Cara 3 Pembahasan Deret UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 585

Soal yang Akan Dibahas
Jika bilangan 2001 ditulis dalam bentuk $ 1-2+3-4+...+(n-2)-(n-1)+n $ maka jumlahan digit-digit dari bilangan $ n $ sama dengan ...
A). $ 5 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 7 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Penjumlahan konstanta yang sama :
$ \underbrace{a+a+a+a+a+a+a+a+...+a}_{\text{sebanyak }n} = n.a $
*). Pengelompokkan dua suku menjadi satu.
Misalkan ada $ n $ suku dari penjumlahan :
$ a + a + a + a + a + a + a + ... + a $
Kelompokkan dua suku-dua suku :
$ (a+a) + (a+a) + (a+a) + ... + (a + a) $
$ 2a + 2a + 2a + ... + 2a $
Bentuk $ 2a + 2a + 2a + ... + 2a $ memiliki $ \frac{n}{2} $ suku.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Deret $ 1-2+3-4+...+(n-2)-(n-1)+n $ bisa dimodifikasi :
$\begin{align} & 1-2+3-4+...+(n-2)-(n-1)+n \\ & 1 + (-2+3) + (-4+5) + ...+[-(n-1)+n] \\ & 1 + (1 + 1 + 1 + ... + 1) \end{align} $
*). Perhatikan deret $ -2+3-4+...+(n-2)-(n-1)+n $ memiliki $ n - 1 $ suku. Sehingga jika kita kelompokkan dua suku - dua suku menjadi $ (-2+3) + (-4+5) + ...+[-(n-1)+n] $ atau $ 1 + 1 + 1 + ... + 1 $ memiliki $ \frac{n-1}{2} $ suku.
*). Menentukan nilai $ n $ :
$\begin{align} 1-2+3-4+...+(n-2)-(n-1)+n & = 2001 \\ 1 + (-2+3) + (-4+5) + ...+[-(n-1)+n] & = 2001 \\ 1 + (1+1+1+...+1) & = 2001 \\ 1 + \underbrace{1 + 1 + 1 + ... + 1 }_{\text{sebanyak } \frac{n-1}{2} } & = 2001 \\ 1 + (1). \frac{n-1}{2} & = 2001 \\ 1 + \frac{n-1}{2} & = 2001 \\ \frac{2}{2} + \frac{n-1}{2} & = 2001 \\ \frac{n + 1}{2} & = 2001 \\ n + 1 & = 4002 \\ n & = 4001 \end{align} $
Artinya kita peroleh nilai $ n = 4001 $.
Jumlah digit-digit dari $ n = 4001 $ yaitu :
Jumlah digit $ = 4 + 0 + 0 + 1 = 5 $
Jadi, jumlah digit-digit dari $ n $ adalah $ 5 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Statistika UM UGM 2018 Matematika Dasar Kode 286

Soal yang Akan Dibahas
Dua perusahaan masing-masing memiliki 6 karyawan dengan rata-rata usia karyawannya adalah 35 tahun dan 38 tahun. Jika satu orang di masing-masing perusahaan dipertukarkan, maka rata-rata kedua kelompok tersebut menjadi sama. Selisih usia kedua karyawan yang dipertukarkan tersebut adalah ...
A). $ 3 \, $ B). $ 6 \, $ C). $ 9 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 18 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Misalkan terdapat dua kelompok dengan jumlah $ n $ orang di masing-masing kelompok.
rata-rata kelompok I = $ p $
rata-rata kelompok II = $ q $
Satu orang dari masing-masing kelompok ditukarkan
Maka selisih nilai kedua orang itu $ = \frac{1}{2}n|p-q| $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dari soal deiketahui : $ n = 6 $
rata-rata perusahaan I $ \rightarrow p = 35 $
rata-rata perusahaan II $ \rightarrow q = 38 $
*). Selisih dua orang yang ditukarkan :
$\begin{align} \text{Selisih } & = \frac{1}{2}n|p-q| \\ & = \frac{1}{2}.6.|35-38| \\ & = 3 . 3 = 9 \\ \end{align} $
Sehingga selisih usia kedua karyawan yang dipertukarkan tersebut adalah 9 .
Jadi, selisihnya adalah $ 9 . \, \heartsuit $

Pembahasan Hiperbola UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Garis $ y = 2x + 1 $ tidak memotong ataupun tidak menyinggung hiperbola $ \frac{(x-2)^2}{2}-\frac{(y-a)^2}{4}=1 $, interval nilai $ a $ yang memenuhi adalah ....
A). $ 3 < a < 7 \, $ B). $ -3 < a < 7 \, $ C). $ a < 3 \, $ atau $ a > 7 $
D). $ a < -3 \, $ atau $ a > 7 \, $ E). $ -7 < a < -3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Syarat garis tidak memotong atau tidak menyinggung hiperbola adalah $ D < 0 $ dengan $ D = b^2 - 4ac $.
*). Substitusikan garis ke hiperbola sehingga terbentuk persamaan kuadrat.
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan :
(1). Menentukan akar-akarnya dengan difaktorkan.
(2). Buat garis bilangan dan tentukan tanda ($\pm$) setiap daerahnya
(3). Arsir daerah yang diminta :
jika $ > 0 $ , maka pilih daerah positif
jika $ < 0 $ , maka pilih daerah negatif
(4). BUat himpunan penyelesaiannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Substitusikan garis $ y = 2x + 1 $ ke hiperbola : :
$\begin{align} \frac{(x-2)^2}{2}-\frac{(y-a)^2}{4} & = 1 \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 2(x-2)^2 - (y-a)^2 & = 4 \\ 2(x-2)^2 - (2x + 1-a)^2 & = 4 \\ 2(x^2 - 4x + 4) - [ 4x^2 + 4x(1-a) + 1 - 2a + a^2] & = 4 \\ 2x^2 - 8x + 8 - 4x^2 - 4x + 4ax - 1 + 2a - a^2 & = 4 \\ -2x^2 - 12x + 4ax + 3 + 2a - a^2 & = 0 \\ -2x^2 +( 4a - 12)x + 3 + 2a - a^2 & = 0 \\ \text{(Syarat : ) } D & < 0 \\ b^2 - 4ac & < 0 \\ (4a - 12)^2 - 4.(-2). (3 + 2a - a^2) & < 0 \\ 16a^2 - 96a + 144 + 24 + 16a - 8a^2 & < 0 \\ 8a^2 - 80a + 168 & < 0 \, \, \, \text{(bagi 8)} \\ a^2 - 10a + 21 & < 0 \\ (a -3)(a-7) & < 0 \\ a = 3 \vee a & = 7 \end{align} $
Garis bilangannya :
 


Himpunan penyelesaiannya : $ 3 < a < 7 $
Jadi, penyelesaiaan adalah $ 3 < a < 7 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Aritmetika UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui barisan aritmetika dengan $ U_n $ menyatakan suku ke-$n$. Jika $ U_{k+2} = U_2 + kU_{16} - 2 $ , maka nilai $ U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} = .... $
A). $ \frac{2}{k} \, $ B). $ \frac{3}{k} \, $ C). $ \frac{4}{k} \, $ D). $ \frac{6}{k} \, $ E). $ \frac{8}{k} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, U_n = a + (n-1) b $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ b = \, $ beda
$ U_n = \, $ suku ke-$n$

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ U_{k+2} = U_2 + kU_{16} - 2 $
*). Menyederhakan yang diketahui :
$\begin{align} U_{k+2} & = U_2 + kU_{16} - 2 \\ a + (k+2-1)b & = (a+b) + k(a + (16-1)b) - 2 \\ a + (k+1)b & = (a+b) + k(a + 15b) - 2 \\ a + kb + b & = a+b + ka + 15kb - 2 \\ ka + 14kb & = 2 \\ k(a + 14b) & = 2 \\ a + 14b & = \frac{2}{k} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} $ :
$\begin{align} & U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} \\ & = (a+5b) + (a+11b) + (a + 17b) + (a + 23b) \\ & = 4a + 56b = 4( a + 14b) \\ & = 4. \frac{2}{k} = \frac{8}{k} \end{align} $
Jadi, nilai $ U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} = \frac{8}{k} . \, \heartsuit $

Pembahasan Ketaksamaan Mutlak UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Penyelesaian dari pertidaksamaan $ |2x+1| < 2 + |x+1| $ adalah berbentuk interval $ (a,b) $. Nilai $ a + b + 2 = .... $
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi nilai mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & , \text{untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & , \text{untuk } f(x) < 0 \\ \end{array} \right. $
Untuk pertidaksamaan mutlak, solusinya adalah gabungan dari kedua batas di atas.
*). Bentuk interval :
$ (a,b) \, $ sama dengan $ a < x < b $
$ (a,b] \, $ sama dengan $ a < x \leq b $
$ [a,b) \, $ sama dengan $ a \leq x < b $
$ [a,b] \, $ sama dengan $ a \leq x \leq b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ |2x+1| < 2 + |x+1| $ dengan solusi $ (a,b) \rightarrow a < x < b $.
*). Mengubah bentuk mutlak sesuai definisi mutlak :
$ |2x+1| = \left\{ \begin{array}{cc} 2x+1 & , \text{untuk } x \geq -\frac{1}{2} \\ -(2x+1) & , \text{untuk } x < -\frac{1}{2} \end{array} \right. $
$ |x+1| = \left\{ \begin{array}{cc} 2x+1 & , \text{untuk } x \geq -1 \\ -(x+1) & , \text{untuk } x < -1 \end{array} \right. $
-). Dari batas kedua bentuk mutlak yaitu $ -1 $ dan $ -\frac{1}{2} $ , maka kita bagi menjadi tiga bagian yaitu :
$ x < - 1 \, $ , $ \, -1 \leq x < -\frac{1}{2} \, $ , dan $ \, x \geq -\frac{1}{2} $
*). Kita selesaikan $ |2x+1| < 2 + |x+1| $ berdasarkan ketiga bagian di atas :
-). Pertama : $ x < -1 $ berlaku $ | 2x + 1| = -(2x+1) $ dan $ |x+1| = -(x+1) $
$\begin{align} |2x+1| & < 2 + |x+1| \\ -(2x+1) & < 2 + [-(x+1)] \\ -2x - 1 & < 2 - x - 1 \\ -x & < 2 \\ x & > -2 \end{align} $
Sehingga $ HP_1 = \{ x < -1 \} \cap \{ x > -2 \} = \{ -2 < x < -1 \} $
-). Kedua : $ -1 \leq x < -\frac{1}{2} $ berlaku $ | 2x + 1| = -(2x+1) $ dan $ |x+1| = x+1 $
$\begin{align} |2x+1| & < 2 + |x+1| \\ -(2x+1) & < 2 + (x+1) \\ -2x - 1 & < 2 + x + 1 \\ -3x & < 4 \\ x & > -\frac{4}{3} \end{align} $
Sehingga $ HP_2 = \{ -1 \leq x < -\frac{1}{2} \} \cap \{ x > -\frac{4}{3} \} = \{ -1 \leq x < -\frac{1}{2} \} $
-). Ketiga : $ x \geq -\frac{1}{2} $ berlaku $ | 2x + 1| = 2x+1 $ dan $ |x+1| = x+1 $
$\begin{align} |2x+1| & < 2 + |x+1| \\ (2x+1) & < 2 + (x+1) \\ x & < 2 \end{align} $
Sehingga $ HP_3 = \{ x \geq -\frac{1}{2} \} \cap \{ x < 2 \} = \{ -\frac{1}{2} \leq x < 2 \} $
*). Solusi totalnya adalah gabungan dari ketiga himpunan di atas :
$\begin{align} HP & = HP_1 \cup HP_2 \cup HP_3 \\ & = \{ -2 < x < -1 \} \cup \{ -1 \leq x < -\frac{1}{2} \} \cup \{ -\frac{1}{2} \leq x < 2 \} \\ & = \{ -2 < x < 2 \} \end{align} $
Bentuk $ -2 < x < 2 $ sama dengan $ a < x < b $ sehingga $ a = -2 $ dan $ b = 2 $.
Nilai $ a + b + 2 = -2 + 2 + 2 = 2 $
Jadi, nilai $ a + b + 2 = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Dalam sebuah kantong terdapat $ m $ bola putih dan $ n $ bola merah dengan $ m.n = 120 $ dan $ m < n $. Jika diambil dua bola sekaligus, peluang terambilnya paling sedikit satu bola putih adalah $ \frac{5}{7}$, maka nilai $ m + n = .... $
A). $ 34 \, $ B). $ 26 \, $ C). $ 23 \, $ D). $ 22 \, $ E). $ 21 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Kejadian pengambilan bola tidak memperhatikan urutan sehingga penghitungannya menggunakan kombinasi.
*). Rumus kombinasi : $ C_r^n = \frac{n!}{(n-r)!.r!} $
*). Peluang kejadian A : $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $
Keterangan :
$ P(A) = \, $ peluang kejadian A
$ n(A) = \, $ banyak kejadian yang diharapkan
$ n(S) = \, $ semua kejadian yang mungkin (Ruang sampel)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ m $ bola putih dan $ n $ bola merah dengan $ m.n = 120 $ dan peluang terambilnya paling sedikit satu bola putih adalah $ \frac{5}{7}$.
-). Total bola $ = m + n $
-). Diambil dua bola sekaligus :
$\begin{align} n(S) & = C_2^{m+n} = \frac{(m+n)!}{(m+n-2)!.2!} \\ & = \frac{(m+n).(m+n-1).(m+n-2)!}{(m+n-2)!.2} \\ & = \frac{(m+n).(m+n-1)}{2} \end{align} $
-). Peluang terambil paling sedikit satu putih , kejadiannya yaitu :
(1). satu putih dan satu merah $ = C_1^m.C_1^n $
(2). Keduanya putih $ = C_2^m $
Sehingga total kejadiana yang diharapkan :
$\begin{align} n(A) & = C_1^m.C_1^n + C_2^m \\ & = \frac{m!}{(m-1)!.1!}. \frac{n!}{(n-1)!.1!} + \frac{m!}{(m-2)!.2!} \\ & = m.n + \frac{m.(m-1)}{2} \\ & = 120 + \frac{m.(m-1)}{2} \\ \end{align} $
*). Peluang kejadian A $ = \frac{5}{7} $
$\begin{align} P(A) & = \frac{5}{7} \\ \frac{n(A)}{n(S)} & = \frac{5}{7} \\ \frac{120 + \frac{m.(m-1)}{2}}{\frac{(m+n).(m+n-1)}{2}} & = \frac{5}{7} \\ \frac{120 + \frac{m.(m-1)}{2}}{\frac{(m+n).(m+n-1)}{2}} . \times \frac{2}{2} & = \frac{5}{7} \\ \frac{240 + m.(m-1)}{ (m+n).(m+n-1)} & = \frac{5}{7} \end{align} $
-). Dari bentuk $ m.n = 120 $ dan $ m < n $ , ada beberapa nilai $ m $ yang mungkin yaitu :
$ m.n = 120 = 10.12 \rightarrow m = 10 , n = 12 $
$ m.n = 120 = 5.24 \rightarrow m = 5 , n = 24 $
$ m.n = 120 = 2.60 \rightarrow m = 2 , n = 60 $
$ m.n = 120 = 1.120 \rightarrow m = 1 , n = 120 $
-). Dari pilihan nilai $ m $ di atas, kita cek satu persatu ke $ \frac{240 + m.(m-1)}{ (m+n).(m+n-1)} = \frac{5}{7} $ , dan yang memenuhi adalah $ m = 10 $ dan $ n = 12 $.
Sehingga nilai $ m + n = 10 + 12 = 22 $.

Catatan :
-). Sebenarnya kita bisa juga langsung menyelesaikan persamaan $ \frac{240 + m.(m-1)}{ (m+n).(m+n-1)} = \frac{5}{7} $ dengan cara dikalikan silang dan subsitusi $ mn=120 \rightarrow n = \frac{120}{m} $, namun akan terbentuk persamaan dengan variabel $ m $ pangkat 4 serta koefisien yang besar sehingga juga sulit untuk menyelesaikannya.
-). Boleh juga dengan memperhatikan bentuk $ \frac{240 + m.(m-1)}{ (m+n).(m+n-1)} = \frac{5}{7} $ yaitu penyebutnya $ (m+n).(m+n-1) $ adalah kelipatan 7 sehingga nilai $ m + n $ yang mungkin adalah $ 22 $ atau $ 21 $.

Jadi, nilai $ m + n = 22 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Parabola UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui sistem persamaan :
$ \left\{ \begin{array}{c} y = -mx + c \\ y = (x+4)^2 \end{array} \right. $
Jika sistem persamaan tersebut memiliki tepat satu penyelesaian, maka jumlah semua nilai $ m $ adalah ....
A). $ -32 \, $ B). $ -20 \, $ C). $ -16 \, $ D). $ -8 \, $ E). $ -4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sistem persamaan dalam bentuk garis dan fungsi kuadrat memiliki tetap satu penyelesaian memiliki arti garis dan parabola saling bersinggungan, sehingga syaratnya yaitu $ D = 0 $ dengan $ D = b^2 - 4ac $ (Nilai Diskriminan).
*). Untuk menentukan nilai $ D $, substitusi dulu garis ke parabola, lalu ubah kebentuk persamaan kuadrat.
*). Operasi akar-akar pada persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaan :
$ \left\{ \begin{array}{c} y = -mx + c \\ y = (x+4)^2 \end{array} \right. $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} y & = (x+4)^2 \\ -mx + c & = (x+4)^2 \\ -mx + c & = x^2 + 8x + 16 \\ x^2 + 16x + mx + 8 - c & = 0 \\ x^2 + (m + 8)x + (16 - c) & = 0 \\ \text{ Syarat : } D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (m+8)^2 - 4.1.(16-c) & = 0 \\ m^2 + 16m + 64 + 4c - 64 & = 0 \\ m^2 + 16m + 4c & = 0 \end{align} $
*). Menentukan jumlah semua nilai $ m $ yaitu $ m_1 + m_2 $ :
$\begin{align} m_1 + m_2 & = \frac{-b}{a} = \frac{-16}{1} = -16 \end{align} $
Jadi, jumlah semua nilai $ m $ adalah $ -16 . \, \heartsuit $

Pembahasan Integral UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Fungsi $ f(x) $ memenuhi $ f(x) = f(-x) $. Jika nilai $ \int \limits_{-3}^3 f(x) dx = 6 $ dan $ \int \limits_{2}^3 f(x) dx = 1 $ , maka nilai $ \int \limits_{0}^2 f(x) dx = ... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 6 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi genap
-). Jika fungsi $ f(x) $ memenuhi $ f(-x) = f(x) $ , maka fungsi $ f(x) $ disebut fungsi genap.
-). Jika $ f(x) $ fungsi genap, maka berlaku sifat integral :
$ \int \limits_{-a}^a f(x) dx = 2 \int \limits_0^a f(x) dx $.
*). Sifat integral mengubah batasnya :
$ \int \limits_a^c f(x) dx = \int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_b^c f(x) dx $
dengan $ a \leq b \leq c $.
Contoh :
FUngsi genap : $ \int \limits_{-5}^5 f(x) dx = 2\int \limits_0^5 f(x) dx $
Ubah batas : $ \int \limits_0^7 f(x) dx = \int \limits_0^4 f(x) dx + \int \limits_4^7 f(x) dx $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). $ f(x) $ memenuhi $ f(x) = f(-x) $ , artinya fungsi $ f(x) $ adalah fungsi genap. Mengubah bentuk integral yang diketahui sesuai sifat integral pada fungsi genap :
$\begin{align} \int \limits_{-3}^3 f(x) dx & = 6 \\ 2\int \limits_{0}^3 f(x) dx & = 6 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ \int \limits_{0}^3 f(x) dx & = 3 \end{align} $
*). Mengubah bentuk batas $ \int \limits_{0}^3 f(x) dx = 3 $ sesuai sifat batas integral dan gunakan yang diketahui pada soalnya di atas :
$\begin{align} \int \limits_{0}^3 f(x) dx & = 3 \\ \int \limits_{0}^2 f(x) dx + \int \limits_{2}^3 f(x) dx & = 3 \\ \int \limits_{0}^2 f(x) dx + 1 & = 3 \\ \int \limits_{0}^2 f(x) dx & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ \int \limits_{0}^2 f(x) dx = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Trigonometri UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui sistem persamaan :
$ \left\{ \begin{array}{c} \sin ( x+y) = 1 + \frac{1}{5} \cos y \\ \sin (x - y) = -1 + \cos y \end{array} \right. $
dengan $ 0 < y < \frac{\pi}{2} $. Nilai $ \sin x = .... $
A). $ \frac{2}{5} \, $ B). $ \frac{3}{5} \, $ C). $ \frac{4}{5} \, $ D). $ \frac{5}{5} \, $ E). $ \frac{5}{6} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus jumlah fungsi trigonometri :
$ \sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaan :
$ \left\{ \begin{array}{c} \sin ( x+y) = 1 + \frac{1}{5} \cos y \\ \sin (x - y) = -1 + \cos y \end{array} \right. $
*). Misalkan $ A = x+y $ dan $ B = x-y $
$ A + B = 2x $ dan $ A - B = 2y $
*). Jumlahkan kedua persamaan, kita peroleh :
$\begin{align} \sin (x+y) + \sin (x-y) & = \frac{1}{5} \cos y + \cos y \\ \sin (A) + \sin (B) & = \frac{1}{5} \cos y + \cos y \\ 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right) & = \frac{6}{5} \cos y \\ 2 \sin \left( \frac{2x}{2} \right) \cos \left( \frac{2y}{2} \right) & = \frac{6}{5} \cos y \\ 2 \sin x \cos y & = \frac{6}{5} \cos y \, \, \, \, \text{(coret)} \\ \sin x & = \frac{3}{5} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin x = \frac{3}{5} . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui matriks $ B = \left( \begin{matrix} 1 & -4 \\ 5 & -2 \end{matrix} \right) $ dan berlaku persamaan $ A^2 + B = \left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) $. Determinan matriks $ A^4 $ adalah ....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 16 \, $ E). $ 81 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Operasi pengurangan pada matriks : Kurangkan unsur-unsur seletak.
*). Determinan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
$ det(A) = |A| = ad - bc $
*). Sifat determinan : $ |A^n| = |A|^n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan determinan matriks A :
$\begin{align} A^2 + B & = \left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) \\ A^2 & = \left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) - B \\ A^2 & = \left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} 1 & -4 \\ 5 & -2 \end{matrix} \right) \\ A^2 & = \left( \begin{matrix} 2 & 2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right) \, \, \, \, \text{(determinankan)} \\ |A^2| & = \left| \begin{matrix} 2 & 2 \\ -1 & 1 \end{matrix} \right| \\ |A|^2 & = 2.1 - 2.(-1) \\ |A|^2 & = 4 \\ |A| & = 2 \end{align} $
*). Menentukan determinan matriks $ A^4 $ :
$\begin{align} |A^4| & = |A|^4 = 2^4 = 14 \end{align} $
Jadi, determinan $ A^4 $ adalah $ 16 . \, \heartsuit $

Pembahasan Bunga Majemuk UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Ratna menabung di bank A dalam $ x $ tahun dan uangnya menjadi sebesar $ M $, Wati juga menabung di bank A dalam $ x $ tahun dan uangnya menjadi 3 kali uangnya Ratna. Jika tabungan awal Wati sebesar Rp 2.700.000 dan bank A menerapkan sistem bunga majemuk, maka tabungan awal Ratna sebesar Rp ...
A). $ 8.100.000 \, $ B). $ 5.000.000 \, $ C). $ 2.400.000 \, $
D). $ 2.700.000 \, $ E). $ 900.000 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus penentuan modal pada bunga majemuk :
$ \, \, \, \, \, \, M_n = M_0 ( 1 + i)^n $
Keterangan :
$ M_n = \, $ tabungan akhir setelah $ n $ periode
$ M_0 = \, $ tabungan awal
$ i = \, $ suku bunga (dalam persen)
$ n = \, $ lama menabung (total periode).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Karena menabung pada bank yang sama dan di soal tidak menyebutkan besarnya suku bunga ($i$), maka di kasus soal ini kita anggap besarnya suku bunga sama yaitu $ i $ persen per tahun.
*). Diketahui masing-masing :
-). Ratna : $ M_n = M , M_0 = M_0, n = x $
$ M = M_0 (1+i)^x \, $ .....(i)
-). Wati : $ M_n = 3M , M_0 = 2.700.000 , n = x $
$ 3M = 2.700.000(1+i)^x \, $ (sederhanakan)
$ M = 900.000(1+i)^x \, $ ......(ii)
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} M & = 900.000(1+i)^x \\ M_0 (1+i)^x & = 900.000(1+i)^x \\ M_0 & = 900.000 \end{align} $
Jadi, tabungan awal Ratna adalah Rp $ 900.000 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{ax+b}}{x+1} = 2 $ , maka nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{\frac{ax}{8}+\frac{b}{8}} -2x + 1}{x^2+4x+3} = .... $
A). $ \frac{-2}{15} \, $ B). $ \frac{-1}{15} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{15} \, $ E). $ \frac{2}{15} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan limit, salah satu caranya substitusi langsung.
*). Sifat bentuk akar :
$ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan limit yang diketahui :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{ax+b}}{x+1} & = 2 \\ \frac{\sqrt[3]{a.2+b}}{2+1} & = 2 \\ \frac{\sqrt[3]{2a+b}}{3} & = 2 \\ \sqrt[3]{2a+b} & = 6 \end{align} $
*). Menyelesaikan limit yang ditanyakan :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{\frac{ax}{8}+\frac{b}{8}} -2x + 1}{x^2+4x+3} \\ & = \frac{\sqrt[3]{\frac{a.2}{8}+\frac{b}{8}} -2.2 + 1}{2^2+4.2+3} \\ & = \frac{\sqrt[3]{\frac{2a+b}{8}} -3}{15} \\ & = \frac{\frac{\sqrt[3]{2a+b} }{\sqrt[3]{8}} -3}{15} \\ & = \frac{\frac{6}{2} -3}{15} = \frac{3 -3}{15} = \frac{0}{15} = 0 \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma UTBK 2019 Matematika Saintek

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ \left( \log _a x \right)^2 - \log _a x \, - 2 > 0 $ dengan $ 0 < a < 1 $ adalah ....
A). $ x < a^2 \, $ atau $ x > a^{-1} $
B). $ x < a^2 \, $ atau $ x > a^{-2} $
C). $ a^2 < x < a^{-1} $
D). $ a^2 < x < a^{-2} $
E). $ a^{-2} < x < a^2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Pertidaksamaan logaritma : $ {}^a \log f(x) > {}^a \log g(x) \, $ memiliki penyelesaian :
jika $ a > 1 $, maka $ f(x) > g(x) \, \, $ (tetap)
jika $ 0 < a < 1 $, maka $ f(x) < g(x) \, \, $ (dibalik)
*). Sifat logaritma : $ x = {}^a \log a^x $
*). Notasi logaritma : $ {}^a \log b = \log _a b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ {}^a \log x = p $
*). Menyelesaikan pertidaksamaan :
$\begin{align} \left( \log _a x \right)^2 - \log _a x \, - 2 & > 0 \\ \left( {}^a \log x \right)^2 - {}^a \log x \, - 2 & > 0 \\ p^2 - p - 2 & > 0 \\ (p -2)(p+1) & > 0 \\ p = 2 \vee p & = -1 \end{align} $
garis bilangannya :
 

Solusinya : $ p< -1 \vee p > 2 $.
Kita ubah dalam bentuk $ x $ :
Karena nilai $ 0 < a < 1 $ , maka ketaksamaan diubah.
$\begin{align} p< -1 & \vee p > 2 \\ {}^a \log x < -1 & \vee {}^a \log x > 2 \\ {}^a \log x < {}^a \log a^{-1} & \vee {}^a \log x > {}^a \log a^2 \\ x > a^{-1} & \vee x < a^2 \end{align} $
Jadi, penyelesaiaan adalah $ x < a^2 \vee x > a^{-1} . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan UTBK 2019 Matematika Saintek


Nomor 1
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $ \left( \log _a x \right)^2 - \log _a x \, - 2 > 0 $ dengan $ 0 < a < 1 $ adalah ....
A). $ x < a^2 \, $ atau $ x > a^{-1} $
B). $ x < a^2 \, $ atau $ x > a^{-2} $
C). $ a^2 < x < a^{-1} $
D). $ a^2 < x < a^{-2} $
E). $ a^{-2} < x < a^2 $
Nomor 2
Jika $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{ax+b}}{x+1} = 2 $ , maka nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{\frac{ax}{8}+\frac{b}{8}} -2x + 1}{x^2+4x+3} = .... $
A). $ \frac{-2}{15} \, $ B). $ \frac{-1}{15} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \frac{1}{15} \, $ E). $ \frac{2}{15} $
Nomor 3
Ratna menabung di bank A dalam $ x $ tahun dan uangnya menjadi sebesar $ M $, Wati juga menabung di bank A dalam $ x $ tahun dan uangnya menjadi 3 kali uangnya Ratna. Jika tabungan awal Wati sebesar Rp 2.700.000 dan bank A menerapkan sistem bunga majemuk, maka tabungan awal Ratna sebesar Rp ...
A). $ 8.100.000 \, $ B). $ 5.000.000 \, $ C). $ 2.400.000 \, $
D). $ 2.700.000 \, $ E). $ 900.000 $
Nomor 4
Diketahui matriks $ B = \left( \begin{matrix} 1 & -4 \\ 5 & -2 \end{matrix} \right) $ dan berlaku persamaan $ A^2 + B = \left( \begin{matrix} 3 & -2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) $. Determinan matriks $ A^4 $ adalah ....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 16 \, $ E). $ 81 \, $
Nomor 5
Diketahui sistem persamaan :
$ \left\{ \begin{array}{c} \sin ( x+y) = 1 + \frac{1}{5} \cos y \\ \sin (x - y) = -1 + \cos y \end{array} \right. $
dengan $ 0 < y < \frac{\pi}{2} $. Nilai $ \sin x = .... $
A). $ \frac{2}{5} \, $ B). $ \frac{3}{5} \, $ C). $ \frac{4}{5} \, $ D). $ \frac{5}{5} \, $ E). $ \frac{5}{6} \, $
Nomor 6
Fungsi $ f(x) $ memenuhi $ f(x) = f(-x) $. Jika nilai $ \int \limits_{-3}^3 f(x) dx = 6 $ dan $ \int \limits_{2}^3 f(x) dx = 1 $ , maka nilai $ \int \limits_{0}^2 f(x) dx = ... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 6 $
Nomor 7
Diketahui sistem persamaan :
$ \left\{ \begin{array}{c} y = -mx + c \\ y = (x+4)^2 \end{array} \right. $
Jika sistem persamaan tersebut memiliki tepat satu penyelesaian, maka jumlah semua nilai $ m $ adalah ....
A). $ -32 \, $ B). $ -20 \, $ C). $ -16 \, $ D). $ -8 \, $ E). $ -4 $
Nomor 8
Dalam sebuah kantong terdapat $ m $ bola putih dan $ n $ bola merah dengan $ m.n = 120 $ dan $ m < n $. Jika diambil dua bola sekaligus, peluang terambilnya paling sedikit satu bola putih adalah $ \frac{5}{7}$, maka nilai $ m + n = .... $
A). $ 34 \, $ B). $ 26 \, $ C). $ 23 \, $ D). $ 22 \, $ E). $ 21 $
Nomor 9
Penyelesaian dari pertidaksamaan $ |2x+1| < 2 + |x+1| $ adalah berbentuk interval $ (a,b) $. Nilai $ a + b + 2 = .... $
A). $ -3 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $
Nomor 10
Diketahui barisan aritmetika dengan $ U_n $ menyatakan suku ke-$n$. Jika $ U_{k+2} = U_2 + kU_{16} - 2 $ , maka nilai $ U_6 + U_{12} + U_{18} + U_{24} = .... $
A). $ \frac{2}{k} \, $ B). $ \frac{3}{k} \, $ C). $ \frac{4}{k} \, $ D). $ \frac{6}{k} \, $ E). $ \frac{8}{k} $
Nomor 11
Garis $ y = 2x + 1 $ tidak memotong ataupun tidak menyinggung hiperbola $ \frac{(x-2)^2}{2}-\frac{(y-a)^2}{4}=1 $, interval nilai $ a $ yang memenuhi adalah ....
A). $ a < 3 \, $ atau $ a > 7 $ B). $ -3 < a < 7 \, $ C). $ 3 < a < 7 \, $
D). $ a < -3 \, $ atau $ a > 7 \, $ E). $ -7 < a < -3 $

Catatan : Pembahasan soal-soal ini akan kita lengkapkan secara bertahap.

Pembahasan SPL Simak UI 2009 Matematika IPA kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x, y , $ dan $ z $ memenuhi sistem persamaan :
$ \begin{align} 3x + 2y - z & = 3 \\ 2x + y - 3z & = 4 \\ x - y + 2z & = -1 \end{align} $
maka nilai $ 2x + 2y - 3z = .... $
A). $ 8 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ -4 \, $ E). $ -8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier (SPL), dapat menggunakan metode eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dketahui sistem persamaan :
$ 3x + 2y - z = 3 \, $ ....(i)
2x + y - 3z = 4 \, $ ......(ii)
x - y + 2z = -1 \, $ ......(iii)
*). Mennyelesaikan sistem persamaannya :
-). 2 kali (i) ditambah (iii)
$ \begin{array}{cc} 6x + 4y - 2z = 6 & \\ x - y + 2z = -1 & + \\ \hline 7x + 3y = 5 & \end{array} $
Kita peroleh pers(iv) : $ 7x + 3y = 5 $
-). 3 kali (i) dikurangkan (ii)
$ \begin{array}{cc} 9x+6y-3z = 9 & \\ 2x + y - 3z = 4 & - \\ \hline 7x + 5y = 5 & \end{array} $
Kita peroleh pers(v) : $ 7x + 5y = 5 $
-). (iv) dikurangkan (v)
$ \begin{array}{cc} 7x + 3y = 5 & \\ 7x + 5y = 5 & - \\ \hline -2y = 0 \\ y = 0 & \end{array} $
pers(v) : $ 7x + 5y = 5 \rightarrow 7x + 5.0 = 5 \rightarrow x = \frac{5}{7} $
Pers(i) : $ 3x + 2y - z = 3 \rightarrow 3 . \frac{5}{7} + 2.0 - z = 3 \rightarrow z = \frac{-6}{7} $
*). Menentukan nilai $ 2x + 2y - 3z $ :
$\begin{align} 2x + 2y - 3z & = 2.\frac{5}{7} + 2.0 - 3.(\frac{-6}{7}) \\ & = \frac{10}{7} +0 + \frac{18}{7} \\ & = \frac{28}{7} = 4 \end{align} $
Jadi, nilai $ 2x + 2y - 3z = 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Kuadrat Simak UI 2009 Matematika IPA kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ mx^2 - 2x^2 + 2mx + m - 3 $ . Agar fungsi tersebut senantiasa berada di bawah sumbu X, maka nilai $ m $ yang mungkin adalah
A). $ m < -3 \, $ B). $ m < -2 \, $ C). $ m < 1\frac{1}{5} \, $
D). $ m < 2 \, $ E). $ m < 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi kuadrat $ f(x) = ax^2 + bx + c $ selalu berada di bawah sumbu X (istilah lainnya adalah definit negatif) jika memenuhi syarat :
$ a < 0 \, $ dan $ D < 0 $
dengan $ D = b^2 - 4ac $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dketahui Fungsi $ f(x) = mx^2 - 2x^2 + 2mx + m - 3 $
dapat digabung menjadi : $ f(x) = (m-2)x^2 + 2mx + (m - 3) $
dengan $ a = m-2 , \, b = 2m $ , dan $ c = m-3 $
*). Mennyelesaikan syarat definit negatif (selalu di bawah sumbu X) :
(i). Syarat pertama : $ a < 0 $
$\begin{align} a & < 0 \\ m - 2 & < 0 \\ m & < 2 \, \, \, \, \, \text{....HP1} \end{align} $
(ii). Syarat kedua : $ D < 0 $
$\begin{align} b^2 - 4ac & < 0 \\ (2m)^2 - 4.(m-2).(m-3) & < 0 \\ 4m^2 - 4(m^2 - 5m + 6) & < 0 \\ 4m^2 - 4m^2 + 20m - 24 & < 0 \\ 20m - 24 & < 0 \\ 20m & < 24 \\ m & < \frac{24}{20} \\ m & < \frac{6}{5} \\ m & < 1\frac{1}{5} \, \, \, \, \, \text{....HP2} \end{align} $
*). Solusi totalnya adalah irisan keduanya :
$\begin{align} HP & = HP1 \cap HP_2 \\ & = \{ m < 2 \} \cap \{ m < 1\frac{1}{5} \} \\ & = \{ m < 1\frac{1}{5} \} \end{align} $
Jadi, syaratnya adalah $ m < 1\frac{1}{5} . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan Simak UI 2009 Matematika Ipa Kode 924


Nomor 1
Diketahui fungsi $ mx^2 - 2x^2 + 2mx + m - 3 $ . Agar fungsi tersebut senantiasa berada di bawah sumbu X, maka nilai $ m $ yang mungkin adalah
A). $ m < -3 \, $ B). $ m < -2 \, $ C). $ m < 1\frac{1}{5} \, $
D). $ m < 2 \, $ E). $ m < 3 $
Nomor 2
Jika $ x, y , $ dan $ z $ memenuhi sistem persamaan :
$ \begin{align} 3x + 2y - z & = 3 \\ 2x + y - 3z & = 4 \\ x - y + 2z & = -1 \end{align} $
maka nilai $ 2x + 2y - 3z = .... $
A). $ 8 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ -4 \, $ E). $ -8 $
Nomor 3
Fungsi $ f(x) = 3\sin x + 3\cos x $ yang didefinisikan pada interval $ (0, 2\pi) $ mencapai nilai maksimum untuk $ x = .... $
A). $ \frac{\pi}{6} \, $ B). $ \frac{\pi}{4} \, $ C). $ \frac{\pi}{3} \, $ D). $ \frac{\pi}{2} \, $ E). $ \frac{3\pi}{4} $
Nomor 4
Himpunan penyelesaian $ \left| \log (x-1) \right| < 1 $ adalah .....
A). $ \{ x | 11 < x < 110 \} \, $
B). $ \{ x | -11 < x < 110 \} \, $
C). $ \{ x | -9 < x < 110 \} \, $
D). $ \{ x | -\frac{11}{10} < x < 11 \} \, $
E). $ \{ x | \frac{11}{10} < x < 11 \} \, $
Nomor 5
Misalkan $ x_1 $ dan $ x_2 $ bilangan bulat yang merupakan akar-akar persamaan kuadrat $ x^2-(2k+4)x+(3k+4)=0 $. Jika $ x_1, k , x_2 $ merupakan tiga suku pertama dari suatu deret geometri, maka rumus suku ke-$n$ deret tersebut adalah .....
A). $ 1 - (-1)^n \, $ B). $ 1 + (-1)^n \, $ C). $ -(-1)^n \, $
D). $ 2(-1)^n \, $ E). $ -1 $

Nomor 6
Jika diketahui matriks B memenuhi persamaan :
$ \left( \begin{matrix} 3 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 2&5 \\ 1 &3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & 5 \end{matrix} \right)B $ , maka determinan dari $ B^{-1} $ adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ -\frac{1}{2} $
Nomor 7
Jika $ \cos (A+B) = \frac{2}{5} $ , $ \cos A \cos B = \frac{3}{4} $ , maka nilai $ \tan A \tan B = .... $
A). $ \frac{6}{15} \, $ B). $ \frac{7}{15} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ \frac{8}{15} \, $ E). $ \frac{3}{4} \, $
Nomor 8
Nilai maksimum dari fungsi $ y = 4\sin x \sin (x-60^\circ) $ dicapai pada saat nilai $ x = .... $
A). $ x = 30^\circ + k. 180^\circ \, $ , dengan $ k $ bilangan bulat
B). $ x = 60^\circ + k. 180^\circ \, $ , dengan $ k $ bilangan bulat
C). $ x = 90^\circ + k. 180^\circ \, $ , dengan $ k $ bilangan bulat
D). $ x = 120^\circ + k. 180^\circ \, $ , dengan $ k $ bilangan bulat
E). $ x = 150^\circ + k. 180^\circ \, $ , dengan $ k $ bilangan bulat
Nomor 9
Misalkan diketahui $ g(x) = \log x $ , $ h(x) = \sqrt{4-x^2} $. Daerah asal dari fungsi komposisi $ ( g \circ h) $ adalah ....
A). $ \{ R | -2 \leq x \leq 2 \} $
B). $ \{ R | x \leq -2 \text{ atau } x \geq 2 \} $
C). $ \{ R | -2 < x < 2 \} $
D). $ \{ R | x < -2 \text{ atau } x > 2 \} $
E). Himpunan bilangan real
Nomor 10
Jika suku banyak $ f(x) $ habis dibagi oleh $ (x-1) $ , maka sisa pembagian $ f(x) $ oleh $ (x-1)(x+1) $ adalah .....
A). $ \frac{-f(-1)}{2}(1+x) \, $ B). $ \frac{-f(-1)}{2}(1-x) \, $
C). $ \frac{f(-1)}{2}(1+x) \, $ D). $ \frac{f(-1)}{2}(1-x) \, $
E). $ \frac{f(-1)}{2}(x-1) $

Nomor 11
Kurva $ y = \sin x $ dan garis $ y = mx $ berpotongan di titik $ (0,0) $ dan di titik yang absisnya $ a $. Daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = \sin x $ dan sumbu X pada $ 0 \leq x \leq \pi $ terbagi oleh garis $ y = mx $ tersebut menjadi dua bagian, yaitu daerah P dan daerah Q. Agar daerah P dan daerah Q mempunyai luas yang sama, maka $ m $ dan $ a $ harus memenuhi hubungan .....
A). $ m = \frac{-\cos a}{a^2} \, $ B). $ m = \frac{\cos a}{2a^2} \, $ C). $ m = \frac{-\cos a}{2a^2} \, $
D). $ m = \frac{2\cos a}{a^2} \, $ E). $ m = \frac{-2\cos a}{a^2} $
Nomor 12
Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk 5 cm. Titik M adalah perpotongan antara AF dan BE. Jika N adalah titik tengah EH, maka jarak antara BH dan MN sama dengan .....
A). $ \sqrt{6} \, $ B). $ \frac{5}{6}\sqrt{6} \, $ C). $ \frac{2}{3}\sqrt{6} \, $ D). $ \frac{1}{2}\sqrt{6} \, $ E). $ \frac{1}{3}\sqrt{6} $
Nomor 13
Gunakan petunjuk C.
Jika akar-akar persamaan $ x^2 -ax + b = 0 $ memenuhi persamaan $ 2x^2 - (a+3)x + (3b-2) = 0 $ , maka ....
(1). $ a = 3 \, $
(2). $ b = 2 \, $
(3). $ 2a - 2ab + 3b = 0 \, $
(4). $ ab = 5 \, $
Nomor 14
Gunakan petunjuk C.
Jika suatu fungsi $ y = \sqrt{x^2 - 7} $ , maka .....
(1). $ y = \frac{4}{3}x - \frac{7}{3} $ merupakan persamaan garis singgung di $ x = 4 $
(2). Kurva berbentuk lingkaran berpusat di $ (0,0) $
(3). Garis $ y = -\frac{3}{4}x + 6 $ memotong tegak lurus garis singgung di $ x = 4 $
(4). $ y = \frac{4}{3}x - \frac{25}{3} $ merupakan garis singgung kurva di $ (4, -3) $
Nomor 15
Gunakan petunjuk C.
Diketahui turunan dari suatu fungsi $ y $ adalah $ y^\prime = 4x-3 $. Jika kurva melalui titik $ (0,1) $, dan berpotongan dengan garis $ p : y = 2x - 1 $, maka garis singgung di titik potong antara kurva $ y $ dengan garis $ p $ mempunyai persamaan ....
(1). $ y - 5x + 7 = 0 \, $
(2). $ -y + 2x - 2 = 0 \, $
(3). $ 2y + 2x - 1= 0 \, $
(4). $ y - 2x = 0 \, $
Catatan :
Pembahasannya akan dilengkapi secara bertahap. Terima kasih.

Pembahasan Matriks Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Jika $ \left( \begin{matrix}\tan x & 1 \\ 1 & \tan x \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix}\cos ^2 x \\ \sin x \cos x \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \frac{1}{2} $, dimana $ b = 2a $ , maka $ 0 \leq x \leq \pi $ yang memenuhi adalah ...
(1). $ \frac{\pi}{6} \, $ (2). $ \frac{\pi}{12} \, $ (3). $ \frac{5\pi}{6} \, $ (4). $ \frac{5\pi}{12} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Cara perkalian matriks : Baris kali kolom
*). Kesamaan dua matriks : Unsur seletak nilainya sama
*). Sudut rangkap dan rumus dasar lainnya :
$ 2 \sin x . \cos x = \sin 2x \, $
$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Perlian matriksnya :
$ \begin{align} \left( \begin{matrix}\tan x & 1 \\ 1 & \tan x \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix}\cos ^2 x \\ \sin x \cos x \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} a \\ b \end{matrix} \right) \frac{1}{2} \\ \left( \begin{matrix}\tan x.\cos ^2 x + \sin x \cos x \\ \cos ^2 x + \tan x \sin x \cos x \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \frac{a}{2} \\ \frac{b}{2} \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} \frac{\sin x}{\cos x}.\cos ^2 x + \sin x \cos x \\ \cos ^2 x + \frac{\sin x}{\cos x} \sin x \cos x \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \frac{a}{2} \\ \frac{b}{2} \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} \sin x \cos x + \sin x \cos x \\ \cos ^2 x + \sin ^2 x \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \frac{a}{2} \\ \frac{b}{2} \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 2\sin x \cos x \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \frac{a}{2} \\ \frac{b}{2} \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} \sin 2 x \\ 1 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} \frac{a}{2} \\ \frac{b}{2} \end{matrix} \right) \\ \end{align} $
*). Kita peroleh kesamaan matriks yaitu :
$ \frac{b}{2} = 1 \rightarrow b = 2 $
-). Dari yang diketahui : $ b = 2a \rightarrow 2 = 2a \rightarrow a = 1 $
-). Persamaan kedua :
$ \sin 2x = \frac{a}{2} \rightarrow \sin 2x = \frac{1}{2} $
Penyelesaian dari $ \sin 2x = \frac{1}{2} $ :
$ 2x = 30^\circ \rightarrow x = 15^\circ = \frac{\pi}{12} $
$ 2x = 150^\circ \rightarrow x = 75^\circ = \frac{5\pi}{12} $
Sehingga nilai $ x = \frac{\pi}{12} $ dan $ x = \frac{5\pi}{12} $
Pernyataan (2) dan (4) BENAR, jawabannya C.
Jadi, Pernyataan (2) dan (4) BENAR $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Eksponen Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Diketahui sistem persamaan berikut :
$ \begin{align} 5^{2x+y+z} & = 125 \\ 7^{3x-y+2z} & = \frac{1}{7} \\ 2^{x+2y-z} & = 64 \end{align} $
Jawaban yang sesuai adalah ....
(1). $ y - z = 3 \, $
(2). $ x = 1 \, $
(3). $ 2x + y = 3y + 2z \, $
(4). $ x + y + z = 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Eksponen : $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $
*). Persamaan Ekspnen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah sistem persamaan eksponennya :
$ \begin{align} 5^{2x+y+z} = 125 \rightarrow 5^{2x+y+z} & = 5^3 \\ \text{Pers (i) } ... \,\,\,\,\, 2x + y + z & = 3 \\ 7^{3x-y+2z} = \frac{1}{7} \rightarrow 7^{3x-y+2z} & = 7^{-1} \\ \text{Pers (ii) } ... \,\,\,\,\, 3x-y+2z & = -1 \\ 2^{x+2y-z} = 64 \rightarrow 2^{x+2y-z} & = 2^6 \\ \text{Pers (iii) } ... \,\,\,\,\, x+2y-z & = 6 \end{align} $
*). Jumlahkan pers(i) dan pers(iii) :
$\begin{array}{cc} 2x + y + z = 3 & \\ x+2y-z = 6 & + \\ \hline 3x + 3y = 9 & \end{array} $
kita peroleh pers(iv) : $ 3x + 3y = 9 \, $ .....(iv)
*). 2 kali pers(i) dikurangkan pers (ii) :
$\begin{array}{cc} 4x + 2y + 2z = 6 & \\ 3x-y+2z = -1 & - \\ \hline x + 3y = 7 & \end{array} $
kita peroleh pers(v) : $ x + 3y = 7 \, $ .....(v)
*). pers(iv) dikurangkan pers (v) :
$\begin{array}{cc} 3x + 3y = 9 & \\ x + 3y = 7 & - \\ \hline 2 x = 2 & \\ x = 1 & \end{array} $
Pers (iv) : $ x + y = 3 \rightarrow 1 + y = 3 \rightarrow y = 2 $
Pers (i) : $ 2x + y + z = 3 \rightarrow 2.1 + 2 + z = 3 \rightarrow z = -1 $
Sehingga nilai $ x = 1, y = 2, $ dan $ z = -1 $

Kita cek setiap pernyataan :
(1). $ y - z = 3 \, $ ?
$ y - z = 2 - (-1) = 3 $ (BENAR)

(2). $ x = 1 \, $ ?
(BENAR)

(3). $ 2x + y = 3y + 2z \, $ ?
$ 2.1 + 2 = 3.2 + 2.(-1) \rightarrow 4 = 4 $
(BENAR)

(4). $ x + y + z = 2 \, $ ?
$ x + y + z = 1 + 2 + (-1) = 2 $ (BENAR)

Semua Pernyataan BENAR, jawabannya E.
Jadi, Semua Pernyataan BENAR $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Menyusun PK Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Gunakan petunjuk C.
Akar-akar dari persamaan $ px^2-(2p+1)x+2 = 0 $ adalah $ m $ dan $ n $. Jika $ mn=1 $ , maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya merupakan kuadrat dari kebalikan $ m $ dan $ n $ adalah .....
(1). $ 2x^2 + \frac{17}{2}x + 2 = 0 \, $
(2). $ 2x^2 - \frac{17}{2}x + 2 = 0 \, $
(3). $ 4x^2 + 17x + 4 = 0 \, $
(4). $ 4x^2 - 17x + 4 = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat $ ax^2+bx+c=0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $
*). Menyusun persamaan kuadrat $ P $ dan $ q $ yaitu :
$ x^2 - (p+q)x + p.q = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Akar-akar dari persamaan $ px^2-(2p+1)x+2 = 0 $ adalah $ m $ dan $ n $
*). Menentukan nilai $ p $ dengan $ mn = 1 $
$\begin{align} mn & = 1 \rightarrow \frac{c}{a} = 1 \rightarrow \frac{2}{p} = 1 \rightarrow p = 2 \end{align} $
*). Menentukan akar-akar dengan $ p = 2 $
$\begin{align} px^2-(2p+1)x+2 & = 0 \\ 2x^2-5x+2 & = 0 \\ (2x-1)(x-2) & = 0 \\ x = \frac{1}{2} \vee x & = 2 \end{align} $
artinya $ m = \frac{1}{2} $ dan $ n = 2 $
*). Menyusun persamaan kuadrat baru dengan akar-akarnya kuadrat kebalikan dari $ m $ dan $ n $ (maksudnya dengan akar-akar $ \frac{1}{m^2} $ dan $ \frac{1}{m^2} $ )
$\begin{align} x^2 - ( \frac{1}{m^2} + \frac{1}{n^2} )x + \frac{1}{m^2} . \frac{1}{n^2} & = 0 \\ x^2 - ( \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} + \frac{1}{2^2} )x + \frac{1}{(\frac{1}{2})^2} . \frac{1}{2^2} & = 0 \\ x^2 - ( 4 + \frac{1}{4} )x + 2 . \frac{1}{2^2} & = 0 \\ x^2 - \frac{17}{4}x + 1 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 2x^2 - \frac{17}{2}x + 2 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 4x^2 - 17x + 4 & = 0 \end{align} $
Pernyataan (2) dan (4) yang BENAR, jawabannya C.
Jadi, Pernyataan (2) dan (4) yang BENAR $ . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui balok ABCD.EFGH dimana AB = 6 cm, BC = 8 cm, BF = 4 cm. Misalkan $ \alpha $ adalah sudut antara AH dan BD, maka $ \cos 2\alpha = .... $
A). $ \frac{61}{5\sqrt{5}} \, $ B). $ \frac{8}{5\sqrt{5}} \, $ C). $ \frac{3}{5\sqrt{5}} \, $ D). $ \frac{8}{125} \, $ E). $ \frac{3}{125} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Aturan Kosinus pada segitiga ABC :
$ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $
*). RUmus sudut rangkap :
$ \cos 2A = 2\cos ^2 A - 1 $
*). Untuk menentukan sudut pada dimensi tiga, salah satu garis bisa digeser sejajar dengan aslinya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar.
 

-). Garis AH dan BD belum berpotongan (belum bertemu), sehingga kita geser salah satu geser agar mereka berpotongan yaitu geser garis AH ke garis BG (AH sejajar BG), sehingga sudutnya antara garis BG dan BD. $ \alpha = \angle (AH, BD) = \angle (BG, BD) $
-). Menentukan panjang pada segitiga BDG :
$ BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 $
$ DG = \sqrt{CD^2 + CG^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{15} $
$ BG = \sqrt{CB^2 + CG^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} $
*). Aturan segitiga pada segitiga BDG :
$\begin{align} \cos DBG & = \frac{BD^2 + BG^2 - DG^2}{2.BD.BG} \\ \cos \alpha & = \frac{10^2 + (\sqrt{80})^2 - (\sqrt{52})^2}{2.10.4\sqrt{5}} \\ & = \frac{100 + 80 - 52}{80\sqrt{5}} \\ & = \frac{128}{80\sqrt{5}} = \frac{8}{5\sqrt{5}} \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \cos 2 \alpha $ :
$\begin{align} \cos 2 \alpha & = 2\cos ^2 \alpha - 1 \\ & = 2 (\frac{8}{5\sqrt{5}} )^2 - 1 \\ & = \frac{128}{125} - \frac{125}{125} = \frac{3}{125} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 2 \alpha = \frac{3}{125} . \, \heartsuit $

Pembahasan Integral Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Daerah yang dibatasi oleh garis $ x = 3y $ dan kurva $ y = \sqrt{x} $ pada $ 0 \leq x \leq m $ , $ m > 0 $ terdiri dari dua bagian. Agar kedua bagian daerah tersebut mempunyai luas yang sama, maka $ m = .... $
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 9 \, $ E). $ 16 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luasan yang dibatasi oleh fungsi $ f(x) $ dan $ g(x) $ pada interval $ a \leq x \leq b $ yaitu :
Luas $ = \int \limits_a^b [f(x) - g(x)] dx $
dengan kurva $ f(x) $ di atas kurva $ g(x) $
*). RUmus integral fungsi aljabar :
$ \int ax^n dx = a. \frac{1}{n+1} x^{n+1} + c $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketaui garis $ x = 3y \rightarrow y = \frac{1}{3}x $ dan kurva $ y = \sqrt{x} $
Ilustrasi gambar untuk interval $ 0 \leq x \leq m $
 

Titik potong kedua kurva :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ \frac{1}{3}x & = \sqrt{x} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \frac{1}{9}x^2 & = x \\ x^2 & = 9x \\ x^2 - 9x & = 0 \\ x(x-9) & = 0 \\ x = 0 \vee x & = 9 \end{align} $
titik potongnya di $ x = 0 $ dan $ x = 9 $
*). Menentukan nilai $ m $ :
$\begin{align} \text{Luas I} & = \text{Luas II} \\ \int \limits_0^9 (\sqrt{x} - \frac{1}{3}x) dx & = \int \limits_9^m (\frac{1}{3}x - \sqrt{x}) dx \\ \int \limits_0^9 (x^\frac{1}{2} - \frac{1}{3}x) dx & = \int \limits_9^m (\frac{1}{3}x - x^\frac{1}{2}) dx \\ [\frac{2}{3}x^\frac{3}{2} - \frac{1}{6}x^2]_0^9 & = [\frac{1}{6}x^2 - \frac{2}{3}x^\frac{3}{2}]_9^m \\ [\frac{2}{3}.9^\frac{3}{2} - \frac{1}{6}.9^2]-0 & = [\frac{1}{6}.m^2 - \frac{2}{3}.m^\frac{3}{2}]- [\frac{1}{6}.9^2 - \frac{2}{3}.9^\frac{3}{2}] \\ \frac{2}{3}.9^\frac{3}{2} - \frac{1}{6}.9^2 & = \frac{1}{6}.m^2 - \frac{2}{3}.m^\frac{3}{2} - \frac{1}{6}.9^2 + \frac{2}{3}.9^\frac{3}{2} \\ 0 & = \frac{1}{6}.m^2 - \frac{2}{3}.m^\frac{3}{2} \, \, \, \, \, \text{(kali 6)} \\ 0 & = m^2 - 4m^\frac{3}{2} \\ m^2 & = 4m^\frac{3}{2} \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ m^4 & = 16m^3 \\ m & = 16 \end{align} $
Jadi, nilai $ m = 16 . \, \heartsuit $

Pembahasan Teorema Sisa Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Jika suku banyak $ f(x) $ habis dibagi oleh $ (x-1) $ , maka sisa pembagian $ f(x) $ oleh $ (x-1)(x+1) $ adalah .....
A). $ \frac{-f(-1)}{2}(1+x) \, $ B). $ \frac{-f(-1)}{2}(1-x) \, $
C). $ \frac{f(-1)}{2}(1+x) \, $ D). $ \frac{f(-1)}{2}(1-x) \, $
E). $ \frac{f(-1)}{2}(x-1) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Teorema sisa :
$ f(x) \, $ dibagi $ \, (x-a)(x-b) \, $ bersisa $ px + q $
Maka berlaku :
$ f(a) = pa + q $ dan $ f(b) = pb + q $
(substitusi akar-akar pembaginya).
*). $ f(x) $ habis dibagi $ (x-a) $ artinya sisa = 0
atau bisa kita tulis $ f(a) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pertama : Diketahui suku banyak $ f(x) $
-). $ f(x) $ habis dibagi oleh $ (x-1) $, artinya $ f(1) = 0 $
*). $ f(x) $ dibagi oleh $ (x-1)(x+1) $ , misalkan sisanya $ ax+b $
Pembaginya : $ (x-1)(x+1) \rightarrow x = 1 \vee x = -1 $
Sisa : $ s(x) = ax+b $
-). Akar-akar pembaginya adalah $ 1 $ dan $ -1 $
$\begin{align} x = 1 \rightarrow f\left( 1 \right) & = s\left( 1 \right) \\ 0 & = a.1 + b \\ a & = -b \, \, \, \, \, ....\text{(i)} \\ x = -1 \rightarrow f\left( -1 \right) & = s\left( -1 \right) \\ f(-1) & = a.(-1) + b \\ f(-1) & = -a + b \, \, \, \, \, ....\text{(ii)} \\ \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke (ii) :
$\begin{align} -a + b & = f(-1) \\ -(-b) + b & = f(-1) \\ 2b & = f(-1) \\ b & = \frac{f(-1)}{2} \end{align} $
Pers(i): $ a = -b = - \frac{f(-1)}{2} $
*). Sehingga sisanya :
$\begin{align} s(x) & = ax + b \\ & = -\frac{f(-1)}{2}x + \frac{f(-1)}{2} \\ & = \frac{f(-1)}{2}(-x + 1) \\ & = \frac{f(-1)}{2}(1 - x) \end{align} $
Jadi, sisanya adalah $ \frac{f(-1)}{2}(1 - x) . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Limit Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) = ...$
A). $ \frac{5}{2} \, $ B). $ 2 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus limit tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } (\sqrt{a_1x^2 +b_1x + c_1} - \sqrt{a_2x^2 +b_2x + c_2} - \sqrt{a_3x^2 +b_3x + c_3} ) $
$ = \frac{b_1}{2\sqrt{a_1}} - \frac{b_2}{2\sqrt{a_2}} - \frac{b_3}{2\sqrt{a_3}} $
Syaratnya adalah $ \sqrt{a_1} = \sqrt{a_2} + \sqrt{a_3} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Soalnya : $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) $
$ a_1 = 4, a_2 = 1, a_3 = 1 $
$ \sqrt{a_1} = \sqrt{a_2} + \sqrt{a_3} \rightarrow \sqrt{4} = \sqrt{1} + \sqrt{1} $
(BENAR memenuhi syarat)
*). Menentukan nilai limitnya dengan mengubah bentuk akarnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) \\ & = \frac{b_1}{2\sqrt{a_1}} - \frac{b_2}{2\sqrt{a_2}} - \frac{b_3}{2\sqrt{a_3}} \\ & = \frac{8}{2\sqrt{4}} - \frac{0}{2\sqrt{1}} - \frac{1}{2\sqrt{1}} \\ & = 2 - 0 - \frac{1}{2 } = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, nilai limitnya adalah $ \frac{3}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) = ...$
A). $ \frac{5}{2} \, $ B). $ 2 \, $ C). $ \frac{3}{2} \, $ D). $ 1 \, $ E). $ \frac{1}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus limit tak hingga :
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty } (\sqrt{ax^2 +bx + c} - \sqrt{ax^2 + px + q} ) = \frac{b-p}{2\sqrt{a}} $
(syaratnya dengan koefisien $ x^2 $ sama).
*). Sifat bentuk akar : $ \sqrt{ab} = \sqrt{a} . \sqrt{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai limitnya dengan mengubah bentuk akarnya :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{4x^2+8x}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{4(x^2+2x)}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{4}\sqrt{(x^2+2x)}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( 2\sqrt{(x^2+2x)}-\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } ( \sqrt{(x^2+2x)} + \sqrt{(x^2+2x)} -\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2+x}) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \left[ ( \sqrt{(x^2+2x)} -\sqrt{x^2+1}) + ( \sqrt{(x^2+2x)} -\sqrt{x^2+x}) \right] \\ & = \frac{b-p}{2\sqrt{2}} + \frac{b-p}{2\sqrt{2}} \\ & = \frac{2-0}{2\sqrt{1}} + \frac{2-1}{2\sqrt{1}} \\ & = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, nilai limitnya adalah $ \frac{3}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan Trigonometri Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Fungsi $ f(x) = 3\sin x + 3\cos x $ yang didefinisikan pada interval $ (0, 2\pi) $ mencapai nilai maksimum untuk $ x = .... $
A). $ \frac{\pi}{6} \, $ B). $ \frac{\pi}{4} \, $ C). $ \frac{\pi}{3} \, $ D). $ \frac{\pi}{2} \, $ E). $ \frac{3\pi}{4} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = a\sin x \rightarrow y^\prime = a\cos x $
$ y = a\cos x \rightarrow y^\prime = -a\sin x $
*). Nilai maksimum/minimum fungsi $ y = f(x) $ dicapai pada saat $ f^\prime (x) = 0 $
(Turunan pertama fungsinya = 0)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dketahui Fungsi $ f(x) = 3\sin x + 3\cos x $
*). Menentukan turunannya :
$\begin{align} f(x) & = 3\sin x + 3\cos x \\ f^\prime (x) & = 3\cos x - 3\sin x \end{align} $
*). Syarat nilai maksimum/minimum : $ f^\prime (x) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (x) & = 0 \\ 3\cos x - 3\sin x & = 0 \\ 3\cos x & = 3\sin x \\ \cos x & = \sin x \\ \frac{\sin x}{\cos x} & = 1 \\ \tan x & = 1 \\ \end{align} $
*). Nilai $ x $ yang memenuhi $ \tan x = 1 $ yaitu $ x = \frac{\pi}{4} $ dan $ x = \frac{5\pi}{4} $
*). Cek ke fungsi $ f(x) = 3\sin x + 3\cos x $ :
$ \begin{align} x = \frac{\pi}{4} \rightarrow f(\frac{\pi}{4}) & = 3\sin \frac{\pi}{4} + 3\cos \frac{\pi}{4} \\ & = 3.\frac{1}{2}\sqrt{2} + 3.\frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = 3\sqrt{2} \, \, \, \, \, \text{(maks)} \\ x = \frac{5\pi}{4} \rightarrow f(\frac{5\pi}{4}) & = 3\sin \frac{5\pi}{4} + 3\cos \frac{5\pi}{4} \\ & = 3.(-\frac{1}{2}\sqrt{2}) + 3.(-\frac{1}{2}\sqrt{2} ) \\ & = -3\sqrt{2} \, \, \, \, \, \text{(min)} \end{align} $
Jika kita cek ke fungsi $ f(x) = 3\sin x + 3\cos x $ , maka nilai maksimumnya pada saat $ x = \frac{\pi}{4} $.
Jadi, nilai $ x $ adalah $ x = \frac{\pi}{4} . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Geometri Simak UI 2009 Matematika IPA kode 914

Soal yang Akan Dibahas
Suatu barisan geometri mempunyai 3 suku pertama $ a, b, b^2 $. Jika $ a $ dan $ b $ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $ 2x^2+kx+6=0 $ , maka suku keempat dari barisan dan nilai $ k $ masing-masing adalah .....
A). 27 dan $ - 8 \, $ B). 27 dan $ 8 \, $
C). 24 dan $ -8 \, $ D). 24 dan $ -4 \, $
E). 24 dan 4

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Barisan geometri : $ u_1, u_2, u_3, .... $
-). Ciri-ciri barisan geometri : "perbandingan sama"
$ \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} $
-). RUmus suku ke-$n$ : $ u_n = ar^{n-1} $
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ :
-). Operasi akar-akarnya :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dketahui barisan geometri : $ a, b, b^2 $
-). Perbandingan sama :
$ \frac{b}{a} = \frac{b^2}{b} \rightarrow \frac{b}{a} = \frac{b}{1} \rightarrow a = 1 $
*). PK $ 2x^2+kx+6=0 $ dengan akar-akar $ x_1 = a = 1 $ dan $ x_2 = b $ :
-). Operasi perkalian akar-akar :
$\begin{align} x_1.x_2 & = \frac{6}{2} \rightarrow 1.b = 3 \rightarrow b = 3 \end{align} $
-). Operasi penjumlan akar-akar :
$\begin{align} x_1+x_2 & = \frac{-k}{2} \rightarrow 1 + 3 = \frac{-k}{2} \rightarrow k = -8 \end{align} $
Sehingga barisan geometrinya ($ a =1 , b = 3 $ ):
$ a, b, b^2 \rightarrow 1, 3, 9, .... $
$ u_4 = ar^3 = 1. 3^3 = 27 $
Jadi, nilai $ u_4 $ dan $ k $ adalah 27 dan $ -8 . \, \heartsuit $