Cara 2 Pembahasan Lingkaran UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Lingkaran dengan titik pusat $ (0,1) $ dan jari-jari 2 memotong hiperbola $ x^2 - 2y^2 + 3y - 1 = 0 $ di titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $. Nilai $ 4\left( \frac{1}{y_1^2} + \frac{1}{y_2^2} \right) = .... $
A). $ 34 \, $ B). $ 35 \, $ C). $ 36 \, $ D). $ 37 \, $ E). $ 38 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat $ ay^2 + by + c = 0 $ memiliki akar-akar $ y_1 $ dan $ y_2 $.
-). Operasi akar-akar :
$ y_1 + y_2 = \frac{-b}{a} $ dan $ y_1.y_2 = \frac{c}{a} $
-). Rumus bantu :
$ y_1^2 + y_2^2 = (y_1+y_2)^2 - 2y_1.y_2 $
$ y_1^2.y_2^2 = (y_1.y_2)^2 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dari cara pertama, dari hasil eliminasi kita telah memperoleh bentuk $ 3y^2 - 5y - 2 = 0 $. Misalkan bentuk ini tidak bisa kita faktorkan langsung, maka kita bisa menggunakan operasi akar-akar seperti berikut ini.
-). Operasi akar-akar :
$ y_1 + y_2 = \frac{5}{3} $ dan $ y_1.y_2 = \frac{-2}{3} $
*). Menentukan nilai $ 4\left( \frac{1}{y_1^2} + \frac{1}{y_2^2} \right) $ :
$ \begin{align} 4\left( \frac{1}{y_1^2} + \frac{1}{y_2^2} \right) & = 4\left( \frac{y_1^2 + y_2^2}{y_1^2.y_2^2} \right) \\ & = 4\left( \frac{(y_1+y_2)^2 - 2y_1.y_2}{(y_1.y_2)^2} \right) \\ & = 4\left( \frac{(\frac{5}{3})^2 - 2.\frac{-2}{3}}{(\frac{-2}{3})^2} \right) \\ & = 4\left( \frac{\frac{25}{9} +\frac{4}{3}}{\frac{4}{9}} \right) = 4\left( \frac{\frac{25}{9} +\frac{12}{9}}{\frac{4}{9}} \right) \\ & = 4\left( \frac{\frac{37}{9}}{\frac{4}{9}} \right) = 4\left( \frac{37}{4} \right) = 37 \end{align} $
Jadi, nilai $ 4\left( \frac{1}{y_1^2} + \frac{1}{y_2^2} \right) = 37 . \, \heartsuit $

Pembahasan Lingkaran Hiperbola UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Lingkaran dengan titik pusat $ (0,1) $ dan jari-jari 2 memotong hiperbola $ x^2 - 2y^2 + 3y - 1 = 0 $ di titik $ (x_1,y_1) $ dan $ (x_2,y_2) $. Nilai $ 4\left( \frac{1}{y_1^2} + \frac{1}{y_2^2} \right) = .... $
A). $ 34 \, $ B). $ 35 \, $ C). $ 36 \, $ D). $ 37 \, $ E). $ 38 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan lingkaran titik pusat $(a,b) $ dan jari-jari $ r $ :
$ \, \, \, \, \, \, (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Untuk menentukan titik potong dua kurva, bisa dengan teknik eliminasi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan lingkaran dengan $ (a,b) = (0,1) $ dan $ r = 2 $ :
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-0)^2 + (y-1)^2 & = 2^2 \\ x^2 + y^2 - 2y + 1 & = 4 \\ x^2 + y^2 - 2y - 3 & = 0 \end{align} $
*). ELiminasi persamaan lingkaran dan hiperbola :
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 - 2y - 3 = 0 & \\ x^2 - 2y^2 + 3y - 1 = 0 & - \\ \hline 3y^2 - 5y - 2 = 0 & \\ (3y+1)(y-2) = 0 & \\ y_1 = -\frac{1}{3} \vee y_2 = 2 & \end{array} $
*). Menentukan nilai $ 4\left( \frac{1}{y_1^2} + \frac{1}{y_2^2} \right) $ :
$ \begin{align} 4\left( \frac{1}{y_1^2} + \frac{1}{y_2^2} \right) & = 4\left( \frac{1}{(-\frac{1}{3})^2} + \frac{1}{2^2} \right) \\ & = 4\left( \frac{1}{\frac{1}{9} } + \frac{1}{4} \right) \\ & = 4\left( 9+ \frac{1}{4} \right) \\ & = 36+1 = 37 \end{align} $
Jadi, nilai $ 4\left( \frac{1}{y_1^2} + \frac{1}{y_2^2} \right) = 37 . \, \heartsuit $

Pembahasan Peluang UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Lima pasang suami istri pergi ke suatu pesta pernikahan dengan menumpang 2 buah mobil yang masing-masing dengan kapasitas 6 orang. Jika setiap pasang harus naik pada mobil yang sama, maka banyaknya cara pengaturan penumpang kedua buah mobil tersebut adalah ....
A). $ 12 \, $ B). $ 14 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 20 \, $ E). $ 24 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Menyusun banyak kemungkinan kejadian tanpa memperhatikan urutan menggunakan kombinasi. Rumus kombinasi : $ \, \, _nC_r = \frac{n!}{(n-r)!.r!} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pemilihan pasangan suami istri untuk menumpang pada sebuah mobil tidak memperhatikan urutan, sehingga penghitungannya menggunakan kombinasi. ILustrasi tidak memperhatikan urutan : misalkan mobil I masuk pasangan I lalu pasangan II artinya sama saja dengan masuk pasangan II lalu pasangan I, karena pada intinya tetap ada dua pasangan tersebut dalam mobil I.
*). Karena setiap pasangan harus ada pada mobil yang sama, maka untuk memudahkan perhitungan, kita hitung secara pasangan saja yaitu 5 pasang (bukan perorangan dimana ada 10 orang).
*). Mobil pertama memuat 6 orang, artinya sama saja memuat paling banyak 3 pasangan, begitu juga mobil kedua.
*). Menghitung banyak cara pengaturan:
-). Kenungkinan I : memilih 3 pasang dari 5 pasang yang tersedia untuk mobil pertama yaitu ada $ _5C_3 $ cara, berikutnya memilih 2 pasang dari 2 pasangan tersisa yaitu ada $ _2C_2 $ cara.
Cara I $ = \, _5C_3 \times \, _2C_2 = 10 \times 1 = 10 $
-). Kenungkinan II : memilih 2 pasang dari 5 pasang yang tersedia untuk mobil pertama yaitu ada $ _5C_1 $ cara, berikutnya memilih 3 pasang dari 3 pasangan tersisa yaitu ada $ _3C_3 $ cara.
Cara II $ = \, _5C_2 \times \, _3C_3 = 10 \times 1 = 10 $
-). Jika mobil pertama kita isi dengan 1 pasang saja maka mobil dua harus kita isi 4 pasang, ini tidak mungkin karena setiap mobil paling banyak memuat 3 pasangan saja, sehingga hanya ada dua kemungkinan di atas saja.
*). Menentukan Total Cara :
$ \begin{align} \text{Total cara } & = \text{cara I} + \text{cara II} \\ & = 10 + 10 = 20 \end{align} $
Jadi, banyak pengaturan ada 20 cara $ . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Garis singgung UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan garis singgung kurva $ y = \sqrt{4 - x^2} $ yang sejajar dengan garis lurus $ x + y - 4 = 0 $ adalah ....
A). $ x + y = 0 \, $
B). $ x + y - \sqrt{2} = 0 \, $
C). $ x + y + \sqrt{2} = 0 \, $
D). $ x + y - 2\sqrt{2} = 0 \, $
E). $ x + y +2 \sqrt{2} = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan garis singgung (PGS) lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $ dengan gradien $ m $ adalah $ y = mx \pm r\sqrt{1 + m^2} $
*). Jika lingkarannya separuh yaitu berbentuk $ y = \sqrt{ r^2 - x^2} $, maka PGS nya adalah $ y = mx + r\sqrt{1 + m^2} $
*). Dua garis sejajar memiliki gradien sama : $ m_1 = m_2 $
*). Gradien garis $ ax+by+c = 0 \rightarrow m = \frac{-a}{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Bentuk $ y = \sqrt{4 - x^2} $ adalah persamaan lingkaran separuh berpusat di $(0,0) $ dan di atas sumbu X (karena nilai $ y $ selalu positif).
*). Menentukan jari-jari $ (r )$ :
$ \begin{align} y & = \sqrt{r^2 - x^2} \\ y & = \sqrt{4 - x^2} r^2 & = 4 \rightarrow r = 2 \end{align} $
*). Gradien garis $ x + y - 4 = 0 \rightarrow m_1 = \frac{-1}{1} = -1 $.
Karena garis singgung sejajar dengan garis $ x + y - 4 = 0 $ , maka gradien garis singgungnya sama yaitu $ m = m_1 = -1 $.
*). Menyusun PGS dengan $ r = 2 $ dan $ m = -1 $ :
$ \begin{align} y & = mx + r\sqrt{1 + m^2} \\ y & = -1.x + 2\sqrt{1 + (-1)^2} \\ y & = -x + 2\sqrt{2} \\ x & + y - 2\sqrt{2} = 0 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ x + 2 - 2\sqrt{2} = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Garis singgung UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan garis singgung kurva $ y = \sqrt{4 - x^2} $ yang sejajar dengan garis lurus $ x + y - 4 = 0 $ adalah ....
A). $ x + y = 0 \, $
B). $ x + y - \sqrt{2} = 0 \, $
C). $ x + y + \sqrt{2} = 0 \, $
D). $ x + y - 2\sqrt{2} = 0 \, $
E). $ x + y +2 \sqrt{2} = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan garis singgung (PGS) kurva $ y = f(x) $ di titik singgung $ (x_1,y_1) $ adalah $ y - y_1 = m(x-x_1) $ dengan $ m = f^\prime (x_1) $.
*). Turunan bentuk akar :
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $
*). Dua garis sejajar memiliki gradien sama : $ m_1 = m_2 $
*). Gradien garis $ ax+by+c = 0 \rightarrow m = \frac{-a}{b} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Gradien garis $ x + y - 4 = 0 \rightarrow m_1 = \frac{-1}{1} = -1 $
*). Turunan fungsinya :
$ y = \sqrt{4 - x^2} \rightarrow y^\prime = \frac{-2x}{2\sqrt{4 - x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}} $
*). Misalkan titik singgungnya di $ (x_1,y_1) $ :
$ m_2 = f^\prime (x_2) = \frac{-x_1}{\sqrt{4 - x_1^2}} $
*). Kedua garis sejajar, sehingga :
$ \begin{align} m_1 & = m_2 \\ -1 & = \frac{-x_1}{\sqrt{4 - x_1^2}} \\ \sqrt{4 - x_1^2} & = x_1 \, \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ 4 - x_1^2 & = x_1^2 \\ 2 x_1^2 & = 4 \\ x_1^2 & = 2 \\ x_1 & = \pm \sqrt{ 2 } \end{align} $
-). Dari bentuk $ \sqrt{4 - x_1^2} = x_1 $ , nilai $ x_1 $ harus positif (hasil akar dari suatu bilangan real adalah positif), sehingga yang memenuhi adalah $ x_1 = \sqrt{2} $.
$ y = \sqrt{4 - x^2} \rightarrow y_1 = \sqrt{4 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2} $.
-). Sehingga titik singgungnya $ (x_1,y_1) = (\sqrt{2}, \sqrt{2}) $.
*). Menyusun persamaan garis singgung kurva dengan $ (x_1,y_1) = (\sqrt{2}, \sqrt{2}) $ dan $ m = -1 $ :
$ \begin{align} y - y_1 & = m (x-x_1) \\ y - \sqrt{2} & = -1 (x-\sqrt{2}) \\ y - \sqrt{2} & = - x + \sqrt{2} \\ x + 2 - 2\sqrt{2} & = 0 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ x + 2 - 2\sqrt{2} = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Trigonometri UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x\tan 5x}{\cos 2x - \cos 7x } = .... $
A). $ \frac{1}{9} \, $ B). $ -\frac{1}{9} \, $ C). $ \frac{2}{9} \, $ D). $ -\frac{2}{9} \, $ E). $ 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ax}{\sin bx} = \frac{a}{b} \, $ dan $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\tan ax}{\sin bx} = \frac{a}{b} $.
*). Rumus trigonometri :
i). $ \cos A - \cos B = -2\sin \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right) $
ii). $ \sin (-x ) = - \sin x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah bentuk trigonometrinya :
$ \begin{align} \cos 2x - \cos 7x & = -2\sin \left( \frac{2x+7x}{2} \right) \sin \left( \frac{2x - 7x}{2} \right) \\ & = -2\sin \left( \frac{9}{2} x \right) \sin \left( -\frac{5}{2} x \right) \\ & = 2\sin \left( \frac{9}{2} x \right) \sin \left( \frac{5}{2} x \right) \end{align} $
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x\tan 5x}{\cos 2x - \cos 7x } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x\tan 5x}{ 2\sin \left( \frac{9}{2} x \right) \sin \left( \frac{5}{2} x \right) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1}{2}. \frac{x}{\sin \left( \frac{9}{2} x \right)}. \frac{\tan 5x}{ \sin \left( \frac{5}{2} x \right) } \\ & = \frac{1}{2}. \frac{1}{ \frac{9}{2} }. \frac{ 5}{\frac{5}{2} } \\ & = \frac{1}{2}. \frac{2}{ 9}. 5 . \frac{ 2}{5} = \frac{2}{9} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{2}{9} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Deret Takhingga UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$\Delta ABC $ siku-siku di A, $ B_1 $ pada BC sehingga $ AB_1 \bot BC $ , $ B_2 $ pada BC sehingga $ A_1B_2 \bot BC $, $ A_2 $ pada AC sehingga $ B_2A_2 \bot AC $, dan seterusnya. Jika $ AB = 6 $ dan $ BC = 10 $, maka jumlah luas $ \Delta ABC $, $ \Delta B_1AC $, $ \Delta A_1B_1C $ , $ \Delta B_2A_1C $ , $ \Delta A_2B_2C $ , dan seterusnya adalah ....
A). $ \frac{600}{8} \, $ B). $ \frac{600}{9} \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 50 \, $ E). $ \frac{600}{16} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Geometri
*). Jumlah deret geometri tak hingga
$ \, \, \, \, \, S_\infty = \frac{a}{1-r} $
keterangan :
$ a = \, $ suku pertama dan
$ r = \, $ rasio $ = \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} = .... $
*). Rumus dasar perbandingan trigonometri segitiga siku-siku :
$ \sin x = \frac{depan}{miring} $ dan $ \cos x = \frac{samping}{miring} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Luas segitiga ABC siku-siku di A:
$ AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8 $
$ L \, \Delta ABC = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.6.8 = 24 $
*). Misalkan sudut ACB $ = x $
$ \sin x = \frac{AB}{BC} = \frac{6}{10} $ dan $ \cos x = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{10} $
*). Perhatikan segitiga $ B_1AC $ siku-siku di $ B_1 $ dan $ ACB_1 = x $ :
-). Panjang $ AB_1 $
$ \sin x = \frac{AB_1}{AC} \rightarrow \frac{6}{10} = \frac{AB_1}{8} \rightarrow AB_1 = \frac{24}{5} $
-). Panjang $ B_1C $
$ \cos x = \frac{B_1C}{AC} \rightarrow \frac{8}{10} = \frac{B_1C}{8} \rightarrow B_1C = \frac{32}{5} $
-). Luas segitiga $ B_1AC $ :
$ L \, \Delta B_1AC = \frac{1}{2}.AB_1.B_1C = \frac{1}{2} . \frac{24}{5}.\frac{32}{5} = \frac{16}{25} \times 24 $
*). Karena panjang sisi segitiga berikutnya dapat diperoleh dari nilai $ \sin x $ dan $ \cos x $, maka luasnya segitiganya membentuk barisan geometri.
*). Jumlah luasnya :
$ L \, \Delta ABC + L \, \Delta B_1AC + L \, \Delta A_1B_1C + .... $
$ = 24 + \frac{16}{25} \times 24 + .... $
Membentuk deret geometri tak hingga dengan $ a = 24 $ dan
$ r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{\frac{16}{25} \times 24}{24} = \frac{16}{25} $
*). Jumlah total segitiganya :
$ \begin{align} & L \, \Delta ABC + L \, \Delta B_1AC + L \, \Delta A_1B_1C + .... \\ & = S_\infty \\ & = \frac{a}{1-r} = \frac{24}{1-\frac{16}{25}} \\ & = \frac{24}{ \frac{9}{25}} = 24 \times \frac{25}{9} = \frac{600}{9} \end{align} $
Jadi, total luas segitiga adalah $ \frac{600}{9} . \, \heartsuit $

Pembahasan Deret Takhingga UM UGM 2005 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$\Delta ABC $ siku-siku di A, $ B_1 $ pada BC sehingga $ AB_1 \bot BC $ , $ B_2 $ pada BC sehingga $ A_1B_2 \bot BC $, $ A_2 $ pada AC sehingga $ B_2A_2 \bot AC $, dan seterusnya. Jika $ AB = 6 $ dan $ BC = 10 $, maka jumlah luas $ \Delta ABC $, $ \Delta B_1AC $, $ \Delta A_1B_1C $ , $ \Delta B_2A_1C_1 $ , $ \Delta A_2B_2C $ , dan seterusnya adalah ....
A). $ \frac{600}{8} \, $ B). $ \frac{600}{9} \, $ C). $ 60 \, $ D). $ 50 \, $ E). $ \frac{600}{16} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Barisan dan Deret Geometri
*). Jumlah deret geometri tak hingga
$ \, \, \, \, \, S_\infty = \frac{a}{1-r} $
keterangan :
$ a = \, $ suku pertama dan
$ r = \, $ rasio $ = \frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} = .... $
*). Dua bangun sebangun maka perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama.
*). Ciri-ciri dua segitiga sebangun adalah ketiga sudut yang bersesuaian sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Luas segitiga ABC siku-siku di A:
$ AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8 $
$ L \, \Delta ABC = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.6.8 = 24 $
*). Segitiga $ B_1AC $ sebangun dengan segitiga ABC :
Sehingga perbandingannya : $ \frac{AB_1}{AB} = \frac{AC}{BC} = \frac{B_1C}{AC} $
-). Panjang $ AB_1 $
$ \frac{AB_1}{AB} = \frac{AC}{BC} \rightarrow \frac{AB_1}{6} = \frac{8}{10} \rightarrow AB_1 = \frac{24}{5} $
-). Panjang $ B_1C $
$ \frac{AC}{BC} = \frac{B_1C}{AC} \rightarrow \frac{8}{10} = \frac{B_1C}{8} \rightarrow B_1C = \frac{32}{5} $
-). Luas segitiga $ B_1AC $ :
$ L \, \Delta B_1AC = \frac{1}{2}.AB_1.B_1C = \frac{1}{2} . \frac{24}{5}.\frac{32}{5} = \frac{16}{25} \times 24 $
*). Karena segitiga berikutnya juga sebangun dengan segitiga ABC, maka luasnya segitiganya membentuk barisan geometri.
*). Jumlah luasnya :
$ L \, \Delta ABC + L \, \Delta B_1AC + L \, \Delta A_1B_1C + .... $
$ = 24 + \frac{16}{25} \times 24 + .... $
Membentuk deret geometri tak hingga dengan $ a = 24 $ dan
$ r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{\frac{16}{25} \times 24}{24} = \frac{16}{25} $
*). Jumlah total segitiganya :
$ \begin{align} & L \, \Delta ABC + L \, \Delta B_1AC + L \, \Delta A_1B_1C + .... \\ & = S_\infty \\ & = \frac{a}{1-r} = \frac{24}{1-\frac{16}{25}} \\ & = \frac{24}{ \frac{9}{25}} = 24 \times \frac{25}{9} = \frac{600}{9} \end{align} $
Jadi, panjang tali semua adalah 381 cm $ . \, \heartsuit $