Pembahasan Sistem Persamaan UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ m $ adalah bilangan real sedemikian sehingga sistem persamaan $ \left\{ \begin{array}{c} 5x - 7y = mx \\ 2x - 3y = my \end{array} \right. $ mempunyai solusi $ (x,y) $ yang tidak keduanya nol, maka $ m^2 - 2m = ... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 1 \, $ E). $ 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sistem persamaan
$ \left\{ \begin{array}{c} ax + by = 0 \\ px + qy = 0 \end{array} \right. $
mempunyai penyelesaian tidak hanya $ (0,0) $ jika $ \frac{a}{p} = \frac{b}{q} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ \left\{ \begin{array}{c} 5x - 7y = mx \\ 2x - 3y = my \end{array} \right. $
*). Mengubah sistem persamaannya :
$\begin{align} 5x - 7y & = mx \rightarrow 5x - mx - 7y = 0 \rightarrow (5-m)x - 7y = 0 \\ 2x - 3y & = my \rightarrow 2x - 3y - my = 0 \rightarrow 2x - (3+m)y = 0 \end{align} $
Sehingga sistem persamaannya menjadi :
$ \left\{ \begin{array}{c} (5-m)x - 7y = 0 \\ 2x - (3+m)y = 0 \end{array} \right. $
*). Menentukan nilai $ m $ dengan syarat solusinya tidak hanya $ (0,0) $ :
$\begin{align} \frac{5-m}{2} & = \frac{-7}{-(3+m)} \\ \frac{5-m}{2} & = \frac{7}{3+m} \\ (5-m)(3+m) & = 2.7 \\ 15 + 5m - 3m - m^2 & = 14 \\ 1 + 2m - m^2 & = 0 \\ m^2 - 2m & = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ m^2 - 2m = 1 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $|x-5|^2-3|x-5| + 2 < 0 $ adalah ...
A). $ (3,4) \cup [6,7) \, $ B). $ (3,4) \cup (6,7) \, $
C). $ (1,2) \cup (3,4] \, $ D). $ (-\infty , 1) \cup [6, \infty ) \, $
E). $ (-\infty , 2) \cup ( 3, 7) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan yang ada opsinya (pilihan gandanya), kita bisa langsung substitusi angka-angka dari opsionnya yang kita sebut metode SUKA.
*). Penulisan interval :
$ (a,b) \, $ artinya $ a < x < b $
$ (a,b] \, $ artinya $ a < x \leq b $
$ [a,b) \, $ artinya $ a \leq x < b $
$ [a,b] \, $ artinya $ a \leq x \leq b $
*). Nilai bentuk mutlak selalu positif.

$\clubsuit \, $ Cara II : Metode Suka (substitusi angka)
Metode Suka maksudnya kita memilih angka atau nilai $x$ dari pilihan, lalu disubstitusikan ke pertidaksamaannya. Metode ini hanya membutuhkan ketelitian berhitung.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=0 \Rightarrow |x-5|^2-3|x-5| + 2 & < 0 \\ |0-5|^2-3|0-5| + 2 & < 0 \\ 25 - 15 + 2 & < 0 \\ 12 & < 0 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=0$ SALAH, opsi yang benar A, B, dan C.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=6 \Rightarrow |x-5|^2-3|x-5| + 2 & < 0 \\ |6-5|^2-3|6-5| + 2 & < 0 \\ 1 - 3 + 2 & < 0 \\ 0 & < 0 \, \, \text{(SALAH)} \end{align}$
yang ada $x=6$ SALAH, opsi yang benar B dan C.
$\begin{align} \text{Pilih} \, x=6,5 \Rightarrow |x-5|^2-3|x-5| + 2 & < 0 \\ |6,5-5|^2-3|6,5-5| + 2 & < 0 \\ 2,25 - 4,5 + 2 & < 0 \\ -0,25 & < 0 \, \, \text{(BENAR)} \end{align}$
yang ada $x=6,5 $ BENAR, opsi yang benar B.
Sehingga opsi yang benar adalah opsi B (yang tersisia).
Jadi, solusinya adalah $ (3,4) \cup (6,7) . \, \heartsuit $

Pembahasan Pertidaksamaan UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $|x-5|^2-3|x-5| + 2 < 0 $ adalah ...
A). $ (3,4) \cup [6,7) \, $ B). $ (3,4) \cup (6,7) \, $
C). $ (1,2) \cup (3,4] \, $ D). $ (-\infty , 1) \cup [6, \infty ) \, $
E). $ (-\infty , 2) \cup ( 3, 7) $

$\spadesuit $ Konsep Dasar :
*). Langkah-langkah menyelesaikan pertidaksamaan
1). Nolkan salah satu ruas (biasanya ruas kanan),
2). tentukan akar-akar (pembuat nolnya),
3). Buat garis bilangan dan tentukan tandanya serta arsir daerahnya,
Jika tanda $ > 0 $ , maka arsir daerah positif,
Jika tanda $ < 0 $ , maka arsir daerah negatif,
4). Buat himpunan penyelesaiannya.
*). Bentuk mutlak :
$ |A| = B \rightarrow A = B \, \text{ dan } \, A = -B $
*). Penulisan interval :
$ (a,b) \, $ artinya $ a < x < b $
$ (a,b] \, $ artinya $ a < x \leq b $
$ [a,b) \, $ artinya $ a \leq x < b $
$ [a,b] \, $ artinya $ a \leq x \leq b $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan Pertidaksamaan dengan memisalkan $ | x - 5 | = p $ :
$\begin{align} |x-5|^2-3|x-5| + 2 & < 0 \\ p^2-3p + 2 & < 0 \\ (p-1)(p-2) & < 0 \\ p = 1 \vee p & = 2 \end{align} $
$ p = 1 \rightarrow |x-5| = 1 \rightarrow x = 6 \vee x = 4 $
$ p = 2 \rightarrow |x-5| = 2 \rightarrow x = 7 \vee x = 3 $
Garis bilangannya :
 

Sehingga solusinya :
$ HP = \{ 3 < x < 4 \} \text{ atau } \{ 4 < x < 7 \} $
atau bisa kita tulis :
$ HP = (3,4) \cup (6,7) $
Jadi, solusinya adalah $ (3,4) \cup (6,7) . \, \heartsuit $

Pembahasan Akar-akar Persamaan UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas
Salah satu akar dari persamaan $ x^3 + ax^2 + bx + c = 0 $ adalah $ 0 $ sedangkan dua akar lainnya saling berlawanan tanda. Jika $ a + b + c = - 4 $, maka akar terbesar yang mungkin adalah ...
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 8 $ D). $ 16 \, $ E). $ 32 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Suku banyak $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1, x_2, x_ 3 $
Operasi penjumlahan akar-akarnya :
$ x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-b}{a} $
*). Pemfaktoran : $ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $
*). Untuk menentukan akar-akar persamaan bisa dengan pemfaktoran.
*). Akar-akar persamaan boleh kita substitusikan ke persamaannya.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui $ x^3 + ax^2 + bx + c = 0 $, misalkan akar-akarnya $ x_1, x_2, $ dan $ x_3 $. Salah satu akarnya 0 dan dua akar yang lainnya berlawanan, kita misalkan : $ x_1 = 0 $, $ x_2 = k $ , dan $ x_3 = -k $. ($x_2 $ dan $ x_3$ saling berlawanan).
*). Substitusi $ x_1 = 0 $ ke persamaan $ x^3 + ax^2 + bx + c = 0 $ :
$\begin{align} x = 0 \rightarrow x^3 + ax^2 + bx + c & = 0 \\ 0^3 + a.0^2 + b.0 + c & = 0 \\ c & = 0 \end{align} $
*). Operasi penjumlahan akar persamaan $ x^3 + ax^2 + bx + c = 0 $ :
$\begin{align} x_1 + x_2 + x_3 & = \frac{-b}{a} \\ 0 + k + (-k) & = \frac{-a}{1} \\ 0 & = -a \\ a & = 0 \end{align} $
Kita peroleh : $ a = 0 $ dan $ c = 0 $
*). Menentukan nilai $ b $ dari $ a + b + c = - 4 $ :
$\begin{align} a + b + c & = - 4 \\ 0 + b + 0 & = - 4 \\ b & = -4 \end{align} $
*). Substitusi nilai $ a = 0, b = -4 , c = 0 $ ke persamaan dan faktorkan :
$\begin{align} x^3 + ax^2 + bx + c & = 0 \\ x^3 + 0.x^2 + (-4).x + 0 & = 0 \\ x^3 -4x & = 0 \\ x(x^2 -4) & = 0 \\ x(x+2)(x-2) & = 0 \\ x = 0 \vee (x+2)= 0 \vee (x-2) & = 0 \\ x = 0 \vee x = -2 \vee x & = 2 \end{align} $
Sehingga akar-akar persamaannya adalah $ 0, -2 $ , dan $ 2 $. Artinya nilai terbesarnya adalah $ 2 $
Jadi, akar terbesarnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Limit UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas
$ \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\pi - 2x) \tan x = ... $
A). $ 1 \, $ B). $ 2 \, $ C). $ -1 \, $ D). $ -2 \, $ E). $ 0 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat Limit fungsi trigonometri :
$ \displaystyle \lim_{x \to k } \frac{af(x)}{\tan bf(x)} = \frac{a}{b} \, $
dengan syarat $ f(k) = 0 $
*). Hubungan kuadran :
$ \tan x = \cot ( \frac{\pi}{2} - x) $
*). Rumus dasar : $ \cot A = \frac{1}{\tan A} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Menyelesaikan soal :
$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\pi - 2x) \tan x \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\pi - 2x) . \cot (\frac{\pi}{2} - x) \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\pi - 2x) . \frac{1}{\tan (\frac{\pi}{2} - x) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} 2(\frac{\pi}{2} - x) . \frac{1}{\tan (\frac{\pi}{2} - x) } \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2(\frac{\pi}{2} - x)}{\tan (\frac{\pi}{2} - x) } \\ & = \frac{2}{1} = 2 \end{align} $
Jadi, nilai limitnya adalah $ 2 . \, \heartsuit $

Cara 2 Pembahasan Turunan UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan segitiga sama kaki dengan panjang alasnya 10 cm dan tingginya 6 cm. Di dalam segitiga ini dibuat persegi panjang dengan salah satu sisinya terletak pada alas segitiga tersebut. Luas maksimum persegi panjang tersebut adalah ... cm$^2$
A). $ 10 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 15 \, $ D). $ 18 \, $ E). $ 20 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Rumus luas maksimum persegi panjang yang bisa dibuat di dalam segitiga dengan salah satu sisinya terletak pada alas segitiga tersebut yaitu :
Luas maksimum $ = \frac{1}{2} \times $ luas segitiga.
*). Luas segitiga $ = \frac{1}{2} \times $ alas $ \times $ tinggi.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Pada segitiga diketaui panjang alas $ = 10 $ dan tinggi $ = 6 $.
*). Menentukan luas maksimum persegi panjang :
$\begin{align} \text{Luas maksimum } & = \frac{1}{2} \times \text{ Luas segitiga} \\ & = \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{2} . a . t \right) \\ & = \frac{1}{4} \times 10 \times 6 \\ & = \frac{60}{4} = 15 \end{align} $
Jadi, luas maksimumnya adalah $ 15 . \, \heartsuit $

Pembahasan Turunan UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas
Diberikan segitiga sama kaki dengan panjang alasnya 10 cm dan tingginya 6 cm. Di dalam segitiga ini dibuat persegi panjang dengan salah satu sisinya terletak pada alas segitiga tersebut. Luas maksimum persegi panjang tersebut adalah ... cm$^2$
A). $ 10 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 15 \, $ D). $ 18 \, $ E). $ 20 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Fungsi $ y = f(x) $ mencapai maksimum/minimum saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $ (turunan pertama = 0).
*). Rumus turunan fungsi :
$ y = ax \rightarrow y^\prime = a $
$ y = ax^n \rightarrow y^\prime = nax^{n-1} $
*). Luas persegi panjang :
Luas = panjang $ \times $ lebar.
*). Konsep kesebangunan :
Dua bangun datar sebangun memiliki perbandingan sisi yang sama untuk sisi-sisi yang bersesuaian.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Ilustrasi gambar :
 

*). Perhatikan gambar di atas :
-). Misalkan ukuran persegi panjangnya :
panjang $ = 2x $ dan lebar $ = y $
alas segitiga $ = 10 $ , $ BC = 5 $, $ AB = 6 $
$ IF = 2x \rightarrow FB = DE = x $
$ AD = AB - BD = 6 - y $
*). Menentukan hubungan $ x $ dan $ y $ dimana $\Delta ADE $ sebangun dengan $ \Delta ABC $ :
$\begin{align} \frac{AD}{AB} & = \frac{DE}{BC} \\ \frac{6-y}{6} & = \frac{x}{5} \\ 30 - 5y & = 6x \\ 5y & = 30 - 6x \\ y & = \frac{1}{5}(30 - 6x) \end{align} $
*). Menyusun fungsi luas persegi panjangnya :
$\begin{align} L & = p \times l \\ & = 2x.y \\ & = 2x.\frac{1}{5}(30 - 6x) \\ L & = \frac{2}{5}(30x - 6x^2) \\ L^\prime & = \frac{2}{5}(30 - 12x) \\ \text{syarat : } L^\prime & = 0 \\ \frac{2}{5}(30 - 12x) & = 0 \\ x & = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} \end{align} $
Artinya luas maksimum pada saat $ x = \frac{5}{2} $
*). Menentukan Luas persegi panjang maksimum dengan $ x = \frac{5}{2} $ :
$\begin{align} L & = 2x.\frac{1}{5}(30 - 6x) \\ & = 2. \frac{5}{2}.\frac{1}{5}(30 - 6.\frac{5}{2}) \\ & = 1.(30 - 15) = 15 \end{align} $
Jadi, luas maksimumnya adalah $ 15 . \, \heartsuit $

Pembahasan Persamaan Logaritma UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ \alpha $ dan $ \beta $ adalah akar-akar persamaan $ {}^x \log 3 - {}^x \log \left( 2x - 4 + \frac{4}{x} \right) = 1 $ , maka $ \alpha + \beta = ... $
A). $ -2 \, $ B). $ -1 \, $ C). $ 0 \, $ D). $ 2 \, $ E). $ 4 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat logaritma :
$ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $
*). Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Mengubah bilangan menjadi bentuk logaritma :
$ n = {}^a \log a^n $
*). Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ \alpha $ dan $ \beta $
Operasi akar-akar : $ \alpha + \beta = \frac{-b}{a} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Mengubah persamaannya :
$\begin{align} {}^x \log 3 - {}^x \log \left( 2x - 4 + \frac{4}{x} \right) & = 1 \\ {}^x \log \frac{ 3 }{ 2x - 4 + \frac{4}{x} } & = {}^x \log x \\ \frac{ 3 }{ 2x - 4 + \frac{4}{x} } & = x \\ \frac{ 3 }{ 2x - 4 + \frac{4}{x} } & = \frac{x}{1} \\ \left( 2x - 4 + \frac{4}{x} \right) . x & = 3 \\ 2x^2 - 4x + 4 & = 3 \\ 2x^2 - 4x + 1 & = 0 \\ a = 2 , b = -4 , c & = 1 \\ \alpha + \beta = \frac{-b}{a} = \frac{-(-4)}{2} & = 2 \end{align} $
Jadi, nilai $ \alpha + \beta = 2 . \, \heartsuit $

Pembahasan Logaritma UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas
Jika $ 2 \, {}^4 \log x - {}^4 \log (4x+3) = -1 $ , maka $ {}^2 \log x = ... $
A). $ {}^2 \log 3 - 1 \, $ B). $ {}^2 \log + 3 \, $
C). $ 1 - {}^2 \log 3 \, $ D). $ -1 - {}^2 \log 3 \, $
E). $ {}^2 \log 3 + {}^3 \log 2 \, $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Sifat-sifat logaritma :
$ n. {}^a \log b = {}^a \log b^n $
$ {}^a \log b - {}^a \log c = {}^a \log \frac{b}{c} $
*). Persamaan logaritma :
$ {}^a \log f(x) = {}^a \log g(x) \rightarrow f(x) = g(x) $
*). Mengubah bilangan menjadi bentuk logaritma :
$ n = {}^a \log a^n $
*). Bentuk $ {}^a \log b $ memiliki syarat :
$ a > 0, a \neq 1, $ dan $ b > 0 $
*). Pangkat negatif : $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Diketahui : $ 2 \, {}^4 \log x - {}^4 \log (4x+3) = -1 $
Syaratnya adalah $ x > 0 $ .
*). Menentukan nilai $ x $ :
$\begin{align} 2 \, {}^4 \log x - {}^4 \log (4x+3) & = -1 \\ {}^4 \log x^2 - {}^4 \log (4x+3) & = {}^4 \log 4^{-1} \\ {}^4 \log \frac{x^2 }{4x+3} & = {}^4 \log \frac{1}{4} \\ \frac{x^2 }{4x+3} & = \frac{1}{4} \\ 4x^2 & = 4x + 3 \\ 4x^2 - 4x - 3 & = 0 \\ (2x+1)(2x-3) & = 0 \\ (2x+1) = 0 \vee (2x-3) & = 0 \\ x = -\frac{1}{2} \vee x & = \frac{3}{2} \end{align} $
Karena $ x > 0 $ , maka $ x = \frac{3}{2} $ yang memenuhi.
*). Menentukan nilai $ {}^2 \log x $ :
$\begin{align} {}^2 \log x & = {}^2 \log \frac{3}{2} \\ & = {}^2 \log 3 - {}^2 \log 2 \\ & = {}^2 \log 3 - 1 \end{align} $
Jadi, bentuk $ {}^2 \log x = {}^2 \log 3 - 1 . \, \heartsuit $

Pembahasan Suku Banyak UM UGM 2018 Matematika Ipa Kode 275

Soal yang Akan Dibahas
Akar-akar persamaan $ x^3 - 7x^2 + px + q = 0 $ membentuk deret geometri dengan rasio 2. Nilai $ p + q $ adalah ...
A). $ 2 \, $ B). $ 4 \, $ C). $ 6 \, $ D). $ 12 \, $ E). $ 14 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar
*). Suku banyak $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1, x_2, x_3 $.
Operasi penjumlahan : $ x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-b}{a} $
*). Akar-akar persamaan bisa kita substitusikan ke persamaannya.
*). Barisan geometri memiliki perbandingan sama.
Rumus suku ke-$n$ : $ u_n = ar^{n-1} $
Contoh barisan geometrinya :
$ a, ar, ar^2, ..... $
dengan $ a = \, $ suku pertama dan $ r = \, $ rasio.

$\clubsuit $ Pembahasan
*). Misalkan $ x^3 - 7x^2 + px + q = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1, x_2 , x_3 $. Karena membentuk barisan geometri dengan rasio $ 2 $, maka bisa kita misalkan : $ x_1 = k , x_2= 2k , x_3 = 4k $ .
atau dengan rumus barisan geometri dengan $ a = k $ dan $ r = 2 $.
$ x_1 = a = k $
$ x_2 = ar = k.2 = 2k $
$ x_3 = ar^2 = k.2^2 = 4k $
*). Menentukan nilai $ k $ dengan operasi akar-akar :
Suku banyaknya : $ x^3 - 7x^2 + px + q = 0 $
Nilai $ \rightarrow a = 1 , b = -7, c = p , d = q $
-). Operasi suku banyaknya :
$\begin{align} x_1 + x_2 + x_3 & = \frac{-b}{a} \\ k + 2k + 4k & = \frac{-(-7)}{1} \\ 7k & = 7 \\ k & = 1 \end{align} $
artinya kita peroleh $ x_1 = k = 1 $ (salah satu akarnya)
*). Substitusi $ x_1 = 1 $ ke suku banyaknya :
$\begin{align} x = 1 \rightarrow x^3 - 7x^2 + px + q & = 0 \\ 1^3 - 7.1^2 + p.1 + q & = 0 \\ 1 - 7 + p + q & = 0 \\ -6 + p + q & = 0 \\ p + q & = 6 \end{align} $
Jadi, nilai $ p + q = 6 . \, \heartsuit $