka $a+b = ....$
$\spadesuit \, $ Turunan fungsinya
$ f(x)=\sin ax + \cos bx \rightarrow f^\prime (x) = a\cos ax - b\sin bx $
$\spadesuit \, $ Menentukan hubungan $a \, $ dan $b $
$\begin{align} f^\prime (0) & = b \\ a\cos a.0 - b\sin b.0 & = b \\ a-0 & = b \rightarrow a = b \end{align}$
$\spadesuit \, $ Substitusi $ a = b \, $ dan gunakan $ f^\prime \left( \frac{\pi}{2a} \right) = -1 $
$\begin{align} f^\prime \left( \frac{\pi}{2a} \right) & = -1 \\ a\cos a.\left( \frac{\pi}{2a} \right) - b\sin b.\left( \frac{\pi}{2a} \right) & = -1 \, \, \text{(substitusi } a=b ) \\ b\cos b.\left( \frac{\pi}{2b} \right) - b\sin b.\left( \frac{\pi}{2b} \right) & = -1 \, \, \\ b\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) - b\sin \left( \frac{\pi}{2} \right) & = -1 \, \, \\ b.0 - b. 1 & = -1 \\ -b & = -1 \rightarrow b=1 \end{align}$
Sehingga : $ a = b = 1 $
Jadi, nilai $ a+b = 1+ 1 = 2 . \heartsuit $
Nomor 5
Nilai $x \, \, $ yang memenuhi pertidaksamaan $ {}^{\frac{1}{6}} \log (x^2-x) > -1 \, \, $ adalah ....
$\clubsuit \, $ Syarat logaritma
$x^2-x > 0 \rightarrow x(x-1) > 0 \rightarrow x=0 \vee x = 1 $
spmb_matdas_1_2005.png
$HP_1 = \{ x < 0 \vee x > 1 \} $
$\clubsuit \, $ Menyelesaikan logaritmanya
$\begin{align*} {}^{\frac{1}{6}} \log (x^2-x) & > -1 \\ {}^{\frac{1}{6}} \log (x^2-x) & > {}^{\frac{1}{6}} \log \left( \frac{1}{6} \right)^{-1} \, \, \text{(coret } \, {}^{\frac{1}{6}} \log ) \\ x^2-x & < 6 \, \, \text{(ketaksamaan dibalik)} \\ x^2-x-6 & < 6 \\ (x+2)(x-3) & < 6 \\ x=-2 & \vee x=3 \end{align*}$
spmb_matdas_1a_2005.png
$HP_2 = \{ -2 < x < 3 \} $
Sehingga : $ HP = HP_1 \cap HP_2 = \{ -2 < x < 0 \vee 1 < x < 3 \} $
Jadi, solusinya adalah $ \{ -2 < x < 0 \vee 1 < x < 3 \} . \heartsuit$
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2006 nomor 21 sampai 25


Nomor 21
Jika $A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) $ , $B=\left( \begin{matrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) $ dan matriks C memenuhi AC = B, maka det C = ....
$\spadesuit \, $ Sifat determinan : $|PQ| = |P|.|Q| $
$A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \rightarrow |A| = 1.3-1.2 = 3-2=1 $
$B=\left( \begin{matrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix} \right) \rightarrow |B| = 4.3-1.1 = 12-1 = 11 $
$\spadesuit \, $ Menentukan determinan C dengan sifat determinan
$\begin{align} AC & = B \\ |AC| & = |B| \\ |A|.|C| & = |B| \\ 1. |C| & = 11 \\ |C| & = \frac{11}{1} = 11 \end{align}$
Jadi, determinan C adalah 11. $ \heartsuit $
Nomor 22
Tabungan seseorang pada bulang ke $n $ selalu dua kali tabungan pada bulan ke ($n-1$) , $n \geq 2 $ . Jika tabungan awalnya Rp. 1 juta dan setelah satu tahun menjadi Rp. $p $ juta, maka $p $ memenuhi ....
$\clubsuit \, $ Barisan geometri : $U_n=ar^{n-1} $
$\clubsuit \, $ Tabungan awal 1 juta , $a = 1 \, \, $ juta
$\clubsuit \, $ Tabungan bulan ke-$n $ dua kali tabungan bulan ke-($n-1 $) , artinya $ r = 2 $
$\clubsuit \, $ Setelah satu tahun, artinya bulan ke-13
$U_{13} = ar^{12} = 1. 2^{12} = 4096 \rightarrow p = 4096 \, \, $ juta
Jadi, yang memenuhi $ 4000 < p < 5000 . \heartsuit $
Nomor 23
Jika $y = \log x $ dan $x^2+ax+(3-a) = 0 $ , maka $y $ bernilai real untuk $a $ yang memenuhi ....
$\spadesuit \, $ Fungsi $y = \log x \, \, $ bernilai positif jika $x > 0 \, $ (positif)
Karena $x>0 \, \, $ dan merupakan akar-akar dari $x^2+ax+(3-a) = 0 $ maka harus $x_1>0 \, $ dan $x_2 > 0 \, $ (akar-akar positif)
$x_1+x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-a}{1} = -a \, \, $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3-a}{1} = 3-a $
$\spadesuit \, $ Syarat akar-akar positif : $ x_1+x_2 > 0 , \, x_1.x_2 > 0 \, \, $ dan $ D \geq 0 $
$\spadesuit \, $ Menyelesaikan syaratnya
$\begin{align} * \, x_1+x_2 & > 0 \\ -a & > 0 \\ a & < 0 \, \, \, \text{(HP}_1) \end{align}$
$\begin{align} * \, x_1.x_2 & > 0 \\ 3-a & > 0 \\ a & < 3 \, \, \, \text{(HP}_2) \end{align}$
$\begin{align} \text{Syarat nilai } \, \, D & \geq 0 \\ b^2-4ac & \geq 0 \\ (-a)^2 - 4.1.(3-a) & \geq 0 \\ a^2+4a-12 &\geq 0 \\ (a-2)(a+6) & \geq 0 \\ a = 2 & \vee a = -6 \end{align}$
spmb_matdas_9_2006.png
HP$_3 = \{ a \leq -6 \vee a \geq 2 \} $
Solusinya : $HP = HP_1\cap HP_2 \cap HP_3 = \{ a \leq -6 \} $
Jadi, nilai $a \, \, $ yang memenuhi adalah $ \{ a \leq -6 \}. \heartsuit $
Nomor 24
Bilangan ${}^y \log (x-1), \, {}^y \log (x+1), \, {}^y \log (3x-1) $ merupakan tiga suku deret aritmetika yang berurutan. Jika jumlah tiga bilangan itu adalah 6, maka $x+y = ....$
$\clubsuit \,$ Syarat logaritma
${}^y \log (x-1) \rightarrow x-1 > 0 \rightarrow x > 1 $
${}^y \log (x+1) \rightarrow x+1 > 0 \rightarrow x > -1 $
${}^y \log (3x-1) \rightarrow 3x-1 > 0 \rightarrow x > \frac{1}{3} $
Syarat yang memenuhi ketiganya adalah $\{ x > 1 \} $
$\clubsuit \, $ Barisan aritmetika : ${}^y \log (x-1), \, {}^y \log (x+1), \, {}^y \log (3x-1) $
$\begin{align} {}^y \log (x+1) - {}^y \log (x-1) & = {}^y \log (3x-1) - {}^y \log (x+1) \\ {}^y \log \frac{x+1}{x-1} & = {}^y \log \frac{3x-1}{x+1} \\ \frac{x+1}{x-1} & = \frac{3x-1}{x+1} \\ (x+1)^2 & = (3x-1)(x-1) \\ 2x^2 - 6x & = 0 \\ 2x(x-3) & = 0 \\ x=3 \vee x = 0 & \, \, \text{(Tidak memenuhi karena harus } \, x > 1 ) \end{align}$
$\clubsuit \, $ Jumlah ketiganya sama dengan 6
$\begin{align} {}^y \log (x-1) + {}^y \log (x+1) + {}^y \log (3x-1) & = 6 \\ {}^y \log (x-1).(x+1).(3x-1) & = 6 \\ {}^y \log (3-1).(3+1).(3.3-1) & = 6 \\ {}^y \log 2.4.8 & = 6 \\ {}^y \log 64 & = 6 \\ y^6 & = 64 \\ y^6 & = 2^6 \rightarrow y=2 \end{align}$
Sehingga : $x+y = 3+2 = 5$
Jadi, nilai $ x+y=5. \heartsuit $
Nomor 25
Berat rata-rata 10 siswa adalah 60 kg. Salah seorang diantaranya diganti oleh Andi sehingga berat rata-ratanya menjadi 60,5 kg. Jika berat Andi 62 kg, maka berat siswa yang diganti adalah ....
$\spadesuit \, $ Misalkan total nilai 9 orang adalah $N \, $ dan nilai orang yang digantikan adalah $x$
$\spadesuit \, $ Rata-rata semula 60 kg
$\frac{N+x}{10} = 60 \rightarrow N+x = 600 \, \, \, $ ...pers(i)
$\spadesuit \, $ Rata-rata kedua 60,5 kg dengan berat Andi = 62 kg
$\frac{N+A}{10} = 60,5 \rightarrow N+62 = 605 \rightarrow N = 605 - 62 = 543 $
$\spadesuit \, $ Substitusi nilai $N=543 \, $ ke pers(i)
$N+x = 600 \rightarrow 543 + x = 600 \rightarrow x = 600-543 = 57 $
Jadi, berat siswa yang diganti adalah 57. $ \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25

Pembahasan Soal SPMB Matematika Dasar tahun 2006 nomor 16 sampai 20


Nomor 16
Jika jumlah $n $ suku pertama deret aritmetika adalah $ S_n = 2n^2+3n $ , maka beda deretnya adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
$U_n = S_n - S_{n-1} , \, \, \, U_1 = S_1 , \, \, $ dan $ b = U_2-U_1 $
$\spadesuit \, $ Menentukan $U_1 \, \, $ dan $U_2 $
$U_1 = S_1 = 2.1^2+3.1 = 2 + 3 = 5 $
$S_2 = 2.2^2+3.2 = 8 + 6 = 14 $
$U_2=S_2 - S_1 = 14 - 5 = 9 $
sehingga : $b = U_2-U_1 = 9 - 5 = 4 $
Jadi, bedanya adalah 4. $ \heartsuit $

Cara II :
$\spadesuit \, $ Konsep : $S_n = pn^2+qn \rightarrow b = 2p $
$S_n = 2n^2+3n \rightarrow b = 2\times 2 = 4 $
Jadi, bedanya adalah 4. $ \heartsuit $
Nomor 17
Dalam babak penyisihan suatu turnamen, 25 pecatur satu sama lain bertanding satu kali. Banyakknya pertandingan yang terjadi adalah ....
$\clubsuit \, $ Ada 25 pecatur, setiap pemain bermain satu kali dengan yang lainnya, artinya kita memilih 2 orang dari 25 pecatur dengan tidak memperhatikan urutan (pakai kombinasi).
Total pertandingan = $C_2^{25} = \frac{25!}{(25-2)!.2!} = \frac{25!}{23!.2!} = 300 $
Jadi, total pertandingan ada 300. $ \heartsuit $
Nomor 18
Pada deret geometri $U_1+U_2+... $ , jika $U_1 = x^{-2} , \, U_5 = x^2 $ , dan $U_9 = 64 $ , maka $U_7 = .... $
$\spadesuit \, $ Barisan geometri : $U_n = ar^{n-1} $
$U_1 = x^{-2} \rightarrow a = x^{-2} $
$\spadesuit \, $ Menentukan $r$
$\begin{align} U_5 & = x^2 \\ ar^4 & = x^2 \\ x^{-2}.r^4 & = x^2 \\ r^4 & = \frac{x^2}{x^{-2}} = x ^ 4 \\ r & = x \end{align}$
$\spadesuit \, $ Menentukan nilai $a \, \, $ dan $ r $
$\begin{align} U_9 = 64 \rightarrow ar^8 & = 64 \\ x^{-2} . x^8 & = 64 \\ x^{-2+8} & = 64 \\ x^6 & = 2^6 \rightarrow x = 2 \end{align}$
Sehingga : $a = x^{-2} = 2^{-2} \, \, $ dan $ r = x = 2 $
$U_7 = ar^6 = 2^{-2}.2^6 = 2^4 = 16 $
Jadi, suku ketujuhnya adalah 16. $ \heartsuit $
Nomor 19
Jika $x_1 $ dan $x_2 $ solusi persamaan $ 3.9^x +9^{1-x} = 28 $ , maka $x_1 + x_2 = .... $
$\clubsuit \,$ Misalkan : $ p = 9^x $
$\begin{align} 3.9^x +9^{1-x} & = 28 \\ 3.9^x +\frac{9^1}{9^x} & = 28 \\ 3p +\frac{9}{p} & = 28 \, \, \, \text{(kali } \, p ) \\ 3p^2 - 28p + 9 & = 0 \\ (3p-1)(p-9) & = 0 \\ p = \frac{1}{3} \rightarrow & \, \, 9^ x = 3^{-1} \rightarrow 3^{2x} = 3^{-1} \rightarrow x_1 = \frac{-1}{2} \\ p = 9 \rightarrow & \, \, 9^x = 9 \rightarrow x_2 = 1 \end{align}$
sehingga : $x_1 + x_2 = \frac{-1}{2} + 1 = \frac{1}{2} $
Jadi, nilai $ x_1 + x_2 = \frac{1}{2} . \heartsuit $
Nomor 20
Jika $A=\left( \begin{matrix} a & b \\ b & x \end{matrix} \right) $ dan $B=\left( \begin{matrix} bx & a \\ b & x \end{matrix} \right) $ , maka jumlah kuadrat semua akar persamaan det A = det B adalah ....
$\spadesuit \, $ Konsep dasar
$A=\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) \rightarrow \text{det} \, A = a.d-b.c $
$ax^2+bx+c = 0 \rightarrow x_1+x_2 = \frac{-b}{a} ,\, \, \text{dan} \, \, x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
$\spadesuit \, $ Menentukan determinan
$\begin{align} \text{det} \, A & = \text{det} \, B \\ \left| \begin{matrix} a & b \\ b & x \end{matrix} \right| & = \left| \begin{matrix} bx & a \\ b & x \end{matrix} \right| \\ ax-b^2 & = bx^2-ab \\ bx^2 - ax + b^2 - ab & = 0 \\ x_1 + x_2 & = \frac{a}{b} \\ x_1.x_2 & = \frac{b^2-ab}{b} = b-a \end{align}$
$\spadesuit \, $ Jumlah kuadratnya
$\begin{align} x_1^2 + x_2^2 & = (x_1+x_2)^2 - 2(x_1.x_2) \\ & = \left( \frac{a}{b} \right)^2 - 2(b-a) \end{align}$
Jadi, jumlah kuadratnya adalah $ \left( \frac{a}{b} \right)^2 - 2(b-a). \heartsuit $
Nomor Soal Lainnya : 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25