Pembahasan Dimensi Tiga UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan kubus ABCD.EFGH dan P adalah titik tengah BC. Perbandingan luas segitiga APG dan luas segitiga DPG adalah .....
A). $ 1 : 1 \, $ B). $ \sqrt{3} : \sqrt{2} \, $ C). $ \sqrt{2} : 1 \, $ D). $ 3 : 2 \, $ E). $ \sqrt{3} : 1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas segitiga $ = \frac{1}{2}.a.t $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar, misalkan panjang rusuk kubus = 2
 

-). Panjang $ AG = s\sqrt{3} = 2\sqrt{3} $ (diagonal ruang)
$ AM = MG = \frac{1}{2}.AG = \sqrt{3} $
-). Panjang $ DG = s\sqrt{2} = 2\sqrt{2} $ (diagonal bidang)
$ DN = NG = \frac{1}{2}.DG = \sqrt{2} $
-). Segitiga ABP :
$ AP = \sqrt{AB^2 + BP^2} = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5} $
Panjang $ AP = DP = GP $.
-). Segitiga APG :
$ MP = \sqrt{PG^2 - MG^2} = \sqrt{\sqrt{5}^2 - \sqrt{3}^2} = \sqrt{2} $
-). Segitiga DPG :
$ NP = \sqrt{PG^2 - NG^2} = \sqrt{\sqrt{5}^2 - \sqrt{2}^2} = \sqrt{3} $
*). Menentukan luas segitiga APG :
$\begin{align} \text{Luas APG } & = \frac{1}{2}.AG.MP \\ & = \frac{1}{2}.2\sqrt{3} . \sqrt{2} \\ & = \sqrt{6} \end{align} $
*). Menentukan luas segitiga DPG :
$\begin{align} \text{Luas DPG } & = \frac{1}{2}.DG.NP \\ & = \frac{1}{2}.2\sqrt{2} . \sqrt{3} \\ & = \sqrt{6} \end{align} $
*). Menentukan perbandinan luasnya :
$\begin{align} \text{Luas APG } : \text{ Luas DPG } & = \sqrt{6} : \sqrt{6} \\ & = 1 : 1 \end{align} $
Jadi, perbandingan luasnya $ 1 : 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ x^2+2xy+4x=-3 $ dan $ 9y^2+4xy+12y=-1 $. Nilai dari $ x + 3y $ adalah .....
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \, $ D). $ -1 \, $ E). $ -2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan sistem persamaan, bisa dengan metode eliminasi atau substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaan :
$ x^2+2xy+4x=-3 \, \, $ ......(i)
$ 9y^2+4xy+12y=-1 \, $ ......(ii)
*). Jumlahkan kedua persamaan :
$ \begin{array}{cc} x^2+2xy+4x=-3 & \\ 9y^2+4xy+12y=-1 & + \\ \hline \end{array} $
$ x^2 + 6xy + 9y^2 + 4x + 12y = -4 $
*). Kita ubah bentuk persamaan terakhir :
Misalkan $ x + 3y = p $
$ \begin{align} x^2 + 6xy + 9y^2 + 4x + 12y & = -4 \\ x^2 + 6xy + 9y^2 + 4(x + 3y) & = -4 \\ (x + 3y)^2 + 4(x + 3y) & = -4 \\ p^2 + 4p & = -4 \\ p^2 + 4p + 4 & = 0 \\ (p + 2)^2 & = 0 \\ p + 2 & = 0 \\ p & = -2 \end{align} $
Artinya : $ p = -2 \rightarrow x + 3y = -2 $.
Jadi, nilai $ x + 3y = -2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Trigonometri UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0 $ untuk $ \frac{\pi}{2}< x < \pi $ , maka $ \tan 2x = ... $
A). $ -\sqrt{3} \, $ B). $ -1 \, $ C). $ -\frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \sqrt{3} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus jumlah trigonometri :
$ \sin A + \sin B = 2\sin \left( \frac{A+B}{2} \right)\cos \left( \frac{A-B}{2} \right) $
*). Nilai trigonometri :
Untuk $ 90^\circ < x < 180^\circ $ berlaku :
$ \cos x = -\frac{1}{2} \rightarrow x = 120^\circ $.
Nilai $ \tan 240^\circ = \tan (180^\circ + 60^\circ ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ x $ :
$ \begin{align} \sin x + \sin 2x + \sin 3x & = 0 \\ ( \sin 3x + \sin x ) + \sin 2x & = 0 \\ 2\sin \left( \frac{3x+x}{2} \right)\cos \left( \frac{3x-x}{2} \right) + \sin 2x & = 0 \\ 2\sin 2x \cos x + \sin 2x & = 0 \\ \sin 2x ( 2 \cos x + 1) & = 0 \\ \sin 2x = 0 \vee 2 \cos x + 1 & = 0 \\ \sin 2x = 0 \vee \cos x & = -\frac{1}{2} \end{align} $
Karena $ \frac{\pi}{2}< x < \pi $, maka yang memenuhi $ \cos x = -\frac{1}{2} $
Untuk $ \cos x = -\frac{1}{2} \, $ maka $ x = 120^\circ $
*). Menentukan nilai $ \tan 2x $ :
$ \begin{align} \tan 2x & = \tan 2\times 120^\circ \\ & = \tan 240^\circ = \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \tan 2x = \sqrt{3} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ p>0 $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to p} \frac{x^3+px^2+qx}{x-p}=12 $ , maka nilai $ p - q $ adalah .....
A). $ 14 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Penerapan Turunan pada limit (L'Hopital) :
$ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ memiliki penyelesaian $ \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to k} \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = n.ax^{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Cek nilai limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to p} \frac{x^3+px^2+qx}{x-p} & = 12 \\ \frac{p^3+p.p^2+q.p}{p-p} & = 12 \\ \frac{p^3+p^3+pq}{0} & = 12 \\ \frac{2p^3+pq}{0} & = 12 \end{align} $
-). Bentuk $ \frac{2p^3+pq}{0} $ jika kita hitung maka hasilnya $ \infty $, sementara hasil pada soal adalah 12, ini artinya bentuk limitnya harus tak tentu yaitu $ \frac{0}{0} $ agar limitnya bisa kita proses lagi sehingga hasilnya menjadi 12.
$ \frac{2p^3+pq}{0} = \frac{0}{0} \rightarrow 2p^3+pq = 0 $
Bagi dengan $ p $, kita peroleh $ 2p^2 + q = 0 \rightarrow q = -2p^2 \, $ ......(i)
*). Turunan pada limitnya :
$ \begin{align} \displaystyle \lim_{x \to p} \frac{x^3+px^2+qx}{x-p} & = 12 \\ \displaystyle \lim_{x \to p} \frac{3x^2+ 2px +q}{1} & = 12 \\ 3p^2+ 2p.p +q & = 12 \\ 5p^2 +q & = 12 \, \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Substitusi $ q = -2p^2 $ ke pers(ii) :
$ \begin{align} 5p^2 +q & = 12 \\ 5p^2 + (-2p^2 ) & = 12 \\ 3p^2 & = 12 \\ p^2 & = 4 \\ p & = \pm 2 \end{align} $
Karena $ p > 0 $ , maka $ p = 2 $ yang memenuhi.
sehingga $ q = -2p^2 = -2(2)^2 = - 8 $
*). Menentukan nilai $ p - q $ :
$ \begin{align} p - q & = 2 - (-8) = 10 \end{align} $
Jadi, nilai $ p - q = 10 . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f $ dan $ g $ dengan $ f(x)=(2x+1)^5 $ dan $ h=f\circ g $. Jika $ g(5)=-1 $ dan $ g^\prime \left( \frac{x+1}{x-1} \right)=2x+2$, maka $ h^\prime (5) = .... $
A). $ 10 \, $ B). $ 25 \, $ C). $ 50 \, $ D). $ 60 \, $ E). $ 120 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus dasar turunan :
$ y = [g(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[g(x)]^{n-1}. g^\prime (x) $
$ y = f(g(x)) \rightarrow y^\prime = f^\prime (g(x)) . g^\prime (x) $
*). Komposisi fungsi :
$ ( f\circ g)(x) = f(g(x)) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunannya $ f(x) $ :
$ \begin{align} f(x) & =(2x+1)^5 \\ f^\prime (x) & = 5(2x+1)^4. 2 \\ f^\prime (x) & = 10(2x+1)^4 \\ f^\prime (-1) & = 10(2.(-1)+1)^4 \\ & = 10(-11)^4 = 10 \end{align} $
*). Diketahui $ g^\prime \left( \frac{x+1}{x-1} \right)=2x+2 $, menentukan $ g^\prime (5) $ :
-). Menentukan nilai $ x $ agar menjadi $ g^\prime (5) $ :
$ \begin{align} \frac{x+1}{x-1} & = 5 \\ x + 1 & = 5x - 5 \\ 4x & = 6 \\ x & = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \end{align} $
-). Substitusi $ x = \frac{3}{2} $ ke $ g^\prime \left( \frac{x+1}{x-1} \right)=2x+2 $
Untuk $ x = \frac{3}{2} $, maka $ \frac{x+1}{x-1} = 5 $ :
$ \begin{align} x = \frac{3}{2} \rightarrow g^\prime \left( \frac{x+1}{x-1} \right) & =2x+2 \\ g^\prime (5) & =2 (\frac{3}{2}) +2 \\ & =3 +2 \\ & =5 \end{align} $
*). Bentuk $ h(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x)) $ :
$ \begin{align} h(x) & = f(g(x)) \\ h^\prime(x) & = f^\prime (g(x)) . g^\prime (x) \\ h^\prime(5) & = f^\prime (g(5)) . g^\prime (5) \\ & = f^\prime (-1) . 5 \\ & = 10 . 5 \\ & = 50 \end{align} $
Jadi, nilai $ h^\prime(5) = 50 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ U_n $ menyatakan suku ke-$n$ dari barisan aritmetika. Diketahui $U_1\times U_2 = 10 $ dan $ U_1\times U_3 = 16 $. Jika suku-suku dari barisan aritmetika tersebut merupakn bilangan positif, maka $ U_{10} = .... $
A). $ 21 \, $ B). $ 23 \, $ C). $ 25 \, $ D). $ 27 \, $ E). $ 29 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, \, \, U_n = a+(n-1)b $
Sehingga penjabarannya :
$ U_1 = a , U_2 = a + b , U_3 = a + 2b, ...... $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ b = \, $ beda

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaannya :
$ \begin{align} U_1.U_2 = 10 \rightarrow a (a+b) & = 10 \, \, \, \, \, \text{....(i)} \\ U_1.U_3 = 10 \rightarrow a (a+2b) & = 16 \, \, \, \, \, \text{....(ii)} \end{align} $
*). Bagi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{align} \frac{a(a+b)}{a(a+2b)} & = \frac{10}{16} \\ \frac{a+b}{ a+2b} & = \frac{5}{8} \\ 8(a+b) & = 5(a + 2b) \\ 8a + 8b & = 5a + 10 b \\ 3a & = 2b \\ b & = \frac{3}{2} a \end{align} $
*). Substitusi $ 2b = 3a $ ke pers(ii) :
$ \begin{align} a (a+2b) & = 16 \\ a (a+3a) & = 16 \\ a (4a) & = 16 \\ a^2 & = 4 \\ a & = \pm 2 \end{align} $
Karena suku-suku positif, maka $ a = 2 $ yang memenuhi.
sehingga $ b = \frac{3}{2}a = \frac{3}{2}.2 = 3 $
*). Menentukan $ U_{10} $ :
$ \begin{align} U_{10} & = a + 9b \\ & = 2 + 9. 3 = 29 \end{align} $
Jadi, nilai $ U_{10} = 29 . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika $\left( {}^2 \log x \right)^2 - \left( {}^2 \log y \right)^2={}^2 \log 256 $ dan $ {}^2 \log x^2 - {}^2 \log y^2 = {}^2 \log 16 $ , maka nilai dari $ {}^2 \log x^6y^{-2} $ adalah .....
A). $ 24 \, $ B). $ 20 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log b^n = n \, {}^a \log b $
$ {}^a \log a = 1 $
$ {}^a \log (b.c) = {}^a \log b + {}^a \log c $
*). Pemfaktoran :
$ P^2 - Q^2 = (P+Q)(P-Q) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ {}^2 \log x = a $ dan $ {}^2 \log y = b $
*). Mengubah persamaannya :
-). Persamaan pertama :
$ \begin{align} {}^2 \log x^2 - {}^2 \log y^2 & = {}^2 \log 16 \\ 2{}^2 \log x - 2 {}^2 \log y & = {}^2 \log 2^4 \\ 2a - 2b & = 4 {}^2 \log 2 \\ 2(a - b) & = 4 \\ a - b & = 2 \, \, \, \, \, \text{....(i)} \\ a & = b + 2 \end{align} $
-). Persamaan kedua dan gunakan pers(i) :
$ \begin{align} \left( {}^2 \log x \right)^2 - \left( {}^2 \log y \right)^2 & ={}^2 \log 256 \\ \left( a \right)^2 - \left( b \right)^2 & ={}^2 \log 2^8 \\ (a+b)(a-b) & = 8 {}^2 \log 2 \\ (a+b)(2) & = 8 \\ a + b & = 4 \\ (b + 2) + b & = 4 \\ 2b & = 2 \\ b & = 1 \end{align} $
pers(i): $ a = b + 2 = 1 + 2 = 3 $
*). Menentukan nilai $ {}^2 \log x^6y^{-2} $ :
$ \begin{align} {}^2 \log x^6y^{-2} & = {}^2 \log x^6 + {}^2 \log y^{-2} \\ & = 6 \, {}^2 \log x + (-2) \, {}^2 \log y \\ & = 6 a - 2b \\ & = 6 (3) - 2(1) \\ & = 18 - 2 = 16 \end{align} $
Jadi, nilai $ {}^2 \log x^6y^{-2} = 16 . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika suku banyak $ x^4+3x^3+Ax^2+x+B $ dibagi $ x^2+2x+2 $ bersisa $ 7x+14$, maka jika dibagi $ x^2+4x+2 $ akan bersisa .....
A). $ x + 1 \, $ B). $ x + 2 \, $ C). $ x + 3 $
D). $ 2x+1 \, $ E). $ 2x + 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk pembagian pada suku banyak (polinomial) menggunakan metode horner umum, silahkan baca artikelnya pada link berikut :
"Pembagian Suku Banyak dengan Metode Horner"

$\clubsuit $ Pembahasan
*). suku banyak $ x^4+3x^3+Ax^2+x+B $ dibagi $ x^2+2x+2 $ bersisa $ 7x+14$ :
*). Menentukan nilai $ A $ dan $ B $ dengan Metode Horner Umum :
$\begin{array}{c|cccccc} & 1 & 3 & A & 1 & B & \\ -2 & * & -2 & -2 & -2A+8 & * & \\ -2 & * & * & -2 & -2 & -2A+8 & + \\ \hline & 1 & 1 & A-4 & -2A+11 & B-2A+8 & \end{array} $
Sehingga sisa pembagiannya :
$ s(x) = (-2A+11)x + (B-2A+8) $
sisanya sama dengan $ 7x + 14 $, sehingga :
$ -2A+11 = 7 \rightarrow A = 2 $
$ B-2A+8 = 14 \rightarrow B = 10 $
Sehingga suku banyaknya menjadi :
$ x^4+3x^3+Ax^2+x+B = x^4+3x^3+2x^2+x+10 $
*). Menentukan sisa pembagian $ x^4+3x^3+2x^2+x+10 $ dengan $ x^2+4x+2 $
$\begin{array}{c|cccccc} & 1 & 3 & 2 & 1 & 10 & \\ -4 & * & -4 & 4 & -8 & * & \\ -2 & * & * & -4 & 4 & -8 & + \\ \hline & 1 & -1 & 2 & 1 & 2 & \end{array} $
Sehingga sisa pembagiannya :
$ s(x) = 1x+ 2 = x + 2 $
Jadi, sisanya $ x + 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Ketaksamaan Trigonometri UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} $ dan $ x $ memenuhi $ 5\cos ^2 x + 3\sin x \cos x \geq 1 $ , maka himpunan semua $ y = \tan x $ adalah ....
A). $ \{y \in R : \, -1 \leq y \leq 4 \} \, $
B). $ \{y \in R : \, -4 \leq y \leq 1 \} \, $
C). $ \{y \in R : \, -4 \leq y \leq -1 \} \, $
D). $ \{y \in R : \, 1 \leq y \leq 4 \} \, $
E). $ R $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Rumus-rumus dasar trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 $
$ \frac{\sin x}{\cos x } = \tan x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah ketaksamaannya :
$\begin{align} 5\cos ^2 x + 3\sin x \cos x & \geq 1 \\ 5\cos ^2 x + 3\sin x \cos x & \geq \sin ^2 x + \cos ^2 x \\ \sin ^2 x - 4\cos ^2 x - 3\sin x \cos x & \leq 0 \\ \text{ (bagi dengan } \, \cos ^2 x ) & \\ \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)^2 - 4.1 - 3.\frac{\sin x}{\cos x} & \leq 0 \\ \left(\tan x \right)^2 - 4 - 3\tan x & \leq 0 \\ \left(\tan x \right)^2 - 3\tan x - 4 & \leq 0 \\ \text{ (substitusi } \,\tan x = y ) & \\ y^2 - 3y - 4 & \leq 0 \\ (y +1)(y-4) & \leq 0 \\ y = -1 \vee y & = 4 \\ \end{align} $
-). garis bilangannya :
 

Solusinya :
$ -1 \leq y \leq 4 $
Jadi, nilai $ y $ adalah $ \{ -1 \leq y \leq 4 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan empat matriks A, B, C, D berukuran $ 2\times 2 $ dengan $A+CB^T=CD $. Jika A mempunyai invers, $ det(D^T-B)= m $ dan $ det(C) = n $ , maka $ det(2A^{-1}) = .... $
A). $ \frac{4}{mn} \, $ B). $ \frac{mn}{4} \, $ C). $ \frac{4m}{n} \, $ D). $ 4mn \, $ E). $ \frac{m+n}{4} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat transpose matriks :
1). $ A = (A^T)^T $
2). $ (A-B)^T = A^T -B^T $
*). Sifat-sifat determinan :
1). $ |A^T| = |A| $
2). $ |A.B| = |A|. |B| $
3). $ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} $
4). $ |k.A_{m\times m}| = k^m. |A| $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ det(D^T-B)= m $ dan $ det(C) = n $ :
*). Sifat transpose :
$ D - B^T = [(D-B^T)^T]^T = [D^T-(B^T)^T]^T = (D^T - B)^T $
*). Menentukan determinan matriks $ D - B^T $ :
$ |D - B^T| = | (D^T - B)^T | = |D^T - B | = m $
*). Menentukan determinan matriks A :
$\begin{align} A+CB^T& =CD \\ A & = CD - CB^T \\ A & = C(D - B^T) \\ |A| & = |C(D - B^T)| \\ |A| & = |C|.|(D - B^T)| \\ |A| & = n.m = mn \end{align} $
*). Menentukan $ det(2A^{-1}) $ :
$\begin{align} |2A^{-1}| & = 2^2 |A^{-1}| = 4 . \frac{1}{|A|} = 4. \frac{1}{mn} = \frac{4}{mn} \end{align} $
Jadi, nilai $ det(2A^{-1}) = \frac{4}{mn} . \, \heartsuit $

Cara 3 Pembahasan Polinomial UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ (x-2)^2 $ membagi $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ , maka $ ab= .... $
A). $ 9 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 20 \, $ E). $ 25 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan polinomial $ f(x) $ habis dibagi $ p(x) $ artinya $ f(x) $ adalah hasil perkalian dengan $ p(x) $ yaitu : $ f(x) = p(x). h(x) $ dengan $ h(x) $ adalah faktor lainnya.
*). Proses berikutnya tinggal menyamakan nilai koefisien suku-suku yang sejenis.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Polinomial $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ dibagi $ (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 $ :
*). Bentuk faktor dari $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ :
$\begin{align} x^4-ax^3+bx^2+4x-4 & = (x^2-4x+4)(x^2 + px - 1) \\ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 & = x^4 +px^3 -x^2 - 4x^3 -4px^2 \\ & \, \, \, +4x +4x^2 + 4px - 4 \\ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 & = x^4 + (p-4)x^3 + (3-4p)x^2 + (4p+4)x - 4 \end{align} $
Dari kesamaan bentuk terakhir di atas, kita peroleh kesamaan berdasarkan koefisien suku-suku sejenis yaitu :
$ 4p+4 = 4 \rightarrow p = 0 $
$ -a = p-4 \rightarrow -a = 0-4 \rightarrow a = 4 $
$ b = 3-4p \rightarrow b = 3. 4.0 \rightarrow b = 3 $
*). Menentukan nilai $ ab $ :
$\begin{align} ab & = 4. 3 = 12 \end{align} $
Jadi, nilai $ ab = 12 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Polinomial UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ (x-2)^2 $ membagi $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ , maka $ ab= .... $
A). $ 9 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 20 \, $ E). $ 25 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk pembagian pada suku banyak (polinomial) menggunakan metode horner umum, silahkan baca artikelnya pada link berikut :
"Pembagian Suku Banyak dengan Metode Horner"
*). Suku banyak $ f(x) $ habis dibagi oleh $ p(x) $ , artinya sisanya nol.
*). Suku banyak $ f(x) $ di bagi $ p(x) = ax^2+bx+c $ memiliki sisa $ s(x)= mx + n $. Jika habis dibagi, maka haruslah $ m = 0 $ dan $ n = 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Polinomial $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ dibagi $ (x-2)^2 $ :
Akar-akar pembaginya :
$ (x-2)^2 = 0 \rightarrow (x-2)(x-2) = 0 \rightarrow x_1 = 2 \vee x_2 = 2 $.
*). Metode Horner Khusus :
-). Bagan/skemanya yaitu :
$\begin{array}{c|cccccc} & 1 & -a & b & 4 & -4 & \\ x_1 & * & ... & ... & ... & ... & + \\ \hline & ... & ... & ... & ... & s_1 & \\ x_2 & * & ... & ... & ... & & + \\ \hline & ... & ... & ... & s_2 & & \end{array} $
-). Kita lengkapkan bagian yang kosong(titik-titik):
$\begin{array}{c|cccccc} & 1 & -a & b & 4 & -4 & \\ 2 & * & 2 & -2a + 4 & 2b-4a+8 & 4b-8a+24 & + \\ \hline & 1 & -a+2 & b-2a+4 & 2b - 4a + 12 & 4b-8a +20 & \\ 2 & * & 2 & -2a+8 & 2b -8a+24 & & + \\ \hline & 1 & -a+4 & b-4a+12 & 4b-12a+36 & & \end{array} $
Sehingga sisa pembagiannya :
$ s(x) = s_2(x-x_1) + s_1 $
Karena habis dibagi, maka sisanya nol, artinya :
$ s_1=0 \rightarrow 4b-8a +20 = 0 \, $ ..........(i)
$ s_2 = 0 \rightarrow 4b-12a+36 = 0 \, $ ..........(ii)
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{array}{cc} 4b-8a +20 = 0 & \\ 4b-12a+36 = 0 & - \\ \hline 4a - 16 = 0 & \\ a = 4 & \end{array} $
-). Substitusi $ a = 4 $ ke pers(i), kita peroleh $ b = 3 $.
*). Menentukan nilai $ ab $ :
$\begin{align} ab & = 4. 3 = 12 \end{align} $
Jadi, nilai $ ab = 12 . \, \heartsuit $

Pembahasan Polinomial UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ (x-2)^2 $ membagi $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ , maka $ ab= .... $
A). $ 9 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 20 \, $ E). $ 25 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk pembagian pada suku banyak (polinomial) menggunakan metode horner umum, silahkan baca artikelnya pada link berikut :
"Pembagian Suku Banyak dengan Metode Horner"
*). Suku banyak $ f(x) $ habis dibagi oleh $ p(x) $ , artinya sisanya nol.
*). Suku banyak $ f(x) $ di bagi $ p(x) = ax^2+bx+c $ memiliki sisa $ s(x)= mx + n $. Jika habis dibagi, maka haruslah $ m = 0 $ dan $ n = 0 $.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Polinomial $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ dibagi $ (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 $ :
*). Metode Horner Umum :
$\begin{array}{c|cccccc} & 1 & -a & b & 4 & -4 & \\ 4 & * & 4 & -4a + 16 & 4b-16a+48 & * & \\ -4 & * & * & -4 & 4a - 16 & -4b+16a-48 & + \\ \hline & 1 & -a+4 & b-4a+12 & 4b - 12a + 36 & -4b+16a - 52 & \end{array} $
Sehingga sisa pembagiannya :
$ s(x) = (4b - 12a + 36)x + (-4b+16a - 52) $
Karena habis dibagi, maka sisanya nol, artinya :
$ 4b - 12a + 36 = 0 \, $ ..........(i)
$ -4b+16a - 52 = 0 \, $ ..........(ii)
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{array}{cc} 4b - 12a + 36 = 0 & \\ -4b+16a - 52 = 0 & + \\ \hline 4a - 16 = 0 & \\ a = 4 & \end{array} $
-). Substitusi $ a = 4 $ ke pers(i), kita peroleh $ b = 3 $.
*). Menentukan nilai $ ab $ :
$\begin{align} ab & = 4. 3 = 12 \end{align} $
Jadi, nilai $ ab = 12 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Lingkaran UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan lingkaran pada bidang koordinat dengan titik pusat $ (a,b)$ dan memotong sumbu-X di titik $ (3,0) $ dan $ (9,0) $. Jika garis yang melalui titik $ (0,3) $ menyinggung lingkaran di titik $ (3,0) $, maka nilai dari $ a^2-b^2 $ adalah ....
A). $ 9 \, $ B). $ 18 \, $ C). $ 27 \, $ D). $ 36 \, $ E). $ 45 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Gradien garis melalui dua titik $ (x_1, y_1) $ dan $ (x_2, y_2) $ :
$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } $
*). Dua garis tegak lurus :
$ m_1. m_2 = - 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Sketsa gambar lingkaran dan garisnya :
 

*). Perhatikan sketsa gambar lingkaran di atas, pusat lingkarannya $ (a,b) $ dimana $ a $ adalah absis yang nilainya ditengah-tengah $ x = 3 $ dan $ x = 9 $, sehingga $ a = \frac{3+9}{2} = 6 $.
*). Menentukan gradien :
-). garis melalui titik $(0,3) $ dan $ (3,0) $ :
$ m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } = \frac{3-0}{0-3} = -1 $
-). garis melalui titik $(a,b) $ dan $ (3,0) $ :
$ m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } = \frac{b-0}{a-3} = \frac{b}{a-3} $
-). Kedua garis saling tegak lurus :
$\begin{align} m_1.m_2 & = -1 \\ -1.\frac{b}{a-3} & = -1 \\ b & = a - 3 \, \, \, \, \, \, .....\text{(i)} \end{align} $
-). Substitusi nilai $ a = 6 $ ke pers(i) :
$ b = a- 3 = 6 - 3 = 3 $
*). Menentukan nilai $ a^2-b^2 $ :
$\begin{align} a^2-b^2 & = 6^2 - 3^2 = 27 \end{align} $
Jadi, nilai $ a^2-b^2 = 27 . \, \heartsuit $

Pembahasan Lingkaran UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan lingkaran pada bidang koordinat dengan titik pusat $ (a,b)$ dan memotong sumbu-X di titik $ (3,0) $ dan $ (9,0) $. Jika garis yang melalui titik $ (0,3) $ menyinggung lingkaran di titik $ (3,0) $, maka nilai dari $ a^2-b^2 $ adalah ....
A). $ 9 \, $ B). $ 18 \, $ C). $ 27 \, $ D). $ 36 \, $ E). $ 45 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran berpusat $(a,b) $ dan jari-jari $ r $ :
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Jarak titik $ (a,b) $ dan $ (m,n) $ :
Jarak $ = \sqrt{(a-m)^2 + (b - n)^2} $
*). Gradien garis melalui dua titik $ (x_1, y_1) $ dan $ (x_2, y_2) $ :
$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } $
*). Dua garis tegak lurus :
$ m_1. m_2 = - 1 $
(perkalian kedua gradiennya = $ - 1 $)
*). Titik yang dilalui oleh lingkaran maka titik tersebut bisa disubstitusikan ke persamaan lingkarannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Sketsa gambar lingkaran dan garisnya :
 

*). Menentukan gradien :
-). garis melalui titik $(0,3) $ dan $ (3,0) $ :
$ m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } = \frac{3-0}{0-3} = -1 $
-). garis melalui titik $(a,b) $ dan $ (3,0) $ :
$ m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } = \frac{b-0}{a-3} = \frac{b}{a-3} $
-). Kedua garis saling tegak lurus :
$\begin{align} m_1.m_2 & = -1 \\ -1.\frac{b}{a-3} & = -1 \\ b & = a - 3 \, \, \, \, \, \, .....\text{(i)} \end{align} $
*). Menentukan jari-jari lingkaran :
Jari-jari lingkaran = jarak titik $ (a,b) $ ke titik $(3,0) $
$\begin{align} r & = \sqrt{(a-3)^2 + (b-0)^2} = \sqrt{(a-3)^2 + b^2} \end{align} $
*). Menyusun persamaan lingkarannya :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-a)^2 + (y-b)^2 & = (\sqrt{(a-3)^2 + b^2})^2 \\ (x-a)^2 + (y-b)^2 & = (a-3)^2 + b^2 \end{align} $
*). Substitusi titik $ (9,0) $ ke persamaan lingkarannya :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = (a-3)^2 + b^2 \\ (9-a)^2 + (0-b)^2 & = (a-3)^2 + b^2 \\ (9-a)^2 + b^2 & = (a-3)^2 + b^2 \\ (9-a)^2 & = (a-3)^2 \\ 81 - 18a + a^2 & = a^2 - 6a + 9 \\ 12a & = 72 \\ a & = 6 \end{align} $
Pers(i): $ b = a- 3 = 6 - 3 = 3 $
*). Menentukan nilai $ a^2-b^2 $ :
$\begin{align} a^2-b^2 & = 6^2 - 3^2 = 27 \end{align} $
Jadi, nilai $ a^2-b^2 = 27 . \, \heartsuit $

Pembahasan Ketaksamaan Eksponen UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ a < x < b $ adalah solusi pertidaksamaan $ 1+2^x+2^{2x}+2^{3x}+ .... > 2 $ , dengan $ x \neq 1 $, maka $ a + b = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ -4 \, $ E). $ -5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Akar-akar dari penyebut sebuah pecahan selalu tidak ikut jadi penyelesaian agar penyebutnya tidak bernilai nol.
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Deret Geometri tak hingga :
$ u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + ...... = s_\infty $
dengan $ s_\infty = \frac{u_1}{1-r} $ dimana $ r = \frac{u_2}{u_1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ 2^x = p $
Bentuk $ 1+2^x+2^{2x}+2^{3x}+ .... = s_\infty $
dengan $ u_1 = 1 $ dan $ r = \frac{2^x}{1} = 2^x $
*). Menentukan akar-akarnya :
$\begin{align} 1+2^x+2^{2x}+2^{3x}+ .... & > 2 \\ s_\infty & > 2 \\ \frac{u_1}{1-r} & > 2 \\ \frac{1}{1-2^x} & > 2 \\ \frac{1}{1-2^x} - 2 & > 0 \\ \frac{1}{1-2^x} - \frac{2(1-2^x)}{1-2^x} & > 0 \\ \frac{1 - 2 + 2. 2^x}{1-2^x} & > 0 \\ \frac{2. 2^x - 1 }{1-2^x} & > 0 \\ \frac{2p - 1 }{1-p} & > 0 \end{align} $

-). Akar-akarnya :
$ 2p-1 = 0 \rightarrow p = \frac{1}{2} $
$ 1 - p = 0 \rightarrow p = 1 $
-). Menentukan nilai $ x $ dari nilai $ p $ :
$ p = \frac{1}{2} \rightarrow 2^x = 2^{-1} \rightarrow x = -1 $
$ p = 1 \rightarrow 2^x = 1 \rightarrow x = 0 $
-). Garis bilangannya :
 

-). Himpunan penyelesaiannya :
HP $ = \{ -1 < x < 0 \} $
Penyelesaian ini sama dengan :
$ a < x < b $
Sehingga $ a = -1 $ dan $ b = 0 $
*). Menentukan nilai $ a + b $ :
$\begin{align} a + b & = -1 + 0 = -1 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + b = -1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Ketaksamaan Pecahan UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui penyelesaian dari pertidaksamaan $ \frac{3^{x+3}+3^x-36}{9^x-9} \leq 3 $ adalah $ a \leq x \leq b $ atau $ x \geq c $ . Nilai $ a + 2b + c = ... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Akar-akar dari penyebut sebuah pecahan selalu tidak ikut jadi penyelesaian agar penyebutnya tidak bernilai nol.
*). Sifat Eksponen :
$ a^{m+n} = a^m . a^n $
$ (a^m)^n = (a^n)^m $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan : $ 3^x = p $
*). Menentukan akar-akarnya :
$\begin{align} \frac{3^{x+3}+3^x-36}{9^x-9} & \leq 3 \\ \frac{3^x. 3^3+3^x-36}{(3^2)^x-9} & \leq 3 \\ \frac{27. 3^x+3^x-36}{(3^x)^2-9} & \leq 3 \\ \frac{27p+p-36}{p^2-9} - 3 & \leq 0 \\ \frac{28p-36}{p^2-9} - 3.\frac{p^2-9}{p^2-9} & \leq 0 \\ \frac{28p-36-3p^2+27}{p^2-9} & \leq 0 \\ \frac{-3p^2+28p-9}{p^2-9} & \leq 0 \\ \frac{(-3p +1)(p-9)}{(p+3)(p-3)} & \leq 0 \end{align} $

-). Akar-akarnya :
$ (-3p +1)(p-9) = 0 \rightarrow p = \frac{1}{3} \vee p = 9 $
$ (p+3)(p-3) = 0 \rightarrow p = -3 \vee p = 3 $
-). Menentukan nilai $ x $ dari nilai $ p $ :
Karena $ p = 3^x $ , maka nilai $ p $ yang positif saja yang memenuhi.
$ p = \frac{1}{3} \rightarrow 3^x = 3^{-1} \rightarrow x = -1 $
$ p = 9 \rightarrow 3^x = 3^2 \rightarrow x = 2 $
$ p = 3 \rightarrow 3^x = 3 \rightarrow x = 1 $
-). Garis bilangannya :

 
-). Himpunan penyelesaiannya :
HP $ = \{ -1 \leq x < 1 \} $ atu $ \{ x \geq 2 \} $
Penyelesaian ini sama dengan :
$ a \leq x \leq b $ atau $ x \geq c $
Sehingga $ a = -1 , b = 1 , $ dan $ c = 2 $
*). Menentukan nilai $ a + 2b + c $ :
$\begin{align} a + 2b + c & = -1 + 2.1 + 2 = 3 \end{align} $
Jadi, nilai $ a + 2b + c= 3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 924

Soal yang Akan Dibahas
Sebuah kotak memuat 6 bola merah dan 4 bola hitam. Tiga bola diambil satu per satu tanpa pengembalian. Jika bola ketiga terambil merah, maka banyak kemungkinannya adalah ....
A). $ 234 \, $ B). $ 243 \, $ C). $ 324 \, $ D). $ 342 \, $ E). $ 432 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyusun banyaknya cara penyusunan angka bisa menggunakan kaidah pencacahan yaitu aturan perkalian dan penjumlahan.
*). Kejadian pengambilan bola satu-persatu :
-). Misalkan :
$p_1 $ adalah banyak cara pengambilang bola pertama,
$p_2 $ adalah banyak cara pengambilang bola kedua,
$p_3 $ adalah banyak cara pengambilang bola ketiga,
Maka total cara pengambilang ketiga bola $ = p_1 \times p_2 \times p_3 $
-). Untuk pengambilan tanpa pengembalian, jumlah bolanya terus berkurang.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ada 6 bola merah dan 4 bola hitam , akan diambil tiga bola satu per satu tanpa pengembalian. Harapannya terpilih bola ketiga warna merah.
*). Semua kasus agar pengambilan ketiga warna merah yaitu :
-). Kasus I : MMM $ = 6.5.4=120 $
-). Kasus II : MHM $ = 6.4.5=120 $
-). Kasus III : HMM $ = 4.6.5=120 $
-). Kasus IV : HHM $ = 4.3.6=72 $
*). Total cara penyusunannya :
$\begin{align} \text{Total } & = 120 + 120 + 120 + 72 \\ & = 432 \end{align} $

Keterangan :
-). Kasus I yaitu MMM, artinya pengambilan pertama waran merah yaitu ada 6 pilihan bola merah, pengambilan kedua warna merah yaitu ada 5 pilihan warna merah tersisa setelah diambil pada pengambilan pertama, dan pengambilan ketiga warna merah yaitu ada 4 pilihan warna merah sisa setelah diambil pada pengambilan pertama dan kedua.
-). Kasus II yaitu MHM, artinya pengambilan pertama waran merah yaitu ada 6 pilihan bola merah, pengambilan kedua warna hitam yaitu ada 4 pilihan warna hitam, dan pengambilan ketiga warna merah yaitu ada 5 pilihan warna merah sisa setelah diambil pada pengambilan pertama.
-). Seperti itu seterusnya.

Jadi, banyak kemungkinan ada $ 432 . \, \heartsuit $

Soal dan Pembahasan UM UGM 2019 Matematika IPA Kode 924


Nomor 1
Sebuah kotak memuat 6 bola merah dan 4 bola hitam. Tiga bola diambil satu per satu tanpa pengembalian. Jika bola ketiga terambil merah, maka banyak kemungkinannya adalah ....
A). $ 234 \, $ B). $ 243 \, $ C). $ 324 \, $ D). $ 342 \, $ E). $ 432 $
Nomor 2
Diketahui penyelesaian dari pertidaksamaan $ \frac{3^{x+3}+3^x-36}{9^x-9} \leq 3 $ adalah $ a \leq x \leq b $ atau $ x \geq c $ . Nilai $ a + 2b + c = ... $
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $
Nomor 3
Jika $ a < x < b $ adalah solusi pertidaksamaan $ 1+2^x+2^{2x}+2^{3x}+ .... > 2 $ , dengan $ x \neq 1 $, maka $ a + b = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ -4 \, $ E). $ -5 $
Nomor 4
Diberikan lingkaran pada bidang koordinat dengan titik pusat $ (a,b)$ dan memotong sumbu-X di titik $ (3,0) $ dan $ (9,0) $. Jika garis yang melalui titik $ (0,3) $ menyinggung lingkaran di titik $ (3,0) $, maka nilai dari $ a^2-b^2 $ adalah ....
A). $ 9 \, $ B). $ 18 \, $ C). $ 27 \, $ D). $ 36 \, $ E). $ 45 \, $
Nomor 5
Jika $ (x-2)^2 $ membagi $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ , maka $ ab= .... $
A). $ 9 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 20 \, $ E). $ 25 \, $

Nomor 6
Diberikan empat matriks A, B, C, D berukuran $ 2\times 2 $ dengan $A+CB^T=CD $. Jika A mempunyai invers, $ det(D^T-B)= m $ dan $ det(C) = n $ , maka $ det(2A^{-1}) = .... $
A). $ \frac{4}{mn} \, $ B). $ \frac{mn}{4} \, $ C). $ \frac{4m}{n} \, $ D). $ 4mn \, $ E). $ \frac{m+n}{4} \, $
Nomor 7
Jika $ -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} $ dan $ x $ memenuhi $ 5\cos ^2 x + 3\sin x \cos x \geq 1 $ , maka himpunan semua $ y = \tan x $ adalah ....
A). $ \{y \in R : \, -1 \leq y \leq 4 \} \, $
B). $ \{y \in R : \, -4 \leq y \leq 1 \} \, $
C). $ \{y \in R : \, -4 \leq y \leq -1 \} \, $
D). $ \{y \in R : \, 1 \leq y \leq 4 \} \, $
E). $ R $
Nomor 8
Jika suku banyak $ x^4+3x^3+Ax^2+x+B $ dibagi $ x^2+2x+2 $ bersisa $ 7x+14$, maka jika dibagi $ x^2+4x+2 $ akan bersisa .....
A). $ x + 1 \, $ B). $ x + 2 \, $ C). $ x + 3 $
D). $ 2x+1 \, $ E). $ 2x + 4 $
Nomor 9
Jika $\left( {}^2 \log x \right)^2 - \left( {}^2 \log y \right)^2={}^2 \log 256 $ dan $ {}^2 \log x^2 - {}^2 \log y^2 = {}^2 \log 16 $ , maka nilai dari $ {}^2 \log x^6y^{-2} $ adalah .....
A). $ 24 \, $ B). $ 20 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 8 \, $ E). $ 4 \, $
Nomor 10
Diberikan kubus ABCD.EFGH dan P adalah titik tengah BC. Perbandingan luas segitiga APG dan luas segitiga DPG adalah .....
A). $ 1 : 1 \, $ B). $ \sqrt{3} : \sqrt{2} \, $ C). $ \sqrt{2} : 1 \, $ D). $ 3 : 2 \, $ E). $ \sqrt{3} : 1 \, $

Nomor 11
Misalkan $ U_n $ menyatakan suku ke-$n$ dari barisan aritmetika. Diketahui $U_1\times U_2 = 10 $ dan $ U_1\times U_3 = 16 $. Jika suku-suku dari barisan aritmetika tersebut merupakn bilangan positif, maka $ U_{10} = .... $
A). $ 21 \, $ B). $ 23 \, $ C). $ 25 \, $ D). $ 27 \, $ E). $ 29 $
Nomor 12
Diketahui fungsi $ f $ dan $ g $ dengan $ f(x)=(2x+1)^5 $ dan $ h=f\circ g $. Jika $ g(5)=-1 $ dan $ g^\prime \left( \frac{x+1}{x-1} \right)=2x+2$, maka $ h^\prime (5) = .... $
A). $ 10 \, $ B). $ 25 \, $ C). $ 50 \, $ D). $ 60 \, $ E). $ 120 $
Nomor 13
Jika $ p>0 $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to p} \frac{x^3+px^2+qx}{x-p}=12 $ , maka nilai $ p - q $ adalah .....
A). $ 14 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 8 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 3 $
Nomor 14
Jika $ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0 $ untuk $ \frac{\pi}{2} < x <\pi $ , maka $ \tan 2x = ... $
A). $ -\sqrt{3} \, $ B). $ -1 \, $ C). $ -\frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \sqrt{3} $
Nomor 15
Diketahui $ x^2+2xy+4x=-3 $ dan $ 9y^2+4xy+12y=-1 $. Nilai dari $ x + 3y $ adalah .....
A). $ 2 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ \, $ D). $ -1 \, $ E). $ -2 $

Pembahasan Garis Singgung UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Jika garis singgung kurva $ y = x^3 - 3x^2 - 9x $ di titik $ (a,b) $ mempunyai gradien 15, maka nilai $ a + b $ yang mungkin adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ -2 \, $ C). $ -4 \, $ D). $ -6 \, $ E). $ -8 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1,y_1) $ :
-).Gradien garis singgungnya : $ m = f^\prime (x_1) $ atau $ f^\prime (x_1) = m $
-). Titik singgung $ (x_1,y_1) $ dapat disubstitusikan ke fungsi kurvanya.
*). Turunan fungsi aljabar :
$ y = cx \rightarrow y^\prime = c $
$ y = cx^n \rightarrow y^\prime = n.cx^{n-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Garis singgung kurva $ y = x^3 - 3x^2 - 9x $ di titik $ (a,b) $. Substitusi titik $(x,y)=(a,b) $ ke kurvanya :
$ b = a^3 - 3a^2 - 9a \, $ ......(i)
*). Turunan fungsi kurvanya :
$ f^\prime (x) = 3x^2 - 6x - 9 $
*). Gradien garis singgung = 15 di titik $ (a,b) $
$\begin{align} f^\prime (a) & = m \\ 3a^2 - 6a - 9 & = 15 \\ 3a^2 - 6a - 24 & = 0 \\ a^2 - 2a - 8 & = 0 \\ (a+2)(a-4) & = 0 \\ a = -2 \vee a & = 4 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ b $ dari pers(i) dan $ a + b $ :
Persamaan (i) : $ b = a^3 - 3a^2 - 9a $
$\begin{align} a = -2 \rightarrow b & = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) \\ b & = -8 - 12 + 18 \\ b & = -2 \\ a + b & = -2 + (-2) = -4 \\ a = 4 \rightarrow b & = 4^3 - 3(4)^2 - 9(4) \\ b & = -20 \\ a + b & = 4 + (-20) = -16 \end{align} $
Sehingga nilai $ a + b = -4 $ atau $ a + b = -16 $
Yang ada di option adalah $ a + b = -4 $.
Jadi, nilai $ a + b = -4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Mutlak UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Banyaknya bilangan real $ x $ yang memenuhi persamaan $ |x^2-4|=x+|x-2| $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi nilai mutlak :
$ |f(x)| = \left\{ \begin{array}{cc} f(x) & \text{untuk } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & \text{untuk } f(x) < 0 \end{array} \right. $
*). Untuk menyelesaikan persamaan nilai mutlak, kita hilangkan dulu tanda mutlaknya dengan definisi nilai mutlak di atas.
*). Persamaan kuadrat : $ ax^2 + bx + c = 0 $
Rumus ABC : $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). DIketahui persamaan : $ |x^2-4|=x+|x-2| $
*). Definisi nilai mutlak :
-). Pertama untuk $ |x-2| $
$ x - 2 $ positif untuk $ x - 2 \geq 0 \rightarrow x \geq 0 $
$ x - 2 $ negatif untuk $ x - 2 < 0 \rightarrow x < 2 $
$ |x-2| = \left\{ \begin{array}{cc} x-2 & \text{untuk } x \geq 2 \\ -(x-2) & \text{untuk } x < 2 \end{array} \right. $
-). Kedua untuk $ |x^2-4| $ :
$ x^2-4 $ positif untuk $ x^2-4\geq 0 \rightarrow x \leq -2 \vee x \geq 0 $
$ x^2-4 $ negatif untuk $ x^2-4 < 0 \rightarrow -2 < x < 2 $
$ |x^2-4| = \left\{ \begin{array}{cc} x^2-4 & \text{untuk } x \leq -2 \vee x \geq 2 \\ -(x^2-4) & \text{untuk } -2 < x < 2 \end{array} \right. $
*). Sesuai dengan definisi di atas, bentuk mutlaknya dibatasi oleh $ x = -2 $ dan $ x = 2 $. Artinya terbentuk tiga kemungkinan (daerah) nilai $ x $ yaitu
Daerah I: $ x < -2 $
$ |x - 2 | = -(x-2) = -x + 2 $ dan $ |x^2-4| = x^2-4 $
Daerah II : $ -2 \leq x < 2 $
$ |x - 2 | = -(x-2) = -x + 2 $ dan $ |x^2-4| = -(x^2-4) = -x^2+4 $
Daerah III : $ x \geq 2 $
$ |x - 2 | = x-2 $ dan $ |x^2-4| = x^2-4 $
*). Menyelesaikan $ |x^2-4|=x+|x-2| $ berdasarkan nilai $ x $ (daerah $x$) :
-). Daerah I: $ x < -2 $
$\begin{align} |x^2-4|& =x+|x-2| \\ x^2-4 & =x+ (-x+2) \\ x^2 & = 6 \\ x & = \pm \sqrt{6} \end{align} $
Karena daerah I $ x < -2 $ , maka $ x_1 = -\sqrt{6} $ yang memenuhi.
-). Daerah II: $ -2 \leq x < 2 $
$\begin{align} |x^2-4|& =x+|x-2| \\ -x^2+4 & =x+ (-x+2) \\ x^2 & = 2 \\ x & = \sqrt{2} \end{align} $
$ x_2 = -\sqrt{2} \, $ dan $ x_3 = \sqrt{2} $ memenuhi daerah II.
-). Daerah III : $ x \geq 2 $
$\begin{align} |x^2-4|& =x+|x-2| \\ x^2-4 & =x+ x - 2 \\ x^2 - 2x - 2 & = 0 \end{align} $
Dengan Rumus ABC :
$\begin{align} x & = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4.1.(-2)}}{2.1} \\ & = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} \\ & = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} \\ & = 1 \pm \sqrt{3} \end{align} $
Karena daerah III $ x \geq 2 $ , maka $ x_4 = 1 + \sqrt{3} $ yang memenuhi.
Sehingga himpunan penyelesaiannya yaitu :
Hp $ = \{ -\sqrt{6}, -\sqrt{2} , \sqrt{2} , 1 +\sqrt{3} \} $
Artinya ada 4 nilai $ x $ yang memenuhi.
Jadi, ada 4 solusi nilai $ x . \, \heartsuit $

Pembahasan Lingkaran UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Bilangan $ A > 0 $ sehingga lingkaran $ x^2+y^2+2x-4Ay+40=0 $ mempunyai jari-jari $ A + 1 $ adalah ....
A). $ 5 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $ mempunyai jari-jari :
$ r = \sqrt{\frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C} $
atau $ r^2 = \frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C $ atau $ \frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C = r^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan lingkarannya $ x^2+y^2+2x-4Ay+40=0 $
-). pada pembahasan ini, sementara kita ganti $ A + 1 $ dengan $ k + 1 $ agar tidak bingung dengan nilai $ A $ pada persamaan lingkarannya, sehingga pesamaannya menjadi : $ x^2+y^2+2x-4ky+40=0 $
$ A = 2 , B = -4k \, $ , dan $ C = 40 $
Diketahui jari-jarinya : $ r = k + 1 $ dengan $ k > 0 $.
*). Menentukan nilai $ k $ :
$\begin{align} \frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C & = r^2 \\ \frac{1}{4}.2^2 + \frac{1}{4}.(-4k)^2 - 40 & = (k+1)^2 \\ 1 + \frac{1}{4}.(16k^2) - 40 & = k^2 + 2k + 1 \\ 1 + 4k^2 - 40 & = k^2 + 2k + 1 \\ 3k^2 - 2k - 40 & = 0 \\ (3k+10)(k-4) & = 0 \\ k = -\frac{10}{3} \vee k & = 4 \end{align} $
karena $ k > 0 $ , nilai $ k = 4 $ yang memenuhi.
Sehingga nilai $ A = k = 4 $.
Jadi, nilai $ A = 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Suku banyak $ p(x) $ bersisa 2 jika dibagi $ x - 1 $ dan tak bersisa jika dibagi $ x+1 $. Suku banyak $ q(x) $ bersisa $ 2x $ jika dibagi $ x^2 - 1 $. Jika suku banyak $ p(x)+q(x) $ dibagi $ x^2 - 1 $ , maka sisanya adalah ....
A). $ 3x - 1 \, $ B). $ 3x + 1 \, $
C). $ -3x+2 \, $ D). $ -3x-2 \, $
E). $ 3x+2 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Teorema SISA :
Misalkan ada suku banyak $ f(x) $ jika dibagi $ x + a $ bersisa b, maka dapat ditulis $ f(-a) = b $. (Substitusikan akar dari pembaginya dan hasilnya adalah sisanya).
*). Derajat sisa pembagian selalu lebih kecil dari derajat pembaginya.
Contoh:
$ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $ dibagi $ g(x) = px^2 + qx + r $ memberikan sisa $ mx + n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
-). $ p(x) $ bersisa 2 jika dibagi $ x - 1 $ , akarnya $ x - 1 = 0 \rightarrow x = 1 $. Persamaannya $ p(1) = 2 $
-). $ p(x) $ tak bersisa (sisa = 0) jika dibagi $ x+1 $, akarnya $ x + 1 = 0 \rightarrow x = -1 $. Persamaannya $ p(-1) = 0 $
-). $ q(x) $ bersisa $ 2x $ jika dibagi $ x^2 - 1 $
akarnya : $ x^2 -1 = 0 \rightarrow (x+1)(x-1) = 0 \rightarrow x = - 1 \vee x = 1 $
$ x = -1 \rightarrow q(-1) = 2(-1) \rightarrow q(-1) = -2 $
$ x = 1 \rightarrow q(1) = 2(1) \rightarrow q(1) = 2 $
*). $ p(x) + q(x) $ dibagi $ x^2 - 1 $, kita misalkan sisanya $ s(x) = mx+n $.
Akar-akar pembaginya : $ x^2 - 1 = 0 \rightarrow x = -1 \vee x = 1 $
Substitusi akar-akar ke $ p(x) + q(x) $ dan sisa $ s(x) = mx + n $ :
$\begin{align} x = 1 \rightarrow p(1) + q(1) & = s(1) \\ 2 + 2 & = m. 1 + n \\ m + n & = 4 \, \, \, \, \text{...(i)} \\ x = -1 \rightarrow p(-1) + q(-1) & = s(-1) \\ 0 + (-2) & = m. (-1) + n \\ -m + n & = -2 \\ m & = n + 2 \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(ii) ke (i) :
$\begin{align} m + n & = 4 \\ (n+2) + n & = 4 \\ 2n & = 2 \\ n & = 1 \end{align} $
Pers(ii): $ m = n + 2 = 1 + 2 = 3 $
Sehingga sisanya :
$ s(x) = mx + n = 3x + 1 $
Jadi, sisanya adalah $ 3x + 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Geometri UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Misalkan $ U_n $ menyatakan suku ke-$n$ dari barisan geometri. Jika $ U_3-U_2=6 $ dan $ U_4-U_2=18 $, maka $ U_5 + U_3 = .... $
A). $ 40 \, $ B). $ 50 \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 70 \, $ E). $ 80 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus suku ke-$n$ barisan geometri :
$ u_n = a.r^{n-1} $
Contoh penjabarannya :
$ u_1 = a, u_2 = ar , u_3 = ar^2, u_4 = ar^3 , .... $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama
$ r = \, $ rasio

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan :
-). Persamaan pertama : $ U_3-U_2=6 $
$\begin{align} U_3-U_2 & =6 \\ ar^2-ar & =6 \\ a(r^2 - r) & = 6 \\ ar(r-1) & = 6 \\ a & = \frac{6}{r(r-1)} \, \, \, \, \, \, \, \text{...(i)} \end{align} $
-). Persamaan kedua : $ U_4-U_2=18 $
$\begin{align} U_4-U_2 & =18 \\ ar^3-ar & =18 \\ ar(r^2 - 1) & = 18 \\ ar(r+1)(r - 1) & = 18 \, \, \, \, \, \, \, \text{...(ii)} \end{align} $
*). Substitusi pers(i) ke pers(ii) :
$\begin{align} ar(r+1)(r - 1) & = 18 \\ \frac{6}{r(r-1)} . r(r+1)(r - 1) & = 18 \\ 6(r+1) & = 18 \\ (r+1) & = 3 \\ r & = 2 \end{align} $
Pers(i): $ a = \frac{6}{r(r-1)} = \frac{6}{2.(2-1)} = \frac{6}{2} = 3 $
*). Menentukan nilai $ U_5 + U_3 $ :
$\begin{align} U_5 + U_3 & = ar^4 + ar^2 \\ & = 3. 2^4 + 3. 2^2 \\ & = 48 + 12 = 60 \end{align} $
Jadi, nilai $ U_5 + U_3 = 60 . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan kubus ABCD.EFGH. Jika O titik tengah DH dan P adalah titik tengah BF, maka perbandingan luas $\Delta$AOP dan $ \Delta$HFC adalah ....
A). $ 1 : 2 \, $ B). $ \sqrt{2} : 1 \, $ C). $ 1 : 3 \, $ D). $ 2 : 1 \, $ E). $ \sqrt{2} : 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Luas Segitiga $ = \frac{1}{2}.a.t $
*). Untuk menentukan panjang sisi pada segitiga siku-siku bisa menggunakan pythagoras.
*). Sifat bentuk akar : $ \sqrt{a}.\sqrt{b} = \sqrt{ab} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Untuk memudahkan perhitungan, kita pilih panjang rusuk kubus 2 satuan.
 

-). Panjang AO pada $\Delta AOD $:
$ AO = \sqrt{AD^2+DO^2} = \sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5} $
$ AP = AO = \sqrt{5} $
-). Panjang HF pada $\Delta FGH $:
$ HF = \sqrt{FG^2+GH^2} = \sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8} = 2 \sqrt{2} $
$ OP = HF = 2\sqrt{2} $
$ HC = CF = HF = 2\sqrt{2} $
-). Panjang AM pada $\Delta APM $:
$ AM = \sqrt{AP^2-MP^2} = \sqrt{\sqrt{5}^2- \sqrt{2}^2}=\sqrt{3} $
-). Panjang HN pada $\Delta HCN $:
$ HN = \sqrt{HC^2-CN^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2- \sqrt{2}^2}=\sqrt{6} $
*). Menentukan luas $ \Delta AOP $ :
$\begin{align} \text{Luas } \Delta AOP & = \frac{1}{2}. OP. AM \\ & = \frac{1}{2}. 2\sqrt{2} . \sqrt{3} = \sqrt{6} \end{align} $
*). Menentukan luas $ \Delta HCF $ :
$\begin{align} \text{Luas } \Delta HCF & = \frac{1}{2}. CF. HN \\ & = \frac{1}{2}. 2\sqrt{2} . \sqrt{6} = \sqrt{2} . \sqrt{6} \end{align} $
*). Menentukan perbandingan luas segitiganya :
$\begin{align} \text{Luas } \Delta HCF : \text{Luas } \Delta AOP & = \sqrt{2} . \sqrt{6} : \sqrt{6} \\ & = \sqrt{2} : 1 \end{align} $
Jadi, perbandingan luas $\Delta$AOP dan $ \Delta$HFC adalah $ \sqrt{2} : 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ {}^{a^2} \log (3^a - 8)^{-4} . {}^3 \log \sqrt{a} = a - 2 $ , maka $ {}^a \log \left( \frac{1}{8} \right) = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ -2 \, $ D). $ -3 \, $ E). $ -4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Definisi logaritma :
$ {}^a \log b = c \rightarrow b = a^c $
*). Sifat logaritma :
$ {}^{a^m} \log b^n = \frac{n}{m} \, {}^a \log b $
$ {}^{a } \log b^n = n \, {}^a \log b $
$ {}^a \log b . {}^b \log c = {}^a \log c $
*). Sifat eksponen :
$ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $
*). Persamaan eksponen :
$ a^{f(x)} = a^{g(x)} \rightarrow f(x) = g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ 3^a = p > 0 $
*). Mengubah persamaannya :
$\begin{align} {}^{a^2} \log (3^a - 8)^{-4} . {}^3 \log \sqrt{a} & = a - 2 \\ {}^3 \log \sqrt{a} . {}^{a^2} \log (3^a - 8)^{-4} & = a - 2 \\ {}^3 \log a^\frac{1}{2} . {}^{a^2} \log (3^a - 8)^{-4} & = a - 2 \\ \frac{1}{2} \, {}^3 \log a . \frac{-4}{2} \, {}^{a} \log (3^a - 8) & = a - 2 \\ \frac{1}{2} . \frac{-4}{2} \, {}^3 \log a . {}^{a} \log (3^a - 8) & = a - 2 \\ (-1) \, {}^3 \log (3^a - 8) & = a - 2 \\ {}^3 \log (3^a - 8) & = -(a - 2) \\ {}^3 \log (3^a - 8) & = 2 - a \\ 3^a - 8 & = 3^{2 - a} \\ 3^a - 8 & = \frac{3^2}{3^a} \\ p - 8 & = \frac{9}{p} \\ p^2 - 8p & = 9 \\ p^2 - 8p - 9 & = 0 \\ (p +1)(p-9) & = 0 \\ p = -1 \vee p & = 9 \end{align} $
Yang memenuhi $ p = 9 $
*). Menentukan nilai $ a $ :
$\begin{align} p & = 9 \\ 3^a & = 3^2 \\ a & = 2 \end{align} $
*). Menentukan nilai $ {}^a \log \left( \frac{1}{8} \right) $ :
$\begin{align} {}^a \log \left( \frac{1}{8} \right) & = {}^2 \log \left( \frac{1}{2^3} \right) \\ & = {}^2 \log \left( 2^{-3} \right) \\ & = (-3) \, {}^2 \log 2 \\ & = -3 . 1 = -3 \end{align} $
Jadi, nilai $ {}^a \log \left( \frac{1}{8} \right) = -3 . \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Aritmetika UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan bilangan real $ a > 0 $ dan $ a \neq 1 $. Jika $ {}^a \log y $ , $ {}^a \log (y+1) $ , $ {}^a \log (3y+1) $ membentuk tiga suku berurutan barisan aritmatika, maka kuadrat nilai-nilai $ y $ yang mungkin adalah ....
A). $ \frac{1}{3} \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 1 $ D). $ 2 \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Ciri-ciri barisan aritmetika yaitu selisih sama.
Misalkan ada barisan : $ u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, .... $
Berlaku : $ u_2-u_1=u_3-u_2=u_4-u_3=.... $
*). Bentuk $ {}^a \log b $ syaratnya $ a > 0, b > 0, a \neq 1 $.
*). Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Sifat logaritma :
$ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui Jika $ {}^a \log y $ , $ {}^a \log (y+1) $ , $ {}^a \log (3y+1) $ membentuk tiga suku berurutan barisan aritmatika, artinya $ u_1 = {}^a \log y $ , $ u_2 = {}^a \log (y+1) $ , dan $ u_3 = {}^a \log (3y+1) $. Sesuai syarat logaritma, maka $ y > 0 $.
*). Menentukan nilai $ y $ dengan ciri-ciri aritmetika :
$\begin{align} u_2 - u_1 & = u_3 - u_2 \\ {}^a \log (y+1) - {}^a \log y & = {}^a \log (3y+1) - {}^a \log (y+1) \\ {}^a \log \frac{y+1}{y} & = {}^a \log \frac{3y+1}{y+1} \\ \frac{y+1}{y} & = \frac{3y+1}{y+1} \\ y(3y+1) & = (y+1)^2 \\ 3y^2 + y & = y^2 + 2y + 1 \\ 2y^2 - y - 1 & = 0 \\ (2y +1)(y-1) & = 0 \\ y = -\frac{1}{2} \vee y & = 1 \end{align} $
Karena $ y > 0 $ , maka $ y = 1 $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ y^2 $ :
$\begin{align} y^2 & = 1^2 = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ y^2 = 1 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Trigonometri UM UGM 2019 Matematika Ipa Kode 624

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x \in \left[ -\frac{\pi}{6} , 0 \right] $ , maka nilai minimum dari $ \cot \left( x+\frac{\pi}{3} \right)- \tan \left(\frac{2\pi}{3} - x \right) $ tercapai saat $ x = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ -\frac{\pi}{12} \, $ C). $ -\frac{\pi}{9} \, $ D). $ -\frac{\pi}{8} \, $ E). $ -\frac{\pi}{6} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ mencapai minimum atau maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
Jika ada interval $ a \leq x \leq b \, $ , maka batas intervalnya juga bisa menjadi kandidat menyebabkan fungsi $ y=f(x) $ maksimum atau minimum ($ x = a $ dan $ x = b $ juga dicek nilainya ke fungsi $ y = f(x) $).
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \csc g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . (-\csc g(x) . \cot g(x)) $
*). Rumus trigonometri dasar :
$ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \, $ dan $ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} $
$ \cot A = \tan (90^\circ - A) \, $ dan $ \tan A = \cot (90^\circ - A) $
$ \tan (A-B) = -\tan (B-A) $
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 $
$ \sin 2A = 2\sin A . \cos A $
$ \csc A = \frac{1}{\sin A} \, $ dan $ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} $
*). Penyelesaian persamaan trigonometri :
$ \cos f(x) = \cos \theta \, $ memiliki penyelesaian :
(i). $ f(x) = \theta + k.360^\circ $ dan
(i). $ f(x) = -\theta + k.360^\circ $
Nilai $ \pi = 180^\circ $ dan $ k $ bilangan bulat

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui fungsi $ y = \cot \left( x+\frac{\pi}{3} \right)- \tan \left(\frac{2\pi}{3} - x \right) $
atau $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $
pada interval $ x \in \left[ -\frac{\pi}{6} , 0 \right] $ atau ditulis $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
*). Mengubah bentuk fungsinya dan turunannya :
$\begin{align} y & = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) \\ y & = \tan [90^\circ - ( x+ 60^\circ )] - \cot [90^\circ - (120^\circ - x )] \\ y & = \tan (30^\circ - x) - \cot (x - 30^\circ) \\ y & = -\tan (x - 30^\circ ) - \cot (x - 30^\circ) \\ y & = -\frac{\sin (x - 30^\circ )}{\cos (x - 30^\circ )} - \frac{\cos (x - 30^\circ )}{\sin (x - 30^\circ )} \\ y & = \frac{-\sin ^2 (x - 30^\circ ) - \cos ^2 (x - 30^\circ )}{\sin (x - 30^\circ ). \cos (x - 30^\circ )} \\ y & = \frac{-[\sin ^2 (x - 30^\circ ) + \cos ^2 (x - 30^\circ )]}{\frac{1}{2} . \sin 2(x - 30^\circ )} \\ y & = \frac{-2}{\sin (2x - 60^\circ )} = -2\csc (2x - 60^\circ ) \\ y^\prime & = (-2). (2). (-\csc (2x - 60^\circ ) . \cot (2x - 60^\circ )) \\ & = 4. \frac{1}{\sin (2x - 60^\circ )} . \frac{\cos (2x - 60^\circ ) }{\sin (2x - 60^\circ )} \\ & = \frac{4 \cos (2x - 60^\circ ) }{\sin ^2 (2x - 60^\circ )} \end{align} $
*). Syarat $ y^\prime = 0 $
$ \begin{align} y^\prime & = 0 \\ \frac{4 \cos (2x - 60^\circ ) }{\sin ^2 (2x - 60^\circ )} & = 0 \\ \cos (2x - 60^\circ ) & = 0 \\ \cos (2x - 60^\circ ) & = \cos 90^\circ \end{align} $
*). Penyelesaian dari $ \cos (2x - 60^\circ ) = \cos 90^\circ $ :
Artinya $ f(x) = (2x - 60^\circ ) $ dan $ \theta = 90^\circ $
(i). $ f(x) = \theta + k. 360^\circ $
$\begin{align} (2x - 60^\circ ) & = \cos 90^\circ + k. 360^\circ \\ 2x & = 150^\circ + k . 360^\circ \\ x & = 75^\circ + k . 180^\circ \\ \end{align} $
$ x = \{ ..., -115^\circ , 75^\circ , ... \} $
Tidak ada yang memenuhi interval $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
(ii). $ f(x) = -\theta + k. 360^\circ $
$\begin{align} (2x - 60^\circ ) & = -\cos 90^\circ + k. 360^\circ \\ 2x & = -30^\circ + k . 360^\circ \\ x & = -15^\circ + k . 180^\circ \\ \end{align} $
$ x = \{ ..., -195^\circ , -15^\circ , 175^\circ , ... \} $
hanya $ x = -15^\circ $ yang memenuhi interval $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
*). Kita Uji nilai $ x = -15^\circ $ dan batas interval yaitu $ x = -30^\circ $ dan $ x = 0^\circ $ ke fungsi $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $
$\begin{align} x = -30^\circ \rightarrow y & = \cot \left( -30^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (-30^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 30^\circ \right)- \tan \left(150^\circ \right) \\ & = \sqrt{3}- \left( -\frac{1}{3}\sqrt{3} \right) \\ & = \frac{4}{3}\sqrt{3} \\ x = -15^\circ \rightarrow y & = \cot \left( -15^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (-15^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 45^\circ \right)- \tan \left(135^\circ \right) \\ & = 1- \left( -1 \right) \\ & = 2 \\ x = 0^\circ \rightarrow y & = \cot \left( 0^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (0^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ \right) \\ & = \frac{1}{3}\sqrt{3}- \left( -\sqrt{3} \right) \\ & = \frac{4}{3}\sqrt{3} \end{align} $
FUngsi $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $ nilainya minimum saat $ x = -15^\circ $.
Jadi, minimum untuk $ x = -15^\circ = -\frac{\pi}{12} . \, \heartsuit $