Pembahasan Sistem Persamaan Trigonometri Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Untuk suatu sudut $ x \, $ dan $ y \, $ berlaku
$ \sin ^2 x + \cos ^2 y = \frac{3}{2}a $
$ \cos ^2 x + \sin ^2 y = \frac{1}{2}a^2 $ .
Jumlah semua nilai $ a \, $ yang mungkin untuk sistem persamaan di atas adalah .....
A). $ -5 \, $ B). $ -4 \, $ C). $ -3 \, $ D). $ 3 \, $ E). $ 4 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trigonometri
*). Identitas trigonometri :
$ \cos ^2 A + \sin ^2 A = 1 $
*). Operasi penjumlahan pada persamaan kuadrat :
$ ax^2 + bx + c = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1 \, $ dan $ x_2 $
Penjumlahan akar-akar : $ x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui sistem persamaan trigonometri :
$ \sin ^2 x + \cos ^2 y = \frac{3}{2}a $
$ \cos ^2 x + \sin ^2 y = \frac{1}{2}a^2 $ .
*). Jumlahkan kedua persamaan :
$ \begin{align} (\sin ^2 x + \cos ^2 y ) + (\cos ^2 x + \sin ^2 y) & = (\frac{3}{2}a) + (\frac{1}{2}a^2 ) \\ (\sin ^2 x + \cos ^2 x ) + (\cos ^2 y + \sin ^2 y) & = \frac{3}{2}a + \frac{1}{2}a^2 \\ (1 ) + (1) & = \frac{3}{2}a + \frac{1}{2}a^2 \\ 2 & = \frac{3}{2}a + \frac{1}{2}a^2 \\ \frac{1}{2}a^2 + \frac{3}{2}a - 2 & = 0 \, \, \, \, \, \, \text{(kali 2)} \\ a^2 + 3a - 4 & = 0 \\ (a -1)(a+4) & = 0 \\ a_1 = 1 \vee a_2 & = -4 \end{align} $
Perhatikan bentuk sistem persamaan trigonometrinya di atas terutama ruas kirinya. Ruas kiri kedua persamaan berbentuk kuadrat sehingga hasilnya ruas kanan juga positif, yang artinya nilai $ a \, $ haruslah positif juga. Sehingga yang memenuhi hanyalah $ a = 1 \, $ dan $ a = -4 \, $ tidak memenuhi.

Karena nilai $ a \, $ yang memenuhi hanya $ a = 1 \, $ saja, maka jumlahnya adalah 1.

Jadi, tidak ada jawaban pada pilihannya. $ \, \heartsuit $



Diposting oleh 6 komentar:
Label:

Pembahasan Peluang Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Empat siswa laki-laki dan tiga siswa perempuan berdiri di dalam suatu barisan. Banyaknya cara agar ketiga siswa perempuan berdampingan di barisan tersebut adalah ....
A). $ 720 \, $ B). $ 360 \, $ C). $ 144 \, $ D). $ 72 \, $ E). $ 48 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Peluang
*). Ada $ n \, $ orang duduk pada 1 baris, maka ada $ \, n! \, $ cara duduk.
dengan $ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times 3 \times 2 \times 1 $.
Contoh : $ 3! = 3 \times 2 \times 1 $ dan $ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 $.

Untuk contoh lainnya, teman-teman bisa lihat pada artikel "Permutasi pada Peluang dan Contohnya".

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ada 4L (4 laki-laki) dan 3P (3 perempuan), agar ketiga perempuan selalu berdampingan, maka kita blok 3 perempuan tersebut menjadi satu (anggap menjadi satu orang atau satu kesatuan). Sehingga sekarang ada 5 orang ( 4L dan 1 blok perempuan) dengan kemungkinan cara duduk ada sebanyak $ 5! \, $ cara duduk.

*). 3P yang kita blok juga bisa diacak lagi posisi duduknya (diantara ketiga perempuan posisi duduknya bisa ditukar-tukar), dengan kemungkinan cara duduk sebanyak $ 3! \, $ cara duduk.

Total cara duduk $ = 3! \times 5! = 720 $

Jadi, total kemungkinan ada 720 cara duduk$. \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Integral Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = 2 \cos x , \, y = 1, \, $ sumbu X dan sumbu Y adalah ....
A). $ \frac{\pi}{6} + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} \, 2 \cos x \, dx $
B). $ \frac{\pi}{3} + \int \limits_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{2} \, 2 \cos x \, dx $
C). $ \frac{\pi}{3} + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} \, 2 \cos x \, dx $
D). $ \frac{\pi}{2} + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} \, 2 \cos x \, dx $
E). $ \frac{\pi}{2} + \int \limits_\frac{\pi}{6}^\frac{\pi}{2} \, 2 \cos x \, dx $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Integral Luasan
*). Materi yang harus teman-teman kuasai untuk bisa mengerjakan soal Integral Luasan ini yaitu "Grafik Fungsi Trigonometri" dan "Menghitung Luas Daerah Menggunakan Integral". Silahkan teman-teman ikuti linknya untuk mempelajarinya terlebih dulu.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar
 
Daerah yang dibatasi oleh kurva $ y = 2 \cos x , \, y = 1, \, $ sumbu X dan sumbu Y ditunjukkan oleh daerah yang diarsir. Untuk memudahkan dalam menghitung luasnya, kita bagi menjadi dua yaitu daerah A yang membentuk persegi panjang dan daerah B.
*). Titik potong kurva $ y = 2 \cos x \, $ dan $ y = 1 $ :
$ \begin{align} y_1 & = y_2 \\ 2 \cos x & = 1 \\ \cos x & = \frac{1}{2} \\ x & = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \end{align} $
*). Menentukan luas daerah arsiran
$ \begin{align} \text{Luas } & = L_A + L_B \\ & = p \times l + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} 2 \cos x \, dx \\ & = \frac{\pi}{3} \times 1 + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} 2 \cos x \, dx \\ & = \frac{\pi}{3} + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} 2 \cos x \, dx \end{align} $
Jadi, luas daerahnya adalah $ \frac{\pi}{3} + \int \limits_\frac{\pi}{3}^\frac{\pi}{2} 2 \cos x \, dx . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Turunan Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
Jika fungsi $ g(x) = p\sqrt{x^2 - 4} \, $ naik pada $ \{ x \in R | x \leq -2 \} \, $ dan turun pada $ \{ x \in R | x \geq 2 \}$ , maka himpunan semua nilai $ p \, $ yang memenuhi adalah ....
A). $ \emptyset \, $
B). $ \{ p \in R | p \geq 2 \} \, $
C). $ \{ p \in R | p > 0 \} \, $
D). $ \{ p \in R | p < 0 \} \, $
E). $ \{ p \in R | p \leq -2 \} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Trurunan
*). Syarat fungsi naik dan fungsi turun:
Fungsi $ f(x) \, $ akan naik pada saat $ f^\prime (x) > 0 \, $ dan turun pada saat $ f^\prime (x) < 0 $.
*). Turunan fungsi bentuk akar :
$ y = \sqrt{f(x)} \rightarrow y^\prime = \frac{f^\prime (x)}{2\sqrt{f(x)}} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menentukan turunan fungsinya :
$ \begin{align} g(x) = p\sqrt{x^2 - 4} \rightarrow g^\prime (x) & = p . \frac{2x}{2\sqrt{x^2-4}} \\ & = \frac{px}{\sqrt{x^2 - 4}} \end{align} $

*). Fungsi $ g(x) = p\sqrt{x^2 - 4} \, $ naik pada $ \{ x \leq -2 \} $ , artinya
$ \begin{align} g^\prime (x) > 0 \rightarrow \frac{px}{\sqrt{x^2 - 4}} > 0 \end{align} $
Agar $ \frac{px}{\sqrt{x^2 - 4}} > 0 \, $ dengan $ x \leq -2 \, $ , maka haruslah nilai $ p \, $ negatif. Sehingga pada kasus fungsi $ g(x) \, $ naik kita peroleh nilai $ p < 0 $ .

*). Fungsi $ g(x) = p\sqrt{x^2 - 4} \, $ turun pada $ \{ x \geq 2 \} $ , artinya
$ \begin{align} g^\prime (x) < 0 \rightarrow \frac{px}{\sqrt{x^2 - 4}} < 0 \end{align} $
Agar $ \frac{px}{\sqrt{x^2 - 4}} < 0 \, $ dengan $ x \geq 2 \, $ , maka haruslah nilai $ p \, $ negatif. Sehingga pada kasus fungsi $ g(x) \, $ turun kita peroleh nilai $ p < 0 $ .

Kesimpulannya, nilai $ p \, $ yang memenuhi kedua kasus di atas adalah $ p < 0 $.
Jadi, nilai $ p $ negatif atau $ \, \{ p \in R | p < 0 \} . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:

Pembahasan Limit Soal UM UGM Matematika IPA tahun 2016 Kode 581

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x+6) \tan (2x -6)}{x^2 - x - 6} = ..... $
A). $ -\frac{18}{5} \, $ B). $ -\frac{9}{5} \, $ C). $ \frac{9}{5} \, $ D). $ \frac{18}{5} \, $ E). $ \frac{27}{5} $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Limit
*). Konsep Limit Trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{\tan af(x)}{bf(x)} = \frac{a}{b} \, $ dengan $ \, f(k) = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan limitnya :
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x+6) \tan (2x -6)}{x^2 - x - 6} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x+6) \tan 2(x -3)}{(x+2)(x-3)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{(x+6) }{(x+2)} \times \displaystyle \lim_{x \to 3 } \frac{ \tan 2(x -3)}{(x-3)} \\ & = \frac{(3+6) }{(3+2)} \times \frac{ 2 }{1} \\ & = \frac{9}{5} \times 2 \\ & = \frac{18}{5} \end{align} $
Jadi, nilai limitnya adalah $ \, \frac{18}{5} . \, \heartsuit $



Diposting oleh Tidak ada komentar:
Label:
Langganan: Postingan (Atom)