Kode 247 Pembahasan Persamaan Kuadrat dan Turunan SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui $ x_1, x_2 $ adalah akar-akar dari persamaan $ x^2 + 5ax + a^3 - 4a + 1 = 0 $. Nilai $ a $ sehingga $ x_1 + x_1x_2 +x_2 $ maksimum pada interval $[-3,3]$ adalah ...
A). $ -3 \, $ B). $ -\sqrt{3} \, $ C). $ 0 \, $ D). $ \sqrt{3} \, $ E). $ 3 $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Persamaan Kuadrat dan Turunan
*). Operasi akar-akar persamaan kuadrat :
Persamaan kuadrat $ ax^2 + bx + c = 0 $ memiliki akar-akar $ x_1 $ dan $ x_2 $,
berlaku : $ x_1 + x_ 2 = \frac{-b}{a} $ dan $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $
*. Fungsi $ f(x) $ maksimum untuk $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $ dan nilai $ x $ yang ada pada batas intervalnya.

$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Persamaan kuadrat $ x^2 + 5ax + a^3 - 4a + 1 = 0 $
artinya $ a = 1, b = 5a, $ dan $ c = a^3 - 4a + 1 $
Sehingga bentuk $ x_1 + x_1.x_2 + x_ 2 $ menjadi :
$\begin{align} x_1 + x_1.x_2 + x_ 2 & = (x_1 + x_2 ) + x_1.x_2 \\ & = \frac{-b}{a} + \frac{c}{a} \\ & = \frac{-5a}{1} + \frac{a^3 - 4a + 1 }{1} \\ & = a^3 - 9a + 1 \end{align} $
Kita misalkan bentuk $ x_1 + x_1.x_2 + x_ 2 = f(a) $ ,
artinya kita peroleh $ f(a) = a^3 - 9a + 1 $ .
Turunannya : $ f^\prime (a) = 3a^2 - 9 $.
*). Menentukan nilai $ a $ dari $ f^\prime (a) = 0 $
$\begin{align} f^\prime (a) & = 0 \\ 3a^2 - 9 & = 0 \\ 3a^2 & = 9 \\ a^2 & = 3 \\ a & = \pm \sqrt{3} \end{align} $
*). Artinya kita memperoleh nilai $ a = \sqrt{3} $ atau $ a = -\sqrt{3} $ yang menyebabkan nilai $ f(a) $ maksimum/minimum. Selain itu juga nilai $ a $ ada pada interval $[-3,3]$, sehingga batas-batas interval ini juga bisa menyebabkan nilai $ f(a) $ maksimum/minimum yaitu $ a = -3 $ atau $ a = 3 $.
*). Kita substitusi semua nilai $ a $ ke fungsi $ f(a) = a^3 - 9a + 1 $ :
$\begin{align} \, \, \, \, a & = \sqrt{3} \rightarrow f(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^3 - 9(\sqrt{3}) + 1 = -3\sqrt{3} + 1 \\ a & = -\sqrt{3} \rightarrow f(-\sqrt{3}) = (-\sqrt{3})^3 - 9(-\sqrt{3}) + 1 = 6\sqrt{3} + 1 \\ a & = -3 \rightarrow f(-3) = (-3)^3 - 9(-3) + 1 = 1 \\ a & = 3 \rightarrow f(3) = (3)^3 - 9(3) + 1 = 1 \end{align} $
Artinya nilai maksimum dari $ f(a) $ adalah $ 6\sqrt{3} + 1 $ yang dicapai pada saat $ a = -\sqrt{3} $.
Jadi, nilai $ a = -\sqrt{3} \, $ yang menyebabkan nilainya maksimu . $ \, \heartsuit $



Kode 247 Pembahasan Integral SBMPTN Matematika IPA tahun 2016

Soal yang Akan Dibahas
Diketahui fungsi $ f $ dan $ g $ dengan $ f(x) = f(x+a) $ , $ f(x) = x^5 + 2016x^3 \, $ untuk $ 0 < x < a $ , dan $ g(x) = g(x+2a) $ , $ g(x) = x^5 + 2016x^3 \, $ untuk $ -a < x \leq a $ , dan $ \int \limits_0^a f(x) dx = b $. Nilai dari $ \int \limits_0^{3a} (f(x) + g(x)) dx $ adalah ....
A). $ 2a \, $ B). $ 3a \, $ C). $ 4b \, $ D). $ 5b \, $ E). $ 6b $

$\spadesuit $ Konsep Dasar Integral
*). Sifat-sifat Integral tertentu :
i). $ \int \limits_a^c f(x) dx = \int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_b^c f(x) dx $
ii). $ \int \limits_a^b f(x) dx = \int \limits_{a-k}^{b-k} f(x+k) dx $
iii). $ \int \limits_a^b [f(x) + g(x)] dx = \int \limits_a^b f(x) dx + \int \limits_a^b g(x) dx $
iv). Jika $ g(x) $ adalah fungsi ganjil, maka $ \int \limits_{-a}^a g(x) dx = 0 $
*). Suatu fungsi $ g(x) $ disebut fungsi ganjil jika $ g(-x) = - g(x) $.
Pada soal ini diketahui $ g(x) = x^5 + 2016x^3 $ , sehingga
$ \begin{align} g(-x) & = (-x)^5 + 2016(-x)^3 \\ & = -(x)^5 -2016(x)^3 \\ & = -[x^5 +2016x^3 ] \\ & = -g(x) \end{align} $
Artinya fungsi $ g(x) = x^5 + 2016x^3 $ adalah fungsi ganjil sehingga $ \int \limits_{-a}^a g(x) dx = 0 $

$\clubsuit $ Pembahasan :
*). Menentukan nilai $ \int \limits_a^{3a} f(x) dx $
dengan $ f(x+a) = f(x) $ dan $ \int \limits_0^a f(x) dx = b $
$\begin{align} \int \limits_a^{3a} f(x) dx & = \int \limits_{a - a}^{3a-a} f(x+a) dx \, \, \, \, \, \text{(sifat (ii))} \\ & = \int \limits_{0}^{2a} f(x+a) dx \, \, \, \, \, \text{[ganti } f(x+a) = f(x) \, ] \\ & = \int \limits_{0}^{2a} f(x) dx \, \, \, \, \, \text{[sifat (i)]} \\ & = \int \limits_0^a f(x) dx + \int \limits_a^{2a} f(x) dx \\ & = b + \int \limits_a^{2a} f(x) dx \, \, \, \, \, \text{(sifat (ii))} \\ & = b + \int \limits_{a - a}^{2a - a} f(x+a) dx \\ & = b + \int \limits_{0}^{a} f(x+a) dx \, \, \, \, \, \text{[ganti } f(x+a) = f(x) \, ] \\ & = b + \int \limits_{0}^{a} f(x ) dx = b + b = 2b \end{align} $
*). Menentukan nilai $ \int \limits_0^{3a} f(x) dx $:
$\begin{align} \int \limits_0^{3a} f(x) dx & = \int \limits_0^a f(x) dx + \int \limits_a^{3a} f(x) dx \\ & = b + 2b = 3b \end{align} $
*). Karena pada interval $ 0 < x < a $ fungsi $ f(x) = g(x) = x^5 + 2016x^3 \, $ (sama) ,
maka $ \int \limits_0^a g(x) dx = \int \limits_0^a f(x) dx = b $ .
*). Menentukan nilai $ \int \limits_0^{3a} g(x) dx $
dengan $ \int \limits_0^a g(x) dx = b $ dan $ g(x + 2a) = g(x) $
$\begin{align} \int \limits_0^{3a} g(x) dx & = \int \limits_0^a g(x) dx + \int \limits_a^{3a} g(x) dx \\ & = b + \int \limits_{a-2a}^{3a-2a} g(x+2a) dx \\ & = b + \int \limits_{-a}^{a} g(x+2a) dx \\ & = b + \int \limits_{-a}^{a} g(x) dx = b + 0 = b \end{align} $
*). Menentkan nilai $ \int \limits_0^{3a} (f(x) + g(x)) dx $ :
$\begin{align} \int \limits_0^{3a} (f(x) + g(x)) dx & = \int \limits_0^{3a} f(x) dx + \int \limits_0^{3a} g(x) dx \\ & = 3b + b \\ & = 4b \end{align} $
Jadi, nilai $ \int \limits_0^{3a} (f(x) + g(x)) dx = 4b . \, \heartsuit $