Pembahasan Trigonometri UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan segitiga ABC dengan $ \angle ACB = 105^\circ $, $ \angle ABC = 45^\circ $, dan $ AB = \sqrt{2}+\sqrt{6} $ cm. Panjang sisi BC sama dengan ....
A). $ \sqrt{3} \, $ cm
B). $ \sqrt{6} \, $ cm
C). $ 2 \, $ cm
D). $ 3 \, $ cm
E). $ 2\sqrt{2} \, $ cm

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus dasar trigonometri :
$ \sin (x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y $
*). Aturan sinus :
$ \frac{a}{\sin A } = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan besar sudut A pada segitga ABC dengan $ \angle B = 45^\circ $ dan $ \angle C = 105^\circ $ :
$ \begin{align} \text{jumlah sudut segitiga } & = 180^\circ \\ \angle A + \angle B + \angle C & = 180^\circ \\ \angle A + 45^\circ + 105^\circ & = 180^\circ \\ \angle A + 150^\circ & = 180^\circ \\ \angle A & = 30^\circ \end{align} $
*). Ilustrasi gambarnya :
 

*). Menentukan nilai $ \sin 105^\circ $ :
$ \begin{align} \sin 105^\circ & = \sin (60 ^\circ + 45^\circ ) \\ & = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{3}. \frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{6} + \frac{1}{4}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{4}(\sqrt{6} + \sqrt{2} ) = \frac{1}{4}(\sqrt{2} + \sqrt{6} ) \end{align} $
*). Menentukan BC dengan aturan sinus :
$ \begin{align} \frac{BC}{\sin \angle A} & = \frac{AB}{\sin \angle C} \\ \frac{BC}{\sin 30^\circ } & = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\sin 105^\circ } \\ \frac{BC}{ \frac{1}{2} } & = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\frac{1}{4}(\sqrt{2} + \sqrt{6} )} \\ \frac{BC}{ \frac{1}{2} } & = \frac{1}{\frac{1}{4}} \\ \frac{BC}{ \frac{1}{2} } & = 4 \\ BC & = \frac{1}{2} \times 4 = 2 \end{align} $
Jadi, panjang BC $ = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Trigonometri UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to y } \frac{\tan x - \tan y}{\left(1 - \frac{x}{y}\right)(1 + \tan x. \tan y) } = .... $
A). $ -1 \, $ B). $ 1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ y \, $ E). $ -y \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat limit trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\tan f(x)}{f(x)} = 1 $
dengan syarat $ f(k) = 0 $
*). RUmus trigonometri :
$ \tan (x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x. \tan y} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to y } \frac{\tan x - \tan y}{\left(1 - \frac{x}{y}\right)(1 + \tan x. \tan y) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to y } \frac{\tan x - \tan y}{\left(\frac{y}{y} - \frac{x}{y}\right)(1 + \tan x. \tan y) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to y } \frac{\tan x - \tan y}{\left(\frac{y - x }{y} \right)(1 + \tan x. \tan y) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to y } \frac{1}{\left(\frac{y - x }{y} \right)} . \frac{\tan x - \tan y}{(1 + \tan x. \tan y) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to y } \frac{y}{y-x} . \tan (x - y) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to y } \frac{y}{-(x-y)} . \tan (x - y) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to y } -y . \frac{\tan (x - y)}{(x-y)} \\ & = -y . 1 = - y \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ -y . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Aljabar UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1 + x} - 1 }{\sqrt[3]{1+x} - 1} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ \frac{3}{2} \, $ E). $ \infty \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan limit bentuk tak tentu $ \frac{0}{0} $, bisa dengan cara L'Hopital (cara turunan).
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $ solusinya $ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{f^\prime (x)}{g^\prime (x)} $
*). Turunan fungsi :
$ y = [f(x)]^n \rightarrow y^\prime = n[f(x)]^{n-1}. f^\prime (x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya :
$ y = \sqrt{1 + x} = (1+x)^\frac{1}{2} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}} $
$ y = \sqrt[3]{1 + x} = (1+x)^\frac{1}{3} \rightarrow y^\prime = \frac{1}{3}(1+x)^{-\frac{2}{3}} $
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1 + x} - 1 }{\sqrt[3]{1+x} - 1} \, \, \, \, \, \text{(turnan)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}} }{\frac{1}{3}(1+x)^{-\frac{2}{3}}} \\ & = \frac{\frac{1}{2}(1+0)^{-\frac{1}{2}} }{\frac{1}{3}(1+0)^{-\frac{2}{3}}} \\ & = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{3}{2} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Aljabar UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1 + x} - 1 }{\sqrt[3]{1+x} - 1} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ \frac{3}{2} \, $ E). $ \infty \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan limit bentuk tak tentu $ \frac{0}{0} $, bisa dengan cara merasionalkan.
*). Bentuk pemfaktoran :
1). $ (\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a}+1) = a - 1 $
2). $ (\sqrt[3]{a} - 1)((\sqrt[3]{a})^2 + \sqrt[3]{a} + 1) = a - 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1 + x} - 1 }{\sqrt[3]{1+x} - 1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1 + x} - 1 }{\sqrt[3]{1+x} - 1} \times \frac{\sqrt{1 + x} + 1 }{\sqrt{1 + x} + 1 } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{(1 + x) - 1 }{(\sqrt{1 + x} + 1)(\sqrt[3]{1+x} - 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x}{(\sqrt{1 + x} + 1)(\sqrt[3]{1+x} - 1)} \times \frac{((\sqrt[3]{1 + x})^2 + \sqrt[3]{1 + x} + 1) }{((\sqrt[3]{1 + x})^2 + \sqrt[3]{1 + x} + 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x((\sqrt[3]{1 + x})^2 + \sqrt[3]{1 + x} + 1) }{(\sqrt{1 + x} + 1)((1+x) - 1)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{x((\sqrt[3]{1 + x})^2 + \sqrt[3]{1 + x} + 1) }{(\sqrt{1 + x} + 1)x} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{((\sqrt[3]{1 + x})^2 + \sqrt[3]{1 + x} + 1) }{(\sqrt{1 + x} + 1)} \\ & = \frac{((\sqrt[3]{1 + 0})^2 + \sqrt[3]{1 + 0} + 1) }{(\sqrt{1 + 0} + 1)} = \frac{3}{2} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{3}{2} . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan PK UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
AKar-akar persamaan $ 2x^2 + ax - 3 = 0 $ diketahui saling berkebalikan dengan akar-akar persamaan $ 3x^2 - 5x + 2b = 0 $. Nilai $ ab = .... $
A). $ -10 \, $ B). $ -5 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 10 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat(PK) $ ax^2 + bx + c = 0 $ dengan akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya berkebalikan dengan $ ax^2 + bx + c = 0 $ adalah $ cx^2 + bx + a = 0 $
($a$ dan $ c $ ditukar posisinya).

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya berkebalikan dari persamaan kuadrat $ 2x^2 + ax - 3 = 0 $ adalah
$ \begin{align} -3x^2 + ax + 2 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 3x^2 - ax - 2 & = 0 \end{align} $
*). Bentuk $ 3x^2 - ax - 2 = 0 $ sama dengan $ 3x^2 - 5x + 2b = 0 $, sehingga :
$ -a = -5 \rightarrow a = 5 $
$ -2 = 2b \rightarrow b = -1 $
Sehingga nilai $ ab = 5. (-1) = -5 $
Jadi, nilai $ ab = -5. \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
AKar-akar persamaan $ 2x^2 + ax - 3 = 0 $ diketahui saling berkebalikan dengan akar-akar persamaan $ 3x^2 - 5x + 2b = 0 $. Nilai $ ab = .... $
A). $ -10 \, $ B). $ -5 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 10 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ dengan akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \, $ dan $ x_1. x_2 = \frac{c}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ 2x^2 + ax - 3 = 0 $ akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $ :
-). Operasi akar-akar :
$ x_1 + x_2 = \frac{-a}{2} $ dan $ x_1.x_2 = \frac{-3}{2} $
*). Karena berkebalikan, maka akar-akar dari $ 3x^2 - 5x + 2b = 0 $ adalah $ y_1 = \frac{1}{x_1} $ dan $ y_2 = \frac{1}{y_2} $.
-). Operasi akar-akar, dan kita gunakan persamaan kuadrat pertama :
Perkalian $ y_1.y_2 $ :
$ \begin{align} y_1.y_2 & = \frac{2b}{3} \\ \frac{1}{x_1}.\frac{1}{x_2} & = \frac{2b}{3} \\ \frac{1}{x_1.x_2} & = \frac{2b}{3} \\ \frac{1}{\frac{-3}{2}} & = \frac{2b}{3} \\ \frac{-2}{3} & = \frac{2b}{3} \\ -2 & = 2b \\ b & = -1 \end{align} $
Penjumlahan $ y_1 + y_2 $ :
$ \begin{align} y_1 + y_2 & = \frac{-(-5)}{3} \\ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} & = \frac{5}{3} \\ \frac{x_1 + x_2}{x_1.x_2} & = \frac{5}{3} \\ \frac{\frac{-a}{2}}{\frac{-3}{2}} & = \frac{5}{3} \\ \frac{a}{3} & = \frac{5}{3} \\ a & = 5 \end{align} $
Sehingga nilai $ ab = 5. (-1) = -5 $
Jadi, nilai $ ab = -5. \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Mutlak UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan semua nilai $ x $ yang memenuhi $ |x+8| - |3x - 4| \geq 0 $ adalah ....
A). $ \{ x| x \geq - 8 \} \, $
B). $ \{ x| x \leq \frac{4}{3} \} \, $
C). $ \{ x| -1 \leq x \leq 6 \} \, $
D). $ \{ x| -8 \leq x \leq \frac{4}{3} \} \, $
E). $ \{ x| x \leq -1 \, \text{ atau } \, x \geq 6 \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x= - 8 \Rightarrow |x+8| - |3x - 4| & \geq 0 \\ |-8+8| - |3.(-8) - 4| & \geq 0 \\ |0| - |-36| & \geq 0 \\ 0 - (36) & \geq 0 \\ -36 & \geq 0 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x= -8 $ SALAH, opsi yang salah A, B, D, dan E.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi C (yang tersisa).
Jadi, penyelesaiannya $ \{ x| -1 \leq x \leq 6 \} . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan Mutlak UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan semua nilai $ x $ yang memenuhi $ |x+8| - |3x - 4| \geq 0 $ adalah ....
A). $ \{ x| x \geq - 8 \} \, $
B). $ \{ x| x \leq \frac{4}{3} \} \, $
C). $ \{ x| -1 \leq x \leq 6 \} \, $
D). $ \{ x| -8 \leq x \leq \frac{4}{3} \} \, $
E). $ \{ x| x \leq -1 \, \text{ atau } \, x \geq 6 \} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). SIfat pertidaksamaan mutlak :
$ |A| \geq |B| \rightarrow A^2 \geq B^2 $
*). Pemfaktoran : $ A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar dengan sifat pertidaksamaan mutlak :
$ \begin{align} |x+8| - |3x - 4| & \geq 0 \\ |x+8| & \geq |3x - 4| \, \, \, \, \, \, \text{(sifat mutlak)} \\ (x+8)^2 & \geq (3x - 4)^2 \\ (x+8)^2 - (3x - 4)^2 & \geq 0 \\ [(x+8)+(3x - 4) ] & [(x+8) - (3x - 4)] \geq 0 \\ [4x + 4 ][-2x + 12] & \geq 0 \\ x = -1 \vee x = 6 \end{align} $
Garis bilangan :
 

Karena yang diminta $ \geq 0 $ , maka solusinya yang positif.
Sehingga solusinya : $ -1 \leq x \leq 6 $
Jadi, nilai $ x $ adalah $ -1 \leq x \leq 6 . \, \heartsuit $

Pembahasan Vektor UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui vektor $ \vec{u} = (2, -1, 1) $ dan $ \vec{v} = (-1,1,-1)$. $ \vec{w} $ vektor yang panjangnya satu, tegak lurus pada $ \vec{u} $ dan tegak lurus pada $ \vec{v} $ adalah ....
A). $ ( 0,0,1) $
B). $ \left(0, \frac{1}{2}\sqrt{2}, \frac{1}{2}\sqrt{2} \right) $
C). $ \left( 0, -\frac{1}{2}\sqrt{2}, \frac{1}{2}\sqrt{2} \right) $
D). $ \left( -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) $
E). $ \left( \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3} \right) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Misalkan ada vektor $ \vec{u} = (u_1, u_2, u_3) $ dan $ \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) $
-). Panjang vektro $ \vec{u} = | \vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} $
-). Perkalian silang $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ :
$ \vec{u} \times \vec{v} = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{matrix} \right| $
-). Pada perkalian silang :
Lambang $ |A| = \, $ determinan matriks A (Cara Sarrus)
*). Vektor $ \vec{w} $ yang tegak lurus $ \vec{u} $ dan $ \vec{v} $ :
$ \vec{w} = \frac{1}{| \vec{u} \times \vec{v}| } (\vec{u} \times \vec{v}) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan nilai $ \vec{u} \times \vec{v} $ :
$ \begin{align} \vec{u} \times \vec{v} & = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{matrix} \right| \\ & = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{matrix} \right| \\ & = (i -j + 2k) - (k -2j + i) \\ & = j + k = (0, 1, 1) \end{align} $
*). Menentukan panjang $ \vec{u} \times \vec{v} = (0,1,1) $ :
$ \begin{align} |\vec{u} \times \vec{v} | & = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \end{align} $
*). Menentukan vektor $\vec{w} $ :
$ \begin{align} \vec{w} & = \frac{1}{| \vec{u} \times \vec{v}| } (\vec{u} \times \vec{v}) \\ & = \frac{1}{\sqrt{2} } (0,1,1) \\ & = \frac{1}{2 } \sqrt{2} (0,1,1) \\ & = \left( 0,\frac{1}{2 } \sqrt{2} , \frac{1}{2 } \sqrt{2} \right) \end{align} $
Jadi, vektor $ \vec{w} = \left( 0,\frac{1}{2 } \sqrt{2} , \frac{1}{2 } \sqrt{2} \right) . \, \heartsuit $

Pembahasan Dimensi Tiga UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Pada kubus ABCD.EFGH, titik P pada AE dengan 3AP = PE, dan $ \alpha $ adalah sudut antara PH dan BC. Nilai $ \sin \alpha $ adalah ....
A). $ \frac{2}{\sqrt{10}} \, $ B). $ \frac{4}{\sqrt{41}} \, $ C). $ \frac{2}{3} \, $ D). $ \frac{3}{4} \, $ E). $ \frac{3}{5} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Dua garis akan membentu sudut jika keduanya berpotongan. Jika kedua garis belum berpotongan, geser salah satu garis sejajar dengan garis awalnya sehingga memotong garis yang lainnya.
*). Rumus dasar perbandingan trigonometri :
$ \sin \alpha = \frac{depan}{miring} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar, misalkan panjang rusuk kubus = 4 :
 

-). Agar garis PH dan BC berptongan, kita geser garis BC sehingga berimpit dengan garis PQ dimana PQ tetap sejajar dengan BC. Sudut yang terbentuk antara PH dan BC adalah $ \angle HPQ = \alpha $.
-). Diketahui $ 3AP = PE \rightarrow \frac{AP}{PE} = \frac{1}{3} $
$ QH = PE = 3 $ dan $ PQ = AD = 4 $.
-). Panjang PH pada segitiga siku-siku PQH,
$ PH = \sqrt{PQ^2 + QH^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 $
*). Menentukan nilai $ \sin \alpha $ :
$ \begin{align} \sin \alpha & = \frac{QH}{PH} = \frac{3}{5} \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin \alpha = \frac{3}{5} . \, \heartsuit $

Pembahasan Lingkaran UM UGM 2004 Matematika Ipa

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui sebuah lingkaran L : $ x^2 + y^2 + y - 24 = 0 $. Jika melalui titik P(1,6) dibuat garis singgung pada L, maka jarak dari P ke titik singgung tadi adalah ....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan Lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
Titik pusat $ = (a,b) = \left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2} \right) $
Jari-jari : $ r^2 = a^2 + b^2 - C $
*). Jarak dua titik $ A(x_1,y_1) $ dan $ B (x_2,y_2) $ :
jarak $ = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Persamaan lingkaran : $ x^2 + y^2 + y - 24 = 0 $
$ A = 0 , B = 1 $ dan $ C = -24 $
-). Titik pusat $ (a,b) $ :
$ (a,b) = \left( -\frac{0}{2}, -\frac{1}{2} \right) = \left( 0, -\frac{1}{2} \right) $
-). Jari-jari $ ( r) $ :
$ r^2 = 0^2 + \left(-\frac{1}{2} \right)^2 - (-24) = \frac{1}{4} + 24 = \frac{97}{4} $
*). Ilustrasi gambar :
 

-). Dari gambar, melalui titik P dibuat garis singgung lingkaran yaitu garis $ k $ dan garis $ l $. Titik singgung garis $ k $ pada lingkaran adalah titik B. Sehingga jarak titik P ke titik singgungnya adalah jarak P ke B atau panjang PB.
*). Perhatikan segitiga PAB siku-siku di B.
-). Panjang PA = jarak P ke A :
$ \begin{align} PA^2 & = (1-0)^2 + (6 - (-\frac{1}{2}))^2 \\ & = 1 + (\frac{13}{2})^2 = 1 + \frac{169}{4} = \frac{173}{4} \end{align} $
-). Panjang AB $ = r \rightarrow AB^2 = r^2 = \frac{97}{4}$
-). Panjang PB dengan pythagoras pada segitiga PAB:
$ \begin{align} PB & = \sqrt{PA^2 - AB^2} \\ & = \sqrt{ \frac{173}{4} - \frac{97}{4} } = \sqrt{\frac{76}{4}} = \sqrt{19} \end{align} $
Jadi, jarak P ke titik singgungnya adalah $ \sqrt{19} . \, \heartsuit $
(Tidak ada jawaban).

Soal dan Pembahasan UM UGM 2004 Matematika IPA


Nomor 1
Diketahui sebuah lingkaran L : $ x^2 + y^2 + y - 24 = 0 $. Jika melalui titik P(1,6) dibuat garis singgung pada L, maka jarak dari P ke titik singgung tadi adalah ....
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 $
Nomor 2
Pada kubus ABCD.EFGH, titik P pada AE dengan 3AP = PE, dan $ \alpha $ adalah sudut antara PH dan BC. Nilai $ \sin \alpha $ adalah ....
A). $ \frac{2}{\sqrt{10}} \, $ B). $ \frac{4}{\sqrt{41}} \, $ C). $ \frac{2}{3} \, $ D). $ \frac{3}{4} \, $ E). $ \frac{3}{5} \, $
Nomor 3
Diketahui vektor $ \vec{u} = (2, -1, 1) $ dan $ \vec{v} = (-1,1,-1)$. $ \vec{w} $ vektor yang panjangnya satu, tegak lurus pada $ \vec{u} $ dan tegak lurus pada $ \vec{v} $ adalah ....
A). $ ( 0,0,1) $
B). $ \left(0, \frac{1}{2}\sqrt{2}, \frac{1}{2}\sqrt{2} \right) $
C). $ \left( 0, -\frac{1}{2}\sqrt{2}, \frac{1}{2}\sqrt{2} \right) $
D). $ \left( -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) $
E). $ \left( \frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3} \right) $
Nomor 4
Himpunan semua nilai $ x $ yang memenuhi $ |x+8| - |3x - 4| \geq 0 $ adalah ....
A). $ \{ x| x \geq - 8 \} \, $
B). $ \{ x| x \leq \frac{4}{3} \} \, $
C). $ \{ x| -1 \leq x \leq 6 \} \, $
D). $ \{ x| -8 \leq x \leq \frac{4}{3} \} \, $
E). $ \{ x| x \leq -1 \, \text{ atau } \, x \geq 6 \} \, $
Nomor 5
AKar-akar persamaan $ 2x^2 + ax - 3 = 0 $ diketahui saling berkebalikan dengan akar-akar persamaan $ 3x^2 - 5x + 2b = 0 $. Nilai $ ab = .... $
A). $ -10 \, $ B). $ -5 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 10 \, $

Nomor 6
$ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sqrt{1 + x} - 1 }{\sqrt[3]{1+x} - 1} = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ \frac{3}{2} \, $ E). $ \infty \, $
Nomor 7
$ \displaystyle \lim_{x \to y } \frac{\tan x - \tan y}{\left(1 - \frac{x}{y}\right)(1 + \tan x. \tan y) } = .... $
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{2}{3} \, $ C). $ 1 \, $ D). $ \frac{3}{2} \, $ E). $ \infty \, $
Nomor 8
Diberikan segitiga ABC dengan $ \angle ACB = 105^\circ $, $ \angle ABC = 45^\circ $, dan $ AB = \sqrt{2}+\sqrt{6} $ cm. Panjang sisi BC sama dengan ....
A). $ \sqrt{3} \, $ cm
B). $ \sqrt{6} \, $ cm
C). $ 2 \, $ cm
D). $ 3 \, $ cm
E). $ 2\sqrt{2} \, $ cm
Nomor 9
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ akar-akar persamaan
$ \left( {}^5 \log (x+3) \right)^2 + 3 \, {}^5 \log ( x + 3) = {}^5 \log \frac{1}{25} $ ,
maka $ |x_1 - x_2 | = .... $
A). $ 0,12 \, $ B). $ 0,14 \, $ C). $ 0,16 \, $ D). $ 0,18 \, $ E). $ 0,20 \, $
Nomor 10
Penyelesaian pertaksamaan $ 4^{x-1} - 6. 2^{x-2} - 10 < 0 $ adalah ....
A). $ x < -1 + {}^2 \log 5 \, $
B). $ x < 2 + {}^2 \log 5 \, $
C). $ x < 1 + {}^2 \log 5 \, $
D). $ x < 1 - 2 \, {}^2 \log 5 \, $
E). $ x < 1 + 2 \, {}^2 \log 5 \, $

Nomor 11
Jika $ U_n $ adalah suku ke-$n$ suatu barisan geometri, maka jumlah 4 suku pertama barisan tersebut sama dengan .....
A). $ \frac{u_1(u_1-u_4)}{u_1 - u_2 } \, $
B). $ \frac{u_1-u_4}{u_1 - u_2 } \, $
C). $ \frac{u_1(u_1+u_5)}{u_1 - u_2 } \, $
D). $ \frac{u_1(u_1-u_5)}{u_1 - u_2 } \, $
E). $ \frac{u_1-u_5}{u_1 - u_2 } \, $
Nomor 12
Jumlah tiga suku pertama barisan aritmetika adalah 27 dan jumlah lima buah suku pertama barisan tersebut adalah 85, maka suku ke-4 barisan tersebut adalah ....
A). $ 33 \, $ B). $ 25 \, $ C). $ 17 \, $ D). $ 41 \, $ E). $ 49 $
Nomor 13
Jika D daerah dikuadran I yang dibatasi oleh parabola $ y^2 = 2x $ dan garis $ x - y = 4 $, maka luas D = ....
A). $ 40\sqrt{2} \, $ B). $ 40 \, $ C). $ \frac{64\sqrt{2}}{3} \, $ D). $ \frac{64}{3} \, $ E). $ 13\frac{1}{3} \, $
Nomor 14
Dari 8 pasangan suami-istri akan dibentuk tim beranggotakan 5 orang teridiri dari 3 pria dan 2 wanita dengan ketentuan tak boleh ada pasangan suami-istri. Banyaknya tim yang dapat dibentuk adalah ....
A). $ 56 \, $ B). $ 112 \, $ C). $ 336 \, $ D). $ 560 \, $ E). $ 672 \, $
Nomor 15
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ akar-akar persamaan $ x^2 + kx + k = 0 $ , maka nilai $ k $ yang menjadikan $ x_1^3 + x_2^3 \, $ mencapai maksimum adalah ....
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

Cara 2 Pembahasan Deret UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah $ n $ suku pertama suatu deret aritmetika diberikan dengan rumus $ n^2 + 3n$. Beda deret tersebut adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Jika diketahui rumus $ S_n $ deret aritmetika
$ S_n = pn^2 + qn $ maka $ b = 2p $.
dengan $ b = \, $ beda.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). DIketahui $ S_n = n^2 + 3n \rightarrow p = 1 , q = 3 $
*). Menentukan nilai beda $(b)$ :
$\begin{align} b & = 2p = 2.1 = 2 \end{align} $
Jadi, bedanya adalah $ 2. \, \heartsuit $

Pembahasan Deret Aritmetika UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah $ n $ suku pertama suatu deret aritmetika diberikan dengan rumus $ n^2 + 3n$. Beda deret tersebut adalah ....
A). $ 2 \, $ B). $ 3 \, $ C). $ 4 \, $ D). $ 5 \, $ E). $ 6 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Beda ($b$) dalam barisan aritmetika :
$ b = U_2 - U_1 = U_3 - U_2 = ....= U_n - U_{n-1} $
*). Hubungan $ U_n $ dan $ S_n $ :
$ U_n = S_n - S_{n-1} \, $ untuk $ n \geq 2 $.
Dan $ U_1 = S_1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). DIketahui $ S_n = n^2 + 3n $ :
*). Menentukan $ U_1 $ dan $ U_2 $ :
$\begin{align} U_1 & = S_1 \\ & = 1^2 + 3.1 = 4 \\ U_2 & = S_2 - S_1 \\ & = (2^2 + 3.2) - (1^2 + 3.1 ) \\ & = 6 \end{align} $
*). Menentukan nilai beda $(b)$ :
$\begin{align} b & = U_2 - U_1 = 6 - 4 = 2 \end{align} $
Jadi, bedanya adalah $ 2. \, \heartsuit $

Pembahasan Barisan Aritmetika UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui dua orang pekerja dengan gaji permulaan Rp 1.600.000,-. Setiap tahun pekerja pertama mendapat kenaikan gaji sebesar Rp 10.000,- sedangkan pekerja kedua mendapat kenaikan gaji Rp 23.000,- setiap dua tahun. Setelah 10 tahun bekerja selisih gaji kedua pekerja tersebut adalah ....
A). Rp 15.000,-
B). Rp 20.000,-
C). Rp 50.000,-
D). Rp 130.000,-
E). Rp 150.000,-

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus suku ke-$n$ barisan aritmetika :
$ \, \, \, \, \, U_n = a + (n-1)b $
Keterangan :
$ a = \, $ suku pertama,
$ b = \, $ beda (penambah atau pengurang yang tetap)

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Orang pertama :
Gaji awal : $ a = 1.600.000 $,
Penambah setiap tahun : $ b = 10.000 $
Besar gaji perbulan setelah 10 tahun kerja (mengalami 10 kali kenaikkan) :
$\begin{align} U_{n} & = a + (n-1) b \\ U_{11} & = 1600000 + (11-1) \times 10000 \\ & = 1600000 + 100000 \\ & = 1.700.000 \end{align} $
*). Orang Kedua :
Gaji awal : $ a = 1.600.000 $,
Penambah setiap dua tahun : $ b = 23.000 $
Besar gaji perbulan setelah 10 tahun kerja (mengalami 5 kali kenaikkan):
$\begin{align} U_{n} & = a + (n-1) b \\ U_{6} & = 1600000 + (6-1) \times 23000 \\ & = 1600000 + 115000 \\ & = 1.715.000 \end{align} $
Selisih gaji mereka $ = 1.715.000 - 1.700.000 = 15.000 $
Jadi, selisih gaji adalah $ 15.000,- \, \heartsuit $

Pembahasan Determinan UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Bila $ A = \left( \begin{matrix} \sin ^2 x & -\cos x \\ \sqrt{3}\sin x & 1 \end{matrix} \right) $, $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $ dan determinan $ A $ sama dengan $ 1 $, maka $ x $ adalah ....
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{\pi}{6} \, $ C). $ \frac{\pi}{4} \, $ D). $ \frac{\pi}{3} \, $
E). $ \frac{\pi}{6} \, $ dan $ \frac{\pi}{2} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus determinan matriks $ A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
Det(A) $ = |A| = ad - bc $
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \sin ^2 x = 1 - \cos ^2 x $
*). RUmus perbandingan trigonometri : $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Determinan matriks A = 1 :
$\begin{align} A = \left( \begin{matrix} \sin ^2 x & -\cos x \\ \sqrt{3}\sin x & 1 \end{matrix} \right) & \\ |A| & = 1 \\ \sin ^2 x . 1 - (-\cos x) . \sqrt{3}\sin x & = 1 \\ \sin ^2 x + \sqrt{3}\cos x \sin x & = 1 \\ 1 - \cos ^2 x + \sqrt{3}\cos x \sin x & = 1 \\ \sqrt{3}\cos x \sin x - \cos ^2 x & = 0 \\ \cos x ( \sqrt{3}\sin x - \cos x ) & = 0 \\ \cos x = 0 \vee \sqrt{3}\sin x - \cos x & = 0 \end{align} $
-). Untuk $ \cos x = 0 $, tidak ada $ x $ yang memenuhi pada interval $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $.
-). Untuk $ \sqrt{3}\sin x - \cos x = 0 $ :
$\begin{align} \sqrt{3}\sin x - \cos x & = 0 \\ \sqrt{3}\sin x & = \cos x \\ \frac{\sin x}{\cos x} & = \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \tan x & = \frac{1}{\sqrt{3}} \end{align} $
Pada interval $ 0 < x < \frac{\pi}{2} $, nilai $ x $ yang memenuhi $ \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} $ adalah $ x = \frac{\pi}{6} $.
Jadi, nilai $ x = \frac{\pi}{6} . \, \heartsuit $

Pembahasan Statistika UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Dalam satu kelas terdapat 22 siswa. Nilai rata-rata matematikanya 5 dan jangkauan 4. Bila seseorang siswa yang paling rendah nilainya dan seorang siswa yang paling tinggi nilainya tidak disertakan, maka nilai rata-ratanya berubah menjadi $4,9$. Nilai siswa yang paling rendah adalah ....
A). $ 5 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 3 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 1 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus rata-rata :
Rata-rata $ = \frac{\text{jumlah semua nilai}}{\text{banyak nilai}} $
*). Rumus jangkauan :
Jangkauan $ = $ Nilai terbesar $ - $ nilai terkecil

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan nilai terendah $ = y $ dan tertinggi $ = x $ :
Misalkan jumlah nilai 20 siswa selain terendah dan tertinggi $ = A $.
*). Rata-rata 22 siswa = 5 :
$\begin{align} \text{Rata-rata } & = 5 \\ \frac{y + A + x}{22} & = 5 \\ y + A + x & = 110 \, \, \, \, \, \, \, \text{.....(i)} \end{align} $
*). Jangkauan = 4
$ x - y = 4 \, $ ......(ii)
*). Nilai $ y $ dan $ x $ tidak ikut, rata-rata 20 siswa = 4,9
$\begin{align} \text{Rata-rata } & = 4,9 \\ \frac{A}{20} & = 4,9 \\ A & = 98 \end{align} $
Pers(i): $ y + A + x = 110 \rightarrow y + 98 + x = 110 \rightarrow x + y = 12 $
*). Eliminasi pers(i) dan (ii) :
$\begin{array}{cc} x + y = 12 & \\ x - y = 4 & - \\ \hline 2y = 8 & \\ y = 4 \end{array} $
Jadi, nilai terendah adalah $ 4 . \, \heartsuit $

Pembahasan Invers Matriks UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Hasil kali matriks $ A \left( \begin{matrix} 5 & -3 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} -10 & 30 \\ 35 & -27 \end{matrix} \right)$. Matriks $ A $ adalah ....
A). $ \left( \begin{matrix} -1 & -1 \\ 4 & 7 \end{matrix} \right) \, $ B). $ \left( \begin{matrix} -2 & 4 \\ 7 & -1 \end{matrix} \right) \, $ C). $ \left( \begin{matrix} 4 & -2 \\ 7 & -1 \end{matrix} \right) \, $
D). $ \left( \begin{matrix} 7 & 2 \\ -1 & 4 \end{matrix} \right) \, $ E). $ \left( \begin{matrix} 7 & 2 \\ 4 & -1 \end{matrix} \right) \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Invers Matriks $ B = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right) $
$ B^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \left( \begin{matrix} d & -b \\ -c & a \end{matrix} \right) $
*). Sifat invers matriks :
$ AB = C \rightarrow A C.B^{-1} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan matriks A :
$\begin{align} A \left( \begin{matrix} 5 & -3 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} -10 & 30 \\ 35 & -27 \end{matrix} \right) \\ A & = \left( \begin{matrix} -10 & 30 \\ 35 & -27 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 5 & -3 \\ 0 & 6 \end{matrix} \right)^{-1} \\ & = \left( \begin{matrix} -10 & 30 \\ 35 & -27 \end{matrix} \right). \frac{1}{5.6 - (-3).0} \left( \begin{matrix} 6 & 3 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -10 & 30 \\ 35 & -27 \end{matrix} \right). \frac{1}{30 - 0} \left( \begin{matrix} 6 & 3 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -10 & 30 \\ 35 & -27 \end{matrix} \right). \frac{1}{30} \left( \begin{matrix} 6 & 3 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{30} \left( \begin{matrix} -10 & 30 \\ 35 & -27 \end{matrix} \right). \left( \begin{matrix} 6 & 3 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) \\ & = \frac{1}{30} \left( \begin{matrix} -60 & 120 \\ 210 & -30 \end{matrix} \right) \\ & = \left( \begin{matrix} -2 & 4 \\ 7 & -1 \end{matrix} \right) \end{align} $
Jadi, matirks $ A = \left( \begin{matrix} -2 & 4 \\ 7 & -1 \end{matrix} \right) . \, \heartsuit $

Pembahasan Matriks UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ I $ matriks satuan dan matriks $ A = \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{matrix} \right) $ sehingga $ A^2=pA+qI $ , maka $ p + q $ sama dengan ....
A). $ 15 \, $ B). $ 10 \, $ C). $ 5 \, $ D). $ -5 \, $ E). $ -10 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Matriks satuan : $ I = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) $
*). Operasi pada matriks :
-). Perkalian = baris $ \times $ kolom,
-). Kali skalar = kalikan semua dengan konstantanya,
-). Penjumlahn = jumlahkan unsur-unsur yang seletak,
-). kesamaan dua matriks = unsur-unsur seletak nilainya sama.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyusun persamaan matriksnya :
$\begin{align} A^2 & =pA+qI \\ \left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{matrix} \right) & = p\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -4 & 3 \end{matrix} \right)+q\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 0 & 5 \\ -20 & 5 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2p & p \\ -4p & 3p \end{matrix} \right)+ \left( \begin{matrix} q & 0 \\ 0 & q \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} 0 & 5 \\ -20 & 5 \end{matrix} \right) & = \left( \begin{matrix} 2p + q & p \\ -4p & 3p + q \end{matrix} \right) \end{align} $
Dari kesamaan matriks ini kita peroleh : $ p = 5 $
$ 2p + q = 0 \rightarrow 2.5 + q = 0 \rightarrow q = -10 $
Sehingga nilai $ p + q 5 + (-10 ) = -5 $
Jadi, nilai $ p + q = -5 . \, \heartsuit $

Pembahasan Garis Singgung UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Persamaan garis singgung kurva $ y = x^2 $ di titik potong kurva tersebut dengan kurva $ y = \frac{1}{x} $ adalah ....
A). $ y + 2x + 1 = 0 \, $
B). $ y + 2x - 1 = 0 \, $
C). $ y - 2x + 1 = 0 \, $
D). $ y - 2x - 1 = 0 \, $
E). $ 2y - x + 1 = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1,y_1) $
$ \, \, \, \, y - y_1 = m(x- x_1) $
dengan $ m = f^\prime (x_1) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan titik potong kedua kurva :
$\begin{align} y_1 & = y^2 \\ x^2 & = \frac{1}{x} \\ x^3 & = 1 \\ x & = 1 \end{align} $
$ x = 1 \rightarrow y = x^2 = 1^2 = 1 $
Sehingga titik potongnya adalah $ (x_1,y_1) = (1 , 1 ) $
*). Menentukan turunan kurva $ y = x^2 $ dan gradien garis singgung :
$\begin{align} y & = x^2 \\ y^\prime & = 2x \\ m & = f^\prime (x_1) \\ & = f^\prime (1) \\ & = 2.1 = 2 \end{align} $
*). Menyusun persamaan garis singgung di titik $ (x_1,y_1) = (1 , 1 ) $ dan $ m = 2 $ :
$\begin{align} y - y_1 & = m(x- x_1) \\ y - 1 & = 2(x- 1) \\ y - 1 & = 2x- 2 \\ y - 2x & + 1 = 0 \end{align} $
Jadi, PGS nya adalah $ y - 2x + 1 = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan fungsi UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Fungsi $ f(x) = \left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)(1+\cos x) $ mempunyai turunan ....
A). $ \cos x \, $ B). $ \sin x \, $ C). $ -\cos x \, $
D). $ -\sin x \, $ E). $ \sin 2x $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). RUmus dasar trigonometri : $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 $
atau $ 1 - \cos ^2 x = \sin ^2 x $
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \sin x \rightarrow y^\prime = \cos x $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyederhanakan dan menurunkan fungsinya :
$\begin{align} f(x) & = \left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)(1+\cos x) \\ & = \left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\frac{\sin x}{\cos x}}\right)(1+\cos x) \\ & = \left(\frac{1}{\sin x}-\frac{\cos x}{\sin x}\right)(1+\cos x) \\ & = \left(\frac{1 - \cos x}{\sin x}\right)(1+\cos x) \\ & = \left(\frac{(1 - \cos x)(1+\cos x) }{\sin x}\right) \\ & = \left(\frac{1 - \cos ^2 x}{\sin x}\right) \\ & = \left(\frac{\sin ^2 x}{\sin x}\right) \\ f(x) & = \sin x \\ f^\prime (x) & = \cos x \end{align} $
Jadi, turunan fungsinya adalah $ \cos x. \, \heartsuit $

Pembahasan Ketaksamaan Eksponen UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ x $ yang memenuhi pertaksamaan $ 4^{x-2} > \sqrt{2^{3x+1}} $ adalah ....
A). $ x > 2 \, $
B). $ x > 4 \, $
C). $ 2 < x < 4 $
D). $ x > 9 $
E). $ 2 < x < 9 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat Eksponen :
1). $ (a^m)^n = a^{m.n} $
2). $ \sqrt{a^n} = a^\frac{n}{2} $
*). Pertidaksamaan Eksponen :
$ a^{f(x)} > a^{g(x)} \, $ mempunyai penyelesaian :
jika $ a > 1 $ , maka $ f(x) > g(x) $
jika $ 0 < a < 1 $ , maka $ f(x) < g(x) $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Soalnya :
$\begin{align} 4^{x-2} & > \sqrt{2^{3x+1}} \\ (2^2)^{x-2} & > 2^\frac{3x+1}{2} \\ 2^{2x-4} & > 2^\frac{3x+1}{2} \\ 2x-4 & > \frac{3x+1}{2} \, \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ 4x-8 & > 3x+1 \\ 4x-3x & > 1 + 8 \\ x & > 9 \end{align} $
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ x > 9. \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
$\frac{\log x \sqrt{x} - \log\sqrt{y}+\log \frac{x}{y^2}}{\log \frac{x}{y}} = .... $
A). $ \frac{1}{2} \, $ B). $ -\frac{1}{2} \, $ C). $ -\frac{5}{2} \, $ D). $ \frac{5}{2} \, $ E). $ \frac{3}{2} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat Logaritma :
1). $ {}^a \log b - {}^a \log c + {}^a \log d = {}^a \log \frac{b.d}{c} $
2). $ {}^a \log b^n = n . {}^a \log b $
*). SIfat Eksponen :
$ a^m.a^n = a^{m + n} $ dan $ \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Soalnya :
$\begin{align} & \frac{\log x \sqrt{x} - \log\sqrt{y}+\log \frac{x}{y^2}}{\log \frac{x}{y}} \\ & = \frac{\log \frac{ x \sqrt{x} . \frac{x}{y^2}}{\sqrt{y}} }{\log \frac{x}{y}} = \frac{\log \frac{ x \sqrt{x} .x}{\sqrt{y} . y^2} }{\log \frac{x}{y}} \\ & = \frac{\log \frac{ x^2 .x^\frac{1}{2} }{y^\frac{1}{2} . y^2} }{\log \frac{x}{y}} = \frac{\log \frac{x^\frac{5}{2} }{y^\frac{5}{2} } }{\log \frac{x}{y}} \\ & = \frac{\log \left( \frac{x}{y} \right)^\frac{5}{2} }{\log \frac{x}{y}} = \frac{ \frac{5}{2} \, \times \, \log \frac{x}{y} }{\log \frac{x}{y}} = \frac{5}{2} \end{align} $
Jadi, hasilnya adalah $ \frac{5}{2}. \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Sistem UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah $ x , y $ dan $ z $ yang memenuhi siste persamaan linear :
$ \begin{align} 2x + 3y + z & = 1 \\ x + 2y + 3z & = 5 \\ 3x + y + 2z & = 6 \end{align} $
adalah ....
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan soal sistem persamaan, kita bisa langsung mengoperasikan persamaan-persamaan yang diketahui sehingga kita peroleh sesuai dengan pertanyaannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Langsung kita jumlahkan ketiga persamaan :
$ \begin{array}{cc} 2x + 3y + z = 1 & \\ x + 2y + 3z = 5 & \\ 3x + y + 2z = 6 & + \\ \hline 6x + 6y + 6z = 12 & (: 2) \\ x + y + z = 2 & \end{array} $
Jadi, nilai $ x + y + z= 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jumlah $ x , y $ dan $ z $ yang memenuhi siste persamaan linear :
$ \begin{align} 2x + 3y + z & = 1 \\ x + 2y + 3z & = 5 \\ 3x + y + 2z & = 6 \end{align} $
adalah ....
A). $ -1 \, $ B). $ 0 \, $ C). $ 2 \, $ D). $ 4 \, $ E). $ 5 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan soal sistem persamaan, kita bisa menggunakan teknik eliminasi dan substitusi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). 3$\times$pers(i) - pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} 6x + 9y + 3z = 3 & \\ x + 2y + 3z = 5 & - \\ \hline 5x + 7y = -2 & ..(iv) \end{array} $
*). 2$\times$pers(i) - pers(iii) :
$ \begin{array}{cc} 4x + 6y + 2z = 2 & \\ 3x + y + 2z = 6 & - \\ \hline x + 5y = -4 & ..(v) \end{array} $
*). pers(iv) - 5$\times$pers(v) :
$ \begin{array}{cc} 5x + 7y = -2 & \\ 5x + 25y = -20 & - \\ \hline -18y = 18 & \\ y = -1 & \end{array} $
Pers(v): $ x + 5y = -4 \rightarrow x + 5(-1) = - 4 \rightarrow x = 1 $
Pers(i): $ 2x + 3y + z = 1 \rightarrow 2.1 + 3.(-1) + z = 1 \rightarrow z = 2 $
*). Menentukan jumlahnya :
$\begin{align} x + y + z & = 1 + (-1) + 2 = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ x + y + z= 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Kuadrat UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ x_1 $ dan $ x_2 $ adalah akar-akar persamaan $ 6x^2 - 3x - 3 = 0 $, maka persamaan dengan akar-akar $ \frac{1}{x_1}+1 $ dan $ \frac{1}{x_2} + 1 $ dapat difaktorkan menjadi ....
A). $ (y-2)(y-3) = 0 \, $
B). $ (y-2)(y-1) = 0 \, $
C). $ (y+2)(y-3) = 0 \, $
D). $ (y+2)(y-1) = 0 \, $
E). $ (y-2)(y+1) = 0 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $ y_1 $ dan $ y_2 $ adalah
$ (y-y_1)(y-y_2) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan akar-akar :
$\begin{align} 6x^2 - 3x - 3 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ 2x^2 - x - 1 & = 0 \\ (x -1)(2x + 1) & = 0 \\ x_1 = 1 \vee x_2 & = -\frac{1}{2} \end{align} $
*). Persamaan kuadrat baru (PKB) dengan akar-akar :
$ y_1 = \frac{1}{x_1} + 1 = \frac{1}{1} + 1 = 2 $

$ y_2 = \frac{1}{x_2} + 1 = \frac{1}{-\frac{1}{2}} + 1 = -2 + 1 = -1 $
*). Menyusun persamaan kuadrat barunya :
$\begin{align} (y-y_1)(y-y_2) & = 0 \\ (y-2)(y-(-1)) & = 0 \\ (y-2)(y+1) & = 0 \end{align} $
Jadi, PKB-nya adalah $ (y-2)(y+1) = 0 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Aljabar UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
Nilai $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x^2 - 4} \right) $ adalah .....
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{1}{4} \, $ C). $ \frac{1}{2} \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Untuk menyelesaikan limit bentuk tak tentu yaitu $ \infty - \infty $ atau $ \frac{0}{0} $ salah satunya bisa dengan pemfaktoran.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{4}{x^2 - 4} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x - 2} - \frac{4}{(x+2)(x-2)} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{x + 2}{(x+2)(x - 2)} - \frac{4}{x^2 - 4} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{x + 2 - 4 }{(x+2)(x - 2)} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{(x -2)}{(x+2)(x - 2)} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 2} \left( \frac{1}{x+2} \right) \\ & = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4} \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ \frac{1}{4} . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit Trigonometri UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{1}{a}\left( \frac{\sin ^3 2a}{\cos 2a} + \sin 2a \cos 2a \right) $ sama dengan .....
A). $ 0 \, $ B). $ \frac{1}{2} \, $ C). $ 1 \, $ 1 D). $ 2 \, $ E). $ \infty \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Limit fungsi trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{\sin ma}{na} = \frac{m}{n} $
*). Identitas trigonometri :
$ \sin ^2 f(x) + \cos ^2 f(x) = 1 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{1}{a}\left( \frac{\sin ^3 2a}{\cos 2a} + \sin 2a \cos 2a \right) \\ & = \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{1}{a}\left( \frac{\sin ^3 2a}{\cos 2a} + \frac{\sin 2a \cos ^2 2a }{\cos 2a} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{1}{a}\left( \frac{\sin ^3 2a + \sin 2a \cos ^2 2a }{\cos 2a} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{1}{a}\left( \frac{\sin 2a( \sin ^2 2a + \cos ^2 2a) }{\cos 2a} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{1}{a}\left( \frac{\sin 2a ( 1) }{\cos 2a} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{1}{a}\left( \frac{\sin 2a }{\cos 2a} \right) \\ & = \displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{1}{\cos 2a} \left( \frac{\sin 2a }{a} \right) \\ & = \frac{1}{\cos 0} . \frac{2}{1} = 2 \end{align} $
Jadi, hasil limitnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Fungsi Trigonometri UM UGM 2004 Matematika Dasar

Soal yang Akan Dibahas

Untuk $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} $ , grafik fungsi di atas memotong grafik $ y = \cos 2x $ pada titik yang memenuhi .....
A). $ \sin 2x = \frac{2}{3} \, $
B). $ \tan 2x = \frac{2}{3} \, $
C). $ \sin 2x = \frac{1}{3} \, $
D). $ \cos 2x = \frac{1}{3}\sqrt{5} \, $
E). $ \cos 2x = \frac{2}{\sqrt{5}} \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). FUngsi trigonometri $ y = a \sin kx $ memiliki amplitudo $ a $ dan periode $ P = \frac{2\pi}{k} $ dimana grafik fungsinya melalui titik $ (0,0) $.
*). RUmus dasar trigonometri :
$ \tan f(x) = \frac{\sin f(x)}{\cos f(x)} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Dari grafik diketahui $ a = 1,5 = \frac{3}{2} $ ,
Periode $ = \pi \rightarrow \frac{2\pi}{k} = \pi \rightarrow k = 2 $.
(satu periode = satu gelombang dan satu lembah).
*). Fungsi trigonometri grafik di atas :
$ y = a \sin kx \rightarrow y = \frac{3}{2} \sin 2x $.
*). Titik potong kedua fungsi
$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ \frac{3}{2} \sin 2x & = \cos 2x \\ \frac{ \sin 2x }{\cos 2x } & = \frac{1}{\frac{3}{2}} \\ \tan 2x & = \frac{2}{3} \end{align} $
Jadi, berpotongan pada $ \tan 2x = \frac{2}{3} . \, \heartsuit $