Pembahasan Sistem Trigonometri UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui sistem persamaan :
$ \left\{ \begin{array}{c} \sin ( x+y) = 1 + \frac{1}{5} \cos y \\ \sin (x - y) = -1 + \cos y \end{array} \right. $
dengan $ 0 < y < \frac{\pi}{2} $. Nilai $ \sin x = .... $
A). $ \frac{2}{5} \, $ B). $ \frac{3}{5} \, $ C). $ \frac{4}{5} \, $ D). $ \frac{5}{5} \, $ E). $ \frac{5}{6} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus jumlah fungsi trigonometri :
$ \sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaan :
$ \left\{ \begin{array}{c} \sin ( x+y) = 1 + \frac{1}{5} \cos y \\ \sin (x - y) = -1 + \cos y \end{array} \right. $
*). Misalkan $ A = x+y $ dan $ B = x-y $
$ A + B = 2x $ dan $ A - B = 2y $
*). Jumlahkan kedua persamaan, kita peroleh :
$\begin{align} \sin (x+y) + \sin (x-y) & = \frac{1}{5} \cos y + \cos y \\ \sin (A) + \sin (B) & = \frac{1}{5} \cos y + \cos y \\ 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) & = \frac{6}{5} \cos y \\ 2 \sin \left( \frac{2x}{2} \right) \cos \left( \frac{2y}{2} \right) & = \frac{6}{5} \cos y \\ 2 \sin x \cos y & = \frac{6}{5} \cos y \, \, \, \, \text{(coret)} \\ \sin x & = \frac{3}{5} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin x = \frac{3}{5} . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui matriks $ B = \left( \begin{matrix} 1 & -4 \\ 5 & -2 \end{matrix} \right) $ dan berlaku persamaan $ A^2 + B = \left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) $. Determinan matriks $ A^4 $ adalah ....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 16 \, $ E). $ 81 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Operasi pengurangan pada matriks : Kurangkan unsur-unsur seletak.
*). Determinan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
$ det(A) = |A| = ad - bc $
*). Sifat determinan : $ |A^n| = |A|^n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan determinan matriks A :
$\begin{align} A^2 + B & = \left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) \\ A^2 & = \left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) - B \\ A^2 & = \left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 1 & -4 \\ 5 & -2 \end{matrix} \right) \\ A^2 & = \left( \begin{matrix} 2 & 2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) \, \, \, \, \text{(determinankan)} \\ |A^2| & = \left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right| \\ |A|^2 & = 2.1 - 2.(-1) \\ |A|^2 & = 4 \\ |A| & = 2 \end{align} $
*). Menentukan determinan matriks $ A^4 $ :
$\begin{align} |A^4| & = |A|^4 = 2^4 = 14 \end{align} $
Jadi, determinan $ A^4 $ adalah $ 16 . \, \heartsuit $

Pembahasan Bunga Majemuk UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Ratna menabung di bank A dalam $ x $ tahun dan uangnya menjadi sebesar $ M $, Wati juga menabung di bank A dalam $ x $ tahun dan uangnya menjadi 3 kali uangnya Ratna. Jika tabungan awal Wati sebesar Rp 2.700.000 dan bank A menerapkan sistem bunga majemuk, maka tabungan awal Ratna sebesar Rp ...
A). $ 8.100.000 \, $ B). $ 5.000.000 \, $ C). $ 2.400.000 \, $
D). $ 2.700.000 \, $ E). $ 900.000 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus penentuan modal pada bunga majemuk :
$ \, \, \, \, \, \, M_n = M_0 ( 1 + i)^n $
Keterangan :
$ M_n = \, $ tabungan akhir setelah $ n $ periode
$ M_0 = \, $ tabungan awal
$ i = \, $ suku bunga (dalam persen)
$ n = \, $ lama menabung (total periode).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Karena menabung pada bank yang sama dan di soal tidak menyebutkan besarnya suku bunga ($i$), maka di kasus soal ini kita anggap besarnya suku bunga sama yaitu $ i $ persen per tahun.
*). Diketahui masing-masing :
-). Ratna : $ M_n = M , M_0 = M_0, n = x $
$ M = M_0 (1+i)^x \, $ .....(i)
-). Wati : $ M_n = 3M , M_0 = 2.700.000 , n = x $
$ 3M = 2.700.000(1+i)^x \, $ (sederhanakan)
$ M = 900.000(1+i)^x \, $ ......(ii)
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} M & = 900.000(1+i)^x \\ M_0 (1+i)^x & = 900.000(1+i)^x \\ M_0 & = 900.000 \end{align} $
Jadi, tabungan awal Ratna adalah Rp $ 900.000 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{ax+b}}{x+1} = 2 $ , maka nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{\frac{ax}{8}+\frac{b}{8}} -2x + 1}{x^2+4x+3} = .... $
A). $ \frac{-2}{15} \, $ B). $ \frac{-1}{15} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{15} \, $ E). $ \frac{2}{15} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan limit, salah satu caranya substitusi langsung.
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan limit yang diketahui :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{ax+b}}{x+1} & = 2 \\ \frac{\sqrt[3]{a.2+b}}{2+1} & = 2 \\ \frac{\sqrt[3]{2a+b}}{3} & = 2 \\ \sqrt[3]{2a+b} & = 6 \end{align} $
*). Menyelesaikan limit yang ditanyakan :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{\frac{ax}{8}+\frac{b}{8}} -2x + 1}{x^2+4x+3} \\ & = \frac{\sqrt[3]{\frac{a.2}{8}+\frac{b}{8}} -2.2 + 1}{2^2+4.2+3} \\ & = \frac{\sqrt[3]{\frac{2a+b}{8}} -3}{15} \\ & = \frac{\frac{\sqrt[3]{2a+b} }{\sqrt[3]{8}} -3}{15} \\ & = \frac{\frac{6}{2} -3}{15} = \frac{3 -3}{15} = \frac{0}{15} = 0 \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ \left( \log _a x \right)^2 - \log _a x \, - 2 > 0 $ dengan $ 0 < a < 1 $ adalah ....
A). $ x < a^2 \, $ atau $ x > a^{-1} $
B). $ x < a^2 \, $ atau $ x > a^{-2} $
C). $ a^2 < x < a^{-1} $
D). $ a^2 < x < a^{-2} $
E). $ a^{-2} < x < a^2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pertidaksamaan logaritma : $ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ memiliki penyelesaian :
jika $ a > 1 $, maka $ f(x) > g(x) \, \, $ (tetap)
jika $ 0 < a < 1 $, maka $ f(x) < g(x) \, \, $ (dibalik)
*). Sifat logaritma : $ x = {}^a \log a^x $
*). Notasi logaritma : $ {}^a \log b = \log _a b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ {}^a \log x = p $
*). Menyelesaikan pertidaksamaan :
$\begin{align} \left( \log _a x \right)^2 - \log _a x \, - 2 & > 0 \\ \left( {}^a \log x \right)^2 - {}^a \log x \, - 2 & > 0 \\ p^2 - p - 2 & > 0 \\ (p -2)(p+1) & > 0 \\ p = 2 \vee p & = -1 \end{align} $
garis bilangannya :
 

Solusinya : $ p< -1 \vee p > 2 $.
Kita ubah dalam bentuk $ x $ :
Karena nilai $ 0 < a < 1 $ , maka ketaksamaan diubah.
$\begin{align} p< -1 & \vee p > 2 \\ {}^a \log x < -1 & \vee {}^a \log x > 2 \\ {}^a \log x < {}^a \log a^{-1} & \vee {}^a \log x > {}^a \log a^2 \\ x > a^{-1} & \vee x < a^2 \end{align} $
Jadi, penyelesaiaan adalah $ x < a^2 \vee x > a^{-1} . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan UTBK 2019 Matematika Saintek


Nomor 1
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ \left( \log _a x \right)^2 - \log _a x \, - 2 > 0 $ dengan $ 0 < a < 1 $ adalah ....
A). $ x < a^2 \, $ atau $ x > a^{-1} $
B). $ x < a^2 \, $ atau $ x > a^{-2} $
C). $ a^2 < x < a^{-1} $
D). $ a^2 < x < a^{-2} $
E). $ a^{-2} < x < a^2 $
Nomor 2
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{ax+b}}{x+1} = 2 $ , maka nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{\frac{ax}{8}+\frac{b}{8}} -2x + 1}{x^2+4x+3} = .... $
A). $ \frac{-2}{15} \, $ B). $ \frac{-1}{15} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{15} \, $ E). $ \frac{2}{15} $
Nomor 3
Ratna menabung di bank A dalam $ x $ tahun dan uangnya menjadi sebesar $ M $, Wati juga menabung di bank A dalam $ x $ tahun dan uangnya menjadi 3 kali uangnya Ratna. Jika tabungan awal Wati sebesar Rp 2.700.000 dan bank A menerapkan sistem bunga majemuk, maka tabungan awal Ratna sebesar Rp ...
A). $ 8.100.000 \, $ B). $ 5.000.000 \, $ C). $ 2.400.000 \, $
D). $ 2.700.000 \, $ E). $ 900.000 $
Nomor 4
Diketahui matriks $ B = \left( \begin{matrix} 1 & -4 \\ 5 & -2 \end{matrix} \right) $ dan berlaku persamaan $ A^2 + B = \left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) $. Determinan matriks $ A^4 $ adalah ....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 16 \, $ E). $ 81 \, $
Nomor 5
Diketahui sistem persamaan :
$ \left\{ \begin{array}{c} \sin ( x+y) = 1 + \frac{1}{5} \cos y \\ \sin (x - y) = -1 + \cos y \end{array} \right. $
dengan $ 0 < y < \frac{\pi}{2} $. Nilai $ \sin x = .... $
A). $ \frac{2}{5} \, $ B). $ \frac{3}{5} \, $ C). $ \frac{4}{5} \, $ D). $ \frac{5}{5} \, $ E). $ \frac{5}{6} \, $
Nomor 6
Fungsi $ f(x) $ memenuhi $ f(x) = f(-x) $. Jika nilai $ \int \limits_{-3}^3 f(x) dx = 6 $ dan $ \int \limits_{2}^3 f(x) dx = 1 $ , maka nilai $ \int \limits_{0}^2 f(x) dx = ... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 6 $
Nomor 7
Diketahui sistem persamaan :
$ \left\{ \begin{array}{c} y = -mx + c \\ y = (x+4)^2 \end{array} \right. $
Jika sistem persamaan tersebut memiliki tepat satu penyelesaian, maka jumlah semua nilai $ m $ adalah ....
A). $ -32 \, $ B). $ -20 \, $ C). $ -16 \, $ D). $ -8 \, $ E). $ -4 $
Nomor 8
Dalam sebuah kantong terdapat $ m $ bola putih dan $ n $ bola merah dengan $ m.n = 120 $ dan $ m < n $. Jika diambil dua bola sekaligus, peluang terambilnya paling sedikit satu bola putih adalah $ \frac{5}{7}$, maka nilai $ m + n = .... $
A). $ 34 \, $ B). $ 26 \, $ C). $ 23 \, $ D). $ 22 \, $ E). $ 21 $
Nomor 9
Penyelesaian dari pertidaksamaan $ |2x+1| < 2 + |x+1| $ adalah berbentuk interval $ (a,b) $. Nilai $ a + b + 2 = .... $
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $
Nomor 10
Diketahui barisan aritmetika dengan $ U_n $ menyatakan suku ke-$n$. Jika $ U_{k+2} = U_2 + kU_{16} - 2 $ , maka nilai $ U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} = .... $
A). $ \frac{2}{k} \, $ B). $ \frac{3}{k} \, $ C). $ \frac{4}{k} \, $ D). $ \frac{6}{k} \, $ E). $ \frac{8}{k} $
Nomor 11
Garis $ y = 2x + 1 $ tidak memotong ataupun tidak menyinggung hiperbola $ \frac{(x-2)^2}{2}-\frac{(y-a)^2}{4}=1 $, interval nilai $ a $ yang memenuhi adalah ....
A). $ a < 3 \, $ atau $ a > 7 $ B). $ -3 < a < 7 \, $ C). $ 3 < a < 7 \, $
D). $ a < -3 \, $ atau $ a > 7 \, $ E). $ -7 < a < -3 $

Catatan : Pembahasan soal-soal ini akan kita lengkapkan secara bertahap.